13.2.3直角三角形的性质与判定 课件（共22张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 13.2.3直角三角形的性质与判定 课件（共22张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:25:47 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.2.3 直角三角形的性质与判定
副标题：探究直角三角形的特性与判定方法
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了三角形的基本概念、边和角的关系，以及证明的相关知识。直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有独特的性质。同时，如何判定一个三角形是直角三角形也有特定的方法。本节课将深入学习直角三角形的性质与判定。
情境引入：在我们的生活中，直角三角形无处不在，如墙角、直角三角尺等。直角三角形有一个角是直角（90°），这个特殊的角使得它的边和角之间存在着特殊的关系。例如，直角三角形的两个锐角之间有什么关系？它的边之间是否存在特殊的数量关系？如何判断一个三角形是直角三角形？这些都是本节课要解决的问题。
学习目标：
掌握直角三角形的性质，包括两锐角互余、斜边中线的性质等。
学会直角三角形的判定方法，能根据条件判断三角形是否为直角三角形。
能运用直角三角形的性质与判定解决几何计算和证明问题。
进一步培养逻辑推理能力和几何直观能力。
幻灯片 3：直角三角形的定义与表示
定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
表示方法：直角三角形用符号 “Rt△” 表示，例如，有一个角为直角的三角形 ABC 记作 “Rt△ABC”，其中直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 AB 为斜边，AC、BC 为直角边。
图示：展示一个直角三角形，标注直角符号（∠C = 90°），标注斜边 AB 和直角边 AC、BC，明确各部分名称。
注意事项：直角三角形只有一条斜边，两条直角边，斜边是直角三角形中最长的边。
幻灯片 4：直角三角形的性质（一）—— 两锐角互余
性质内容：直角三角形的两个锐角互余。即在 Rt△ABC 中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = 90°。
证明过程：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。
求证：∠A + ∠B = 90°。
证明：∵三角形内角和为 180°（三角形内角和定理），
∴∠A + ∠B + ∠C = 180°。
∵∠C = 90°（已知），
∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°。
因此，直角三角形的两个锐角互余。
实例应用：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 35°，则∠B = 90° - 35° = 55°。
拓展：若直角三角形的一个锐角是另一个锐角的 2 倍，则这两个锐角分别为 30° 和 60°（设较小锐角为 x，则 x + 2x = 90°，解得 x = 30°）。
幻灯片 5：直角三角形的性质（二）—— 斜边中线的性质
性质内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即在 Rt△ABC 中，若∠C = 90°，D 为 AB 的中点，则 CD = 1/2 AB。
证明过程：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，D 是 AB 的中点。
求证：CD = 1/2 AB。
证明：延长 CD 至点 E，使 DE = CD，连接 AE、BE。
∵D 是 AB 的中点，∴AD = BD。
又∵DE = CD，∠ADC = ∠BDE（对顶角相等），
∴△ADC≌△BDE（SAS）。
∴AC = BE，∠ACD = ∠E。
∴AC∥BE（内错角相等，两直线平行）。
∵∠ACB = 90°，∴∠CBE = 90°。
∴△ACB≌△EBC（SAS）。
∴AB = CE。
∵CD = 1/2 CE，∴CD = 1/2 AB。
图示：展示直角三角形及斜边上的中线，通过辅助线延长中线构造全等三角形，直观呈现证明思路。
实例应用：在 Rt△ABC 中，斜边 AB = 10cm，D 为 AB 中点，则 CD = 1/2 × 10 = 5cm。
幻灯片 6：直角三角形的判定（一）—— 定义判定
判定方法：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形。
操作步骤：
观察三角形中是否有一个角为 90°（可通过测量或已知条件判断）。
若存在一个角为 90°，则该三角形是直角三角形。
实例：在△ABC 中，∠A = 90°，则△ABC 是直角三角形，∠A 为直角，BC 为斜边。
注意事项：直角的判定可通过角的度数直接判断，也可通过垂直关系（如两条边互相垂直）判断，因为垂直的两条直线所成的角为 90°。
幻灯片 7：直角三角形的判定（二）—— 两角互余判定
判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形。即在△ABC 中，若∠A + ∠B = 90°，则∠C = 90°，△ABC 是直角三角形。
证明过程：
已知：在△ABC 中，∠A + ∠B = 90°。
求证：△ABC 是直角三角形（∠C = 90°）。
证明：∵三角形内角和为 180°（三角形内角和定理），
∴∠A + ∠B + ∠C = 180°。
∵∠A + ∠B = 90°（已知），
∴∠C = 180° - （∠A + ∠B） = 180° - 90° = 90°。
∴△ABC 是直角三角形。
实例应用：在△ABC 中，∠A = 30°，∠B = 60°，则∠A + ∠B = 90°，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角。
幻灯片 8：直角三角形的性质与判定综合应用
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 45°，斜边 AB = 6cm，求 AC 的长度。
解：∵在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 45°，
