12.3.3用一次函数解双函数的实际问题 课件（共33张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
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| 名称 | 12.3.3用一次函数解双函数的实际问题 课件（共33张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:15:53 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：12.3.3 用一次函数解双函数的实际问题
副标题：建模分析，解决双变量函数应用问题
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了一次函数与二元一次方程组的关系，知道两个一次函数图象的交点坐标对应方程组的解。在实际生活中，很多问题涉及两个变量之间的关系，且这两个关系都可以用一次函数表示，这类双函数实际问题需要我们运用一次函数的知识来解决。
情境引入：某公司计划购买 A、B 两种型号的设备，A 型号设备每台售价 10 万元，每年耗电费用 2 万元；B 型号设备每台售价 15 万元，每年耗电费用 1 万元。若设购买设备的台数为 x，总费用（购置费用 + 年耗电费用）为 y，A、B 两种型号的总费用都可以用一次函数表示。如何通过这两个函数分析哪种型号更划算？这就是本节课要学习的双函数实际问题。
学习目标：
能识别实际问题中的两个一次函数关系，建立对应的函数模型。
掌握通过比较两个一次函数的图象或表达式解决实际问题的方法。
学会结合函数的性质和交点坐标分析实际问题中的最优方案、临界点等。
幻灯片 3：双函数实际问题的特点与解题思路
问题特点：
涉及两个相互关联的变量，且每个变量与第三个变量（如时间、数量等）的关系都可以用一次函数表示。
问题通常需要比较两个函数的大小、寻找相等的临界点，或根据条件选择最优方案。
两个一次函数的表达式形式为\(y_1 = k_1x + b_1\)和\(y_2 = k_2x + b_2\)（\(k_1\)、\(k_2\)不为 0）。
解题思路：
分析问题：明确问题中的变量，区分自变量和因变量，确定两个函数关系的具体内容。
建立模型：根据题目条件分别列出两个一次函数的表达式\(y_1 = k_1x + b_1\)和\(y_2 = k_2x + b_2\)。
求解分析：
求两个函数的交点坐标，即解方程组\(\begin{cases}y_1 = k_1x + b_1 \\ y_2 = k_2x + b_2\end{cases}\)，确定临界点。
结合函数的增减性，比较两个函数在不同自变量取值范围内的大小关系。
解决问题：根据分析结果回答实际问题，如选择最优方案、确定取值范围等。
核心思想：数形结合，通过函数表达式和图象分析两个函数的关系，将实际问题转化为数学问题求解。
幻灯片 4：建立双函数模型的方法
步骤：
确定变量：明确自变量 x 的含义（如数量、时间等）和因变量\(y_1\)、\(y_2\)的含义（如费用、路程、产量等）。
寻找关系：根据题目中的条件，分别找出\(y_1\)与 x、\(y_2\)与 x 之间的一次函数关系，确定 k 和 b 的值。
k 值通常表示单位变化量（如单位时间的费用、单位数量的成本等）。
b 值通常表示初始量（如固定成本、初始距离等）。
写出表达式：规范写出两个一次函数的表达式，并注明自变量的取值范围（根据实际意义确定）。
实例演示：某电信公司推出两种套餐：套餐 A：月租费 50 元，每分钟通话费 0.2 元；套餐 B：月租费 30 元，每分钟通话费 0.3 元。设每月通话时间为 x 分钟，月费用为 y 元。
变量：x 为通话时间（分钟），\(y_A\)为套餐 A 的月费用，\(y_B\)为套餐 B 的月费用。
关系：\(y_A = 0.2x + 50\)，\(y_B = 0.3x + 30\)，x ≥ 0。
幻灯片 5：利用函数交点分析临界点问题
临界点含义：两个函数图象的交点坐标\((x_0, y_0)\)表示当自变量 x = \(x_0\)时，两个因变量的值相等（\(y_1 = y_2 = y_0\)），这是两个函数关系的转折点。
分析方法：
当 x < \(x_0\)时，若\(y_1 < y_2\)，则第一种关系更优；若\(y_1 > y_2\)，则第二种关系更优。
当 x > \(x_0\)时，函数大小关系与 x < \(x_0\)时相反（因一次函数增减性由 k 决定）。
例题 1：某工厂生产某种产品，有两种生产方案：方案一：固定成本 2000 元，每件产品可变成本 6 元；方案二：固定成本 3000 元，每件产品可变成本 4 元。设生产 x 件产品，总成本为 y 元。
（1）分别写出两种方案的总成本函数表达式。
（2）求两种方案总成本相等时的产量。
（3）当产量为多少时，选择方案一更划算？
解：（1）方案一：\(y_1 = 6x + 2000\)；方案二：\(y_2 = 4x + 3000\)。
（2）令\(y_1 = y_2\)，即 6x + 2000 = 4x + 3000，解得 x = 500。当产量为 500 件时，总成本相等。
（3）当 x < 500 时，\(y_1 < y_2\)，方案一更划算；当 x > 500 时，方案二更划算。
幻灯片 6：利用函数增减性比较大小
原理：根据两个一次函数的 k 值（斜率）判断其增减性，结合临界点分析在不同区间内函数的大小关系。
若\(k_1 > k_2\)：当 x > \(x_0\)时，\(y_1 > y_2\)；当 x < \(x_0\)时，\(y_1 < y_2\)。
若\(k_1 < k_2\)：当 x > \(x_0\)时，\(y_1 < y_2\)；当 x < \(x_0\)时，\(y_1 > y_2\)。
例题 2：甲、乙两家运输公司承接货物运输业务，收费标准如下：甲公司：起步价 80 元（3 吨以内），超过 3 吨的部分每吨收费 15 元；乙公司：起步价 60 元（3 吨以内），超过 3 吨的部分每吨收费 20 元。设运输货物重量为 x 吨（x ≥ 3），运费为 y 元。
