13.2.2证明 课件（共29张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 13.2.2证明 课件（共29张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:26:21 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.2.2 证明
副标题：严谨推理，验证命题的真实性
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了定义与命题，知道命题分为真命题和假命题，假命题可以通过举反例来验证。而对于真命题，尤其是一些重要的真命题，仅靠观察、实验或经验是不够的，需要通过严谨的推理来证明其真实性。本节课将学习证明的相关知识。
情境引入：我们知道 “对顶角相等” 是真命题，但为什么对顶角一定相等呢？仅靠测量或观察个别例子不能完全让人信服。通过一步步的推理，从已知的事实出发，得出 “对顶角相等” 的结论，这个过程就是证明。证明能让我们的结论更具说服力。
学习目标：
理解证明的概念和必要性，知道证明的依据。
掌握证明的基本步骤和书写格式。
能运用定义、公理、定理等进行简单命题的证明。
培养严谨的逻辑推理能力和规范的表达能力。
幻灯片 3：证明的概念与必要性
证明的概念：根据已知的定义、公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程叫做证明。
证明的必要性：
观察和实验可能存在误差，无法保证结论的普遍性和必然性。例如，通过测量几个三角形的内角和得到 180°，但不能说明所有三角形的内角和都是 180°。
直觉和经验有时会误导我们，只有通过严谨的证明，才能确认命题的真实性。
证明是数学严谨性的体现，能确保结论在任何情况下都成立。
证明的作用：证明不仅能验证命题的真实性，还能帮助我们理解命题的本质，培养逻辑思维能力。
幻灯片 4：证明的依据
定义：已经明确规定的概念的含义，如 “平行线的定义”“三角形的定义” 等，是证明的基础。
公理：经过长期实践检验，被公认为正确的命题，不需要再进行证明。例如：
两点确定一条直线。
两点之间线段最短。
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
定理：经过证明被确认是正确的命题，可以作为证明其他命题的依据。例如 “对顶角相等”“三角形内角和定理” 等。
注意事项：证明过程中必须严格依据这些已知的真命题，不能使用未经证明的猜测或假设。
幻灯片 5：证明的基本步骤
步骤 1：明确命题：确定要证明的命题是什么，分清命题的条件和结论。
步骤 2：根据题意画图：画出符合命题条件的图形，并用字母或符号标注图形中的各部分，使条件和结论在图形中清晰体现。
步骤 3：写出已知和求证：
已知：将命题的条件转化为图形中的已知事项，用数学语言表述出来。
求证：将命题的结论转化为图形中要证明的事项，用数学语言表述出来。
步骤 4：进行证明：从已知条件出发，依据定义、公理、定理等，通过一系列的逻辑推理，得出求证的结论。
步骤 5：写出结论：证明结束后，明确写出 “因此，命题成立” 等结束语。
图示：用流程图展示证明的基本步骤，清晰呈现从命题到结论的过程。
幻灯片 6：证明的书写格式
格式要求：
证明过程要条理清晰，每一步推理都要有依据，依据要写在每一步结论的后面，用括号注明。
使用规范的数学符号和语言，避免口语化表达。
图形标注要准确，与证明过程中的字母和符号一致。
示例格式：
已知：如图，∠1 和∠2 是对顶角。
求证：∠1 = ∠2。
证明：∵∠1 和∠2 是对顶角（已知），
∴∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°（邻补角的定义）。
∴∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3（等量代换）。
∴∠1 = ∠2（等式的性质）。
结论：因此，对顶角相等。
注意事项：每一步推理都要严谨，不能跳跃，依据要准确无误。
幻灯片 7：证明实例（一）—— 对顶角相等
命题：对顶角相等。
已知：如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，∠AOC 和∠BOD 是对顶角。
求证：∠AOC = ∠BOD。
证明过程：
∵直线 AB 和 CD 相交于点 O（已知），
∴∠AOC + ∠AOD = 180°（邻补角的定义），
∠BOD + ∠AOD = 180°（邻补角的定义）。
∴∠AOC + ∠AOD = ∠BOD + ∠AOD（等量代换）。
∴∠AOC = ∠BOD（等式两边同时减去同一个角，等式仍然成立）。
结论：因此，对顶角相等。
图示：画出相交直线 AB 和 CD，标注交点 O 和对顶角∠AOC、∠BOD，以及邻补角∠AOC 与∠AOD、∠BOD 与∠AOD。
幻灯片 8：证明实例（二）—— 两直线平行，内错角相等
命题：两直线平行，内错角相等。
