15.3.1角的平分线的作法 课件（共21张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 15.3.1角的平分线的作法 课件（共21张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:34:02 | ||
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文档简介
(共21张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.1 角的平分线的作法
副标题：掌握角平分线的多种作图方法
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课我们深入学习了线段垂直平分线，了解了其定义、性质、判定以及在实际生活中的应用。线段垂直平分线是经过线段中点且垂直于线段的直线，它上面的点到线段两端点距离相等，与线段两端点距离相等的点也在其垂直平分线上。那么在角的世界里，是否也存在类似具有特殊性质和作用的线呢？
情境引入：如图，有一个三角形的花坛，为了美观和便于管理，园林工人想从三角形花坛的一个角的顶点出发，修一条小路，将这个角平分成两个相等的角，使得两边种植不同花卉时能保持对称。这条小路该如何确定位置呢？这就需要我们今天要学习的角平分线的知识来解决。
学习目标：
理解角平分线的定义，能准确阐述其概念。
熟练掌握角平分线的三种作法，包括折叠法、度量法和尺规作图法，尤其要精通尺规作图的步骤和原理。
能够运用角平分线的作法解决简单的实际问题和几何作图问题，提升动手操作和几何应用能力。
通过探究角平分线的作法，体会数学中的逻辑推理和严谨性，培养数学思维。
幻灯片 3：角平分线的定义
定义讲解：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。例如，在∠AOB 中，射线 OC 将∠AOB 分成∠AOC 和∠BOC，且∠AOC = ∠BOC，那么射线 OC 就是∠AOB 的角平分线。
图示理解：在黑板上画出∠AOB 以及它的角平分线 OC，用不同颜色粉笔标注角的各部分，强调射线 OC 的起始点是角的顶点 O，并且将角平均分割。同时，通过动画演示，展示射线 OC 从角的顶点出发，将角逐渐平分的过程，让学生直观感受角平分线的形成。
互动提问：让学生自己在练习本上画出一个角，并尝试用文字描述所画角的角平分线，然后同桌之间相互检查描述是否准确，加深对定义的理解。
幻灯片 4：角平分线的作法 - 折叠法
操作演示：教师拿出一张半透明的纸，在上面画出一个∠AOB。将纸沿着顶点 O 对折，使得角的两边 OA 和 OB 重合，然后展开纸张，得到一条折痕。这条折痕所在的直线就是∠AOB 的角平分线。在操作过程中，教师边演示边强调折叠的要点，如要确保顶点 O 重合，两边完全对齐。
原理说明：因为折叠后角的两边重合，根据角平分线的定义，折痕所在直线将角分成了两个相等的角，所以它就是角平分线。这种方法简单直观，体现了轴对称的性质，角是轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴。
学生实践：让学生自己拿出纸张，按照教师的演示，画出一个角并通过折叠找到角平分线，然后同桌之间交流折叠过程中的感受和发现，教师巡视指导，确保每个学生都能正确操作。
幻灯片 5：角平分线的作法 - 度量法
工具介绍：向学生展示量角器，介绍量角器的结构和使用方法，如量角器的中心要与角的顶点重合，0 刻度线要与角的一边重合等。
操作步骤讲解：
将量角器的中心与∠AOB 的顶点 O 重合，量角器的 0 刻度线与角的一边 OA 重合。
读出另一边 OB 在量角器上所对应的刻度，假设为 n°。
计算 n° 的一半，得到\(\frac{n}{2}\)°。
以 O 为顶点，在∠AOB 内部，用量角器画出一个度数为\(\frac{n}{2}\)° 的角，其另一边所在射线就是∠AOB 的角平分线。
实例演示：在黑板上画出一个∠AOB，教师按照上述步骤，用量角器准确作出它的角平分线，同时强调在操作过程中读数的准确性和画角时的规范性。
练习巩固：让学生在练习本上画出几个不同度数的角，然后用量角器作出它们的角平分线，并测量所分两个角的度数，检验是否相等，教师选取部分学生的练习进行展示和点评。
幻灯片 6：角平分线的作法 - 尺规作图法（重点）
已知与求作展示：
已知：∠AOB。