（1）分别写出甲、乙公司的运费函数表达式。
（2）当运输重量为多少时，两家公司运费相同？
（3）当运输重量为 10 吨时，选择哪家公司更省钱？
解：（1）甲公司：\(y_ = 15(x - 3) + 80 = 15x + 35\)；乙公司：\(y_ = 20(x - 3) + 60 = 20x\)。
（2）令\(15x + 35 = 20x\)，解得 x = 7。运输 7 吨时，运费相同。
（3）x = 10 > 7，\(k_ = 15 < k_ = 20\)，所以\(y_ < y_ \)，选择甲公司更省钱。
幻灯片 7：最优方案选择问题
问题特征：实际问题中提供两种或多种方案，需要根据自变量的取值选择成本最低、收益最高或效率最优的方案。
解题步骤：
建立各方案的一次函数表达式。
求出各函数之间的交点坐标，确定临界点。
划分自变量的取值区间，分析每个区间内的最优方案。
根据实际需求的自变量值，选择对应的最优方案。
例题 3：某学校计划购买一批篮球，有 A、B 两家商店可供选择。A 商店：每个篮球售价 80 元，买 10 个以上，超过 10 个的部分每个打八折；B 商店：每个篮球售价 70 元，无折扣。设购买 x 个篮球，总费用为 y 元。
（1）分别写出 A、B 商店的总费用函数表达式。
（2）该校购买 20 个篮球时，选择哪家商店更省钱？
（3）购买多少个篮球时，两家商店的总费用相同？
解：（1）A 商店：当 x ≤ 10 时，\(y_A = 80x\)；当 x > 10 时，\(y_A = 80 10 + 80 0.8(x - 10) = 64x + 160\)。B 商店：\(y_B = 70x\)（x ≥ 0）。
（2）x = 20 > 10，\(y_A = 64 20 + 160 = 1440\)元，\(y_B = 70 20 = 1400\)元，选择 B 商店更省钱。
（3）当 x > 10 时，令 64x + 160 = 70x，解得 x = 80/3 ≈ 26.67，即购买 27 个时，A 商店费用更低，购买 26 个时 B 商店更省钱，x = 80/3 时费用相同（实际取整数分析）。
幻灯片 8：行程问题中的双函数应用
问题特征：涉及两个物体的运动，如相遇、追及等，它们的路程与时间的关系都可以用一次函数表示。
解题关键：
明确两个物体的初始位置和运动速度，建立路程与时间的函数关系。
交点坐标表示两个物体相遇的时间和位置。
通过比较函数值大小判断物体的位置关系（谁在前、谁在后）。
例题 4：甲、乙两人从同一地点出发，甲先出发 2 小时后，乙才出发追赶甲。甲的速度为 5km/h，乙的速度为 8km/h。设乙出发的时间为 t 小时，甲、乙两人距离出发点的距离为\(s_ \)、\(s_ \) km。
（1）分别写出\(s_ \)、\(s_ \)与 t 的函数表达式。
（2）求乙出发后几小时追上甲？此时距离出发点多远？
（3）在乙出发后的第 3 小时，谁离出发点更远？
解：（1）\(s_ = 5(t + 2) = 5t + 10\)；\(s_ = 8t\)（t ≥ 0）。
（2）令 5t + 10 = 8t，解得 t = 10/3 ≈ 3.33 小时，此时\(s_ = 8 10/3 = 80/3 26.67\)km。
（3）t = 3 时，\(s_ = 5 3 + 10 = 25\)km，\(s_ = 8 3 = 24\)km，甲离出发点更远。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：建立函数表达式时，忽略自变量的取值范围，导致函数模型不符合实际情况。
规避方法：仔细分析实际问题中自变量的限制条件（如数量非负、分段计费的临界点等），在表达式后明确标注取值范围。
示例：在分段计费问题中，未区分不同区间的表达式，统一用一个函数表示。
错误类型 2：求两个函数交点时解方程组出错，或交点坐标判断错误，导致临界点分析错误。
规避方法：解方程组时认真计算，求出解后代入两个函数表达式验证，确保交点坐标正确。
错误类型 3：分析函数大小关系时，未结合 k 值的大小判断增减性，导致区间内最优方案判断错误。
规避方法：比较两个函数的 k 值，明确函数的增减速度，结合临界点正确划分区间并判断函数大小。
错误类型 4：在实际问题中，未将数学解转化为符合实际意义的答案，如未取整数、忽略单位等。
规避方法：求解后检查答案是否符合实际情境，对结果进行必要的调整（如取整数、带单位等）。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
双函数实际问题的核心是建立两个一次函数模型，通过分析函数关系解决问题。
关键步骤：建立表达式→求交点（临界点）→分析区间内函数大小→选择最优方案。
交点坐标是重要的转折点，函数的增减性由 k 值决定，影响区间内的大小关系。
解决问题时需结合实际意义，确保答案合理。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，分析双函数实际问题，建立模型并求解。
提升作业：某书店销售一种图书，批发价每本 20 元，零售价每本 30 元；若一次性购买超过 50 本，批发价每本 18 元，零售价每本 28 元。设购买数量为 x 本，分别写出批发总费用和零售总费用的函数表达式，求出费用相等时的购买数量，并分析何时批发更划算。
拓展作业：甲、乙两车从 A 地开往 B 地，甲车速度为 60km/h，先出发 1 小时；乙车速度为 80km/h，后出发。求乙车追上甲车时行驶的时间和距离 A 地的距离，并用图象法验证结果。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.3.3用一次函数解双函数的实际问题
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.深入了解一次函数的应用价值.
