15.2 线段的垂直平分线 课件（共26张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 15.2 线段的垂直平分线 课件（共26张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:34:17 | ||
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文档简介
(共26张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.2 线段的垂直平分线
副标题：探究线段垂直平分线的性质与判定
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学面直角坐标系中的轴对称图形，知道了点关于坐标轴对称的坐标变化规律。在轴对称图形中，对称轴是对应点连线的垂直平分线，那么线段的垂直平分线有哪些特殊的性质呢？本节课将深入研究线段的垂直平分线。
情境引入：如图，在公路旁有 A、B 两个村庄，现要在公路上建一个公交站点，使站点到 A、B 两村的距离相等，这个站点应建在何处？通过本节课的学习，我们将利用线段垂直平分线的知识解决这个问题。
学习目标：
理解线段垂直平分线的定义，会用尺规作图法作线段的垂直平分线。
掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题和几何证明题。
体会数形结合思想，培养几何推理能力。
幻灯片 3：线段垂直平分线的定义与画法
定义讲解：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。如图，直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l⊥AB，则直线 l 就是线段 AB 的垂直平分线。
尺规作图步骤：
分别以点 A、B 为圆心，大于 AB 一半的长为半径画弧，两弧相交于点 C、D。
过点 C、D 作直线 CD，直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
动画演示：通过动画分步展示作图过程，强调 “大于 AB 一半的长为半径” 的原因是确保两弧能相交，使作出的直线经过中点且垂直于线段。
互动提问：让学生尝试用尺规作出一条已知线段的垂直平分线，教师巡视指导，纠正不规范操作。
幻灯片 4：线段垂直平分线的性质定理
探究活动：在直线 l（线段 AB 的垂直平分线）上任意取一点 P，连接 PA、PB，测量 PA 和 PB 的长度，比较它们的大小。换另一点 P'，重复操作，观察 PA 与 PB、P'A 与 P'B 的关系。
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。即如果点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，那么 PA = PB。
定理证明：
已知：直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，O 是 AB 的中点，l⊥AB，点 P 在 l 上。
求证：PA = PB。
证明：∵l 是 AB 的垂直平分线（已知），
∴AO = BO（中点定义），∠POA = ∠POB = 90°（垂直定义）。
在△POA 和△POB 中，
AO = BO（已证），
∠POA = ∠POB（已证），
PO = PO（公共边），
∴△POA≌△POB（SAS）。
∴PA = PB（全等三角形对应边相等）。
图示理解：在图形中标注相关线段和角度，结合证明过程，让学生直观理解性质定理的由来。
幻灯片 5：线段垂直平分线性质定理的应用（一）
例题 1：如图，在△ABC 中，AB = AC = 8cm，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，若△BCD 的周长为 10cm，求 BC 的长。
分析：根据线段垂直平分线的性质，点 D 在 AB 的垂直平分线上，所以 AD = BD。△BCD 的周长 = BC + CD + BD = BC + CD + AD = BC + AC，由此可求出 BC 的长。
解答过程：∵DE 是 AB 的垂直平分线（已知），
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等）。
∵△BCD 的周长为 10cm，
∴BC + CD + BD = 10cm。
∴BC + CD + AD = 10cm，即 BC + AC = 10cm。
∵AC = 8cm，
∴BC = 10 - 8 = 2cm。
幻灯片 6：线段垂直平分线的判定定理
思考问题：反过来，如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点是否一定在线段的垂直平分线上呢？
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。即如果 PA = PB，那么点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
定理证明：
已知：PA = PB。
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
证明：过点 P 作 PO⊥AB 于点 O，则∠POA = ∠POB = 90°。
在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，
PA = PB（已知），
PO = PO（公共边），
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）。
∴AO = BO（全等三角形对应边相等）。
∴PO 是 AB 的垂直平分线（线段垂直平分线定义），即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
理解拓展：判定定理是性质定理的逆定理，它为判断一个点是否在线段的垂直平分线上提供了依据。