已知：如图，直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 G、H，∠1 和∠2 是内错角。
求证：∠1 = ∠2。
证明过程：
∵AB∥CD（已知），
∴∠1 = ∠3（两直线平行，同位角相等）。
∵∠2 = ∠3（对顶角相等），
∴∠1 = ∠2（等量代换）。
结论：因此，两直线平行，内错角相等。
图示：画出平行线 AB、CD 和截线 EF，标注交点 G、H，内错角∠1、∠2 和同位角∠1、∠3，以及对顶角∠2、∠3。
幻灯片 9：证明中的常见错误分析与规避
错误类型 1：证明过程中没有依据或依据错误，随意得出结论。
规避方法：每一步推理都必须有明确的依据，依据可以是定义、公理、定理等，且要确保依据的正确性。
错误类型 2：图形标注不准确或与已知、求证不符，影响推理过程。
规避方法：画图时要仔细，确保图形符合命题条件，标注的字母和符号要与已知、求证中的表述一致。
错误类型 3：推理过程不严谨，出现逻辑跳跃，省略必要的步骤。
规避方法：证明要一步一步进行，每一步都要清晰明了，不能省略关键的推理步骤，确保逻辑连贯。
错误类型 4：书写格式不规范，使用口语化语言或符号使用不当。
规避方法：严格按照证明的书写格式要求，使用规范的数学符号和语言，语句要简洁、准确。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
证明是根据定义、公理、定理等进行逻辑推理，验证命题真实性的过程，具有必要性和严谨性。
证明的依据包括定义、公理和定理，基本步骤为明确命题、画图、写已知求证、推理证明、写结论。
证明要遵循规范的书写格式，每一步推理都要有依据，逻辑要严谨。
通过证明能培养逻辑推理能力和规范表达能力。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，按照证明步骤和格式证明简单命题。
提升作业：证明 “同旁内角互补，两直线平行”，写出完整的已知、求证和证明过程。
拓展作业：证明 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并思考证明过程中运用了哪些公理或定理。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.2证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
考考你的眼力！
横向的线都是互相平行的吗？
这些横向的线都是互相平行的！
其实一个黑色的点都
没有！
考考你的眼力！
你能看到几个黑色的点？
其实这两条线段一样长！
情境引入
考考你的眼力！
这两条线段哪条长？
因此，判断一个结论是否正确，仅靠观察、猜想、实验还不够；
必须有有根有据的推理过程才能确定.
论证几何，源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑，它确立了数学中公理化的演绎范式.
要求：
★每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论；
★所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
如：“对顶角相等”“同角的补角相等”等.
从“基本事实”出发
从“其它真命题”出发
交流
可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.
基本事实
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行.
从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.
需要判断
归纳
命题的正确性
已知条件
定义、事实、已证定理
经过证明的真命题叫定理
★从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).
★演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
思考
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
分析：①已知∠1=∠2；
②∠1=∠3(对顶角相等)；
③学过的判断平行的依据“同位角相等，两直线平行”.
1
2
3
c
a
b
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：
又因为∠1=∠3，(对顶角相等)
因为∠1=∠2，(已知)
所以∠2=∠3.(等量代换)
所以a∥b.(同位角相等，两直线平行)
证明过程
“因为”简写为“∵”
“∵”读作“因为”；
“所以”简写为“∴”
“∴”读作“所以”.
1
2
3
c
a
b
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：
又∵∠1=∠3，(对顶角相等)
∵∠1=∠2，(已知)
∴∠2=∠3.(等量代换)
∴a∥b.(同位角相等，两直线平行)
更简单了！
“因为”简写为“∵”
“∵”读作“因为”；
“所以”简写为“∴”
“∴”读作“所以”.
