15.3.2角的平分线的性质与判定 课件（共46张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 15.3.2角的平分线的性质与判定 课件（共46张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:33:36 | ||
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文档简介
(共46张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.3.2 角的平分线的性质与判定
副标题：探究角平分线的核心特性与判定方法
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了角平分线的三种作法，包括折叠法、度量法和尺规作图法，尤其是尺规作图法，我们还通过三角形全等证明了其原理。角平分线除了能将角平分这一基本特征外，还有哪些特殊的性质呢？反过来，如何判定一条射线是角的平分线呢？本节课将深入研究这些问题。
情境引入：如图，在∠AOB 的平分线 OC 上取一点 P，过点 P 分别作 OA、OB 的垂线，垂足为 D、E。测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？如果在 OC 上再取另一点 Q，重复操作，结果是否相同？通过本节课的学习，我们将揭开角平分线的这一神秘面纱。
学习目标：
掌握角平分线的性质定理，能运用性质解决距离相等问题。
理解角平分线的判定定理，能根据距离关系判定角平分线。
能综合运用角平分线的性质和判定解决几何证明和计算问题。
体会数形结合思想，培养逻辑推理和几何应用能力。
幻灯片 3：角平分线的性质定理
探究活动：在∠AOB 的平分线 OC 上任意取一点 P，作 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。用直尺测量 PD 和 PE 的长度，记录数据并比较大小。换点 P 的位置多次实验，观察 PD 与 PE 的关系。
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。即如果点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，且 PD⊥OA，PE⊥OB，那么 PD = PE。
定理证明：
已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB。
求证：PD = PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义）。
∵OC 是∠AOB 的平分线（已知），
∴∠AOC = ∠BOC（角平分线定义）。
在△PDO 和△PEO 中，
∠PDO = ∠PEO（已证），
∠AOC = ∠BOC（已证），
OP = OP（公共边），
∴△PDO≌△PEO（AAS）。
∴PD = PE（全等三角形对应边相等）。
图示理解：在图形中标注垂线、直角符号和相等的角，结合证明过程，让学生直观理解性质定理的由来和含义。
幻灯片 4：角平分线性质定理的应用（一）—— 求距离
例题 1：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD = 3cm，求点 D 到 AB 的距离。
分析：根据角平分线的性质定理，点 D 在∠BAC 的平分线上，所以点 D 到 AB 和 AC 的距离相等。因为∠C = 90°，DC⊥AC，所以 DC 的长度就是点 D 到 AC 的距离，进而可得点 D 到 AB 的距离。
解答过程：过点 D 作 DE⊥AB 于 E。
∵AD 平分∠BAC，∠C = 90°，DE⊥AB，
∴DE = CD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵CD = 3cm，
∴DE = 3cm，即点 D 到 AB 的距离为 3cm。
幻灯片 5：角平分线的判定定理
思考问题：反过来，如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点是否一定在这个角的平分线上呢？
判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。即如果点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD = PE，那么点 P 在∠AOB 的平分线上。
定理证明：
已知：点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD = PE。
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上（即∠AOP = ∠BOP）。
证明：连接 OP。
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义）。
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
PD = PE（已知），
OP = OP（公共边），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形对应角相等），即点 P 在∠AOB 的平分线上。
理解拓展：判定定理是性质定理的逆定理，它为判断一个点是否在角的平分线上提供了依据，应用时需注意 “在角的内部” 这一前提条件。
幻灯片 6：角平分线判定定理的应用（二）—— 判定角平分线
例题 2：如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 DE = DF，求证：AD 是∠BAC 的平分线。
BD = CD（已证），
DE = DF（已知），
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
（此步可省略，直接利用判定定理）
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF，
∴点 D 在∠BAC 的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
∴AD 是∠BAC 的平分线。
分析：要证明 AD 是∠BAC 的平分线，只需证明点 D 在∠BAC 的平分线上。根据判定定理，在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，已知 DE = DF，DE⊥AB，DF⊥AC，可证明点 D 在∠BAC 的平分线上。
