13.1.3三角形中几条重要线段 课件（共27张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 13.1.3三角形中几条重要线段 课件（共27张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:14:48 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.1.3 三角形中几条重要线段
副标题：认识高、中线与角平分线，探究线段特性
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了三角形中边的关系和角的关系，知道三角形的边具有任意两边之和大于第三边等特性，角具有内角和为 180° 等规律。除了边和角，三角形中还有几条重要的线段，它们在三角形的几何性质中扮演着关键角色。本节课将学习三角形的高、中线和角平分线。
情境引入：在三角形中，如何从一个顶点向对边作垂线？如何找到一边的中点并与对角顶点连接？如何将一个内角平均分成两个相等的角？这些操作形成的线段就是三角形的高、中线和角平分线，它们各自具有独特的性质和作用。
学习目标：
理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确识别这三种线段。
掌握三角形高、中线、角平分线的画法和性质。
能运用三角形的高、中线、角平分线解决几何计算和证明问题。
幻灯片 3：三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
表示方法：在△ABC 中，从顶点 A 向对边 BC 作垂线，垂足为 D，则线段 AD 是△ABC 的高，可记作 “AD 是△ABC 的高” 或 “AD⊥BC 于 D”。
画法：
确定顶点（如 A）和对边（如 BC）。
用直角三角板的一条直角边与对边 BC 重合。
沿 BC 移动三角板，使另一条直角边经过顶点 A。
过 A 作 BC 的垂线，垂足为 D，线段 AD 即为所求高。
性质：
三角形的高与对边或对边的延长线垂直，即 AD⊥BC。
任意三角形都有三条高，三条高所在的直线交于一点（称为三角形的垂心）。
图示：分别展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，标注垂足和垂直符号，说明锐角三角形高在内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形两条高在外部。
幻灯片 4：三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
表示方法：在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，则线段 AD 是△ABC 的中线，可记作 “AD 是△ABC 的中线” 或 “BD = DC = 1/2 BC”。
画法：
确定顶点（如 A）和对边（如 BC）。
找到对边 BC 的中点 D（可用刻度尺测量或尺规作图法找中点）。
连接顶点 A 和中点 D，线段 AD 即为所求中线。
性质：
三角形的中线将对边分成两条相等的线段，即 BD = DC。
三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形（因为等底等高）。
任意三角形都有三条中线，三条中线交于一点（称为三角形的重心），重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。
图示：展示三角形的三条中线，标注中点和相等线段符号，说明三条中线交于三角形内部的重心。
幻灯片 5：三角形的角平分线
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
表示方法：在△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，则线段 AD 是△ABC 的角平分线，可记作 “AD 是△ABC 的角平分线” 或 “∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC”。
画法：
确定角的顶点（如 A）和角的两边（AB、AC）。
用尺规作图法作∠BAC 的平分线，交对边 BC 于点 D。
线段 AD 即为所求角平分线。
性质：
三角形的角平分线将一个内角分成两个相等的角，即∠BAD = ∠CAD。
任意三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点（称为三角形的内心），内心到三角形三边的距离相等。
图示：展示三角形的三条角平分线，标注相等的角，说明三条角平分线交于三角形内部的内心。
幻灯片 6：三种线段的对比与联系
线段类型
定义核心
主要性质
交点名称
交点位置
高
顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段
与对边垂直，三条高所在直线交于一点
垂心
锐角三角形内部，直角三角形直角顶点，钝角三角形外部
中线
顶点与对边中点的连线
平分对边，分成等面积三角形，三条中线交于一点
重心
三角形内部
角平分线
内角平分线与对边交点和顶点的连线
平分内角，三条角平分线交于一点
内心
三角形内部
联系：三种线段都是从三角形的顶点出发的线段，都与对边相交；任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，且各自的三条线段（或所在直线）交于一点。
幻灯片 7：利用重要线段解决计算问题
例题 1：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，已知 BC = 8cm，求 BD 和 DC 的长度。