1
2
3
c
a
b
证明命题的一般步骤
归纳
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
注意数学符号的运用！
典型例题
例1 已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
分析：要证明的是OE⊥OF，只要能得到∠1+∠2=90°即可.
已知：① ∠AOB+∠BOC=180°.
② OE平分∠AOB， 即∠1=∠AOB；
③OF平分∠BOC，即∠2=∠BOC.
A
C
O
B
E
F
2
1
典型例题
例1 已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知)
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.(角平分线的定义)
又 ∵∠AOB+∠BOC=180°，(已知)
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC=90°.(等式性质)
∴OE⊥OF.(垂直的定义)
A
C
O
B
E
F
2
1
典型例题
例2 已知：如图，直线b∥c，a⊥b.
求证：a⊥c.
证明：
∵ a⊥b，(已知)
∴∠1=90°. (垂直的定义)
∵b∥c ，(已知)
∴∠1=∠2. (两直线平行，同位角相等)
∴∠2=∠1=90°. (等量代换)
∴ a⊥c. (垂直的定义)
1
2
b
c
a
关键是得到∠2等于90°.
抢答
随堂练习
在下列各题的括号内，填上推理的依据：
1.已知：如图，点B，A，E在一条直线上，∠1=∠B.
求证：∠C=∠2.
1
2
A
B
C
E
D
证明：
∴AD∥BC.( )
∵∠1=∠B，( )
∴∠C=∠2.( )
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
抢答
随堂练习
在下列各题的括号内，填上推理的依据：
2.已知：如图，∠1=∠2.
求证：AB∥CD.
证明：
∴∠1=∠3.( )
∵∠1=∠2，( )
∴AB∥CD.( )
又∵∠2=∠3，( )
2
3
1
E
B
D
A
C
F
已知
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
知识点1 基本事实与定理
1. 命题“对顶角相等”是( )
D
A. 角的定义 B. 假命题 C. 基本事实 D. 定理
返回
2. 下列说法正确的是( )
A
A. 命题一定有逆命题
B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题
D. 假命题的逆命题一定是假命题
返回
知识点2 推理与证明
3. 下列说法错误的是( )
B
A. 命题是判断一件事情正确或不正确的句子
B. 基本事实的正确性必须得到证明
C. 证明假命题举一个反例即可
D. 演绎推理的过程叫作证明
返回
4. ［2025安庆四中模拟］阅读下面材料，①~④步中的数学
依据错误的是 ( )
如图，已知直线， ，______________________
求证： .
证明： ，（已知）
.（垂直的定义）
又 ，（已知）
.（同位角相等，两直线平行）
.（等量代换）
.（垂直的定义）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
B
返回
5. 在括号内填写推理依据：
如图，已知,, ,
,求 的度数.
垂直的定义
等式的性质
解：, ,（已知）
.（____________）
又 ,（已知）
.（____________）
.（________________________）
.（_______________________
）
,（已知）
.（等量代换）
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
返回
6. 如图，点， ，
在一条直线上， .
（1）请直接添加一个与直线 有关
的条件，由此可得出是 的平
分线.
添加 .
（2）请直接添加一个与有关的条件，由此可得出 是
的平分线.
答案不唯一，如 .
（3）如果“点，， 在一条直线上，
”不变，请你把（1）中添加的条件
与所得的结论互换，所得的命题是否是真命
题？并说明理由.
【解】是真命题.理由：是 的平分线，
点,, 在一条直线上,
.
.
又， ，
， .
返回
命题的证明
定理：
演绎推理：
从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).