幻灯片 7：线段垂直平分线判定定理的应用（二）
例题 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，求证：AD 所在直线是 BC 的垂直平分线。
分析：要证明 AD 所在直线是 BC 的垂直平分线，只需证明点 A 和点 D 都在线段 BC 的垂直平分线上，即证明 AB = AC，DB = DC。
证明：∵AB = AC（已知），
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上）。
∵D 是 BC 的中点（已知），
∴DB = DC（中点定义）。
∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上）。
∴AD 所在直线是 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）。
幻灯片 8：三角形三边垂直平分线的性质
探究活动：作出△ABC 三边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，它们是否交于一点？测量该交点到三个顶点的距离，你发现了什么？
性质总结：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。这个点叫做三角形的外心。
图示说明：在△ABC 中，画出 AB、BC、AC 的垂直平分线，交于点 O，连接 OA、OB、OC，通过测量得出 OA = OB = OC，验证性质的正确性。
应用提示：三角形外心的这一性质在几何作图和计算中有着重要应用，如求到三角形三个顶点距离相等的点等。
幻灯片 9：综合应用实例（三）
例题 3：如图，某公司要在三个居民区 A、B、C 之间建一个物流中心，使物流中心到三个居民区的距离相等，物流中心应建在何处？请作出位置。
分析：根据三角形三边垂直平分线的性质，到 A、B、C 三点距离相等的点是△ABC 三边垂直平分线的交点，即外心。
作图步骤：
连接 AB、BC、AC，构成△ABC。
分别作出 AB、BC 的垂直平分线，交于点 O。
点 O 就是所求物流中心的位置。
原理说明：因为点 O 在 AB 的垂直平分线上，所以 OA = OB；点 O 在 BC 的垂直平分线上，所以 OB = OC，因此 OA = OB = OC，满足到三个居民区距离相等的要求。
幻灯片 10：课堂练习（一）—— 性质与判定应用
题目 1：如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3cm，△ABD 的周长为 13cm，求△ABC 的周长。
题目 2：如图，点 P 在∠AOB 的内部，且 PA = PB，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，求证：PD = PE。
学生解答：学生独立完成，教师对解题思路进行点拨，强调性质定理和判定定理的灵活运用。
幻灯片 11：课堂练习（二）—— 作图与综合应用
题目 1：用尺规作图的方法，作出△ABC 的外心 O，并验证 OA = OB = OC。
题目 2：如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CB = CD，求证：AC 垂直平分 BD。
实践操作与证明：学生完成作图和证明过程，教师展示优秀解答，点评易错点，如证明过程中条件的完整性、作图的规范性等。
幻灯片 12：课堂总结
知识梳理：回顾线段垂直平分线的定义、尺规作图方法，总结性质定理（线段垂直平分线上的点到两端点距离相等）和判定定理（到两端点距离相等的点在线段垂直平分线上），以及三角形三边垂直平分线交于一点且到三顶点距离相等的性质。
方法归纳：解决与线段垂直平分线相关的问题，要善于利用性质定理实现线段相等的转化，利用判定定理判断点的位置关系，结合尺规作图辅助解题，体现数形结合思想。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练运用线段垂直平分线的知识解决距离相等问题、几何证明题和实际应用问题，提高几何推理和作图能力。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固线段垂直平分线的性质、判定及作图方法。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，已知△BCE 的周长为 8cm，AC - BC = 2cm，求 AB 和 BC 的长。
拓展作业：探究如何利用线段垂直平分线的知识解决 “将军饮马” 问题的变形，即在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 的值最小（A、B 在直线 l 的两侧），写出解题思路并作图说明。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.2 线段的垂直平分线
第15章 轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
用量角器与有刻度的直尺作图，用量角器测量角度，用直尺测量长度.
尺规作图是指只使用圆规和无刻度的直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.圆规用于截取线段的长度，无刻度的直尺用于连线.之前我们已经学过用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角.
线段垂直平分线
阅读教材，解决下列问题.
1.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等 .
相等
2.到线段两个端点的距离相等的点在线段的 垂直平分线上.
垂直平分线
学法指导:要得到已知线段AB的垂直平分线，我们可以用折纸的方法，也可以用尺规作图的方法.尺规作垂直平分线的相关的证明可以在学习了菱形的知识之后，轻松得到.
三角形三边垂直平分线的性质
阅读教材本课时“例？”的相关内容，解决下列问题.