解：因为 AD 是中线，所以 BD = DC = 1/2 BC = 1/2 × 8 = 4cm。
例题 2：在△ABC 中，AD 是角平分线，∠BAC = 80°，求∠BAD 和∠CAD 的度数。
解：因为 AD 是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 1/2 × 80° = 40°。
例题 3：在△ABC 中，AD 是高，∠B = 60°，∠C = 45°，求∠BAD 的度数。
解：因为 AD 是高，所以∠ADB = 90°。在△ABD 中，∠BAD = 180° - ∠ADB - ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
例题 4：在△ABC 中，中线 AD 把三角形分成两个三角形，若△ABD 的面积是 15cm ，求△ABC 的面积。
解：因为 AD 是中线，所以△ABD 和△ACD 面积相等（等底等高），所以△ABC 的面积 = 2 × △ABD 的面积 = 2 × 15 = 30cm 。
幻灯片 8：综合应用与证明
例题 5：如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，∠B = 30°，∠C = 70°，求∠DAE 的度数。
解：首先，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 70° = 80°。因为 AE 是角平分线，所以∠BAE = 1/2 ∠BAC = 40°。在△ABD 中，∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°。所以∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 60° - 40° = 20°。
例题 6：证明：三角形的三条中线交于一点（重心），且重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。
证明思路：在△ABC 中，设中线 BE 和 CF 交于点 G，连接 AG 并延长交 BC 于 D，通过证明 BD = DC 说明 AD 是中线，即三条中线交于 G；再通过构造平行线或利用三角形相似证明 AG = 2GD。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：对三角形高的定义理解不清，误认为高一定在三角形内部，忽略钝角三角形高在外部的情况。
规避方法：明确高是从顶点向对边所在直线作的垂线，钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高与直角边重合。
错误类型 2：混淆三角形的角平分线与角的平分线，误将角的平分线（射线）当作三角形的角平分线（线段）。
规避方法：牢记三角形的角平分线是线段，一端在顶点，另一端在对边上；而角的平分线是射线，二者概念不同。
错误类型 3：画中线时未准确找到对边中点，导致中线画法错误，影响后续计算。
规避方法：画中线前，先用刻度尺精确测量找到对边中点，或用尺规作图法（分别以对边两端点为圆心画弧，两弧交点连线与对边的交点即为中点）准确找中点。
错误类型 4：运用中线性质时，忽略中线将三角形分成等面积的两个三角形这一性质，或错误计算面积。
规避方法：理解等底等高的三角形面积相等，中线将对边平分，所以两个小三角形等底，且高相同，面积必然相等。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
三角形的高：从顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段，与对边垂直，三条高所在直线交于垂心。
三角形的中线：顶点与对边中点的连线，平分对边和面积，三条中线交于重心（重心到顶点距离是到中点的 2 倍）。
三角形的角平分线：内角平分线与对边交点和顶点的连线，平分内角，三条角平分线交于内心（内心到三边距离相等）。
三种线段各有定义、画法和性质，是解决三角形几何问题的重要工具。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，画出三角形的高、中线、角平分线，进行相关计算。
提升作业：在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，求斜边 AB 上的高的长度。
拓展作业：证明三角形的三条角平分线交于一点，且该点到三边的距离相等。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.1.3三角形中几条重要线段
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
l
A
B
如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线
画
放
移
靠
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
思考
思考
A
B
C
D
三角形的高线
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
符号语言：
∵在△ABC中， AD⊥BC，
∴∠ADB ∠ADC 90°.
你还能画出三角形其它边上的高吗？
操作
A
B
C
D
E
F
试着作出△ABC的另外两条高.
观察图形，你发现了什么？
1.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
2.锐角三角形的三条高交于一点.
这个结论对所有的三角形都成立吗？
操作
讨论
几条高？在三角形内部还是外部？有没有交点……
A
B
C
D
E
F
试着作出直角三角形、钝角三角形的三条高.
