15.4.1等腰三角形的边角的性质 课件（共19张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）

(共19张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.4.1 等腰三角形的边角的性质
副标题：探究等腰三角形边与角的特殊关系
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：前面学习了轴对称、角平分线、线段垂直平分线等知识，这些知识为我们研究特殊三角形奠定了基础。三角形按边分类可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形是一类特殊且重要的三角形，它具有哪些独特的边角性质呢？本节课将深入探究。
情境引入：展示生活中常见的等腰三角形实例，如屋顶的框架、等腰三角尺、交通标志等。提问：“这些三角形有什么共同特点？它们的边和角之间可能存在怎样的关系？” 引导学生观察并思考。
学习目标：
理解等腰三角形的定义，能准确识别等腰三角形的各部分名称。
掌握等腰三角形的边角性质，包括 “等边对等角” 和 “三线合一”。
能运用等腰三角形的边角性质解决角度计算和几何证明问题。
通过探究等腰三角形的性质，体会轴对称在几何研究中的作用，培养推理能力。
幻灯片 3：等腰三角形的定义与相关概念
定义讲解：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
图示说明：画出一个等腰三角形 ABC，标注 AB = AC（腰），BC（底边），∠A（顶角），∠B 和∠C（底角）。通过不同方向的等腰三角形示例（如顶角在上、在下），让学生熟悉各部分名称。
特殊情况：特别指出，等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三条边都相等，三个角也都相等。在后续学习中，等边三角形的性质可由等腰三角形性质推导得出。
幻灯片 4：探究等腰三角形的性质 —— 等边对等角
探究活动：取一张等腰三角形纸片 ABC（AB = AC），将其对折，使腰 AB 与 AC 重合，观察折叠后得到的图形，思考以下问题：
折叠后，顶角∠A 的两边重合，说明顶角被怎样处理了？
底角∠B 和∠C 的位置关系如何？它们的大小是否相等？
折痕与底边 BC 的位置关系是什么？
实验现象：折叠后，顶角∠A 被平分，底角∠B 和∠C 重合，折痕垂直于底边 BC 且平分底边 BC。
性质总结：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）。即如果 AB = AC，那么∠B = ∠C。
动画演示：通过动画模拟折叠过程，清晰展示底角重合的现象，强化 “等边对等角” 的直观认识。
幻灯片 5：“等边对等角” 的证明
已知与求证：
已知：在△ABC 中，AB = AC。
求证：∠B = ∠C。
证明思路：通过作辅助线（顶角平分线、底边上的中线或底边上的高），利用全等三角形证明底角相等。这里以作顶角平分线为例进行证明。
证明过程：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
∵AD 平分∠BAC（辅助线作法），
∴∠BAD = ∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
AB = AC（已知），
∠BAD = ∠CAD（已证），
AD = AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴∠B = ∠C（全等三角形对应角相等）。
辅助线说明：强调辅助线的作用是构造全等三角形，其他两种辅助线作法（底边上的中线、底边上的高）也可证明，课后可让学生尝试。
幻灯片 6：等腰三角形的性质 —— 三线合一
探究延续：结合前面的折叠实验和全等证明，观察折痕 AD（顶角平分线），它同时也是底边上的中线和底边上的高吗？
性质总结：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成 “三线合一”）。即在△ABC 中，AB = AC，
如果 AD 是顶角平分线，那么 AD 是底边上的中线，且 AD⊥BC。
如果 AD 是底边上的中线，那么 AD 是顶角平分线，且 AD⊥BC。
如果 AD 是底边上的高，那么 AD 是顶角平分线，且 AD 是底边上的中线。
证明验证：由前面△ABD≌△ACD 可得 BD = CD（AD 是中线），∠ADB = ∠ADC = 90°（AD 是高），验证 “三线合一” 的正确性。
图示标注：在等腰三角形中分别标注出顶角平分线、底边上的中线和底边上的高，展示它们重合的位置关系。
幻灯片 7：等腰三角形边角性质的应用（一）—— 角度计算
例题 1：在△ABC 中，AB = AC，∠A = 80°，求∠B 和∠C 的度数。
分析：根据 “等边对等角”，∠B = ∠C，再结合三角形内角和定理求出底角的度数。
解答过程：∵AB = AC（已知），
∴∠B = ∠C（等边对等角）。
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°（三角形内角和定理），∠A = 80°，
∴∠B = ∠C = （180° - 80°）÷ 2 = 50°。
变式练习：在△ABC 中，AB = AC，∠B = 50°，求∠A 的度数。（引导学生逆向运用 “等边对等角”）
幻灯片 8：等腰三角形边角性质的应用（二）—— 利用 “三线合一” 求线段长度
例题 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是底边 BC 上的中线，若 BC = 8cm，AD = 3cm，求 AB 的长度。
分析：根据 “三线合一”，AD 既是底边上的中线也是底边上的高，所以 AD⊥BC，BD = BC÷2 = 4cm。在 Rt△ABD 中，利用勾股定理可求出 AB 的长度。
解答过程：∵AB = AC，AD 是底边 BC 上的中线（已知），
∴AD⊥BC，BD = CD = BC÷2 = 8÷2 = 4cm（三线合一）。
在 Rt△ABD 中，由勾股定理得：
AB = AD + BD = 3 + 4 = 9 + 16 = 25，
∴AB = 5cm。
幻灯片 9：等腰三角形边角性质的应用（三）—— 证明线段相等
例题 3：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求∠A 的度数。
分析：设∠A = x°，利用 “等边对等角” 表示出其他角的度数，再根据三角形内角和定理列方程求解。
解答过程：设∠A = x°。
∵AD = BD（已知），
∴∠ABD = ∠A = x°（等边对等角）。
∴∠BDC = ∠A + ∠ABD = x° + x° = 2x°（三角形外角性质）。
∵BD = BC（已知），
∴∠C = ∠BDC = 2x°（等边对等角）。
∵AB = AC（已知），
∴∠ABC = ∠C = 2x°（等边对等角）。
∵∠A + ∠ABC + ∠C = 180°（三角形内角和定理），
∴x + 2x + 2x = 180，
5x = 180，
x = 36，即∠A = 36°。
幻灯片 10：等腰三角形性质的拓展 —— 等边三角形的性质