1.结论:(1)三角形三边的垂直平分线相交于 一 点，(2)该点到三角形三个 顶点 的距离 相等 .
2.三角形的三条中线交于一点，三条高线交于一点，三条角平分线交于一点，三边的垂直平分线也交于 一 点.
一
顶点
相等
一
1.如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连接CD.若∠A＝50°，则∠BDC的大小为( B )
A.90° B.100° C.120° D.130°
B
2. 如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是 16 .
16
线段垂直平分线的应用
1. 如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AB于点D，交AC于点E.则下面结论正确的是( B )
A.AB＝AC B.AC＞BC
C.AC＝BC D.AC＜BC
B
【变式训练】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为13，BC＝6，则AB的长为 7 .
7
作线段的垂直平分线
2. 如图，AB是一条长途汽车经过的公路，C、D是公路旁的村庄，现在要在公路上设一个长途汽车站，要求这个车站到两个村庄的距离相等，请找出这个车站的位置.
解:连接CD，作线段CD的垂直平分线交直线AB于O点，O点便是长途汽车站的位置.
线段垂直平分线的相关证明
3.已知:AF平分∠BAC，P是AF上任意一点，过点P分别向AB，AC作垂线PD，PE，D、E分别为垂足，连接DE.求证:AF垂直平分DE.
证明:∵AF平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
∵PE⊥AC于点E，PD⊥AB于点D，
∴∠AEP＝∠ADP＝90°.
又∵AP＝AP，∴△APE≌△APD(AAS)，
∴AE＝AD，PE＝PD，
∴P、A两点都在DE的垂直平分线上，
∴AF垂直平分DE.
【方法归纳交流】在证明某直线是一条线段的垂直平分线时，可根据定义证明该直线垂直平分这条线段，也可证明直线上有不同的两点与这条线段两端的距离分别相等.
1.如图，在四边形OMTN中，OM＝ON，TM＝TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.试探究筝形的对角线之间的位置关系，并证明你的结论.
解:筝形的对角线互相垂直，即OT⊥MN.
证明:如图，
∵OM＝ON，TM＝TN，
∴点O和T都在MN的垂直平分线上，
∴OT是MN的垂直平分线，即OT⊥MN.
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，O是AB、BC的垂直平分线的交点，求∠BOC的度数.
解:∵O是AB、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OC，
∴点O也在线段AC的垂直平分线上，
即△OAB、△OBC、 △OAC都是轴对称图形，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠8，∠2＝∠7，
∴∠BOC＝∠5＋∠6＝∠3＋∠1＋∠2＋∠7＝2(∠1＋∠2)
＝2∠BAC＝116°.
知识点1 线段的垂直平分线的性质
（第1题）
1. 如图，在四边形 中，
垂直平分，垂足为 ，下列结论不一定成
立的是( )
C
A. B. 平分
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，在 中，
，，分别以点， 为圆
心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点
，，过点，作直线交于点 ，连接
，则 的周长为( )
C
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
返回
（第3题）
3.如图，在中， 的垂直平分线交
于点,交于点,连接 .若
, ,则 的度数为
____.
【点拨】 ,
, .垂直平分 ，
， .
, .
,
返回
知识点2 线段的垂直平分线的判定
4. 如图，， ，则有( )
A
（第4题）
A. 垂直平分
B. 垂直平分
C. 与 互相垂直平分
D. 以上都不正确
【点拨】，，垂直平分 .
返回
5. 如图，点在的边上，且，则点
在某一线段的垂直平分线上.这条线段是( )
B
A. B. C. D. 不确定
【点拨】，， 点
在 的垂直平分线上.