A
B
C
D
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
D
钝角三角形
E
F
归纳
钝角三角形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
D
E
F
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
归纳
相同点：三角形三条高所在的直线交于一点．
不同点：
锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形三条高的交点在直角顶点；
钝角三角形三条高的交点在三角形的外部．
思考
你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
A
B
C
三角形的中线：
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线．
D
E
F
符号语言：
∵AD是△ABC的BC边的中线，
∴BD DC BC.
操作
任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
钝角三角形
(1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点；
● 三角形的中线的特征：
(2)三角形的中线是一条线段；
(3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形.
归纳
A
B
C
D
E
F
三角形的重心：
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
O
思考
C
A
B
准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕AD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？
C
A
B
C
A
B
D
C'
1
2
三角形的角平分线：
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
符号语言：∵AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴∠1 ∠2 ∠BAC.
操作
任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们有什么特点？
C
A
B
D
F
F
A
B
C
C
B
A
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
归纳
三角形的高
三角形的
中线
三角形的
角平分线
图形
特点
数量
3
3
3
位置
三条高所在的直线交于一点
在三角形内部、外部、三角形上
三条中线在三角形内部交于一点
三条角平分线在三角形内部交于一点
典型例题
例1 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC 60°，∠BCE 40°，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC 60°，
∴∠DAC ∠BAD 30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE 40°，
∴∠B 50°.
∴∠ADB 180° ∠B ∠BAD
180° 30° 50° 100°.
A
B
C
D
E
30°
40°
典型例题
例2 在△ABC中，CD是中线，已知BC AC 5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD AD.
又∵BC AC 5cm，
△DBC的周长 BC BD CD 25cm，
∴△ADC的周长 AD CD AC
BD CD BC 5
25 5
20(cm).
A
D
B
C
AC (BC 5) cm
知识点1 三角形的高
1. 在中，是钝角，下列画 边上的高线正确的
是( )
D
A. B. C. D.
返回K
（第2题）
2. 中国古代数学家刘徽在
《九章算术注》中，给出了说明三角形面积公
式的出入相补法.如图，在 中，分别取
，的中点，，连接，过点 作
B
A. 60 B. 120 C. 90 D. 100
，垂足为，将分割后拼接成长方形 .若
，，则 的面积是( )
（第2题）
【点拨】由题意，得 ，
， ，所以
.所以
.又因为的边
上的高为 .所以
.故选B.
返回K
知识点2 三角形的角平分线
3. 如图，， ，下列结论错误的是( )
D
（第3题）
A. 是 的角平分线
B. 是 的角平分线
C.
D. 是 的角平分线
返回K
4.如图，是的角平分线，是 的角平分线.
若 ，则 ____.
（第4题）
返回K
知识点3 三角形的中线
（第5题）
5. ［2025合肥包河区模拟］如图, 是
的中线,则下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回K
6.如图，已知是的重心，连接并延长交于点 ，
若的面积为20，则 的面积为____.
10
返回K
易错点 忽略对三角形的形状分类讨论而致错
7. ［2025宿州校级模拟］已知是 的高，
， ，则 ( )
D
A. B.
C. 或 D. 或
8. ［2025长沙期中］如图，已知是的中点，， 分
别是 的角平分线、高线，则下列结论正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
三角形中几条重要的线段
三角形的几条重要线段：
高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.