∴∠B = 90° - 45° = 45°（两锐角互余）。
∴AC = BC（等角对等边）。
设 AC = BC = x cm，由勾股定理得 AC + BC = AB ，
即 x + x = 6 ，2x = 36，x = 18，x = 3√2（cm）。
∴AC 的长度为 3√2 cm。
例题 2：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，且 CD = 1/2 AB，求证：△ABC 是直角三角形。
证明：∵CD 是 AB 边上的中线，∴AD = BD。
∵CD = 1/2 AB，∴AD = BD = CD。
∴∠A = ∠ACD，∠B = ∠BCD（等边对等角）。
∵∠A + ∠ACD + ∠B + ∠BCD = 180°（三角形内角和定理），
∴2∠ACD + 2∠BCD = 180°，∠ACD + ∠BCD = 90°，即∠ACB = 90°。
∴△ABC 是直角三角形。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：在应用直角三角形斜边中线性质时，误将直角边上的中线当作等于该直角边的一半。
规避方法：明确斜边中线的性质仅适用于斜边上的中线，直角边上的中线不具备这一性质，牢记 “斜边中线等于斜边一半” 的条件。
错误类型 2：判定直角三角形时，仅根据一个角是锐角就误认为是直角三角形，或忽略两角互余的条件。
规避方法：严格按照直角三角形的判定方法，要么存在一个 90° 的角，要么两个角互余，二者满足其一即可判定，避免主观臆断。
错误类型 3：在计算直角三角形角度时，忘记两锐角互余的性质，导致计算错误。
规避方法：遇到直角三角形角度计算问题，首先想到两锐角之和为 90°，利用这一性质建立角度之间的关系，确保计算正确。
错误类型 4：证明斜边中线性质时，辅助线添加错误或全等三角形判定依据不正确。
规避方法：证明斜边中线性质时，正确添加辅助线（延长中线至两倍长度），熟练运用全等三角形的判定定理（如 SAS）进行证明，确保推理过程严谨。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
直角三角形的性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形。
性质与判定是相互关联的，性质是基于直角三角形的特性得出的结论，判定是根据条件判断三角形是否为直角三角形。
运用性质与判定解决问题时，要结合图形和已知条件，灵活选择合适的方法。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，运用直角三角形性质计算角度和线段长度，判定三角形是否为直角三角形。
提升作业：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 5cm，求斜边 AB 的长度和斜边上的中线长度。
拓展作业：证明 “在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.3直角三角形的性质与判定
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？
不管是折叠，还是拼剪，最终都是把三个角拼在一起得到180°.
你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？
B
A
C
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？
B
A
C
B
A
C
1
2
∠1=∠C
∠2=∠B
探究
通过转换，把三角形的3个角拼到一起，形成一个平角.
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
B
A
C
2
1
证明：如图，过点A作直线l平行于BC，
则∠1=∠C，∠2=∠B，(两直线平行，内错角相等)
l
且∠1+∠2+∠BAC=180°.
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换)
你还有其它的证明方法吗？
探究
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
B
A
C
2
1
证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，
则CE∥BA.(同位角相等，两直线平行)
E
∴ ∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)
∵B、C、D在同一条直线上，(所作)
D
∴∠1+∠2+∠ACB=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.
探究
(虚线)
思考
★问题一：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.
由此你能得到什么结论？
直角三角形的两个锐角的和是90°.
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.
直角三角形的两锐角互余.
像这样，由基本
事实、定理直接得出的
真命题叫作推论.
推论 1：
思考
★问题二：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
在△ABC中，
(1)∠C=90°，∠A=30°，则∠B= ；
(2)∠A=50°，∠B=∠C，则∠B= ；
(3)∠A–∠C=25°，∠B–∠A=10°，则∠B= ；
(4)∠A+∠B=90°，则△ABC是 三角形.
做一做
60°
65°
75°
直角
全班作答
典型例题
例1 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：① DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°；
②∠A＝30°；
③ ∠FCD＝80°.
典型例题
例1 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°.
在△AEF中，∵∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
在△CDF中，∵∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∴∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.
