13.2.4三角形外角的性质 课件（共26张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 13.2.4三角形外角的性质 课件（共26张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:25:31 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：13.2.4 三角形外角的性质
副标题：探究外角与内角的关系，掌握外角特性
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了三角形的内角、边的关系以及直角三角形的性质与判定。三角形除了内角外，还有外角，外角与内角之间存在着密切的联系。本节课将聚焦三角形外角的性质，深入探究外角的特点和应用。
情境引入：观察三角形的一边延长后形成的角，它与三角形的内角之间有什么关系？比如在△ABC 中，延长 BC 至点 D，形成的∠ACD 与△ABC 的内角∠A、∠B 有什么数量关系？通过本节课的学习，我们将揭开三角形外角的神秘面纱。
学习目标：
理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角。
掌握三角形外角的性质，包括外角与不相邻内角的关系等。
能运用三角形外角的性质解决几何计算和证明问题。
进一步培养观察、分析和逻辑推理能力。
幻灯片 3：三角形外角的定义
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
特征：
外角的顶点与三角形的一个顶点重合。
外角的一边是三角形的一条边。
外角的另一边是三角形另一条边的延长线。
图示：展示△ABC，延长 BC 至点 D，标注出∠ACD，说明∠ACD 是△ABC 的一个外角，顶点为 C，一边为 BC 的延长线 CD，另一边为 AC。
数量关系：一个三角形有 6 个外角，但每个顶点处的两个外角是对顶角，所以通常说一个三角形有 3 个外角（每个顶点处取一个外角）。
幻灯片 4：三角形外角的性质（一）—— 与相邻内角的关系
性质内容：三角形的一个外角与它相邻的内角互补，即它们的和等于 180°。
推理过程：在△ABC 中，∠ACD 是外角，与∠ACB 相邻。因为∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角的定义），所以三角形的外角与相邻内角互补。
实例应用：在△ABC 中，∠ACB = 60°，则与它相邻的外角∠ACD = 180° - 60° = 120°。
注意事项：外角与相邻内角互为邻补角，这是由平角的定义决定的，是外角的基本性质之一。
幻灯片 5：三角形外角的性质（二）—— 与不相邻内角的关系
性质内容：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。即在△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD = ∠A + ∠B。
证明过程：
已知：在△ABC 中，∠ACD 是外角。
求证：∠ACD = ∠A + ∠B。
证明：∵∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），
∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角的定义），
∴∠A + ∠B + ∠ACB = ∠ACB + ∠ACD（等量代换）。
∴∠ACD = ∠A + ∠B（等式的性质）。
图示：结合三角形图形，标注出∠ACD、∠A、∠B，直观展示外角等于不相邻两个内角之和的关系。
实例应用：在△ABC 中，∠A = 30°，∠B = 50°，则外角∠ACD = 30° + 50° = 80°。
幻灯片 6：三角形外角的性质（三）—— 外角与不相邻内角的大小关系
性质内容：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。即在△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。
推理过程：由性质二可知∠ACD = ∠A + ∠B，因为∠A 和∠B 都是正数（三角形内角大于 0° 小于 180°），所以∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。
实例应用：在△ABC 中，外角∠ACD = 100°，则∠A < 100°，∠B < 100°。
几何意义：该性质表明外角比与它不相邻的任何一个内角都大，在比较角的大小时非常有用。
幻灯片 7：三角形外角和定理
定理内容：三角形的外角和等于 360°（在三角形的每个顶点处取一个外角，三个外角的和）。
证明过程：
已知：在△ABC 中，∠1、∠2、∠3 是三个外角。
求证：∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°。
证明：∵∠1 = ∠ABC + ∠ACB（外角性质二），
∠2 = ∠BAC + ∠ACB（外角性质二），
∠3 = ∠BAC + ∠ABC（外角性质二），
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 2 (∠BAC + ∠ABC + ∠ACB)。