中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：13.1.3 三角形中几条重要线段
副标题：认识高、中线与角平分线，探究线段特性
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了三角形中边的关系和角的关系，知道三角形的边具有任意两边之和大于第三边等特性，角具有内角和为 180° 等规律。除了边和角，三角形中还有几条重要的线段，它们在三角形的几何性质中扮演着关键角色。本节课将学习三角形的高、中线和角平分线。
情境引入：在三角形中，如何从一个顶点向对边作垂线？如何找到一边的中点并与对角顶点连接？如何将一个内角平均分成两个相等的角？这些操作形成的线段就是三角形的高、中线和角平分线，它们各自具有独特的性质和作用。
学习目标：
理解三角形的高、中线、角平分线的定义，能准确识别这三种线段。
掌握三角形高、中线、角平分线的画法和性质。
能运用三角形的高、中线、角平分线解决几何计算和证明问题。
幻灯片 3：三角形的高
定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
表示方法：在△ABC 中，从顶点 A 向对边 BC 作垂线，垂足为 D，则线段 AD 是△ABC 的高，可记作 “AD 是△ABC 的高” 或 “AD⊥BC 于 D”。
画法：
确定顶点（如 A）和对边（如 BC）。
用直角三角板的一条直角边与对边 BC 重合。
沿 BC 移动三角板，使另一条直角边经过顶点 A。
过 A 作 BC 的垂线，垂足为 D，线段 AD 即为所求高。
性质：
三角形的高与对边或对边的延长线垂直，即 AD⊥BC。
任意三角形都有三条高，三条高所在的直线交于一点（称为三角形的垂心）。
图示：分别展示锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，标注垂足和垂直符号，说明锐角三角形高在内部，直角三角形两条高与直角边重合，钝角三角形两条高在外部。
幻灯片 4：三角形的中线
定义：连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。
表示方法：在△ABC 中，点 D 是 BC 的中点，则线段 AD 是△ABC 的中线，可记作 “AD 是△ABC 的中线” 或 “BD = DC = 1/2 BC”。
画法：
确定顶点（如 A）和对边（如 BC）。
找到对边 BC 的中点 D（可用刻度尺测量或尺规作图法找中点）。
连接顶点 A 和中点 D，线段 AD 即为所求中线。
性质：
三角形的中线将对边分成两条相等的线段，即 BD = DC。
三角形的中线将三角形分成两个面积相等的三角形（因为等底等高）。
任意三角形都有三条中线，三条中线交于一点（称为三角形的重心），重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。
图示：展示三角形的三条中线，标注中点和相等线段符号，说明三条中线交于三角形内部的重心。
幻灯片 5：三角形的角平分线
定义：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
表示方法：在△ABC 中，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D，则线段 AD 是△ABC 的角平分线，可记作 “AD 是△ABC 的角平分线” 或 “∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC”。
画法：
确定角的顶点（如 A）和角的两边（AB、AC）。
用尺规作图法作∠BAC 的平分线，交对边 BC 于点 D。
线段 AD 即为所求角平分线。
性质：
三角形的角平分线将一个内角分成两个相等的角，即∠BAD = ∠CAD。
任意三角形都有三条角平分线，三条角平分线交于一点（称为三角形的内心），内心到三角形三边的距离相等。
图示：展示三角形的三条角平分线，标注相等的角，说明三条角平分线交于三角形内部的内心。
幻灯片 6：三种线段的对比与联系
线段类型
定义核心
主要性质
交点名称
交点位置
高
顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段
与对边垂直，三条高所在直线交于一点
垂心
锐角三角形内部，直角三角形直角顶点，钝角三角形外部
中线
顶点与对边中点的连线
平分对边，分成等面积三角形，三条中线交于一点
重心
三角形内部
角平分线
内角平分线与对边交点和顶点的连线
平分内角，三条角平分线交于一点
内心
三角形内部
联系：三种线段都是从三角形的顶点出发的线段，都与对边相交；任意三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，且各自的三条线段（或所在直线）交于一点。
幻灯片 7：利用重要线段解决计算问题
例题 1：在△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，已知 BC = 8cm，求 BD 和 DC 的长度。
解：因为 AD 是中线，所以 BD = DC = 1/2 BC = 1/2 × 8 = 4cm。
例题 2：在△ABC 中，AD 是角平分线，∠BAC = 80°，求∠BAD 和∠CAD 的度数。