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），
∴∠DEB = ∠DFC = 90°。
∵D 是 BC 的中点（已知），
∴BD = CD。
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
幻灯片 7：三角形角平分线的性质
探究活动：作出△ABC 三个内角的平分线，观察这三条角平分线的位置关系，它们是否交于一点？测量该交点到三角形三边的距离，你发现了什么？
性质总结：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点到三角形三条边的距离相等。这个点叫做三角形的内心。
图示说明：在△ABC 中，画出∠A、∠B、∠C 的平分线，交于点 O，过点 O 分别作三边的垂线，垂足为 D、E、F，通过测量得出 OD = OE = OF，验证性质的正确性。
应用提示：三角形内心的这一性质在几何计算和作图中有着重要应用，如求三角形内切圆的圆心等。
幻灯片 8：综合应用实例（三）
例题 3：如图，已知 BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，且点 E 到 BC 的距离为 3cm，求点 E 到 AB 和 AC 的距离。
分析：根据角平分线的性质定理，点 E 在∠ABC 的平分线上，所以点 E 到 AB 和 BC 的距离相等；点 E 在∠ACB 的平分线上，所以点 E 到 AC 和 BC 的距离相等，进而可得点 E 到 AB、BC 和 AC 的距离相等。
解答过程：过点 E 分别作 ED⊥BC 于 D，EF⊥AB 于 F，EG⊥AC 于 G。
∵BE 平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF = ED（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵CE 平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴EG = ED（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∴EF = EG = ED。
∵ED = 3cm，
∴EF = EG = 3cm，即点 E 到 AB 和 AC 的距离都是 3cm。
幻灯片 9：角平分线性质与判定的对比
项目
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
条件
点在角的平分线上，且到角两边的距离垂直
在角的内部，点到角两边的距离相等且垂直
结论
点到角两边的距离相等
点在角的平分线上
作用
由点在角平分线上，得到距离相等
由距离相等，得到点在角平分线上
关系
互逆定理
互逆定理
总结：性质定理和判定定理是互逆的，性质定理是 “以位置定距离”，判定定理是 “以距离定位置”，在解题时需根据已知条件和求证目标灵活选择使用。
幻灯片 10：课堂练习（一）—— 性质与判定基础应用
题目 1：如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，若 PA = 5cm，求 PB 的长。
题目 2：如图，点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD = PE，求证：OP 平分∠AOB。
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，强调定理应用的条件和格式规范。
幻灯片 11：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，OD⊥BC 于 D，若 OD = 2cm，△ABC 的周长为 20cm，求△ABC 的面积。
题目 2：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：AD 垂直平分 EF。
分析与提示：题目 1 利用三角形内心到三边距离相等，将三角形面积转化为三个小三角形面积之和；题目 2 先证明 AE = AF，DE = DF，再利用线段垂直平分线的判定定理证明 AD 垂直平分 EF。
幻灯片 12：课堂总结
知识梳理：回顾角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）和判定定理（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上），总结三角形三条角平分线交于一点（内心）且到三边距离相等的性质，以及性质与判定的互逆关系。
方法归纳：解决与角平分线相关的问题，要善于利用性质定理实现距离相等的转化，利用判定定理判断点是否在角平分线上，结合三角形内心的性质解决面积等综合问题，注重数形结合和逻辑推理。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练运用角平分线的性质和判定解决距离计算、角平分线判定、三角形面积等问题，提高几何应用和推理能力。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固角平分线的性质、判定及三角形内心的性质。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是中线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：DE = DF。
拓展作业：探究如何利用角平分线的性质和判定解决 “三角形中到三边距离之和最小的点” 问题，结合实例说明你的发现。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.2角的平分线的性质与判定
第15章 轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握角平分线的性质及其判定.
2.能利用角平分线的性质及其判定解决几何图形中的问题.
3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点.
4.知道三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
◎重点:1.角平分线的性质的性质及其判定.
2.三角形三个内角平分线交点的性质.
◎难点:角平分线的性质及其判定的综合应用.
如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明你的理由.
角平分线性质定理
阅读教材本课时相关的内容，回答下列问题.
1.揭示概念:角平分线上的点到角两边的距离 相等 .
2.归纳:角平分线的判定定理: 角的内部到角两边距离相等的点 在角的平分线上.