求作：∠AOB 的平分线。
尺规作图步骤详细讲解：
以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N。这里 “适当长” 要大于 0，且不能过长，否则可能超出纸面范围影响后续作图；也不能过短，要保证后续以 M、N 为圆心画弧时两弧能够相交。
分别以点 M，N 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C。强调 “大于\(\frac{1}{2}\)MN 的长” 的原因，如果半径小于或等于\(\frac{1}{2}\)MN，两弧将无法相交，无法确定角平分线。
画射线 OC。射线 OC 即为所求的∠AOB 的平分线。
动画分步演示：通过动画效果，将每一步的作图过程清晰展示出来，让学生更直观地看到整个尺规作图作角平分线的流程，同时在动画中再次强调每一步的关键要点和注意事项。
学生模仿操作：让学生拿出圆规和直尺，按照步骤在练习本上对给定的∠AOB 进行尺规作图，作出其角平分线，教师在教室里巡视，及时纠正学生在作图过程中出现的不规范操作，如圆规针尖位置不稳定、半径调整不准确等问题。
幻灯片 7：尺规作角平分线的原理证明
证明思路引导：我们通过尺规作图得到了射线 OC 是∠AOB 的平分线，那如何从数学原理上证明它呢？引导学生观察所作图形，发现连接 MC、NC 后，可通过证明三角形全等来说明∠MOC = ∠NOC。
证明过程展示：
已知：OM = ON（第一步作图，以 O 为圆心画弧得到），MC = NC（第二步作图，分别以 M、N 为圆心画弧得到），OC = OC（公共边）。
求证：∠MOC = ∠NOC。
证明：在△MOC 和△NOC 中，
OM = ON（已证），
MC = NC（已证），
OC = OC（公共边），
∴△MOC≌△NOC（SSS，边边边全等判定定理）。
∴∠MOC = ∠NOC（全等三角形对应角相等），即射线 OC 是∠AOB 的平分线。
理解强调：通过证明过程，让学生明白尺规作图的每一步都有其严谨的数学依据，加深对尺规作角平分线方法的理解和掌握，体会数学的逻辑性和严密性。
幻灯片 8：角平分线作法的应用 - 例题 1
例题展示：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AD 是∠BAC 的平分线，若 BC = 9cm，求 BD 的长。
分析思路：首先根据三角形内角和为 180°，求出∠BAC 的度数为 60°，因为 AD 是∠BAC 的平分线，所以∠CAD = ∠BAD = 30°。在直角三角形中，30° 所对的直角边等于斜边的一半，在 Rt△ABC 中，设 CD = x cm，则 AD = 2x cm，根据勾股定理可求出 AC 的长度。又因为在△ABD 中，∠BAD = ∠B = 30°，所以 AD = BD，进而可求出 BD 的长。
解答过程书写：
在△ABC 中，
∵∠C = 90°，∠B = 30°，
∴∠BAC = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°。
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠CAD = ∠BAD = \(\frac{1}{2}\)∠BAC = 30°。
在 Rt△ACD 中，设 CD = x cm，
∵∠CAD = 30°，
∴AD = 2x cm。
由勾股定理得：AC = \(\sqrt{AD^{2} - CD^{2}}\) = \(\sqrt{(2x)^{2} - x^{2}}\) = \(\sqrt{3}x\) cm。
在△ABD 中，
∵∠BAD = ∠B = 30°，
∴AD = BD = 2x cm。
又∵BC = BD + CD，BC = 9cm，
∴2x + x = 9，
3x = 9，
x = 3。
∴BD = 2x = 6cm。
幻灯片 9：角平分线作法的应用 - 例题 2
例题展示：如图，已知∠AOB，点 M、N 分别在 OA、OB 上，求作一点 P，使点 P 到 OA、OB 的距离相等，且 PM = PN。
分析思路：要使点 P 到 OA、OB 的距离相等，根据角平分线的性质，点 P 应在∠AOB 的角平分线上；又要使 PM = PN，根据线段垂直平分线的性质，点 P 应在线段 MN 的垂直平分线上。所以点 P 就是∠AOB 的角平分线与线段 MN 垂直平分线的交点。
作图步骤：
用尺规作∠AOB 的平分线 OC。