解：因为 AD 是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 1/2 × 80° = 40°。
例题 3：在△ABC 中，AD 是高，∠B = 60°，∠C = 45°，求∠BAD 的度数。
解：因为 AD 是高，所以∠ADB = 90°。在△ABD 中，∠BAD = 180° - ∠ADB - ∠B = 180° - 90° - 60° = 30°。
例题 4：在△ABC 中，中线 AD 把三角形分成两个三角形，若△ABD 的面积是 15cm ，求△ABC 的面积。
解：因为 AD 是中线，所以△ABD 和△ACD 面积相等（等底等高），所以△ABC 的面积 = 2 × △ABD 的面积 = 2 × 15 = 30cm 。
幻灯片 8：综合应用与证明
例题 5：如图，在△ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线，∠B = 30°，∠C = 70°，求∠DAE 的度数。
解：首先，∠BAC = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 30° - 70° = 80°。因为 AE 是角平分线，所以∠BAE = 1/2 ∠BAC = 40°。在△ABD 中，∠BAD = 90° - ∠B = 90° - 30° = 60°。所以∠DAE = ∠BAD - ∠BAE = 60° - 40° = 20°。
例题 6：证明：三角形的三条中线交于一点（重心），且重心到顶点的距离是到对边中点距离的 2 倍。
证明思路：在△ABC 中，设中线 BE 和 CF 交于点 G，连接 AG 并延长交 BC 于 D，通过证明 BD = DC 说明 AD 是中线，即三条中线交于 G；再通过构造平行线或利用三角形相似证明 AG = 2GD。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：对三角形高的定义理解不清，误认为高一定在三角形内部，忽略钝角三角形高在外部的情况。
规避方法：明确高是从顶点向对边所在直线作的垂线，钝角三角形有两条高在三角形外部，直角三角形有两条高与直角边重合。
错误类型 2：混淆三角形的角平分线与角的平分线，误将角的平分线（射线）当作三角形的角平分线（线段）。
规避方法：牢记三角形的角平分线是线段，一端在顶点，另一端在对边上；而角的平分线是射线，二者概念不同。
错误类型 3：画中线时未准确找到对边中点，导致中线画法错误，影响后续计算。
规避方法：画中线前，先用刻度尺精确测量找到对边中点，或用尺规作图法（分别以对边两端点为圆心画弧，两弧交点连线与对边的交点即为中点）准确找中点。
错误类型 4：运用中线性质时，忽略中线将三角形分成等面积的两个三角形这一性质，或错误计算面积。
规避方法：理解等底等高的三角形面积相等，中线将对边平分，所以两个小三角形等底，且高相同，面积必然相等。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
三角形的高：从顶点向对边作垂线，顶点到垂足的线段，与对边垂直，三条高所在直线交于垂心。
三角形的中线：顶点与对边中点的连线，平分对边和面积，三条中线交于重心（重心到顶点距离是到中点的 2 倍）。
三角形的角平分线：内角平分线与对边交点和顶点的连线，平分内角，三条角平分线交于内心（内心到三边距离相等）。
三种线段各有定义、画法和性质，是解决三角形几何问题的重要工具。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，画出三角形的高、中线、角平分线，进行相关计算。
提升作业：在△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6cm，BC = 8cm，求斜边 AB 上的高的长度。
拓展作业：证明三角形的三条角平分线交于一点，且该点到三边的距离相等。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.1.3三角形中几条重要线段
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
l
A
B
如何利用直尺和三角板，过直线外一点作这条直线的垂线
画
放
移
靠
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗
思考
思考
A
B
C
D
三角形的高线
从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，也叫作三角形的高.
注意：标明垂直的记号和垂足的字母.
符号语言：
∵在△ABC中， AD⊥BC，
∴∠ADB ∠ADC 90°.
你还能画出三角形其它边上的高吗？
操作
A
B
C
D
E
F
试着作出△ABC的另外两条高.
观察图形，你发现了什么？
1.锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
2.锐角三角形的三条高交于一点.
这个结论对所有的三角形都成立吗？
操作
讨论
几条高？在三角形内部还是外部？有没有交点……
A
B
C
D
E
F
试着作出直角三角形、钝角三角形的三条高.