还可以在△BDE中求∠D的大小.试一试吧！
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
典型例题
分析：要计算的是∠ADB的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：①∠BAC＝40°；
②∠B＝75°；
③由“AD是△ABC的角平分线”，易得∠CAD=∠BAD.
典型例题
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=40 °，
∴∠BAD=∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B–∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
知识点1 三角形内角和定理的证明
1. 在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，综合实践小
组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形
的内角和等于 ”的是( )
D
A. B. C. D.
返回
知识点2 直角三角形的性质
（第2题）
2. ［2025淮北第一中学期中］两个直角
三角板如图放置，则与 的度
数之和等于( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，已知 ， ，
垂足为 .则下列结论中一定正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025芜湖无为十校联考］如图，
，分别是 的高和角平分线，
若 ， ，则 的
度数为( )
A
A. B. C. D.
（第4题）
【点拨】 ， ，
.又
是 的角平分线，
. 是
的高，
.
.
返回
（第5题）
5. 如图，在中， ，点
，分别为，上一点，将
沿直线翻折至同一平面内，点 落在
点处，，分别交边于点 ，
.若 ，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】 ，
.由折
叠得 ，
.
，
. .
.故选A.
返回
三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：
三角形内角和定理推论1：
三角形的内角和等于180°.
直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和定理推论2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：13.2.3 直角三角形的性质与判定
副标题：探究直角三角形的特性与判定方法
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了三角形的基本概念、边和角的关系，以及证明的相关知识。直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，还具有独特的性质。同时，如何判定一个三角形是直角三角形也有特定的方法。本节课将深入学习直角三角形的性质与判定。
情境引入：在我们的生活中，直角三角形无处不在，如墙角、直角三角尺等。直角三角形有一个角是直角（90°），这个特殊的角使得它的边和角之间存在着特殊的关系。例如，直角三角形的两个锐角之间有什么关系？它的边之间是否存在特殊的数量关系？如何判断一个三角形是直角三角形？这些都是本节课要解决的问题。
学习目标：
掌握直角三角形的性质，包括两锐角互余、斜边中线的性质等。
学会直角三角形的判定方法，能根据条件判断三角形是否为直角三角形。
能运用直角三角形的性质与判定解决几何计算和证明问题。
进一步培养逻辑推理能力和几何直观能力。
幻灯片 3：直角三角形的定义与表示
定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
表示方法：直角三角形用符号 “Rt△” 表示，例如，有一个角为直角的三角形 ABC 记作 “Rt△ABC”，其中直角所对的边叫做斜边，另外两条边叫做直角边。在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，则 AB 为斜边，AC、BC 为直角边。
图示：展示一个直角三角形，标注直角符号（∠C = 90°），标注斜边 AB 和直角边 AC、BC，明确各部分名称。
注意事项：直角三角形只有一条斜边，两条直角边，斜边是直角三角形中最长的边。
幻灯片 4：直角三角形的性质（一）—— 两锐角互余
性质内容：直角三角形的两个锐角互余。即在 Rt△ABC 中，若∠C = 90°，则∠A + ∠B = 90°。
证明过程：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°。
求证：∠A + ∠B = 90°。
证明：∵三角形内角和为 180°（三角形内角和定理），
∴∠A + ∠B + ∠C = 180°。
∵∠C = 90°（已知），
∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°。
因此，直角三角形的两个锐角互余。
实例应用：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 35°，则∠B = 90° - 35° = 55°。
拓展：若直角三角形的一个锐角是另一个锐角的 2 倍，则这两个锐角分别为 30° 和 60°（设较小锐角为 x，则 x + 2x = 90°，解得 x = 30°）。
幻灯片 5：直角三角形的性质（二）—— 斜边中线的性质
性质内容：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。即在 Rt△ABC 中，若∠C = 90°，D 为 AB 的中点，则 CD = 1/2 AB。
证明过程：