返回
6. 已知在同一平面内，,是线段外的两点, ,
,点在直线上.若,则 的长为( )
B
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 25
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：15.2 线段的垂直平分线
副标题：探究线段垂直平分线的性质与判定
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学面直角坐标系中的轴对称图形，知道了点关于坐标轴对称的坐标变化规律。在轴对称图形中，对称轴是对应点连线的垂直平分线，那么线段的垂直平分线有哪些特殊的性质呢？本节课将深入研究线段的垂直平分线。
情境引入：如图，在公路旁有 A、B 两个村庄，现要在公路上建一个公交站点，使站点到 A、B 两村的距离相等，这个站点应建在何处？通过本节课的学习，我们将利用线段垂直平分线的知识解决这个问题。
学习目标：
理解线段垂直平分线的定义，会用尺规作图法作线段的垂直平分线。
掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理。
能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题和几何证明题。
体会数形结合思想，培养几何推理能力。
幻灯片 3：线段垂直平分线的定义与画法
定义讲解：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。如图，直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l⊥AB，则直线 l 就是线段 AB 的垂直平分线。
尺规作图步骤：
分别以点 A、B 为圆心，大于 AB 一半的长为半径画弧，两弧相交于点 C、D。
过点 C、D 作直线 CD，直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线。
动画演示：通过动画分步展示作图过程，强调 “大于 AB 一半的长为半径” 的原因是确保两弧能相交，使作出的直线经过中点且垂直于线段。
互动提问：让学生尝试用尺规作出一条已知线段的垂直平分线，教师巡视指导，纠正不规范操作。
幻灯片 4：线段垂直平分线的性质定理
探究活动：在直线 l（线段 AB 的垂直平分线）上任意取一点 P，连接 PA、PB，测量 PA 和 PB 的长度，比较它们的大小。换另一点 P'，重复操作，观察 PA 与 PB、P'A 与 P'B 的关系。
性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。即如果点 P 在线段 AB 的垂直平分线上，那么 PA = PB。
定理证明：
已知：直线 l 是线段 AB 的垂直平分线，O 是 AB 的中点，l⊥AB，点 P 在 l 上。
求证：PA = PB。
证明：∵l 是 AB 的垂直平分线（已知），
∴AO = BO（中点定义），∠POA = ∠POB = 90°（垂直定义）。
在△POA 和△POB 中，
AO = BO（已证），
∠POA = ∠POB（已证），
PO = PO（公共边），
∴△POA≌△POB（SAS）。
∴PA = PB（全等三角形对应边相等）。
图示理解：在图形中标注相关线段和角度，结合证明过程，让学生直观理解性质定理的由来。
幻灯片 5：线段垂直平分线性质定理的应用（一）
例题 1：如图，在△ABC 中，AB = AC = 8cm，AB 的垂直平分线交 AC 于点 D，交 AB 于点 E，连接 BD，若△BCD 的周长为 10cm，求 BC 的长。
分析：根据线段垂直平分线的性质，点 D 在 AB 的垂直平分线上，所以 AD = BD。△BCD 的周长 = BC + CD + BD = BC + CD + AD = BC + AC，由此可求出 BC 的长。
解答过程：∵DE 是 AB 的垂直平分线（已知），
∴AD = BD（线段垂直平分线上的点与线段两端点距离相等）。
∵△BCD 的周长为 10cm，
∴BC + CD + BD = 10cm。
∴BC + CD + AD = 10cm，即 BC + AC = 10cm。
∵AC = 8cm，
∴BC = 10 - 8 = 2cm。
幻灯片 6：线段垂直平分线的判定定理
思考问题：反过来，如果一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点是否一定在线段的垂直平分线上呢？
判定定理：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。即如果 PA = PB，那么点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
定理证明：
已知：PA = PB。
求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
证明：过点 P 作 PO⊥AB 于点 O，则∠POA = ∠POB = 90°。
在 Rt△POA 和 Rt△POB 中，
PA = PB（已知），
PO = PO（公共边），
∴Rt△POA≌Rt△POB（HL）。
∴AO = BO（全等三角形对应边相等）。
∴PO 是 AB 的垂直平分线（线段垂直平分线定义），即点 P 在线段 AB 的垂直平分线上。
理解拓展：判定定理是性质定理的逆定理，它为判断一个点是否在线段的垂直平分线上提供了依据。
幻灯片 7：线段垂直平分线判定定理的应用（二）
例题 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点，求证：AD 所在直线是 BC 的垂直平分线。
分析：要证明 AD 所在直线是 BC 的垂直平分线，只需证明点 A 和点 D 都在线段 BC 的垂直平分线上，即证明 AB = AC，DB = DC。