2.能将一个具体的实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决实际问题.
3.从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值，培养解决实际问题的数学能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
做一件事情，有时有不同的实施方案.比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清晰地认识各种方案，作出理性的决策.
你能说说生活中需要选择方案的例子吗？
宽带网的收费
灯泡的选择
租车方案的选择
旅行社的选择
思考
【例】某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？
典型例题
思考
〔1〕影响甲、乙旅行社费用因素是什么？
〔2〕你能用适当的方法表示出甲、乙两个旅行社各需要多少费用吗？
〔3〕在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？
人数
甲旅行社：80x元
乙旅行社：(1000+60x)元
自变量是人数，因变量是费用，是函数关系
设该单位参加旅游人数为x，
收费方式
甲旅行社：80x元
乙旅行社：(1000+60x)元
思考
〔4〕如何比较这2种收费方式？
设：选择甲旅行社支付的总费用为y1元，
则y1= 80x
选择乙旅行社支付的总费用为y2元，
则y2= 1000+60x
正比例函数
一次函数
解法一：从“数”上看
当y1=y2 ，即80x=1000+60x时，解得 x=50，
∴当x=50时，选甲或乙旅行社都一样，都是80×50=4000(元)；
当y1＞y2，即80x＞1000+60x时，解得x＞50.∴ x＞50时，选乙旅行社费用较少；
当y1＜y2，即80x＜1000+60x时，解得x＜50. ∴ x＜50时，选甲旅行社费用较少.
思考
〔5〕你能否想出一种直观形象的方法来进行比较呢？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法二：从“形”上看
在同一直角坐标系中作出两个函数的图象
x/人
y/元
y1= 80x
y2= 1000+60x
观察图象，可得：
当人数为50时，选择甲
或乙旅行社费用都一样；
当人数为0~49时，选择
甲旅行社费用较少；
当人数为51~100时，选
择乙旅行社费用较少.
思考
〔6〕你还有其他的方法吗？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法三：作差法①
设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y，则y=y1 y2=80x (1000+60x)=20x 1000
一次函数
在平面直角坐标系中作出函数的图象：
x/人
y/元
y= 20x 1000
由图可知：
当x=50时，y=0，即y1=y2，
甲、乙两家旅行社的费用
都一样；
当x＞50时，y＞0，即y1＞y2，
乙旅行社的费用较低；
当x＜50时，y＜0，即y1＜y2，
甲旅行社的费用较低.
y1=y2
思考
〔6〕你还有其他的方法吗？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法三：作差法②
还可以按下面的方法来解：
当80x (1000+60x)=0时，即x=50时，选甲或乙旅行社都一样，
都是80×50=4000(元)；
当80x (1000+60x)＞0时，即x＞50时，选乙旅行社费用较少；
当80x (1000+60x)＜0时，即x＜50时，选甲旅行社费用较少.
归纳
〔1〕从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
〔2〕列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值
时所对应的函数值，判断其大小关系；
〔3〕结合实际需求，选择最佳方案.
利用一次函数进行方案决策：
随堂练习
练习1. 某厂日产手套的总成本y元与日产量x副之间的函数表达式为y=5x+40 000，而手套的出厂价格为每副10元，试问该厂至少应日产手套多少副才能不亏本？
解：
根据题意得：
10x (5x+40 000)≥0
解得x≥8000
答：该厂至少应日产手套8000副才能不亏本.
随堂练习
练习2. 某单位急需用车，他们准备和甲、乙两个出租车公司签订月租车合同.设汽车每小时行驶xkm，甲公司的月租费是y1元，乙公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间关系的图象如图所示，观察图象回答：
〔1〕每月行驶的里程在什么范围内，
租乙公司的车合算？
x/km
y/元
y1
y2
1500
解：由图可知：
当0＜x＜1500时，租乙公司的车
合算.
x/km
y/元
y1
y2
1500
y1=y2
随堂练习
〔2〕每月行驶的里程等于多少时，租两家公司车的费用相同
〔3〕如果这个单位估计每月行驶的里程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？
解：〔2〕由函数图象可知：每月行
驶的里程等于1500km时，租两家车
的费用相同；
〔3〕由函数图象可知：当x＞1500时，
y1驶的里程为2300km，那么这个单位
租甲公司出租车合算.
随堂练习
练习3.某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元．
〔1〕分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
解：yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；
随堂练习
解：
〔2〕 ∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少；
〔2〕试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；
〔3〕考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
随堂练习
解：
〔3〕设两地运费之和为y元，则
y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.