性质推导：等边三角形是特殊的等腰三角形（三边都相等），根据等腰三角形的性质可推出：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°。（由 “等边对等角” 可得三个角相等，再结合内角和定理求出每个角为 60°）
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（“三线合一” 的特殊情况）。
图示说明：画出等边三角形，标注出其中一条边上的中线、高和对角的平分线，展示它们重合的关系。
应用提示：等边三角形的性质在解决特殊角度（60°）的几何问题中经常用到，需熟练掌握。
幻灯片 11：课堂练习（一）—— 基础应用
题目 1：在等腰三角形中，顶角是底角的 2 倍，求这个等腰三角形各内角的度数。
题目 2：如图，在△ABC 中，AB = AC，AD⊥BC 于 D，若 AB = 10cm，AD = 8cm，求 BC 的长度。
学生解答：学生独立完成，教师巡视指导，重点关注学生对 “等边对等角” 和 “三线合一” 的应用是否正确。
幻灯片 12：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 E 在 BA 的延长线上，且 ED⊥BC 于 D，求证：AE = AF。
题目 2：已知等边三角形 ABC 的边长为 6cm，求它的高和面积。
分析与提示：题目 1 利用等腰三角形的性质和等角的余角相等证明角相等，进而得到线段相等；题目 2 利用等边三角形 “三线合一” 和勾股定理求高，再计算面积。
幻灯片 13：课堂总结
知识梳理：回顾等腰三角形的定义，总结其边角性质：“等边对等角”（等腰三角形两底角相等）和 “三线合一”（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），以及等边三角形的特殊性质。
方法归纳：解决等腰三角形问题时，常利用 “等边对等角” 进行角度转化，利用 “三线合一” 构造直角三角形或全等三角形，涉及计算时可结合三角形内角和定理、勾股定理等知识。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练运用等腰三角形的性质解决角度计算、线段长度求解和几何证明问题，体会轴对称思想在探究几何性质中的作用。
幻灯片 14：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固等腰三角形的边角性质及应用。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB = AC，∠BAC = 120°，AD⊥AC 交 BC 于 D，求证：CD = 2BD。
拓展作业：探究等腰三角形中腰上的高与底边的夹角和顶角的关系，写出你的发现并进行证明。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.4.1等腰三角形的边角的性质
第15章　轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握等腰三角形的性质定理.
◎重点:等腰三角形的性质定理及其证明.
同学们，大家在小学就学过很多关于等腰三角形的知识，本节我们要更全面、更系统地学习等腰三角形的相关知识.
等腰三角形的性质
阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.
1.等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两底角　相等　，即等边对　等角　.
推论:等边三角形的三个内角　相等　，每一个内角都等于　60°　.
相等　
等角　
相等　
60°　
1.等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于(　D　)
A.40° B.100°
C.70° D.40°或70°
D
等腰三角形的性质及其推论的有关计算
1.(方法指导:已知等腰三角形一个角时，要注意分类讨论，分已知角是底角还是顶角.)若等腰三角形一个角为70°，另外两个角度数分别为　55°，55°或70°，40°　.
55°，55°或70°，40°　
2. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，则∠ABD 等于(　B　)
A.36° B.54°
C.18° D.64°
B
知识点1 等腰三角形的“等边对等角”的性质
（第1题）
1.［2024济南］如图，已知， 是
等腰直角三角形， ，顶点,
分别在,上，当 时， ____.
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2.［2024内江］如图，在中， ，
，，则 的度数为______.
（第2题）
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（第3题）
3.如图，在点处用钉子将木条，
钉在一起，是木条 上一点，用橡皮
筋连接，，固定木条 ，把木条
绕转动．若是 的中点，当
的面积最大时，与 之
间存在的数量关系为_______________.
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4. 如图，锐角三角形中，，点， 分别在边
,上，连接, .下列命题中，假命题是( )
A
（第4题）
A. 若，则
B. 若,则
C. 若，则
D. 若，则
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知识点2 等边三角形的性质
（第5题）
5.如图，等腰三角形纸片中， ，
，垂足为 .小花放入一张等边三角形
纸片，在上，为与 的交点，
小都又放一张等边三角形纸片，在 上.
小花和小都量得， ，那么等腰三
角形纸片底边 的长应为____.
11
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（第6题）
6. 如图，是等边三角形的边
上的高，以点为圆心， 长为半径作
弧，交的延长线于点，连接 ，则
( )
C
A. B. C. D.
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（第7题）
7. 如图，是等边三角形， 是角平
分线，是等边三角形，连接 ，有
下列结论：
；； .
其中正确的个数为( )
A
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
（第7题）
【点拨】是等边三角形， 是角
平分线， ， ，①正
确； 是等边三角形，
，
. 平分
，，，②正确； ，③正
确， 正确结论的个数是3.
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易错点 求角的度数时考虑问题不全而漏解
8. 在和 中，
，， ，已知
，则 ______________.
或
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9. ［2025芜湖校级模拟］如图，在中， ，
，，分别是，，上的点，且 ，
，若 ，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！