相等
角的内部到角两边距离相等
的点
1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝
3 cm，则点D到AC的距离是( B )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
B
2.已知P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD＝PE，∠AOB＝50°，则∠POE的度数是
( A )
A.25° B.50° C.75° D.100°
学法指导:若题中已知角平分线，则过角平分线上的点作两边的垂线是常用的辅助线之一.
A
角平分线的性质
1. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE＝OF.
证明:在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.
用角平分线性质计算
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝13 cm，AB＝26 cm，BE平分∠ABC，那么CE∶EA＝ 1∶2 .
1∶2
利用角平分线性质定理解决几何问题
3.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，求证:AB＋BD＝AC.
证明:如图，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE，则∠BDE＝∠BED，
∴AE＝AB＋BD.
∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝2∠C，
∴∠BED＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴△ADC≌△ADE，AC＝AE，
∴AB＋BD＝AC.
【变式训练】如上题图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值.
解:辅助线同上，得AE＝AB＋BD.
∵AB＋BD＝AC，∴AE＝AC.
易证△ADC≌△ADE，∠ACD＝∠BED，∴∠ABD＝2∠ACD，即∠ABD∶∠ACD＝2∶1.
如图，上节课我们知道如何在两条公路的中间修建一座加油站，使得加油站到两条公路的距离相等.现在我们将问题进行升级，如何在三条公路的中间，选择一个地点建造加油站，使得加油站到三条公路的距离都相等.
三角形内角平分线交点的性质
揭示概念:三角形三条内角平分线相交于 一 点，这点到三角形三边的距离 相等 .
学法指导:用分割与组合的方式求三角形面积的方法是常见的求面积的途径之一.
一
相等
1.如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A，C，则下列结论错误的是( C )
A.AD＝CD
B.∠DAP＝∠DCP
C.PD＝BD
D.∠ADB＝∠BDC
C
2. 如图，某市高新开发区有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中新安置一景观照明灯，要求灯到三条马路的距离相等，请你帮助确定灯的位置.
解:图略(提示:做三条马路所形成的夹角中任意两个角的平分线的交点即为灯应安置的地方).
平分线的应用
1. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有( D )
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
D
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，求证:AC＋CD＝AB.
证明:在AB上截取AE，使AE＝AC，连接DE.
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠1＝∠2.
∴△ACD≌△AED(SAS)，∴CD＝DE，
∠AED＝∠C＝90°.
又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°，
∴DE＝EB，∴AC＋CD＝AE＋DE＝AE＋EB＝AB，即AC＋CD＝AB.
【方法归纳交流】证明一条线段等于两条相等的长，可以从“长”线段中截取一段等于其中一条线段，再证明剩余“部分”与另一条线段相等；也可将两条线段“拼”接在一条线段上，然后证明相等.
3.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，且BD＝CD.求证:BE＝CF.
证明:∵AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(HL).∴BE＝CF.
【变式训练】对于第3题，其他条件不变，若已知BE＝CF，求证:BD＝CD.
证明:∵AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
又∵BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴BD＝CD.
用角平分线性质解决实际问题
4.如图，有一块三角形的空地，其三边长分别为20 m、30 m、40 m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花.请你设计出一个方案，并说明你的理由.
解:方案:如图，分别作∠C和∠B的角平分线，它们相交于点P，连接PA.则△PAB、△PAC、△PBC的面积之比就是2∶3∶4.
理由:经过点P作PE⊥AB于点E，
PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H.
因为P是∠C和∠B的角平分线上的点，
所以PE＝PF＝PH，
所以S△ABP＝AB×PE＝10PE，
S△BCP＝BC×PH＝20PH，
S△ACP＝AC×PF＝15PF，
所以S△ABP∶S△ACP∶S△BCP＝10PE∶15PF∶20PH＝2∶3∶4.
【方法归纳交流】涉及角平分线的问题时，常用的辅助线有:
(1)如图1，自角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线的性质解题.
(2)在长的角边上截取等于短的角边——截长(如图2)，或延长短的角边使其等于长的角边——补短(如图3)，从而构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质解题.
1. 已知△ABC的周长为20 cm，角平分线AD、BE相交于点O，OP⊥AB交AB于点P，OP＝2 cm，则△ABC的面积为 20 cm2 .