证明：
演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：13.2.2 证明
副标题：严谨推理，验证命题的真实性
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了定义与命题，知道命题分为真命题和假命题，假命题可以通过举反例来验证。而对于真命题，尤其是一些重要的真命题，仅靠观察、实验或经验是不够的，需要通过严谨的推理来证明其真实性。本节课将学习证明的相关知识。
情境引入：我们知道 “对顶角相等” 是真命题，但为什么对顶角一定相等呢？仅靠测量或观察个别例子不能完全让人信服。通过一步步的推理，从已知的事实出发，得出 “对顶角相等” 的结论，这个过程就是证明。证明能让我们的结论更具说服力。
学习目标：
理解证明的概念和必要性，知道证明的依据。
掌握证明的基本步骤和书写格式。
能运用定义、公理、定理等进行简单命题的证明。
培养严谨的逻辑推理能力和规范的表达能力。
幻灯片 3：证明的概念与必要性
证明的概念：根据已知的定义、公理、定理等，经过逻辑推理，来判断一个命题是否正确的推理过程叫做证明。
证明的必要性：
观察和实验可能存在误差，无法保证结论的普遍性和必然性。例如，通过测量几个三角形的内角和得到 180°，但不能说明所有三角形的内角和都是 180°。
直觉和经验有时会误导我们，只有通过严谨的证明，才能确认命题的真实性。
证明是数学严谨性的体现，能确保结论在任何情况下都成立。
证明的作用：证明不仅能验证命题的真实性，还能帮助我们理解命题的本质，培养逻辑思维能力。
幻灯片 4：证明的依据
定义：已经明确规定的概念的含义，如 “平行线的定义”“三角形的定义” 等，是证明的基础。
公理：经过长期实践检验，被公认为正确的命题，不需要再进行证明。例如：
两点确定一条直线。
两点之间线段最短。
过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
同位角相等，两直线平行。
定理：经过证明被确认是正确的命题，可以作为证明其他命题的依据。例如 “对顶角相等”“三角形内角和定理” 等。
注意事项：证明过程中必须严格依据这些已知的真命题，不能使用未经证明的猜测或假设。
幻灯片 5：证明的基本步骤
步骤 1：明确命题：确定要证明的命题是什么，分清命题的条件和结论。
步骤 2：根据题意画图：画出符合命题条件的图形，并用字母或符号标注图形中的各部分，使条件和结论在图形中清晰体现。
步骤 3：写出已知和求证：
已知：将命题的条件转化为图形中的已知事项，用数学语言表述出来。
求证：将命题的结论转化为图形中要证明的事项，用数学语言表述出来。
步骤 4：进行证明：从已知条件出发，依据定义、公理、定理等，通过一系列的逻辑推理，得出求证的结论。
步骤 5：写出结论：证明结束后，明确写出 “因此，命题成立” 等结束语。
图示：用流程图展示证明的基本步骤，清晰呈现从命题到结论的过程。
幻灯片 6：证明的书写格式
格式要求：
证明过程要条理清晰，每一步推理都要有依据，依据要写在每一步结论的后面，用括号注明。
使用规范的数学符号和语言，避免口语化表达。
图形标注要准确，与证明过程中的字母和符号一致。
示例格式：
已知：如图，∠1 和∠2 是对顶角。
求证：∠1 = ∠2。
证明：∵∠1 和∠2 是对顶角（已知），
∴∠1 + ∠3 = 180°，∠2 + ∠3 = 180°（邻补角的定义）。
∴∠1 + ∠3 = ∠2 + ∠3（等量代换）。
∴∠1 = ∠2（等式的性质）。
结论：因此，对顶角相等。
注意事项：每一步推理都要严谨，不能跳跃，依据要准确无误。
幻灯片 7：证明实例（一）—— 对顶角相等
命题：对顶角相等。
已知：如图，直线 AB 和 CD 相交于点 O，∠AOC 和∠BOD 是对顶角。
求证：∠AOC = ∠BOD。
证明过程：
∵直线 AB 和 CD 相交于点 O（已知），
∴∠AOC + ∠AOD = 180°（邻补角的定义），
∠BOD + ∠AOD = 180°（邻补角的定义）。
∴∠AOC + ∠AOD = ∠BOD + ∠AOD（等量代换）。
∴∠AOC = ∠BOD（等式两边同时减去同一个角，等式仍然成立）。
结论：因此，对顶角相等。
图示：画出相交直线 AB 和 CD，标注交点 O 和对顶角∠AOC、∠BOD，以及邻补角∠AOC 与∠AOD、∠BOD 与∠AOD。
幻灯片 8：证明实例（二）—— 两直线平行，内错角相等
命题：两直线平行，内错角相等。
已知：如图，直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB、CD 于点 G、H，∠1 和∠2 是内错角。
求证：∠1 = ∠2。
证明过程：
∵AB∥CD（已知），
∴∠1 = ∠3（两直线平行，同位角相等）。
∵∠2 = ∠3（对顶角相等），