已知：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，D 是 AB 的中点。
求证：CD = 1/2 AB。
证明：延长 CD 至点 E，使 DE = CD，连接 AE、BE。
∵D 是 AB 的中点，∴AD = BD。
又∵DE = CD，∠ADC = ∠BDE（对顶角相等），
∴△ADC≌△BDE（SAS）。
∴AC = BE，∠ACD = ∠E。
∴AC∥BE（内错角相等，两直线平行）。
∵∠ACB = 90°，∴∠CBE = 90°。
∴△ACB≌△EBC（SAS）。
∴AB = CE。
∵CD = 1/2 CE，∴CD = 1/2 AB。
图示：展示直角三角形及斜边上的中线，通过辅助线延长中线构造全等三角形，直观呈现证明思路。
实例应用：在 Rt△ABC 中，斜边 AB = 10cm，D 为 AB 中点，则 CD = 1/2 × 10 = 5cm。
幻灯片 6：直角三角形的判定（一）—— 定义判定
判定方法：有一个角是直角（90°）的三角形是直角三角形。
操作步骤：
观察三角形中是否有一个角为 90°（可通过测量或已知条件判断）。
若存在一个角为 90°，则该三角形是直角三角形。
实例：在△ABC 中，∠A = 90°，则△ABC 是直角三角形，∠A 为直角，BC 为斜边。
注意事项：直角的判定可通过角的度数直接判断，也可通过垂直关系（如两条边互相垂直）判断，因为垂直的两条直线所成的角为 90°。
幻灯片 7：直角三角形的判定（二）—— 两角互余判定
判定方法：有两个角互余的三角形是直角三角形。即在△ABC 中，若∠A + ∠B = 90°，则∠C = 90°，△ABC 是直角三角形。
证明过程：
已知：在△ABC 中，∠A + ∠B = 90°。
求证：△ABC 是直角三角形（∠C = 90°）。
证明：∵三角形内角和为 180°（三角形内角和定理），
∴∠A + ∠B + ∠C = 180°。
∵∠A + ∠B = 90°（已知），
∴∠C = 180° - （∠A + ∠B） = 180° - 90° = 90°。
∴△ABC 是直角三角形。
实例应用：在△ABC 中，∠A = 30°，∠B = 60°，则∠A + ∠B = 90°，所以△ABC 是直角三角形，∠C 为直角。
幻灯片 8：直角三角形的性质与判定综合应用
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 45°，斜边 AB = 6cm，求 AC 的长度。
解：∵在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 45°，
∴∠B = 90° - 45° = 45°（两锐角互余）。
∴AC = BC（等角对等边）。
设 AC = BC = x cm，由勾股定理得 AC + BC = AB ，
即 x + x = 6 ，2x = 36，x = 18，x = 3√2（cm）。
∴AC 的长度为 3√2 cm。
例题 2：如图，在△ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，且 CD = 1/2 AB，求证：△ABC 是直角三角形。
证明：∵CD 是 AB 边上的中线，∴AD = BD。
∵CD = 1/2 AB，∴AD = BD = CD。
∴∠A = ∠ACD，∠B = ∠BCD（等边对等角）。
∵∠A + ∠ACD + ∠B + ∠BCD = 180°（三角形内角和定理），
∴2∠ACD + 2∠BCD = 180°，∠ACD + ∠BCD = 90°，即∠ACB = 90°。
∴△ABC 是直角三角形。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：在应用直角三角形斜边中线性质时，误将直角边上的中线当作等于该直角边的一半。
规避方法：明确斜边中线的性质仅适用于斜边上的中线，直角边上的中线不具备这一性质，牢记 “斜边中线等于斜边一半” 的条件。
错误类型 2：判定直角三角形时，仅根据一个角是锐角就误认为是直角三角形，或忽略两角互余的条件。
规避方法：严格按照直角三角形的判定方法，要么存在一个 90° 的角，要么两个角互余，二者满足其一即可判定，避免主观臆断。
错误类型 3：在计算直角三角形角度时，忘记两锐角互余的性质，导致计算错误。
规避方法：遇到直角三角形角度计算问题，首先想到两锐角之和为 90°，利用这一性质建立角度之间的关系，确保计算正确。
错误类型 4：证明斜边中线性质时，辅助线添加错误或全等三角形判定依据不正确。
规避方法：证明斜边中线性质时，正确添加辅助线（延长中线至两倍长度），熟练运用全等三角形的判定定理（如 SAS）进行证明，确保推理过程严谨。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
直角三角形的性质：两锐角互余；斜边上的中线等于斜边的一半。
直角三角形的判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；有两个角互余的三角形是直角三角形。
性质与判定是相互关联的，性质是基于直角三角形的特性得出的结论，判定是根据条件判断三角形是否为直角三角形。
运用性质与判定解决问题时，要结合图形和已知条件，灵活选择合适的方法。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，运用直角三角形性质计算角度和线段长度，判定三角形是否为直角三角形。
提升作业：在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 5cm，求斜边 AB 的长度和斜边上的中线长度。
拓展作业：证明 “在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.3直角三角形的性质与判定
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？
不管是折叠，还是拼剪，最终都是把三个角拼在一起得到180°.