作线段 MN 的垂直平分线 DE，交 OC 于点 P。
点 P 即为所求。
原理说明：因为点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，所以点 P 到 OA、OB 的距离相等；又因为点 P 在线段 MN 的垂直平分线 DE 上，所以 PM = PN，满足题目要求。
幻灯片 10：课堂练习（一） - 角平分线作法基础练习
题目 1：用折叠法作出一个钝角的角平分线，并在图上标注出折叠的痕迹和角平分线。
题目 2：用量角器作出∠MON = 120° 的角平分线，并测量所分两个角的度数，检验是否相等。
题目 3：用尺规作图法作出∠ABC 的角平分线，保留作图痕迹，写出作法步骤。
学生解答与教师指导：学生独立完成练习，教师巡视，对学生在练习过程中出现的问题进行个别指导，如折叠不规范、量角器使用错误、尺规作图步骤不清晰等，完成后选取部分学生的练习进行展示和点评。
幻灯片 11：课堂练习（二） - 角平分线应用练习
题目 1：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 AB = 10cm，AC = 8cm，△ABC 的面积为 54cm ，求 DE 的长。
题目 2：如图，已知∠AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使 PC = PD，且点 P 到 OA、OB 的距离相等，作出点 P 的位置（不写作法，保留作图痕迹）。
分析与解答提示：对于题目 1，引导学生利用角平分线的性质得到 DE = DF，再根据三角形面积公式列出方程求解；对于题目 2，提示学生分别作出线段 CD 的垂直平分线和∠AOB 的角平分线，交点即为点 P。学生完成解答后，教师进行讲解，强调解题思路和方法。
幻灯片 12：课堂总结
知识梳理：回顾角平分线的定义，总结角平分线的三种作法，即折叠法、度量法和尺规作图法，重点强调尺规作图的步骤和原理，以及角平分线作法在实际问题和几何问题中的应用。
方法归纳：在解决与角平分线相关的问题时，要善于根据已知条件选择合适的作图方法，利用角平分线的性质和判定进行推理和计算。同时，要注意将实际问题转化为数学模型，通过数学方法来解决。
能力提升：通过本节课的学习，希望同学们能够提高动手操作能力、几何作图能力和逻辑推理能力，培养严谨的数学态度和思维方式。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：
教材课后习题 [具体页码和题号]，通过练习巩固角平分线的三种作法及相关应用。
用尺规作图法作出一个任意四边形四个内角的角平分线，观察四条角平分线的位置关系，记录你的发现。
提升作业：如图，在△ABC 中，∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AD、BE 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，AD、BE 相交于点 F，求∠BFD 的度数。
拓展作业：在生活中寻找至少两个可以用角平分线知识解决的实际问题，如裁剪衣服时如何平分布料的角、设计建筑外观时如何确定对称角度等，以书面报告的形式阐述问题及解决思路。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.1角的平分线的作法
第15章 轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.知道角是轴对称图形，掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性.
2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法.
3.增强动手画图的能力，进一步理解尺规作图的准确性.
◎重点:角平分线及垂线的尺规作法.
◎难点:体会尺规作图的意义.
把一块纸片对折，使一个角的两边叠合在一起，把纸片展开后，用量角器量一量由折痕为边的两个角的度数.
角平分线的作法
阅读教材本课时相关内容，回答下列问题.
角是轴对称图形吗？如果是，指出其对称轴.
是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线.
过一点作已知直线的垂线
揭示概念:过一点作已知直线的垂线其实质就是作平角的 角平分线 或作线段的 垂直平分线 .