20
cm2
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度数.
解:如图，作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，
垂足分别是N、M、P.
∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝
100°－20°＝80°，
∠PBA＝180°－100°＝80°，
∴∠PBA＝∠ABD.
∵EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，
∴EP＝EM.
又∵CE平分∠ACB，EN⊥CA，
EP⊥CB，∴EN＝EP，
∴EN＝EM，∴ED平分∠ADB.
∵∠ADB＝∠DBC＋∠DCB＝20°＋20°＝40°，
∴∠ADE＝∠ADB＝×40°＝20°.
【方法归纳交流】遇到角的平分线，要考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”和利用角平分线构造全等三角形.要证明“一条线段(或角)是另外两条线段(或角)的和”可以考虑用“截补法”.
1.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6 cm，4 cm，4 cm，P为△ABC三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于( D )
A.1∶1∶1 B.2∶2∶3
C.2∶3∶2 D.3∶2∶2
D
2.如图，AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么BE与CE的关系是怎样的呢？请证明你的结论.
解:BE＝CE.
提示:先证△ABD≌△ACD，再证△BDE≌△CDE，得出BE＝CE.
知识点1 角平分线的性质
1. 如图，为 的平分线，
，，垂足分别是点, ,
则下列结论不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线
的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B. 2 C. 3 D.
返回
（第3题）
3. ［2024天津］如图， 中，
, ，以点 为圆心，
适当长为半径画弧，交于点，交
于点；再分别以点, 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧（所在圆的
B
A. B. C. D.
半径相等）在的内部相交于点；画射线，与 相
交于点，则 的大小为( )
（第3题）
【点拨】 , ，
.
由作图知，平分 ，
.
.
返回
（第4题）
4. 如图，在
中，以点 为圆心，任意长
为半径作弧，分别交, 于点
,；分别以点， 为圆心，大
12
于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点 .
若,,的面积为8，则 的面积为____.
返回
知识点2 角的平分线的判定
（第5题）
5. 如图，， ，垂足分别
为，，，相交于点 ，若
，则与 的大小关系是( )
A
A. B.
C. D. 无法确定
返回
（第6题）
6. ［2025东莞期中］小明将两把完全
相同的长方形直尺（单位： ）如图
放置在 上，两把直尺的接触点为
，边 与其中一把直尺边缘的交点为
，点, 在这把直尺上的刻度读数分
别是2和5，则 的长度是( )
A
A. B. C. D.
返回
易错点 因考虑问题不全面而漏解
7.如图，直线,, 表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选
择的地址有___处.
4
返回
8.［2025宿州校级模拟］如图，钝角三角形 的面积为14，
最长边，平分，点，分别是， 上的
动点，则 的最小值为___.
4
（第8题）
【点拨】如图，过点作于点 ，
交于点，过点作于点 ，
此时有最小值. 平分
面积为14，， ，
，即 的最小值为4.
，，， ，
三角形 的
返回
9.［2025宁波期中］如图，四边形，和分别平分
和，过点，且与垂直，若 ，
，则四边形的面积是____ .