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 2×180° = 360°。
图示：画出三角形的三个外角，标注∠1、∠2、∠3，通过推理过程展示外角和为 360°。
注意事项：这里的外角和指的是每个顶点处取一个外角的和，不是所有 6 个外角的和。
幻灯片 8：三角形外角性质的应用实例
例题 1：在△ABC 中，∠B = 50°，∠C = 70°，求外角∠BAD 的度数。
解：∵∠BAD 是△ABC 的外角，
∴∠BAD = ∠B + ∠C（外角性质二）。
∵∠B = 50°，∠C = 70°，
∴∠BAD = 50° + 70° = 120°。
例题 2：如图，在△ABC 中，∠A = 40°，外角∠DBC = 100°，求∠C 的度数。
解：∵∠DBC 是△ABC 的外角，
∴∠DBC = ∠A + ∠C（外角性质二）。
∵∠DBC = 100°，∠A = 40°，
∴100° = 40° + ∠C，
∴∠C = 100° - 40° = 60°。
例题 3：证明三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
证明：∵∠ACD = ∠A + ∠B（外角性质二），
∠A > 0°，∠B > 0°（三角形内角的定义），
∴∠ACD = ∠A + ∠B > ∠A，
∠ACD = ∠A + ∠B > ∠B。
因此，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：对三角形外角的定义理解不清，误将内角的邻补角都当作外角，或混淆外角的顶点和边。
规避方法：明确外角的定义，即三角形的一边与另一边的延长线组成的角，牢记外角的顶点与三角形顶点重合，一边是三角形的边，另一边是延长线。
错误类型 2：应用外角性质二时，错误地认为外角等于相邻两个内角的和，而非不相邻的两个内角。
规避方法：牢记外角性质二的内容，外角等于与它不相邻的两个内角的和，通过画图明确哪些内角是不相邻的，避免混淆。
错误类型 3：计算三角形外角和时，错误地将 6 个外角的和当作 360°，忽略每个顶点处只取一个外角。
规避方法：明确三角形外角和的定义，是每个顶点处取一个外角的和为 360°，不是所有外角的和，理解证明过程中的逻辑。
错误类型 4：在证明或计算中，随意使用外角性质，没有正确的推理依据。
规避方法：应用外角性质时，要说明依据的是哪一条性质，确保推理过程有根有据，逻辑严谨。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
三角形外角的定义：一边与另一边延长线组成的角，每个顶点处有两个外角（对顶角）。
外角的性质：与相邻内角互补；等于不相邻两个内角的和；大于不相邻的任何一个内角。
外角和定理：三角形的外角和等于 360°（每个顶点处取一个外角）。
外角性质在角的计算和证明中有着广泛的应用，能帮助我们快速解决相关问题。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，运用外角性质计算角的度数，证明简单的角的关系。
提升作业：在△ABC 中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，求它的三个外角的度数。
拓展作业：证明 “三角形的外角和等于 360°”，并结合图形说明每个步骤的依据。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.4三角形外角的性质
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
在下图中，你能找到几个角(除了平角)？它们有什么区别？
A
B
C
1
2
有4个角：∠A，∠B，∠1，∠2.
其中∠A，∠B，∠1都在△ABC内部，都是△ABC的内角.
那∠2呢？
2
A
B
C
1
归纳
像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，
叫作三角形的外角.
如：∠2就是△ABC的一个外角.
①顶点在三角形的一个顶点上;
②一条边是三角形的一条边;
③另一条边是三角形的某条边的延长线.
特点：
画一个三角形，并画出它的所有外角.请你动手试一试，并想一想一个三角形的外角有多少个？
★一个三角形有6个外角.
操作
★每个顶点处有2个外角.
每个顶点处的两个外角有什么关系吗？
★每个顶点处的2个外角相等.
交流
如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.
A
B
C
D
提示：还记得我们证明三角形内角和
定理时是怎样添加辅助线的吗？
E
延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
∠ACD=∠A+∠B
证明：延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
则有∠B=∠ECD，(两直线平行，同位角相等)
∠A=∠ACE，(两直线平行，内错角相等)
又∠ECD+∠ACE=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠B.(等量代换)
归纳
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如：∠ACD=∠A+∠B.