你现在知道怎么用证明的方法证明了吗？
B
A
C
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
分析：你通过拼剪、折叠、测量的过程中受到什么启发吗？
B
A
C
B
A
C
1
2
∠1=∠C
∠2=∠B
探究
通过转换，把三角形的3个角拼到一起，形成一个平角.
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
B
A
C
2
1
证明：如图，过点A作直线l平行于BC，
则∠1=∠C，∠2=∠B，(两直线平行，内错角相等)
l
且∠1+∠2+∠BAC=180°.
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.(等量代换)
你还有其它的证明方法吗？
探究
请你试着证明“三角形的内角和等于180°”
已知：△ABC，如图.
求证：∠A+ ∠B+∠C=180°.
B
A
C
2
1
证明：如图，延长BC到D，以点C为顶点、CD为一边作∠2=∠B，
则CE∥BA.(同位角相等，两直线平行)
E
∴ ∠A=∠1.(两直线平行，内错角相等)
∵B、C、D在同一条直线上，(所作)
D
∴∠1+∠2+∠ACB=180°.
∴∠A+∠B+∠ACB=∠1+∠2+∠ACB=180°.
为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线.
探究
(虚线)
思考
★问题一：在△ABC中，∠C=90°，求：∠A+∠B的度数.
由此你能得到什么结论？
直角三角形的两个锐角的和是90°.
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠C=90°，
∴ ∠A+∠B=180°–∠C=180°–90°=90°.
直角三角形的两锐角互余.
像这样，由基本
事实、定理直接得出的
真命题叫作推论.
推论 1：
思考
★问题二：在△ABC中，∠A+∠B=90°，求：∠C的度数.
由此你能得到什么结论？
解：在△ABC中，
根据三角形内角和定理，易得∠A+∠B +∠C=180°，
又∠A+∠B=90°，
∴ ∠C =180°–(∠A+∠B)=180°–90°=90°.
推论 2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
在△ABC中，
(1)∠C=90°，∠A=30°，则∠B= ；
(2)∠A=50°，∠B=∠C，则∠B= ；
(3)∠A–∠C=25°，∠B–∠A=10°，则∠B= ；
(4)∠A+∠B=90°，则△ABC是 三角形.
做一做
60°
65°
75°
直角
全班作答
典型例题
例1 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
分析：要计算的是∠D的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：① DE⊥AB，即∠DEB=∠FEA＝90°；
②∠A＝30°；
③ ∠FCD＝80°.
典型例题
例1 如图，在△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.
解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°.
在△AEF中，∵∠FEA＝90°，∠A＝30°，
∴∠AFE＝180°–∠FEA–∠A＝60°.
又∵∠CFD＝∠AFE，
∴∠CFD＝60°.
在△CDF中，∵∠CFD＝60°，∠FCD＝80°，
∴∠D＝180°–∠CFD–∠FCD＝40°.
还可以在△BDE中求∠D的大小.试一试吧！
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
典型例题
分析：要计算的是∠ADB的大小，只要知道它所在三角形中的其它两个角的和即可.
已知：①∠BAC＝40°；
②∠B＝75°；
③由“AD是△ABC的角平分线”，易得∠CAD=∠BAD.
典型例题
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC=40 °，
∴∠BAD=∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°–∠B–∠BAD
=180°–75°–20°
=85°.
知识点1 三角形内角和定理的证明
1. 在探究证明“三角形的内角和等于 ”时，综合实践小
组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形
的内角和等于 ”的是( )
D
A. B. C. D.
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知识点2 直角三角形的性质
（第2题）
2. ［2025淮北第一中学期中］两个直角
三角板如图放置，则与 的度
数之和等于( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，已知 ， ，
垂足为 .则下列结论中一定正确的是
( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025芜湖无为十校联考］如图，
，分别是 的高和角平分线，
若 ， ，则 的
度数为( )
A
A. B. C. D.
（第4题）
【点拨】 ， ，
.又
是 的角平分线，
. 是
的高，
.
.
返回
（第5题）
5. 如图，在中， ，点
，分别为，上一点，将
沿直线翻折至同一平面内，点 落在
点处，，分别交边于点 ，
.若 ，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.
（第5题）
【点拨】 ，
.由折
叠得 ，
.
，
. .
.故选A.
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三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理：
三角形内角和定理推论1：
三角形的内角和等于180°.
直角三角形的两锐角互余.
三角形内角和定理推论2：
有两个角互余的三角形是直角三角形.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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