40
（第9题）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：15.3.2 角的平分线的性质与判定
副标题：探究角平分线的核心特性与判定方法
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了角平分线的三种作法，包括折叠法、度量法和尺规作图法，尤其是尺规作图法，我们还通过三角形全等证明了其原理。角平分线除了能将角平分这一基本特征外，还有哪些特殊的性质呢？反过来，如何判定一条射线是角的平分线呢？本节课将深入研究这些问题。
情境引入：如图，在∠AOB 的平分线 OC 上取一点 P，过点 P 分别作 OA、OB 的垂线，垂足为 D、E。测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？如果在 OC 上再取另一点 Q，重复操作，结果是否相同？通过本节课的学习，我们将揭开角平分线的这一神秘面纱。
学习目标：
掌握角平分线的性质定理，能运用性质解决距离相等问题。
理解角平分线的判定定理，能根据距离关系判定角平分线。
能综合运用角平分线的性质和判定解决几何证明和计算问题。
体会数形结合思想，培养逻辑推理和几何应用能力。
幻灯片 3：角平分线的性质定理
探究活动：在∠AOB 的平分线 OC 上任意取一点 P，作 PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E。用直尺测量 PD 和 PE 的长度，记录数据并比较大小。换点 P 的位置多次实验，观察 PD 与 PE 的关系。
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。即如果点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，且 PD⊥OA，PE⊥OB，那么 PD = PE。
定理证明：
已知：OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB。
求证：PD = PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义）。
∵OC 是∠AOB 的平分线（已知），
∴∠AOC = ∠BOC（角平分线定义）。
在△PDO 和△PEO 中，
∠PDO = ∠PEO（已证），
∠AOC = ∠BOC（已证），
OP = OP（公共边），
∴△PDO≌△PEO（AAS）。
∴PD = PE（全等三角形对应边相等）。
图示理解：在图形中标注垂线、直角符号和相等的角，结合证明过程，让学生直观理解性质定理的由来和含义。
幻灯片 4：角平分线性质定理的应用（一）—— 求距离
例题 1：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，若 CD = 3cm，求点 D 到 AB 的距离。
分析：根据角平分线的性质定理，点 D 在∠BAC 的平分线上，所以点 D 到 AB 和 AC 的距离相等。因为∠C = 90°，DC⊥AC，所以 DC 的长度就是点 D 到 AC 的距离，进而可得点 D 到 AB 的距离。
解答过程：过点 D 作 DE⊥AB 于 E。
∵AD 平分∠BAC，∠C = 90°，DE⊥AB，
∴DE = CD（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵CD = 3cm，
∴DE = 3cm，即点 D 到 AB 的距离为 3cm。
幻灯片 5：角平分线的判定定理
思考问题：反过来，如果一个点到角的两边的距离相等，那么这个点是否一定在这个角的平分线上呢？
判定定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。即如果点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD = PE，那么点 P 在∠AOB 的平分线上。
定理证明：
已知：点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA，PE⊥OB，且 PD = PE。
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上（即∠AOP = ∠BOP）。
证明：连接 OP。
∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知），
∴∠PDO = ∠PEO = 90°（垂直定义）。
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
PD = PE（已知），
OP = OP（公共边），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形对应角相等），即点 P 在∠AOB 的平分线上。
理解拓展：判定定理是性质定理的逆定理，它为判断一个点是否在角的平分线上提供了依据，应用时需注意 “在角的内部” 这一前提条件。
幻灯片 6：角平分线判定定理的应用（二）—— 判定角平分线
例题 2：如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，且 DE = DF，求证：AD 是∠BAC 的平分线。
BD = CD（已证），
DE = DF（已知），
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
（此步可省略，直接利用判定定理）
∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE = DF，
∴点 D 在∠BAC 的平分线上（在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）。
∴AD 是∠BAC 的平分线。
分析：要证明 AD 是∠BAC 的平分线，只需证明点 D 在∠BAC 的平分线上。根据判定定理，在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，已知 DE = DF，DE⊥AB，DF⊥AC，可证明点 D 在∠BAC 的平分线上。
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC（已知），
∴∠DEB = ∠DFC = 90°。
∵D 是 BC 的中点（已知），
∴BD = CD。
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