由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50.
∵y随x的增大而减小，x最大为50，∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B
地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之
和最少，最少是9580元．
〔3〕考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
应用1 从表格和文字中获取信息建立一次函数模型的应用
1.某公司推出， 两种电话计费方式.
计费 方式 月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/ （元/ ） 被叫
78 200 0.25 免费
108 500 0.19 免费
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为 ,根据上表,分别
写出在不同时间范围内，方式,方式的计费金额 （元）,
（元）关于 的函数表达式;
【解】根据表格数据可知，当时, ;当
时, ;
当时,;当 时,
;
综上，
（2）若你预计每月主叫时间为,你将选择, 哪种计
费方式,并说明理由;
【解】选择方式 计费，理由如下：
当每月主叫时间为 时，
, .
因为,所以选择方式 计费.
（3）请你根据月主叫时间 的不同范围,求出最省钱的计费方式.
【解】令,得,解得 ,
所以当时,方式更省钱;当时,方式和 的
付费金额相同;当时，方式 更省钱.
返回
2.某中学9月底举行秋季田径运动会，在运动会之前学校采购
一些体育用品，经了解有甲、乙两家体育用品店利用网络平
台进行销售，在平台上购买体育用品不仅方便而且还有优惠，
其中甲店所有体育用品按9折出售，乙店一次购物200元以内
（包括200元）不打折，超出200元的部分打8折.设学校采购
的体育用品原价为元，实际购物金额为 元.
（1）分别就这两家体育用品店的让利方式写出和与
的函数表达式.
【解】由题意可得， .
当时， ，
当时， ,
所以
（2）当 时，选择哪家店购物更省钱？
当时，令,解得 ,
即当 时，选择甲店购物更省钱；
令,解得 ,
即当 时，在两家店购物金额一样；
令,解得 ,
即当 时，选择乙店购物更省钱.
返回
3. ［2025合肥四十五中期中］某乡村盛产葡萄，果大味美.
甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客，在销售价格一样的基础
上分别推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购
买门票，采摘的所有葡萄按六折优惠.乙采摘园的优惠方案：
游客无需购买门票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售.活动期间，
某游客的葡萄采摘量为 ，若在甲采摘园所需总费用为 元，在乙采摘园所需总
费用为元，、与 之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是 ( )
应用2 从一次函数图象中获取信息建立一次函数模型的
应用
A. 甲采摘园的门票费用是60元
B. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克
C. 乙采摘园超过 后，超过的部分价格是
12元/千克
D. 当 时，乙采摘园更加优惠
D
【解析】由题图可得，甲采摘园的门票费用
是60元，故选项A不合题意；两个采摘园优惠
前的葡萄单价是（元 千克），
故选项B不合题意；乙采摘园超过 后，超过的部分价格
是 （元/千克），故选项C不合
题意；当时，，当时，设与
的函数表达式是，将，
代入，得解得 即当
时，与 的函数表达式是
.由题意可得，
.当
，即 时，甲、乙两个采
摘园的总费用相同，当
，即 时，甲、乙
两个采摘园的总费用相同，由题图知，当
时，甲采摘园更加优惠，故选项D
符合题意；故选D.
返回
4.［2024济南］某公司生产了, 两款新能源
电动汽车.如图，，分别表示款， 款新
能源电动汽车充满电后电池的剩余电量
12
与汽车行驶路程 的关系.当两款新能源电动汽
车的行驶路程都是时， 款新能源电动汽车电池的剩
余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多____ .
【解析】由题图，知 款新能源电动汽车每
千米的耗电量为
， 款新能
源电动汽车每千米的耗电量为 ，
所以的函数表达式为， 的函数表达式为
.当时， ，
， ，所以当
方案决策
利用一次函数进行方案决策
〔1〕从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
〔2〕列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系；
〔3〕结合实际需求，选择最佳方案.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：12.3.3 用一次函数解双函数的实际问题
副标题：建模分析，解决双变量函数应用问题
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了一次函数与二元一次方程组的关系，知道两个一次函数图象的交点坐标对应方程组的解。在实际生活中，很多问题涉及两个变量之间的关系，且这两个关系都可以用一次函数表示，这类双函数实际问题需要我们运用一次函数的知识来解决。