证明：∵AB = AC（已知），
∴点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上）。
∵D 是 BC 的中点（已知），
∴DB = DC（中点定义）。
∴点 D 在线段 BC 的垂直平分线上（与线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上）。
∴AD 所在直线是 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）。
幻灯片 8：三角形三边垂直平分线的性质
探究活动：作出△ABC 三边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，它们是否交于一点？测量该交点到三个顶点的距离，你发现了什么？
性质总结：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。这个点叫做三角形的外心。
图示说明：在△ABC 中，画出 AB、BC、AC 的垂直平分线，交于点 O，连接 OA、OB、OC，通过测量得出 OA = OB = OC，验证性质的正确性。
应用提示：三角形外心的这一性质在几何作图和计算中有着重要应用，如求到三角形三个顶点距离相等的点等。
幻灯片 9：综合应用实例（三）
例题 3：如图，某公司要在三个居民区 A、B、C 之间建一个物流中心，使物流中心到三个居民区的距离相等，物流中心应建在何处？请作出位置。
分析：根据三角形三边垂直平分线的性质，到 A、B、C 三点距离相等的点是△ABC 三边垂直平分线的交点，即外心。
作图步骤：
连接 AB、BC、AC，构成△ABC。
分别作出 AB、BC 的垂直平分线，交于点 O。
点 O 就是所求物流中心的位置。
原理说明：因为点 O 在 AB 的垂直平分线上，所以 OA = OB；点 O 在 BC 的垂直平分线上，所以 OB = OC，因此 OA = OB = OC，满足到三个居民区距离相等的要求。
幻灯片 10：课堂练习（一）—— 性质与判定应用
题目 1：如图，在△ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，AE = 3cm，△ABD 的周长为 13cm，求△ABC 的周长。
题目 2：如图，点 P 在∠AOB 的内部，且 PA = PB，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，求证：PD = PE。
学生解答：学生独立完成，教师对解题思路进行点拨，强调性质定理和判定定理的灵活运用。
幻灯片 11：课堂练习（二）—— 作图与综合应用
题目 1：用尺规作图的方法，作出△ABC 的外心 O，并验证 OA = OB = OC。
题目 2：如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CB = CD，求证：AC 垂直平分 BD。
实践操作与证明：学生完成作图和证明过程，教师展示优秀解答，点评易错点，如证明过程中条件的完整性、作图的规范性等。
幻灯片 12：课堂总结
知识梳理：回顾线段垂直平分线的定义、尺规作图方法，总结性质定理（线段垂直平分线上的点到两端点距离相等）和判定定理（到两端点距离相等的点在线段垂直平分线上），以及三角形三边垂直平分线交于一点且到三顶点距离相等的性质。
方法归纳：解决与线段垂直平分线相关的问题，要善于利用性质定理实现线段相等的转化，利用判定定理判断点的位置关系，结合尺规作图辅助解题，体现数形结合思想。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练运用线段垂直平分线的知识解决距离相等问题、几何证明题和实际应用问题，提高几何推理和作图能力。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固线段垂直平分线的性质、判定及作图方法。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，已知△BCE 的周长为 8cm，AC - BC = 2cm，求 AB 和 BC 的长。
拓展作业：探究如何利用线段垂直平分线的知识解决 “将军饮马” 问题的变形，即在直线 l 上找一点 P，使 PA + PB 的值最小（A、B 在直线 l 的两侧），写出解题思路并作图说明。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.2 线段的垂直平分线
第15章 轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
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i
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用量角器与有刻度的直尺作图，用量角器测量角度，用直尺测量长度.
尺规作图是指只使用圆规和无刻度的直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.圆规用于截取线段的长度，无刻度的直尺用于连线.之前我们已经学过用尺规作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角.
线段垂直平分线
阅读教材，解决下列问题.
1.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离 相等 .
相等
2.到线段两个端点的距离相等的点在线段的 垂直平分线上.
垂直平分线
学法指导:要得到已知线段AB的垂直平分线，我们可以用折纸的方法，也可以用尺规作图的方法.尺规作垂直平分线的相关的证明可以在学习了菱形的知识之后，轻松得到.
三角形三边垂直平分线的性质
阅读教材本课时“例？”的相关内容，解决下列问题.