幻灯片 7：三角形角平分线的性质
探究活动：作出△ABC 三个内角的平分线，观察这三条角平分线的位置关系，它们是否交于一点？测量该交点到三角形三边的距离，你发现了什么？
性质总结：三角形的三条角平分线相交于一点，这个点到三角形三条边的距离相等。这个点叫做三角形的内心。
图示说明：在△ABC 中，画出∠A、∠B、∠C 的平分线，交于点 O，过点 O 分别作三边的垂线，垂足为 D、E、F，通过测量得出 OD = OE = OF，验证性质的正确性。
应用提示：三角形内心的这一性质在几何计算和作图中有着重要应用，如求三角形内切圆的圆心等。
幻灯片 8：综合应用实例（三）
例题 3：如图，已知 BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACB，且点 E 到 BC 的距离为 3cm，求点 E 到 AB 和 AC 的距离。
分析：根据角平分线的性质定理，点 E 在∠ABC 的平分线上，所以点 E 到 AB 和 BC 的距离相等；点 E 在∠ACB 的平分线上，所以点 E 到 AC 和 BC 的距离相等，进而可得点 E 到 AB、BC 和 AC 的距离相等。
解答过程：过点 E 分别作 ED⊥BC 于 D，EF⊥AB 于 F，EG⊥AC 于 G。
∵BE 平分∠ABC，ED⊥BC，EF⊥AB，
∴EF = ED（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∵CE 平分∠ACB，ED⊥BC，EG⊥AC，
∴EG = ED（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）。
∴EF = EG = ED。
∵ED = 3cm，
∴EF = EG = 3cm，即点 E 到 AB 和 AC 的距离都是 3cm。
幻灯片 9：角平分线性质与判定的对比
项目
角平分线的性质定理
角平分线的判定定理
条件
点在角的平分线上，且到角两边的距离垂直
在角的内部，点到角两边的距离相等且垂直
结论
点到角两边的距离相等
点在角的平分线上
作用
由点在角平分线上，得到距离相等
由距离相等，得到点在角平分线上
关系
互逆定理
互逆定理
总结：性质定理和判定定理是互逆的，性质定理是 “以位置定距离”，判定定理是 “以距离定位置”，在解题时需根据已知条件和求证目标灵活选择使用。
幻灯片 10：课堂练习（一）—— 性质与判定基础应用
题目 1：如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，若 PA = 5cm，求 PB 的长。
题目 2：如图，点 P 在∠AOB 的内部，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，且 PD = PE，求证：OP 平分∠AOB。
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，强调定理应用的条件和格式规范。
幻灯片 11：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点 O，OD⊥BC 于 D，若 OD = 2cm，△ABC 的周长为 20cm，求△ABC 的面积。
题目 2：如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：AD 垂直平分 EF。
分析与提示：题目 1 利用三角形内心到三边距离相等，将三角形面积转化为三个小三角形面积之和；题目 2 先证明 AE = AF，DE = DF，再利用线段垂直平分线的判定定理证明 AD 垂直平分 EF。
幻灯片 12：课堂总结
知识梳理：回顾角平分线的性质定理（角平分线上的点到角两边距离相等）和判定定理（角内部到角两边距离相等的点在角平分线上），总结三角形三条角平分线交于一点（内心）且到三边距离相等的性质，以及性质与判定的互逆关系。
方法归纳：解决与角平分线相关的问题，要善于利用性质定理实现距离相等的转化，利用判定定理判断点是否在角平分线上，结合三角形内心的性质解决面积等综合问题，注重数形结合和逻辑推理。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练运用角平分线的性质和判定解决距离计算、角平分线判定、三角形面积等问题，提高几何应用和推理能力。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固角平分线的性质、判定及三角形内心的性质。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是中线，DE⊥AB 于 E，DF⊥AC 于 F，求证：DE = DF。
拓展作业：探究如何利用角平分线的性质和判定解决 “三角形中到三边距离之和最小的点” 问题，结合实例说明你的发现。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.3.2角的平分线的性质与判定
第15章 轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握角平分线的性质及其判定.
2.能利用角平分线的性质及其判定解决几何图形中的问题.
3.知道三角形的三个内角的平分线相交于一点.
4.知道三角形角平分线的交点到三角形三边的距离相等.
◎重点:1.角平分线的性质的性质及其判定.
2.三角形三个内角平分线交点的性质.
◎难点:角平分线的性质及其判定的综合应用.
如图，要在两条公路的中间修建一座加油站，要求选的位置到两条公路的距离相等，请你设计出加油站的位置，并说明你的理由.
角平分线性质定理
阅读教材本课时相关的内容，回答下列问题.
1.揭示概念:角平分线上的点到角两边的距离 相等 .
2.归纳:角平分线的判定定理: 角的内部到角两边距离相等的点 在角的平分线上.
相等
角的内部到角两边距离相等
的点
1.已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于 E，且DE＝
3 cm，则点D到AC的距离是( B )
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.6 cm
B
2.已知P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，且PD＝PE，∠AOB＝50°，则∠POE的度数是
( A )
A.25° B.50° C.75° D.100°
学法指导:若题中已知角平分线，则过角平分线上的点作两边的垂线是常用的辅助线之一.