情境引入：某公司计划购买 A、B 两种型号的设备，A 型号设备每台售价 10 万元，每年耗电费用 2 万元；B 型号设备每台售价 15 万元，每年耗电费用 1 万元。若设购买设备的台数为 x，总费用（购置费用 + 年耗电费用）为 y，A、B 两种型号的总费用都可以用一次函数表示。如何通过这两个函数分析哪种型号更划算？这就是本节课要学习的双函数实际问题。
学习目标：
能识别实际问题中的两个一次函数关系，建立对应的函数模型。
掌握通过比较两个一次函数的图象或表达式解决实际问题的方法。
学会结合函数的性质和交点坐标分析实际问题中的最优方案、临界点等。
幻灯片 3：双函数实际问题的特点与解题思路
问题特点：
涉及两个相互关联的变量，且每个变量与第三个变量（如时间、数量等）的关系都可以用一次函数表示。
问题通常需要比较两个函数的大小、寻找相等的临界点，或根据条件选择最优方案。
两个一次函数的表达式形式为\(y_1 = k_1x + b_1\)和\(y_2 = k_2x + b_2\)（\(k_1\)、\(k_2\)不为 0）。
解题思路：
分析问题：明确问题中的变量，区分自变量和因变量，确定两个函数关系的具体内容。
建立模型：根据题目条件分别列出两个一次函数的表达式\(y_1 = k_1x + b_1\)和\(y_2 = k_2x + b_2\)。
求解分析：
求两个函数的交点坐标，即解方程组\(\begin{cases}y_1 = k_1x + b_1 \\ y_2 = k_2x + b_2\end{cases}\)，确定临界点。
结合函数的增减性，比较两个函数在不同自变量取值范围内的大小关系。
解决问题：根据分析结果回答实际问题，如选择最优方案、确定取值范围等。
核心思想：数形结合，通过函数表达式和图象分析两个函数的关系，将实际问题转化为数学问题求解。
幻灯片 4：建立双函数模型的方法
步骤：
确定变量：明确自变量 x 的含义（如数量、时间等）和因变量\(y_1\)、\(y_2\)的含义（如费用、路程、产量等）。
寻找关系：根据题目中的条件，分别找出\(y_1\)与 x、\(y_2\)与 x 之间的一次函数关系，确定 k 和 b 的值。
k 值通常表示单位变化量（如单位时间的费用、单位数量的成本等）。
b 值通常表示初始量（如固定成本、初始距离等）。
写出表达式：规范写出两个一次函数的表达式，并注明自变量的取值范围（根据实际意义确定）。
实例演示：某电信公司推出两种套餐：套餐 A：月租费 50 元，每分钟通话费 0.2 元；套餐 B：月租费 30 元，每分钟通话费 0.3 元。设每月通话时间为 x 分钟，月费用为 y 元。
变量：x 为通话时间（分钟），\(y_A\)为套餐 A 的月费用，\(y_B\)为套餐 B 的月费用。
关系：\(y_A = 0.2x + 50\)，\(y_B = 0.3x + 30\)，x ≥ 0。
幻灯片 5：利用函数交点分析临界点问题
临界点含义：两个函数图象的交点坐标\((x_0, y_0)\)表示当自变量 x = \(x_0\)时，两个因变量的值相等（\(y_1 = y_2 = y_0\)），这是两个函数关系的转折点。
分析方法：
当 x < \(x_0\)时，若\(y_1 < y_2\)，则第一种关系更优；若\(y_1 > y_2\)，则第二种关系更优。
当 x > \(x_0\)时，函数大小关系与 x < \(x_0\)时相反（因一次函数增减性由 k 决定）。
例题 1：某工厂生产某种产品，有两种生产方案：方案一：固定成本 2000 元，每件产品可变成本 6 元；方案二：固定成本 3000 元，每件产品可变成本 4 元。设生产 x 件产品，总成本为 y 元。
（1）分别写出两种方案的总成本函数表达式。
（2）求两种方案总成本相等时的产量。
（3）当产量为多少时，选择方案一更划算？
解：（1）方案一：\(y_1 = 6x + 2000\)；方案二：\(y_2 = 4x + 3000\)。
（2）令\(y_1 = y_2\)，即 6x + 2000 = 4x + 3000，解得 x = 500。当产量为 500 件时，总成本相等。
（3）当 x < 500 时，\(y_1 < y_2\)，方案一更划算；当 x > 500 时，方案二更划算。
幻灯片 6：利用函数增减性比较大小
原理：根据两个一次函数的 k 值（斜率）判断其增减性，结合临界点分析在不同区间内函数的大小关系。
若\(k_1 > k_2\)：当 x > \(x_0\)时，\(y_1 > y_2\)；当 x < \(x_0\)时，\(y_1 < y_2\)。
若\(k_1 < k_2\)：当 x > \(x_0\)时，\(y_1 < y_2\)；当 x < \(x_0\)时，\(y_1 > y_2\)。
例题 2：甲、乙两家运输公司承接货物运输业务，收费标准如下：甲公司：起步价 80 元（3 吨以内），超过 3 吨的部分每吨收费 15 元；乙公司：起步价 60 元（3 吨以内），超过 3 吨的部分每吨收费 20 元。设运输货物重量为 x 吨（x ≥ 3），运费为 y 元。
（1）分别写出甲、乙公司的运费函数表达式。
（2）当运输重量为多少时，两家公司运费相同？
（3）当运输重量为 10 吨时，选择哪家公司更省钱？
解：（1）甲公司：\(y_ = 15(x - 3) + 80 = 15x + 35\)；乙公司：\(y_ = 20(x - 3) + 60 = 20x\)。
（2）令\(15x + 35 = 20x\)，解得 x = 7。运输 7 吨时，运费相同。
（3）x = 10 > 7，\(k_ = 15 < k_ = 20\)，所以\(y_ < y_ \)，选择甲公司更省钱。
幻灯片 7：最优方案选择问题
问题特征：实际问题中提供两种或多种方案，需要根据自变量的取值选择成本最低、收益最高或效率最优的方案。
解题步骤：
建立各方案的一次函数表达式。