角平分线
垂直平分线
1.下列尺规作图的语句正确的是( C )
A.作∠AOB的平分线AC
B.以O为圆心作弧
C.以A为圆心，线段a的长为半径作弧
D.作直线AB的垂直平分线CD
C
2. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( A )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
过一点作已知线的垂线
1.(方法指导:延长线段AB，就是过点P作直线AB的垂线)如图，已知线段AB和一点P，用尺规过点P作AB的垂线PO(保留作图痕迹，不写作法).
解:如图.
作角平分线和垂直平分线
2. 已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空.
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，线段EF与线段BD的关系为 .
解:(1)、(2)题作图如下:由作图可知线段EF与线段BD的关系为互相垂直平分.
已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形.
已知:∠α，以及线段b、c(b＜c).求作:△ABC，使得∠BAC＝∠α，AB＝c，∠BAC的平分线AD＝b.
解:作法:(1)作∠MAN＝∠α.
(2)作∠MAN的平分线AE.
(3)在AM上截取AB＝c，在AE上截取AD＝b.
(4)连接BD，并延长交AN于点C.
△ABC就是所求作的三角形.(如图)
知识点1 角的平分线的作法
（第1题）
1. 如图，用直尺和圆规作 的平分线，
能得出 的依据是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. ［2024深圳］在如图的三个图
形中，根据尺规作图的痕迹，能
判断射线平分 的是
( )
B
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. 只有①
【点拨】在题图①中，利用基本作图可判断 平
分 ；在题图③中，如图，利用作法得
， .
在和 中，
， .
，， ，
即 .
在和中，
， .
又, ，
，
，是 的平分线；
在题图②中，利用基本作图得到点为 的中点，
则为边上的中线.则①③可得出射线 平分
.故选B.
返回
知识点2 用尺规作图法作垂线
3. 下列选项的尺规作图，能推出 的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4. 如图，在 中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结
论：；； ；
．其中一定正确的有( )
B
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：15.3.1 角的平分线的作法
副标题：掌握角平分线的多种作图方法
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课我们深入学习了线段垂直平分线，了解了其定义、性质、判定以及在实际生活中的应用。线段垂直平分线是经过线段中点且垂直于线段的直线，它上面的点到线段两端点距离相等，与线段两端点距离相等的点也在其垂直平分线上。那么在角的世界里，是否也存在类似具有特殊性质和作用的线呢？
情境引入：如图，有一个三角形的花坛，为了美观和便于管理，园林工人想从三角形花坛的一个角的顶点出发，修一条小路，将这个角平分成两个相等的角，使得两边种植不同花卉时能保持对称。这条小路该如何确定位置呢？这就需要我们今天要学习的角平分线的知识来解决。
学习目标：
理解角平分线的定义，能准确阐述其概念。
熟练掌握角平分线的三种作法，包括折叠法、度量法和尺规作图法，尤其要精通尺规作图的步骤和原理。
能够运用角平分线的作法解决简单的实际问题和几何作图问题，提升动手操作和几何应用能力。
通过探究角平分线的作法，体会数学中的逻辑推理和严谨性，培养数学思维。
幻灯片 3：角平分线的定义
定义讲解：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线。例如，在∠AOB 中，射线 OC 将∠AOB 分成∠AOC 和∠BOC，且∠AOC = ∠BOC，那么射线 OC 就是∠AOB 的角平分线。
图示理解：在黑板上画出∠AOB 以及它的角平分线 OC，用不同颜色粉笔标注角的各部分，强调射线 OC 的起始点是角的顶点 O，并且将角平均分割。同时，通过动画演示，展示射线 OC 从角的顶点出发，将角逐渐平分的过程，让学生直观感受角平分线的形成。
互动提问：让学生自己在练习本上画出一个角，并尝试用文字描述所画角的角平分线，然后同桌之间相互检查描述是否准确，加深对定义的理解。
幻灯片 4：角平分线的作法 - 折叠法