A
B
C
D
这三个角之间还有其它的关系吗？
交流
如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.
A
B
C
D
∠ACD=∠A+∠B
这三个角之间还有其它的关系吗？
①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”)
②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”)
＞
＞
归纳
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
A
B
C
D
这个外角和它相邻的内角又有什么关系呢？
∠ACB+∠ACD=180°，即∠ACB与∠ACD互补.
求下列各图中∠α的度数.
做一做
α
120°
35°
α
45°
50
α
25°
35°
α
45°
20°
35°
∠α=85°
∠α=95°
∠α=60°
∠α=30°
典型例题
例 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
分析：要证的是∠1+∠2+∠3=360°.
已知：①∠1，∠2，∠3是△ABC的三
个外角；
②根据三角形内角和定理知道3个内角
的和是180°；
③三角形的每个外角等于与它不相邻
的两个内角的和.
B
A
C
1
2
3
证明：∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2=∠BAC+∠ACB，
∠3=∠BAC+∠ABC，
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，(三角形内角和定理)
∴∠1+∠2+∠3=360°.
典型例题
例 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
B
A
C
1
2
3
归纳
总结：三角形的外角和等于360°.
如：∠1+∠2+∠3=360°.
B
A
C
1
2
3
通常把一个三角形每个顶点处的一个外角的和叫作三角形的外角和.
抢答
随堂练习
B
A
C
D
E
1.填空：
1
110°
(1)如图，∠ABC= ，∠1= ；
(2)在直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是 .
50°
130°
60°
90°
抢答
随堂练习
2.如图，P是△ABC内任一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“＞”或“＜”表示∠A，∠1，∠2的大小关系，并说明理由.
解：∠1＞∠2＞∠A.
2
1
B
A
C
理由如下：
对于△ABD，∠2是它的一个外角，
D
P
又∠A是与∠2不相邻的一个内角，
∴∠2＞∠A.
对于△PCD，∠1是它的一个外角，
又∠2是与∠1不相邻的一个内角，
∴∠1＞∠2.
∴∠1＞∠2＞∠A.
知识点1 三角形外角的定义
（第1题）
1. 如图，点，分别在的边 ，
上，点在线段上.下列是 的
外角的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
知识点2 三角形外角的性质
（第2题）
2. ［2024巴中］如图，直线 ，一块
含有 的直角三角板按如图所示放置.
若 ，则 的大小为( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在中，平分 ，
，且分别交，，及
的延长线于点，，， ，若
， ，则 的度数
为( )
A
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】 ， ，
.
平分， .
，
.
. 故选A.
返回
（第4题）
4. ［2025宣城宣州区期中］如图，将一张三
角形纸片折叠，使点落在 处，折痕为
，若 ， ， ，
那么下列式子中正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
5.［2025安庆潜山期中联考］如图，是的边 上一
点，平分，， ，若
，求 的度数.
【解】平分， 设
. ，
. .
， ，
. .
.
返回
知识点3 三角形内、外角的关系
6. 如图，，， 的大小关系是( )
B
（第6题）
A. B.
C. D.
返回
（第7题）
7. 如图，已知在中， 是它的
一个外角，点为边上一点，点 在
边的延长线上，连接 ，则下列结
论中不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】根据三角形外角的性质可知, ,
,，而与 的大小无法判断.