求出各函数之间的交点坐标，确定临界点。
划分自变量的取值区间，分析每个区间内的最优方案。
根据实际需求的自变量值，选择对应的最优方案。
例题 3：某学校计划购买一批篮球，有 A、B 两家商店可供选择。A 商店：每个篮球售价 80 元，买 10 个以上，超过 10 个的部分每个打八折；B 商店：每个篮球售价 70 元，无折扣。设购买 x 个篮球，总费用为 y 元。
（1）分别写出 A、B 商店的总费用函数表达式。
（2）该校购买 20 个篮球时，选择哪家商店更省钱？
（3）购买多少个篮球时，两家商店的总费用相同？
解：（1）A 商店：当 x ≤ 10 时，\(y_A = 80x\)；当 x > 10 时，\(y_A = 80 10 + 80 0.8(x - 10) = 64x + 160\)。B 商店：\(y_B = 70x\)（x ≥ 0）。
（2）x = 20 > 10，\(y_A = 64 20 + 160 = 1440\)元，\(y_B = 70 20 = 1400\)元，选择 B 商店更省钱。
（3）当 x > 10 时，令 64x + 160 = 70x，解得 x = 80/3 ≈ 26.67，即购买 27 个时，A 商店费用更低，购买 26 个时 B 商店更省钱，x = 80/3 时费用相同（实际取整数分析）。
幻灯片 8：行程问题中的双函数应用
问题特征：涉及两个物体的运动，如相遇、追及等，它们的路程与时间的关系都可以用一次函数表示。
解题关键：
明确两个物体的初始位置和运动速度，建立路程与时间的函数关系。
交点坐标表示两个物体相遇的时间和位置。
通过比较函数值大小判断物体的位置关系（谁在前、谁在后）。
例题 4：甲、乙两人从同一地点出发，甲先出发 2 小时后，乙才出发追赶甲。甲的速度为 5km/h，乙的速度为 8km/h。设乙出发的时间为 t 小时，甲、乙两人距离出发点的距离为\(s_ \)、\(s_ \) km。
（1）分别写出\(s_ \)、\(s_ \)与 t 的函数表达式。
（2）求乙出发后几小时追上甲？此时距离出发点多远？
（3）在乙出发后的第 3 小时，谁离出发点更远？
解：（1）\(s_ = 5(t + 2) = 5t + 10\)；\(s_ = 8t\)（t ≥ 0）。
（2）令 5t + 10 = 8t，解得 t = 10/3 ≈ 3.33 小时，此时\(s_ = 8 10/3 = 80/3 26.67\)km。
（3）t = 3 时，\(s_ = 5 3 + 10 = 25\)km，\(s_ = 8 3 = 24\)km，甲离出发点更远。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：建立函数表达式时，忽略自变量的取值范围，导致函数模型不符合实际情况。
规避方法：仔细分析实际问题中自变量的限制条件（如数量非负、分段计费的临界点等），在表达式后明确标注取值范围。
示例：在分段计费问题中，未区分不同区间的表达式，统一用一个函数表示。
错误类型 2：求两个函数交点时解方程组出错，或交点坐标判断错误，导致临界点分析错误。
规避方法：解方程组时认真计算，求出解后代入两个函数表达式验证，确保交点坐标正确。
错误类型 3：分析函数大小关系时，未结合 k 值的大小判断增减性，导致区间内最优方案判断错误。
规避方法：比较两个函数的 k 值，明确函数的增减速度，结合临界点正确划分区间并判断函数大小。
错误类型 4：在实际问题中，未将数学解转化为符合实际意义的答案，如未取整数、忽略单位等。
规避方法：求解后检查答案是否符合实际情境，对结果进行必要的调整（如取整数、带单位等）。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
双函数实际问题的核心是建立两个一次函数模型，通过分析函数关系解决问题。
关键步骤：建立表达式→求交点（临界点）→分析区间内函数大小→选择最优方案。
交点坐标是重要的转折点，函数的增减性由 k 值决定，影响区间内的大小关系。
解决问题时需结合实际意义，确保答案合理。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，分析双函数实际问题，建立模型并求解。
提升作业：某书店销售一种图书，批发价每本 20 元，零售价每本 30 元；若一次性购买超过 50 本，批发价每本 18 元，零售价每本 28 元。设购买数量为 x 本，分别写出批发总费用和零售总费用的函数表达式，求出费用相等时的购买数量，并分析何时批发更划算。
拓展作业：甲、乙两车从 A 地开往 B 地，甲车速度为 60km/h，先出发 1 小时；乙车速度为 80km/h，后出发。求乙车追上甲车时行驶的时间和距离 A 地的距离，并用图象法验证结果。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.3.3用一次函数解双函数的实际问题
第12章 函数与一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.深入了解一次函数的应用价值.
2.能将一个具体的实际问题转化为数学问题，利用数学模型解决实际问题.
3.从问题的解决与探究中进一步感悟函数的应用价值，培养解决实际问题的数学能力.
4.通过从实际问题中得到函数关系式这一过程，提升学生的数学应用能力，使学生在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习的自信心.
做一件事情，有时有不同的实施方案.比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的.应用数学的知识和方法对各种方案进行比较分析，可以帮助我们清晰地认识各种方案，作出理性的决策.