操作演示：教师拿出一张半透明的纸，在上面画出一个∠AOB。将纸沿着顶点 O 对折，使得角的两边 OA 和 OB 重合，然后展开纸张，得到一条折痕。这条折痕所在的直线就是∠AOB 的角平分线。在操作过程中，教师边演示边强调折叠的要点，如要确保顶点 O 重合，两边完全对齐。
原理说明：因为折叠后角的两边重合，根据角平分线的定义，折痕所在直线将角分成了两个相等的角，所以它就是角平分线。这种方法简单直观，体现了轴对称的性质，角是轴对称图形，角平分线所在直线就是它的对称轴。
学生实践：让学生自己拿出纸张，按照教师的演示，画出一个角并通过折叠找到角平分线，然后同桌之间交流折叠过程中的感受和发现，教师巡视指导，确保每个学生都能正确操作。
幻灯片 5：角平分线的作法 - 度量法
工具介绍：向学生展示量角器，介绍量角器的结构和使用方法，如量角器的中心要与角的顶点重合，0 刻度线要与角的一边重合等。
操作步骤讲解：
将量角器的中心与∠AOB 的顶点 O 重合，量角器的 0 刻度线与角的一边 OA 重合。
读出另一边 OB 在量角器上所对应的刻度，假设为 n°。
计算 n° 的一半，得到\(\frac{n}{2}\)°。
以 O 为顶点，在∠AOB 内部，用量角器画出一个度数为\(\frac{n}{2}\)° 的角，其另一边所在射线就是∠AOB 的角平分线。
实例演示：在黑板上画出一个∠AOB，教师按照上述步骤，用量角器准确作出它的角平分线，同时强调在操作过程中读数的准确性和画角时的规范性。
练习巩固：让学生在练习本上画出几个不同度数的角，然后用量角器作出它们的角平分线，并测量所分两个角的度数，检验是否相等，教师选取部分学生的练习进行展示和点评。
幻灯片 6：角平分线的作法 - 尺规作图法（重点）
已知与求作展示：
已知：∠AOB。
求作：∠AOB 的平分线。
尺规作图步骤详细讲解：
以点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 M，交 OB 于点 N。这里 “适当长” 要大于 0，且不能过长，否则可能超出纸面范围影响后续作图；也不能过短，要保证后续以 M、N 为圆心画弧时两弧能够相交。
分别以点 M，N 为圆心，大于\(\frac{1}{2}\)MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 的内部相交于点 C。强调 “大于\(\frac{1}{2}\)MN 的长” 的原因，如果半径小于或等于\(\frac{1}{2}\)MN，两弧将无法相交，无法确定角平分线。
画射线 OC。射线 OC 即为所求的∠AOB 的平分线。
动画分步演示：通过动画效果，将每一步的作图过程清晰展示出来，让学生更直观地看到整个尺规作图作角平分线的流程，同时在动画中再次强调每一步的关键要点和注意事项。
学生模仿操作：让学生拿出圆规和直尺，按照步骤在练习本上对给定的∠AOB 进行尺规作图，作出其角平分线，教师在教室里巡视，及时纠正学生在作图过程中出现的不规范操作，如圆规针尖位置不稳定、半径调整不准确等问题。
幻灯片 7：尺规作角平分线的原理证明
证明思路引导：我们通过尺规作图得到了射线 OC 是∠AOB 的平分线，那如何从数学原理上证明它呢？引导学生观察所作图形，发现连接 MC、NC 后，可通过证明三角形全等来说明∠MOC = ∠NOC。
证明过程展示：
已知：OM = ON（第一步作图，以 O 为圆心画弧得到），MC = NC（第二步作图，分别以 M、N 为圆心画弧得到），OC = OC（公共边）。
求证：∠MOC = ∠NOC。
证明：在△MOC 和△NOC 中，
OM = ON（已证），
MC = NC（已证），
OC = OC（公共边），
∴△MOC≌△NOC（SSS，边边边全等判定定理）。
∴∠MOC = ∠NOC（全等三角形对应角相等），即射线 OC 是∠AOB 的平分线。
理解强调：通过证明过程，让学生明白尺规作图的每一步都有其严谨的数学依据，加深对尺规作角平分线方法的理解和掌握，体会数学的逻辑性和严密性。
幻灯片 8：角平分线作法的应用 - 例题 1
例题展示：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，AD 是∠BAC 的平分线，若 BC = 9cm，求 BD 的长。
分析思路：首先根据三角形内角和为 180°，求出∠BAC 的度数为 60°，因为 AD 是∠BAC 的平分线，所以∠CAD = ∠BAD = 30°。在直角三角形中，30° 所对的直角边等于斜边的一半，在 Rt△ABC 中，设 CD = x cm，则 AD = 2x cm，根据勾股定理可求出 AC 的长度。又因为在△ABD 中，∠BAD = ∠B = 30°，所以 AD = BD，进而可求出 BD 的长。
解答过程书写：
在△ABC 中，
∵∠C = 90°，∠B = 30°，
∴∠BAC = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°。