返回
三角形的外角
三角形内角和定理推论3：
三角形内角和定理推论4：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：13.2.4 三角形外角的性质
副标题：探究外角与内角的关系，掌握外角特性
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了三角形的内角、边的关系以及直角三角形的性质与判定。三角形除了内角外，还有外角，外角与内角之间存在着密切的联系。本节课将聚焦三角形外角的性质，深入探究外角的特点和应用。
情境引入：观察三角形的一边延长后形成的角，它与三角形的内角之间有什么关系？比如在△ABC 中，延长 BC 至点 D，形成的∠ACD 与△ABC 的内角∠A、∠B 有什么数量关系？通过本节课的学习，我们将揭开三角形外角的神秘面纱。
学习目标：
理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角。
掌握三角形外角的性质，包括外角与不相邻内角的关系等。
能运用三角形外角的性质解决几何计算和证明问题。
进一步培养观察、分析和逻辑推理能力。
幻灯片 3：三角形外角的定义
定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。
特征：
外角的顶点与三角形的一个顶点重合。
外角的一边是三角形的一条边。
外角的另一边是三角形另一条边的延长线。
图示：展示△ABC，延长 BC 至点 D，标注出∠ACD，说明∠ACD 是△ABC 的一个外角，顶点为 C，一边为 BC 的延长线 CD，另一边为 AC。
数量关系：一个三角形有 6 个外角，但每个顶点处的两个外角是对顶角，所以通常说一个三角形有 3 个外角（每个顶点处取一个外角）。
幻灯片 4：三角形外角的性质（一）—— 与相邻内角的关系
性质内容：三角形的一个外角与它相邻的内角互补，即它们的和等于 180°。
推理过程：在△ABC 中，∠ACD 是外角，与∠ACB 相邻。因为∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角的定义），所以三角形的外角与相邻内角互补。
实例应用：在△ABC 中，∠ACB = 60°，则与它相邻的外角∠ACD = 180° - 60° = 120°。
注意事项：外角与相邻内角互为邻补角，这是由平角的定义决定的，是外角的基本性质之一。
幻灯片 5：三角形外角的性质（二）—— 与不相邻内角的关系
性质内容：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。即在△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD = ∠A + ∠B。
证明过程：
已知：在△ABC 中，∠ACD 是外角。
求证：∠ACD = ∠A + ∠B。
证明：∵∠A + ∠B + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），
∠ACB + ∠ACD = 180°（邻补角的定义），
∴∠A + ∠B + ∠ACB = ∠ACB + ∠ACD（等量代换）。
∴∠ACD = ∠A + ∠B（等式的性质）。
图示：结合三角形图形，标注出∠ACD、∠A、∠B，直观展示外角等于不相邻两个内角之和的关系。
实例应用：在△ABC 中，∠A = 30°，∠B = 50°，则外角∠ACD = 30° + 50° = 80°。
幻灯片 6：三角形外角的性质（三）—— 外角与不相邻内角的大小关系
性质内容：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。即在△ABC 中，∠ACD 是外角，则∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。
推理过程：由性质二可知∠ACD = ∠A + ∠B，因为∠A 和∠B 都是正数（三角形内角大于 0° 小于 180°），所以∠ACD > ∠A，∠ACD > ∠B。
实例应用：在△ABC 中，外角∠ACD = 100°，则∠A < 100°，∠B < 100°。
几何意义：该性质表明外角比与它不相邻的任何一个内角都大，在比较角的大小时非常有用。
幻灯片 7：三角形外角和定理
定理内容：三角形的外角和等于 360°（在三角形的每个顶点处取一个外角，三个外角的和）。
证明过程：
已知：在△ABC 中，∠1、∠2、∠3 是三个外角。
求证：∠1 + ∠2 + ∠3 = 360°。
证明：∵∠1 = ∠ABC + ∠ACB（外角性质二），
∠2 = ∠BAC + ∠ACB（外角性质二），
∠3 = ∠BAC + ∠ABC（外角性质二），
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 2 (∠BAC + ∠ABC + ∠ACB)。
∵∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°（三角形内角和定理），
∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 2×180° = 360°。
图示：画出三角形的三个外角，标注∠1、∠2、∠3，通过推理过程展示外角和为 360°。
注意事项：这里的外角和指的是每个顶点处取一个外角的和，不是所有 6 个外角的和。
幻灯片 8：三角形外角性质的应用实例
例题 1：在△ABC 中，∠B = 50°，∠C = 70°，求外角∠BAD 的度数。
解：∵∠BAD 是△ABC 的外角，
∴∠BAD = ∠B + ∠C（外角性质二）。
∵∠B = 50°，∠C = 70°，
∴∠BAD = 50° + 70° = 120°。
例题 2：如图，在△ABC 中，∠A = 40°，外角∠DBC = 100°，求∠C 的度数。
解：∵∠DBC 是△ABC 的外角，
∴∠DBC = ∠A + ∠C（外角性质二）。
∵∠DBC = 100°，∠A = 40°，
∴100° = 40° + ∠C，
∴∠C = 100° - 40° = 60°。
例题 3：证明三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
证明：∵∠ACD = ∠A + ∠B（外角性质二），
∠A > 0°，∠B > 0°（三角形内角的定义），
∴∠ACD = ∠A + ∠B > ∠A，
∠ACD = ∠A + ∠B > ∠B。
因此，三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
幻灯片 9：常见错误分析与规避
错误类型 1：对三角形外角的定义理解不清，误将内角的邻补角都当作外角，或混淆外角的顶点和边。
规避方法：明确外角的定义，即三角形的一边与另一边的延长线组成的角，牢记外角的顶点与三角形顶点重合，一边是三角形的边，另一边是延长线。
错误类型 2：应用外角性质二时，错误地认为外角等于相邻两个内角的和，而非不相邻的两个内角。
规避方法：牢记外角性质二的内容，外角等于与它不相邻的两个内角的和，通过画图明确哪些内角是不相邻的，避免混淆。
错误类型 3：计算三角形外角和时，错误地将 6 个外角的和当作 360°，忽略每个顶点处只取一个外角。
规避方法：明确三角形外角和的定义，是每个顶点处取一个外角的和为 360°，不是所有外角的和，理解证明过程中的逻辑。
错误类型 4：在证明或计算中，随意使用外角性质，没有正确的推理依据。
规避方法：应用外角性质时，要说明依据的是哪一条性质，确保推理过程有根有据，逻辑严谨。
幻灯片 10：课堂总结与作业布置
课堂总结：
三角形外角的定义：一边与另一边延长线组成的角，每个顶点处有两个外角（对顶角）。
外角的性质：与相邻内角互补；等于不相邻两个内角的和；大于不相邻的任何一个内角。
外角和定理：三角形的外角和等于 360°（每个顶点处取一个外角）。
外角性质在角的计算和证明中有着广泛的应用，能帮助我们快速解决相关问题。
作业布置：
基础作业：教材对应练习题 [具体页码和题号]，运用外角性质计算角的度数，证明简单的角的关系。
提升作业：在△ABC 中，∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4，求它的三个外角的度数。
拓展作业：证明 “三角形的外角和等于 360°”，并结合图形说明每个步骤的依据。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.2.4三角形外角的性质
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
在下图中，你能找到几个角(除了平角)？它们有什么区别？
A
B
C
1
2
有4个角：∠A，∠B，∠1，∠2.
其中∠A，∠B，∠1都在△ABC内部，都是△ABC的内角.
那∠2呢？
2
A
B
C
1
归纳
像这样由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，
叫作三角形的外角.
如：∠2就是△ABC的一个外角.
①顶点在三角形的一个顶点上;
②一条边是三角形的一条边;
③另一条边是三角形的某条边的延长线.
特点：
画一个三角形，并画出它的所有外角.请你动手试一试，并想一想一个三角形的外角有多少个？
★一个三角形有6个外角.
操作
★每个顶点处有2个外角.
每个顶点处的两个外角有什么关系吗？
★每个顶点处的2个外角相等.
交流
如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.
A
B
C
D
提示：还记得我们证明三角形内角和
定理时是怎样添加辅助线的吗？
E
延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
∠ACD=∠A+∠B
证明：延长BC至D点，并过点C作CE∥AB.
则有∠B=∠ECD，(两直线平行，同位角相等)
∠A=∠ACE，(两直线平行，内错角相等)
又∠ECD+∠ACE=∠ACD，
∴∠ACD=∠A+∠B.(等量代换)
归纳
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
如：∠ACD=∠A+∠B.