你能说说生活中需要选择方案的例子吗？
宽带网的收费
灯泡的选择
租车方案的选择
旅行社的选择
思考
【例】某单位有职工几十人，想在节假日期间组织到外地旅游.当地有甲、乙两家旅行社，它们服务质量基本相同，到此地旅游的价格都是每人100元.经联系协商，甲旅行社表示可给予每位游客八折优惠；乙旅行社表示单位先交1000元后，给予每位游客六折优惠.问该单位选择哪个旅行社，可使其支付的旅游总费用较少？
典型例题
思考
〔1〕影响甲、乙旅行社费用因素是什么？
〔2〕你能用适当的方法表示出甲、乙两个旅行社各需要多少费用吗？
〔3〕在这个问题中有几个变量？自变量和因变量是什么？它们之间是函数关系吗？
人数
甲旅行社：80x元
乙旅行社：(1000+60x)元
自变量是人数，因变量是费用，是函数关系
设该单位参加旅游人数为x，
收费方式
甲旅行社：80x元
乙旅行社：(1000+60x)元
思考
〔4〕如何比较这2种收费方式？
设：选择甲旅行社支付的总费用为y1元，
则y1= 80x
选择乙旅行社支付的总费用为y2元，
则y2= 1000+60x
正比例函数
一次函数
解法一：从“数”上看
当y1=y2 ，即80x=1000+60x时，解得 x=50，
∴当x=50时，选甲或乙旅行社都一样，都是80×50=4000(元)；
当y1＞y2，即80x＞1000+60x时，解得x＞50.∴ x＞50时，选乙旅行社费用较少；
当y1＜y2，即80x＜1000+60x时，解得x＜50. ∴ x＜50时，选甲旅行社费用较少.
思考
〔5〕你能否想出一种直观形象的方法来进行比较呢？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法二：从“形”上看
在同一直角坐标系中作出两个函数的图象
x/人
y/元
y1= 80x
y2= 1000+60x
观察图象，可得：
当人数为50时，选择甲
或乙旅行社费用都一样；
当人数为0~49时，选择
甲旅行社费用较少；
当人数为51~100时，选
择乙旅行社费用较少.
思考
〔6〕你还有其他的方法吗？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法三：作差法①
设选择甲、乙旅行社所需费用之差为y，则y=y1 y2=80x (1000+60x)=20x 1000
一次函数
在平面直角坐标系中作出函数的图象：
x/人
y/元
y= 20x 1000
由图可知：
当x=50时，y=0，即y1=y2，
甲、乙两家旅行社的费用
都一样；
当x＞50时，y＞0，即y1＞y2，
乙旅行社的费用较低；
当x＜50时，y＜0，即y1＜y2，
甲旅行社的费用较低.
y1=y2
思考
〔6〕你还有其他的方法吗？
收费方式
甲旅行社： y1= 80x
乙旅行社：y2= 1000+60x
解法三：作差法②
还可以按下面的方法来解：
当80x (1000+60x)=0时，即x=50时，选甲或乙旅行社都一样，
都是80×50=4000(元)；
当80x (1000+60x)＞0时，即x＞50时，选乙旅行社费用较少；
当80x (1000+60x)＜0时，即x＜50时，选甲旅行社费用较少.
归纳
〔1〕从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
〔2〕列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值
时所对应的函数值，判断其大小关系；
〔3〕结合实际需求，选择最佳方案.
利用一次函数进行方案决策：
随堂练习
练习1. 某厂日产手套的总成本y元与日产量x副之间的函数表达式为y=5x+40 000，而手套的出厂价格为每副10元，试问该厂至少应日产手套多少副才能不亏本？
解：
根据题意得：
10x (5x+40 000)≥0
解得x≥8000
答：该厂至少应日产手套8000副才能不亏本.
随堂练习
练习2. 某单位急需用车，他们准备和甲、乙两个出租车公司签订月租车合同.设汽车每小时行驶xkm，甲公司的月租费是y1元，乙公司的月租费是y2元，y1，y2分别与x之间关系的图象如图所示，观察图象回答：
〔1〕每月行驶的里程在什么范围内，
租乙公司的车合算？
x/km
y/元
y1
y2
1500
解：由图可知：
当0＜x＜1500时，租乙公司的车
合算.
x/km
y/元
y1
y2
1500
y1=y2
随堂练习
〔2〕每月行驶的里程等于多少时，租两家公司车的费用相同
〔3〕如果这个单位估计每月行驶的里程为2300km，那么这个单位租哪家的车合算？
解：〔2〕由函数图象可知：每月行
驶的里程等于1500km时，租两家车
的费用相同；
〔3〕由函数图象可知：当x＞1500时，
y1
租甲公司出租车合算.
随堂练习
练习3.某县区大力发展猕猴桃产业，预计今年A地将采摘200吨，B地将采摘300吨．若要将这些猕猴桃运到甲、乙两个冷藏仓库，已知甲仓库可储存240吨，乙仓库可储存260吨，从A地运往甲、乙两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往甲、乙两处的费用分别为每吨15元和18元．设从A地运往甲仓库的猕猴桃为x吨，A、B两地运往两仓库的猕猴桃运输费用分别为yA元和yB元．
〔1〕分别求出yA、yB与x之间的函数关系式；
解：yA＝20x＋25(200－x)＝－5x＋5000，
yB＝15(240－x)＋18(60＋x)＝3x＋4680；
随堂练习
解：
〔2〕 ∵yA－yB＝(－5x＋5000)－(3x＋4680)＝－8x＋320，
∴当－8x＋320＞0，即x＜40时，B地的运费较少；
当－8x＋320＝0，即x＝40时，两地的运费一样多；
当－8x＋320＜0，即x＞40时，A地的运费较少；
〔2〕试讨论A、B两地中，哪个的运费较少；
〔3〕考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
随堂练习
解：
〔3〕设两地运费之和为y元，则
y＝yA＋yB＝(－5x＋5000)＋(3x＋4680)＝－2x＋9680.