∴∠1 = ∠2（等量代换）。
结论：因此，两直线平行，内错角相等。
图示：画出平行线 AB、CD 和截线 EF，标注交点 G、H，内错角∠1、∠2 和同位角∠1、∠3，以及对顶角∠2、∠3。
幻灯片 9：证明中的常见错误分析与规避
错误类型 1：证明过程中没有依据或依据错误，随意得出结论。
规避方法：每一步推理都必须有明确的依据，依据可以是定义、公理、定理等，且要确保依据的正确性。
错误类型 2：图形标注不准确或与已知、求证不符，影响推理过程。
规避方法：画图时要仔细，确保图形符合命题条件，标注的字母和符号要与已知、求证中的表述一致。
错误类型 3：推理过程不严谨，出现逻辑跳跃，省略必要的步骤。
规避方法：证明要一步一步进行，每一步都要清晰明了，不能省略关键的推理步骤，确保逻辑连贯。
错误类型 4：书写格式不规范，使用口语化语言或符号使用不当。
规避方法：严格按照证明的书写格式要求，使用规范的数学符号和语言，语句要简洁、准确。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
证明是根据定义、公理、定理等进行逻辑推理，验证命题真实性的过程，具有必要性和严谨性。
证明的依据包括定义、公理和定理，基本步骤为明确命题、画图、写已知求证、推理证明、写结论。
证明要遵循规范的书写格式，每一步推理都要有依据，逻辑要严谨。
通过证明能培养逻辑推理能力和规范表达能力。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，按照证明步骤和格式证明简单命题。
提升作业：证明 “同旁内角互补，两直线平行”，写出完整的已知、求证和证明过程。
拓展作业：证明 “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，并思考证明过程中运用了哪些公理或定理。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.2证明
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
考考你的眼力！
横向的线都是互相平行的吗？
这些横向的线都是互相平行的！
其实一个黑色的点都
没有！
考考你的眼力！
你能看到几个黑色的点？
其实这两条线段一样长！
情境引入
考考你的眼力！
这两条线段哪条长？
因此，判断一个结论是否正确，仅靠观察、猜想、实验还不够；
必须有有根有据的推理过程才能确定.
论证几何，源于希腊数学家欧几里得的《原本》，这部著作可以说是数学史上第一座理论丰碑，它确立了数学中公理化的演绎范式.
要求：
★每个真命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论；
★所有推理的原始共同出发点是一些基本的定义和基本事实.
如：“对顶角相等”“同角的补角相等”等.
从“基本事实”出发
从“其它真命题”出发
交流
可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.
基本事实
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行.
从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.
需要判断
归纳
命题的正确性
已知条件
定义、事实、已证定理
经过证明的真命题叫定理
★从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).
★演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
思考
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
分析：①已知∠1=∠2；
②∠1=∠3(对顶角相等)；
③学过的判断平行的依据“同位角相等，两直线平行”.
1
2
3
c
a
b
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：
又因为∠1=∠3，(对顶角相等)
因为∠1=∠2，(已知)
所以∠2=∠3.(等量代换)
所以a∥b.(同位角相等，两直线平行)
证明过程
“因为”简写为“∵”
“∵”读作“因为”；
“所以”简写为“∴”
“∴”读作“所以”.
1
2
3
c
a
b
探究
请你试着证明“内错角相等，两直线平行”
已知：如图，直线c与直线a，b相交，且∠1=∠2.
求证：a∥b.
证明：
又∵∠1=∠3，(对顶角相等)
∵∠1=∠2，(已知)
∴∠2=∠3.(等量代换)
∴a∥b.(同位角相等，两直线平行)
更简单了！
“因为”简写为“∵”
“∵”读作“因为”；
“所以”简写为“∴”
“∴”读作“所以”.