A
B
C
D
这三个角之间还有其它的关系吗？
交流
如图，△ABC的外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B有怎样的关系？尝试给出证明，并与同学交流.
A
B
C
D
∠ACD=∠A+∠B
这三个角之间还有其它的关系吗？
①∠ACD ∠A(填“＞”“＜”)
②∠ACD ∠B(填“＞”“＜”)
＞
＞
归纳
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
A
B
C
D
这个外角和它相邻的内角又有什么关系呢？
∠ACB+∠ACD=180°，即∠ACB与∠ACD互补.
求下列各图中∠α的度数.
做一做
α
120°
35°
α
45°
50
α
25°
35°
α
45°
20°
35°
∠α=85°
∠α=95°
∠α=60°
∠α=30°
典型例题
例 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
分析：要证的是∠1+∠2+∠3=360°.
已知：①∠1，∠2，∠3是△ABC的三
个外角；
②根据三角形内角和定理知道3个内角
的和是180°；
③三角形的每个外角等于与它不相邻
的两个内角的和.
B
A
C
1
2
3
证明：∠1=∠ABC+∠ACB，
∠2=∠BAC+∠ACB，
∠3=∠BAC+∠ABC，
(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠1+∠2+∠3=2(∠ABC+∠ACB+∠BAC).(等式性质)
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，(三角形内角和定理)
∴∠1+∠2+∠3=360°.
典型例题
例 已知：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角.
求证：∠1+∠2+∠3=360°.
B
A
C
1
2
3
归纳
总结：三角形的外角和等于360°.
如：∠1+∠2+∠3=360°.
B
A
C
1
2
3
通常把一个三角形每个顶点处的一个外角的和叫作三角形的外角和.
抢答
随堂练习
B
A
C
D
E
1.填空：
1
110°
(1)如图，∠ABC= ，∠1= ；
(2)在直角三角形中，与直角相邻的外角的度数是 .
50°
130°
60°
90°
抢答
随堂练习
2.如图，P是△ABC内任一点，连接BP并延长交AC于点D，连接CP，用不等号“＞”或“＜”表示∠A，∠1，∠2的大小关系，并说明理由.
解：∠1＞∠2＞∠A.
2
1
B
A
C
理由如下：
对于△ABD，∠2是它的一个外角，
D
P
又∠A是与∠2不相邻的一个内角，
∴∠2＞∠A.
对于△PCD，∠1是它的一个外角，
又∠2是与∠1不相邻的一个内角，
∴∠1＞∠2.
∴∠1＞∠2＞∠A.
知识点1 三角形外角的定义
（第1题）
1. 如图，点，分别在的边 ，
上，点在线段上.下列是 的
外角的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
知识点2 三角形外角的性质
（第2题）
2. ［2024巴中］如图，直线 ，一块
含有 的直角三角板按如图所示放置.
若 ，则 的大小为( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在中，平分 ，
，且分别交，，及
的延长线于点，，， ，若
， ，则 的度数
为( )
A
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】 ， ，
.
平分， .
，
.
. 故选A.
返回
（第4题）
4. ［2025宣城宣州区期中］如图，将一张三
角形纸片折叠，使点落在 处，折痕为
，若 ， ， ，
那么下列式子中正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
5.［2025安庆潜山期中联考］如图，是的边 上一
点，平分，， ，若
，求 的度数.
【解】平分， 设
. ，
. .
， ，
. .
.
返回
知识点3 三角形内、外角的关系
6. 如图，，， 的大小关系是( )
B
（第6题）
A. B.
C. D.
返回
（第7题）
7. 如图，已知在中， 是它的
一个外角，点为边上一点，点 在
边的延长线上，连接 ，则下列结
论中不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
【点拨】根据三角形外角的性质可知, ,
,，而与 的大小无法判断.
返回
三角形的外角
三角形内角和定理推论3：
三角形内角和定理推论4：
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
三角形的外角和：
三角形的外角和等于360°.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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