A
角平分线的性质
1. 我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE＝OF.
证明:在△ABD和△CBD中，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠ABC.
又∵OE⊥AB，OF⊥CB，∴OE＝OF.
用角平分线性质计算
2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝13 cm，AB＝26 cm，BE平分∠ABC，那么CE∶EA＝ 1∶2 .
1∶2
利用角平分线性质定理解决几何问题
3.如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD平分∠BAC，求证:AB＋BD＝AC.
证明:如图，延长AB到点E，使BE＝BD，连接DE，则∠BDE＝∠BED，
∴AE＝AB＋BD.
∵∠ABD＝2∠BED，∠ABD＝2∠C，
∴∠BED＝∠C.
∵∠1＝∠2，
∴△ADC≌△ADE，AC＝AE，
∴AB＋BD＝AC.
【变式训练】如上题图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＋BD＝AC，求∠B∶∠C的值.
解:辅助线同上，得AE＝AB＋BD.
∵AB＋BD＝AC，∴AE＝AC.
易证△ADC≌△ADE，∠ACD＝∠BED，∴∠ABD＝2∠ACD，即∠ABD∶∠ACD＝2∶1.
如图，上节课我们知道如何在两条公路的中间修建一座加油站，使得加油站到两条公路的距离相等.现在我们将问题进行升级，如何在三条公路的中间，选择一个地点建造加油站，使得加油站到三条公路的距离都相等.
三角形内角平分线交点的性质
揭示概念:三角形三条内角平分线相交于 一 点，这点到三角形三边的距离 相等 .
学法指导:用分割与组合的方式求三角形面积的方法是常见的求面积的途径之一.
一
相等
1.如图，D为∠ABC的平分线上一点，P为平分线上异于D的一点，PA⊥BA，PC⊥BC，垂足分别为A，C，则下列结论错误的是( C )
A.AD＝CD
B.∠DAP＝∠DCP
C.PD＝BD
D.∠ADB＝∠BDC
C
2. 如图，某市高新开发区有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中新安置一景观照明灯，要求灯到三条马路的距离相等，请你帮助确定灯的位置.
解:图略(提示:做三条马路所形成的夹角中任意两个角的平分线的交点即为灯应安置的地方).
平分线的应用
1. 如图，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则供选择的地址有( D )
A.1处 B.2处
C.3处 D.4处
D
2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠CAB的平分线，求证:AC＋CD＝AB.
证明:在AB上截取AE，使AE＝AC，连接DE.
∵AD是∠CAB的平分线，
∴∠1＝∠2.
∴△ACD≌△AED(SAS)，∴CD＝DE，
∠AED＝∠C＝90°.
又∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC＝45°，
∴DE＝EB，∴AC＋CD＝AE＋DE＝AE＋EB＝AB，即AC＋CD＝AB.
【方法归纳交流】证明一条线段等于两条相等的长，可以从“长”线段中截取一段等于其中一条线段，再证明剩余“部分”与另一条线段相等；也可将两条线段“拼”接在一条线段上，然后证明相等.
3.在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足为E、F，且BD＝CD.求证:BE＝CF.
证明:∵AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，又∵BD＝CD，∴△BDE≌△CDF(HL).∴BE＝CF.
【变式训练】对于第3题，其他条件不变，若已知BE＝CF，求证:BD＝CD.
证明:∵AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
又∵BE＝CF，∴△BDE≌△CDF(SAS)，
∴BD＝CD.
用角平分线性质解决实际问题
4.如图，有一块三角形的空地，其三边长分别为20 m、30 m、40 m，现在要把它分成面积比为2∶3∶4的三部分，分别种植不同的花.请你设计出一个方案，并说明你的理由.
解:方案:如图，分别作∠C和∠B的角平分线，它们相交于点P，连接PA.则△PAB、△PAC、△PBC的面积之比就是2∶3∶4.
理由:经过点P作PE⊥AB于点E，
PF⊥AC于点F，PH⊥BC于点H.
因为P是∠C和∠B的角平分线上的点，
所以PE＝PF＝PH，
所以S△ABP＝AB×PE＝10PE，
S△BCP＝BC×PH＝20PH，
S△ACP＝AC×PF＝15PF，
所以S△ABP∶S△ACP∶S△BCP＝10PE∶15PF∶20PH＝2∶3∶4.