∵AD 是∠BAC 的平分线，
∴∠CAD = ∠BAD = \(\frac{1}{2}\)∠BAC = 30°。
在 Rt△ACD 中，设 CD = x cm，
∵∠CAD = 30°，
∴AD = 2x cm。
由勾股定理得：AC = \(\sqrt{AD^{2} - CD^{2}}\) = \(\sqrt{(2x)^{2} - x^{2}}\) = \(\sqrt{3}x\) cm。
在△ABD 中，
∵∠BAD = ∠B = 30°，
∴AD = BD = 2x cm。
又∵BC = BD + CD，BC = 9cm，
∴2x + x = 9，
3x = 9，
x = 3。
∴BD = 2x = 6cm。
幻灯片 9：角平分线作法的应用 - 例题 2
例题展示：如图，已知∠AOB，点 M、N 分别在 OA、OB 上，求作一点 P，使点 P 到 OA、OB 的距离相等，且 PM = PN。
分析思路：要使点 P 到 OA、OB 的距离相等，根据角平分线的性质，点 P 应在∠AOB 的角平分线上；又要使 PM = PN，根据线段垂直平分线的性质，点 P 应在线段 MN 的垂直平分线上。所以点 P 就是∠AOB 的角平分线与线段 MN 垂直平分线的交点。
作图步骤：
用尺规作∠AOB 的平分线 OC。
作线段 MN 的垂直平分线 DE，交 OC 于点 P。
点 P 即为所求。
原理说明：因为点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，所以点 P 到 OA、OB 的距离相等；又因为点 P 在线段 MN 的垂直平分线 DE 上，所以 PM = PN，满足题目要求。
幻灯片 10：课堂练习（一） - 角平分线作法基础练习
题目 1：用折叠法作出一个钝角的角平分线，并在图上标注出折叠的痕迹和角平分线。
题目 2：用量角器作出∠MON = 120° 的角平分线，并测量所分两个角的度数，检验是否相等。
题目 3：用尺规作图法作出∠ABC 的角平分线，保留作图痕迹，写出作法步骤。
学生解答与教师指导：学生独立完成练习，教师巡视，对学生在练习过程中出现的问题进行个别指导，如折叠不规范、量角器使用错误、尺规作图步骤不清晰等，完成后选取部分学生的练习进行展示和点评。
幻灯片 11：课堂练习（二） - 角平分线应用练习
题目 1：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，若 AB = 10cm，AC = 8cm，△ABC 的面积为 54cm ，求 DE 的长。
题目 2：如图，已知∠AOB 和 C、D 两点，求作一点 P，使 PC = PD，且点 P 到 OA、OB 的距离相等，作出点 P 的位置（不写作法，保留作图痕迹）。
分析与解答提示：对于题目 1，引导学生利用角平分线的性质得到 DE = DF，再根据三角形面积公式列出方程求解；对于题目 2，提示学生分别作出线段 CD 的垂直平分线和∠AOB 的角平分线，交点即为点 P。学生完成解答后，教师进行讲解，强调解题思路和方法。
幻灯片 12：课堂总结
知识梳理：回顾角平分线的定义，总结角平分线的三种作法，即折叠法、度量法和尺规作图法，重点强调尺规作图的步骤和原理，以及角平分线作法在实际问题和几何问题中的应用。
方法归纳：在解决与角平分线相关的问题时，要善于根据已知条件选择合适的作图方法，利用角平分线的性质和判定进行推理和计算。同时，要注意将实际问题转化为数学模型，通过数学方法来解决。
能力提升：通过本节课的学习，希望同学们能够提高动手操作能力、几何作图能力和逻辑推理能力，培养严谨的数学态度和思维方式。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：
教材课后习题 [具体页码和题号]，通过练习巩固角平分线的三种作法及相关应用。
用尺规作图法作出一个任意四边形四个内角的角平分线，观察四条角平分线的位置关系，记录你的发现。
提升作业：如图，在△ABC 中，∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AD、BE 分别是∠BAC、∠ABC 的平分线，AD、BE 相交于点 F，求∠BFD 的度数。
拓展作业：在生活中寻找至少两个可以用角平分线知识解决的实际问题，如裁剪衣服时如何平分布料的角、设计建筑外观时如何确定对称角度等，以书面报告的形式阐述问题及解决思路。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.1角的平分线的作法
第15章 轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.知道角是轴对称图形，掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性.