A
B
C
D
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
D
钝角三角形
E
F
归纳
钝角三角形
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
D
E
F
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
高在三角形内部的数量
高之间是否相交
高所在的直线是否相交
三条高所在直线的交点的位置
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三角形内部
直角顶点
三角形外部
归纳
相同点：三角形三条高所在的直线交于一点．
不同点：
锐角三角形三条高的交点在三角形的内部；
直角三角形三条高的交点在直角顶点；
钝角三角形三条高的交点在三角形的外部．
思考
你能经过三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分为面积相等的两个三角形吗？
A
B
C
三角形的中线：
三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线．
D
E
F
符号语言：
∵AD是△ABC的BC边的中线，
∴BD DC BC.
操作
任意画一个三角形，画出它的所有中线，它们有什么特点？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
锐角三角形
直角三角形
A
B
C
钝角三角形
(1)任何三角形有三条中线，并且都在三角形的内部，交于一点；
● 三角形的中线的特征：
(2)三角形的中线是一条线段；
(3)三角形的任意一条中线把这个三角形分成了两个面积相等的三角形.
归纳
A
B
C
D
E
F
三角形的重心：
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心．
O
思考
C
A
B
准备一个三角形纸片ABC，按图所示的方法折叠，展开后，折痕AD把∠ABC分成∠1和∠2两个角．∠1和∠2有什么关系？
C
A
B
C
A
B
D
C'
1
2
三角形的角平分线：
三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
符号语言：∵AD是△ABC的∠BAC的平分线，∴∠1 ∠2 ∠BAC.
操作
任意画一个三角形，画出它的所有角平分线，它们有什么特点？
C
A
B
D
F
F
A
B
C
C
B
A
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
归纳
三角形的高
三角形的
中线
三角形的
角平分线
图形
特点
数量
3
3
3
位置
三条高所在的直线交于一点
在三角形内部、外部、三角形上
三条中线在三角形内部交于一点
三条角平分线在三角形内部交于一点
典型例题
例1 如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC 60°，∠BCE 40°，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC 60°，
∴∠DAC ∠BAD 30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE 40°，
∴∠B 50°.
∴∠ADB 180° ∠B ∠BAD
180° 30° 50° 100°.
A
B
C
D
E
30°
40°
典型例题
例2 在△ABC中，CD是中线，已知BC AC 5cm，△DBC的周长为25cm，求△ADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD AD.
又∵BC AC 5cm，
△DBC的周长 BC BD CD 25cm，
∴△ADC的周长 AD CD AC
BD CD BC 5
25 5
20(cm).
A
D
B
C
AC (BC 5) cm
知识点1 三角形的高
1. 在中，是钝角，下列画 边上的高线正确的
是( )
D
A. B. C. D.
返回K
（第2题）
2. 中国古代数学家刘徽在
《九章算术注》中，给出了说明三角形面积公
式的出入相补法.如图，在 中，分别取
，的中点，，连接，过点 作
B
A. 60 B. 120 C. 90 D. 100
，垂足为，将分割后拼接成长方形 .若
，，则 的面积是( )
（第2题）
【点拨】由题意，得 ，
， ，所以
.所以
.又因为的边
上的高为 .所以
.故选B.
返回K
知识点2 三角形的角平分线
3. 如图，， ，下列结论错误的是( )
D
（第3题）
A. 是 的角平分线
B. 是 的角平分线
C.
D. 是 的角平分线
返回K
4.如图，是的角平分线，是 的角平分线.
若 ，则 ____.
（第4题）
返回K
知识点3 三角形的中线
（第5题）
5. ［2025合肥包河区模拟］如图, 是
的中线,则下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回K
6.如图，已知是的重心，连接并延长交于点 ，
若的面积为20，则 的面积为____.
10
返回K
易错点 忽略对三角形的形状分类讨论而致错
7. ［2025宿州校级模拟］已知是 的高，
， ，则 ( )
D
A. B.
C. 或 D. 或
8. ［2025长沙期中］如图，已知是的中点，， 分
别是 的角平分线、高线，则下列结论正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
三角形中几条重要的线段
三角形的几条重要线段：
高线：从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高.
中线：三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.
角平分线：三角形中，一个角的平分线与这个角对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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