【方法归纳交流】涉及角平分线的问题时，常用的辅助线有:
(1)如图1，自角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线的性质解题.
(2)在长的角边上截取等于短的角边——截长(如图2)，或延长短的角边使其等于长的角边——补短(如图3)，从而构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质解题.
1. 已知△ABC的周长为20 cm，角平分线AD、BE相交于点O，OP⊥AB交AB于点P，OP＝2 cm，则△ABC的面积为 20 cm2 .
20
cm2
2.如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD＝20°，求∠ADE的度数.
解:如图，作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，
垂足分别是N、M、P.
∵∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝
100°－20°＝80°，
∠PBA＝180°－100°＝80°，
∴∠PBA＝∠ABD.
∵EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，
∴EP＝EM.
又∵CE平分∠ACB，EN⊥CA，
EP⊥CB，∴EN＝EP，
∴EN＝EM，∴ED平分∠ADB.
∵∠ADB＝∠DBC＋∠DCB＝20°＋20°＝40°，
∴∠ADE＝∠ADB＝×40°＝20°.
【方法归纳交流】遇到角的平分线，要考虑“角平分线上的点到角两边的距离相等”和利用角平分线构造全等三角形.要证明“一条线段(或角)是另外两条线段(或角)的和”可以考虑用“截补法”.
1.△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6 cm，4 cm，4 cm，P为△ABC三条角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于( D )
A.1∶1∶1 B.2∶2∶3
C.2∶3∶2 D.3∶2∶2
D
2.如图，AD是∠BAC的平分线，DB⊥AB，DC⊥AC，B、C是垂足，那么BE与CE的关系是怎样的呢？请证明你的结论.
解:BE＝CE.
提示:先证△ABD≌△ACD，再证△BDE≌△CDE，得出BE＝CE.
知识点1 角平分线的性质
1. 如图，为 的平分线，
，，垂足分别是点, ,
则下列结论不一定正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2. 已知是等腰三角形底边上的高，若点 到直线
的距离为3，则点到直线 的距离为( )
C
A. B. 2 C. 3 D.
返回
（第3题）
3. ［2024天津］如图， 中，
, ，以点 为圆心，
适当长为半径画弧，交于点，交
于点；再分别以点, 为圆心，大于
的长为半径画弧，两弧（所在圆的
B
A. B. C. D.
半径相等）在的内部相交于点；画射线，与 相
交于点，则 的大小为( )
（第3题）
【点拨】 , ，
.
由作图知，平分 ，
.
.
返回
（第4题）
4. 如图，在
中，以点 为圆心，任意长
为半径作弧，分别交, 于点
,；分别以点， 为圆心，大
12
于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点 .
若,,的面积为8，则 的面积为____.
返回
知识点2 角的平分线的判定
（第5题）
5. 如图，， ，垂足分别
为，，，相交于点 ，若
，则与 的大小关系是( )
A
A. B.
C. D. 无法确定
返回
（第6题）
6. ［2025东莞期中］小明将两把完全
相同的长方形直尺（单位： ）如图
放置在 上，两把直尺的接触点为
，边 与其中一把直尺边缘的交点为
，点, 在这把直尺上的刻度读数分
别是2和5，则 的长度是( )
A
A. B. C. D.
返回
易错点 因考虑问题不全面而漏解
7.如图，直线,, 表示三条两两相互交叉的公路,现在拟建
一个货物中转站,要求它到三条公路的距离都相等,则可供选
择的地址有___处.
4
返回
8.［2025宿州校级模拟］如图，钝角三角形 的面积为14，
最长边，平分，点，分别是， 上的
动点，则 的最小值为___.
4
（第8题）
【点拨】如图，过点作于点 ，
交于点，过点作于点 ，
此时有最小值. 平分
面积为14，， ，
，即 的最小值为4.
，，， ，
三角形 的
返回
9.［2025宁波期中］如图，四边形，和分别平分
和，过点，且与垂直，若 ，
，则四边形的面积是____ .
40
（第9题）
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！