1.结论:(1)三角形三边的垂直平分线相交于 一 点，(2)该点到三角形三个 顶点 的距离 相等 .
2.三角形的三条中线交于一点，三条高线交于一点，三条角平分线交于一点，三边的垂直平分线也交于 一 点.
一
顶点
相等
一
1.如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线交边AB于点D，连接CD.若∠A＝50°，则∠BDC的大小为( B )
A.90° B.100° C.120° D.130°
B
2. 如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长是 16 .
16
线段垂直平分线的应用
1. 如图，在△ABC中，DE垂直平分线段AB于点D，交AC于点E.则下面结论正确的是( B )
A.AB＝AC B.AC＞BC
C.AC＝BC D.AC＜BC
B
【变式训练】如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为13，BC＝6，则AB的长为 7 .
7
作线段的垂直平分线
2. 如图，AB是一条长途汽车经过的公路，C、D是公路旁的村庄，现在要在公路上设一个长途汽车站，要求这个车站到两个村庄的距离相等，请找出这个车站的位置.
解:连接CD，作线段CD的垂直平分线交直线AB于O点，O点便是长途汽车站的位置.
线段垂直平分线的相关证明
3.已知:AF平分∠BAC，P是AF上任意一点，过点P分别向AB，AC作垂线PD，PE，D、E分别为垂足，连接DE.求证:AF垂直平分DE.
证明:∵AF平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
∵PE⊥AC于点E，PD⊥AB于点D，
∴∠AEP＝∠ADP＝90°.
又∵AP＝AP，∴△APE≌△APD(AAS)，
∴AE＝AD，PE＝PD，
∴P、A两点都在DE的垂直平分线上，
∴AF垂直平分DE.
【方法归纳交流】在证明某直线是一条线段的垂直平分线时，可根据定义证明该直线垂直平分这条线段，也可证明直线上有不同的两点与这条线段两端的距离分别相等.
1.如图，在四边形OMTN中，OM＝ON，TM＝TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形.试探究筝形的对角线之间的位置关系，并证明你的结论.
解:筝形的对角线互相垂直，即OT⊥MN.
证明:如图，
∵OM＝ON，TM＝TN，
∴点O和T都在MN的垂直平分线上，
∴OT是MN的垂直平分线，即OT⊥MN.
2.如图，在△ABC中，∠BAC＝58°，O是AB、BC的垂直平分线的交点，求∠BOC的度数.
解:∵O是AB、BC的垂直平分线的交点，
∴OA＝OB，OB＝OC，∴OA＝OC，
∴点O也在线段AC的垂直平分线上，
即△OAB、△OBC、 △OAC都是轴对称图形，
∴∠1＝∠3，∠4＝∠8，∠2＝∠7，
∴∠BOC＝∠5＋∠6＝∠3＋∠1＋∠2＋∠7＝2(∠1＋∠2)
＝2∠BAC＝116°.
知识点1 线段的垂直平分线的性质
（第1题）
1. 如图，在四边形 中，
垂直平分，垂足为 ，下列结论不一定成
立的是( )
C
A. B. 平分
C. D.
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（第2题）
2. 如图，在 中，
，，分别以点， 为圆
心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点
，，过点，作直线交于点 ，连接
，则 的周长为( )
C
A. 7 B. 8 C. 10 D. 12
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（第3题）
3.如图，在中， 的垂直平分线交
于点,交于点,连接 .若
, ,则 的度数为
____.
【点拨】 ,
, .垂直平分 ，
， .
, .
,
返回
知识点2 线段的垂直平分线的判定
4. 如图，， ，则有( )
A
（第4题）
A. 垂直平分
B. 垂直平分
C. 与 互相垂直平分
D. 以上都不正确
【点拨】，，垂直平分 .
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5. 如图，点在的边上，且，则点
在某一线段的垂直平分线上.这条线段是( )
B
A. B. C. D. 不确定
【点拨】，， 点
在 的垂直平分线上.
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6. 已知在同一平面内，,是线段外的两点, ,
,点在直线上.若,则 的长为( )
B
A. 2.5 B. 5 C. 10 D. 25
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必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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