1
2
3
c
a
b
证明命题的一般步骤
归纳
①理解题意：分清命题的条件(已知)、结论(求证)；
②根据前边的分析，写出已知、求证，并画出图；
③分析因果关系，找出证明途径；
④有条理地写出证明过程.
注意数学符号的运用！
典型例题
例1 已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
分析：要证明的是OE⊥OF，只要能得到∠1+∠2=90°即可.
已知：① ∠AOB+∠BOC=180°.
② OE平分∠AOB， 即∠1=∠AOB；
③OF平分∠BOC，即∠2=∠BOC.
A
C
O
B
E
F
2
1
典型例题
例1 已知：如图，∠AOB+∠BOC=180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC.
求证：OE⊥OF.
证明：∵OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，(已知)
∴∠1=∠AOB，∠2=∠BOC.(角平分线的定义)
又 ∵∠AOB+∠BOC=180°，(已知)
∴∠1+∠2=∠AOB+∠BOC=90°.(等式性质)
∴OE⊥OF.(垂直的定义)
A
C
O
B
E
F
2
1
典型例题
例2 已知：如图，直线b∥c，a⊥b.
求证：a⊥c.
证明：
∵ a⊥b，(已知)
∴∠1=90°. (垂直的定义)
∵b∥c ，(已知)
∴∠1=∠2. (两直线平行，同位角相等)
∴∠2=∠1=90°. (等量代换)
∴ a⊥c. (垂直的定义)
1
2
b
c
a
关键是得到∠2等于90°.
抢答
随堂练习
在下列各题的括号内，填上推理的依据：
1.已知：如图，点B，A，E在一条直线上，∠1=∠B.
求证：∠C=∠2.
1
2
A
B
C
E
D
证明：
∴AD∥BC.( )
∵∠1=∠B，( )
∴∠C=∠2.( )
已知
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
抢答
随堂练习
在下列各题的括号内，填上推理的依据：
2.已知：如图，∠1=∠2.
求证：AB∥CD.
证明：
∴∠1=∠3.( )
∵∠1=∠2，( )
∴AB∥CD.( )
又∵∠2=∠3，( )
2
3
1
E
B
D
A
C
F
已知
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
知识点1 基本事实与定理
1. 命题“对顶角相等”是( )
D
A. 角的定义 B. 假命题 C. 基本事实 D. 定理
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2. 下列说法正确的是( )
A
A. 命题一定有逆命题
B. 所有的定理一定有逆定理
C. 真命题的逆命题一定是真命题
D. 假命题的逆命题一定是假命题
返回
知识点2 推理与证明
3. 下列说法错误的是( )
B
A. 命题是判断一件事情正确或不正确的句子
B. 基本事实的正确性必须得到证明
C. 证明假命题举一个反例即可
D. 演绎推理的过程叫作证明
返回
4. ［2025安庆四中模拟］阅读下面材料，①~④步中的数学
依据错误的是 ( )
如图，已知直线， ，______________________
求证： .
证明： ，（已知）
.（垂直的定义）
又 ，（已知）
.（同位角相等，两直线平行）
.（等量代换）
.（垂直的定义）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
B
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5. 在括号内填写推理依据：
如图，已知,, ,
,求 的度数.
垂直的定义
等式的性质
解：, ,（已知）
.（____________）
又 ,（已知）
.（____________）
.（________________________）
.（_______________________
）
,（已知）
.（等量代换）
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
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6. 如图，点， ，
在一条直线上， .
（1）请直接添加一个与直线 有关
的条件，由此可得出是 的平
分线.
添加 .
（2）请直接添加一个与有关的条件，由此可得出 是
的平分线.
答案不唯一，如 .
（3）如果“点，， 在一条直线上，
”不变，请你把（1）中添加的条件
与所得的结论互换，所得的命题是否是真命
题？并说明理由.
【解】是真命题.理由：是 的平分线，
点,, 在一条直线上,
.
.
又， ，
， .
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命题的证明
定理：
演绎推理：
从基本事实或其它真命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理.
从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理(或演绎法).
证明：
演绎推理的过程，就是演绎证明，简称证明.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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