2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法.
3.增强动手画图的能力，进一步理解尺规作图的准确性.
◎重点:角平分线及垂线的尺规作法.
◎难点:体会尺规作图的意义.
把一块纸片对折，使一个角的两边叠合在一起，把纸片展开后，用量角器量一量由折痕为边的两个角的度数.
角平分线的作法
阅读教材本课时相关内容，回答下列问题.
角是轴对称图形吗？如果是，指出其对称轴.
是轴对称图形，其对称轴是角平分线所在的直线.
过一点作已知直线的垂线
揭示概念:过一点作已知直线的垂线其实质就是作平角的 角平分线 或作线段的 垂直平分线 .
角平分线
垂直平分线
1.下列尺规作图的语句正确的是( C )
A.作∠AOB的平分线AC
B.以O为圆心作弧
C.以A为圆心，线段a的长为半径作弧
D.作直线AB的垂直平分线CD
C
2. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是( A )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
过一点作已知线的垂线
1.(方法指导:延长线段AB，就是过点P作直线AB的垂线)如图，已知线段AB和一点P，用尺规过点P作AB的垂线PO(保留作图痕迹，不写作法).
解:如图.
作角平分线和垂直平分线
2. 已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空.
(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；
(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，线段EF与线段BD的关系为 .
解:(1)、(2)题作图如下:由作图可知线段EF与线段BD的关系为互相垂直平分.
已知三角形中的一个角，此角的平分线长，以及这个角的一边长，求作三角形.
已知:∠α，以及线段b、c(b＜c).求作:△ABC，使得∠BAC＝∠α，AB＝c，∠BAC的平分线AD＝b.
解:作法:(1)作∠MAN＝∠α.
(2)作∠MAN的平分线AE.
(3)在AM上截取AB＝c，在AE上截取AD＝b.
(4)连接BD，并延长交AN于点C.
△ABC就是所求作的三角形.(如图)
知识点1 角的平分线的作法
（第1题）
1. 如图，用直尺和圆规作 的平分线，
能得出 的依据是( )
A
A. B. C. D.
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（第2题）
2. ［2024深圳］在如图的三个图
形中，根据尺规作图的痕迹，能
判断射线平分 的是
( )
B
A. ①② B. ①③
C. ②③ D. 只有①
【点拨】在题图①中，利用基本作图可判断 平
分 ；在题图③中，如图，利用作法得
， .
在和 中，
， .
，， ，
即 .
在和中，
， .
又, ，
，
，是 的平分线；
在题图②中，利用基本作图得到点为 的中点，
则为边上的中线.则①③可得出射线 平分
.故选B.
返回
知识点2 用尺规作图法作垂线
3. 下列选项的尺规作图，能推出 的是( )
D
A. B. C. D.
返回
4. 如图，在 中，根据尺规作图的痕迹，下列四个结
论：；； ；
．其中一定正确的有( )
B
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！