由题意得yB＝3x＋4680≤4830，解得 x≤50.
∵y随x的增大而减小，x最大为50，∴y最小＝－2×50＋9680＝9580.
∴在此情况下，当A地运往甲、乙两仓库分别为50吨、150吨；B
地运往甲、乙两仓库分别为190吨、110吨时，才能使两地运费之
和最少，最少是9580元．
〔3〕考虑B地的经济承受能力，B地的猕猴桃运费不得超过4830元，在这种情况下，请问怎样调运才能使两地运费之和最少？求出这个最小值．
应用1 从表格和文字中获取信息建立一次函数模型的应用
1.某公司推出， 两种电话计费方式.
计费 方式 月使用费/元 主叫限定时间/ 主叫超时费/ （元/ ） 被叫
78 200 0.25 免费
108 500 0.19 免费
（1）设一个月内用移动电话主叫时间为 ,根据上表,分别
写出在不同时间范围内，方式,方式的计费金额 （元）,
（元）关于 的函数表达式;
【解】根据表格数据可知，当时, ;当
时, ;
当时,;当 时,
;
综上，
（2）若你预计每月主叫时间为,你将选择, 哪种计
费方式,并说明理由;
【解】选择方式 计费，理由如下：
当每月主叫时间为 时，
, .
因为,所以选择方式 计费.
（3）请你根据月主叫时间 的不同范围,求出最省钱的计费方式.
【解】令,得,解得 ,
所以当时,方式更省钱;当时,方式和 的
付费金额相同;当时，方式 更省钱.
返回
2.某中学9月底举行秋季田径运动会，在运动会之前学校采购
一些体育用品，经了解有甲、乙两家体育用品店利用网络平
台进行销售，在平台上购买体育用品不仅方便而且还有优惠，
其中甲店所有体育用品按9折出售，乙店一次购物200元以内
（包括200元）不打折，超出200元的部分打8折.设学校采购
的体育用品原价为元，实际购物金额为 元.
（1）分别就这两家体育用品店的让利方式写出和与
的函数表达式.
【解】由题意可得， .
当时， ，
当时， ,
所以
（2）当 时，选择哪家店购物更省钱？
当时，令,解得 ,
即当 时，选择甲店购物更省钱；
令,解得 ,
即当 时，在两家店购物金额一样；
令,解得 ,
即当 时，选择乙店购物更省钱.
返回
3. ［2025合肥四十五中期中］某乡村盛产葡萄，果大味美.
甲、乙两个葡萄采摘园为吸引游客，在销售价格一样的基础
上分别推出优惠方案，甲采摘园的优惠方案：游客进园需购
买门票，采摘的所有葡萄按六折优惠.乙采摘园的优惠方案：
游客无需购买门票，采摘葡萄超过一定数量后，超过的部分打折销售.活动期间，
某游客的葡萄采摘量为 ，若在甲采摘园所需总费用为 元，在乙采摘园所需总
费用为元，、与 之间的函数图象如图所示，则下列说法错误的是 ( )
应用2 从一次函数图象中获取信息建立一次函数模型的
应用
A. 甲采摘园的门票费用是60元
B. 两个采摘园优惠前的葡萄价格是30元/千克
C. 乙采摘园超过 后，超过的部分价格是
12元/千克
D. 当 时，乙采摘园更加优惠
D
【解析】由题图可得，甲采摘园的门票费用
是60元，故选项A不合题意；两个采摘园优惠
前的葡萄单价是（元 千克），
故选项B不合题意；乙采摘园超过 后，超过的部分价格
是 （元/千克），故选项C不合
题意；当时，，当时，设与
的函数表达式是，将，
代入，得解得 即当
时，与 的函数表达式是
.由题意可得，
.当
，即 时，甲、乙两个采
摘园的总费用相同，当
，即 时，甲、乙
两个采摘园的总费用相同，由题图知，当
时，甲采摘园更加优惠，故选项D
符合题意；故选D.
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4.［2024济南］某公司生产了, 两款新能源
电动汽车.如图，，分别表示款， 款新
能源电动汽车充满电后电池的剩余电量
12
与汽车行驶路程 的关系.当两款新能源电动汽
车的行驶路程都是时， 款新能源电动汽车电池的剩
余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多____ .
【解析】由题图，知 款新能源电动汽车每
千米的耗电量为
， 款新能
源电动汽车每千米的耗电量为 ，
所以的函数表达式为， 的函数表达式为
.当时， ，
， ，所以当
方案决策
利用一次函数进行方案决策
〔1〕从数学的角度分析数学问题，建立函数模型；
〔2〕列出不等式(方程)，求出自变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系；
〔3〕结合实际需求，选择最佳方案.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！