15.4.2等腰三角形的“三线合一” 课件（共36张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024）
文档属性
| 名称 | 15.4.2等腰三角形的“三线合一” 课件（共36张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（沪科版版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:32:59 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：15.4.2 等腰三角形的 “三线合一”
副标题：深入探究等腰三角形的核心性质
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了等腰三角形的边角性质，知道等腰三角形的两个底角相等，即 “等边对等角”。同时还了解到等腰三角形具有 “三线合一” 的特性，这一性质是等腰三角形区别于其他三角形的重要标志，本节课将对 “三线合一” 进行深入探究。
情境引入：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，若不小心将等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高这三条线中的一条擦掉了，能否利用剩下的线把擦掉的线补画出来？这就需要我们深入理解 “三线合一” 的性质。
学习目标：
深刻理解等腰三角形 “三线合一” 的含义，明确 “三线” 所指的具体内容。
掌握 “三线合一” 性质的证明方法，能从不同角度进行推导。
能熟练运用 “三线合一” 性质解决几何证明、线段和角度计算等问题。
体会 “三线合一” 在等腰三角形问题中的核心作用，提升几何推理能力。
幻灯片 3：“三线合一” 的定义解读
“三线” 的含义：在等腰三角形中，“三线” 指的是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高。
“合一” 的含义：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，即这三条线实际上是同一条线。
符号表示：在△ABC 中，AB=AC，
若 AD 是∠BAC 的平分线，则 AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高）。
若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 是∠BAC 的平分线，且 AD⊥BC。
若 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高），则 AD 是∠BAC 的平分线，且 AD 是 BC 边上的中线。
图示说明：在等腰三角形 ABC 中，画出一条线 AD，分别标注出当 AD 是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高时的情况，展示三条线重合的现象。
幻灯片 4：“三线合一” 的证明（角度一：以顶角平分线为已知条件）
已知与求证：
已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，交 BC 于点 D。
求证：AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC。
证明过程：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知），
∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
∠BAD=∠CAD（已证），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴BD=CD（全等三角形对应边相等），即 AD 是 BC 边上的中线。
∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），
∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高）。
结论：当 AD 是顶角平分线时，AD 同时也是底边上的中线和底边上的高，验证了 “三线合一”。
幻灯片 5：“三线合一” 的证明（角度二：以底边上的中线为已知条件）
已知与求证：
已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，即 BD=CD。
求证：AD 是∠BAC 的平分线，且 AD⊥BC。
证明过程：在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
BD=CD（已知），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等），即 AD 是∠BAC 的平分线。
∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），
∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC。
结论：当 AD 是底边上的中线时，AD 同时也是顶角平分线和底边上的高，再次验证 “三线合一”。
幻灯片 6：“三线合一” 的证明（角度三：以底边上的高为已知条件）
已知与求证：
已知：在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，即∠ADB=∠ADC=90°。
求证：AD 是∠BAC 的平分线，且 AD 是 BC 边上的中线。
证明过程：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC（已知），
AD=AD（公共边），
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等），即 AD 是∠BAC 的平分线。
BD=CD（全等三角形对应边相等），即 AD 是 BC 边上的中线。
结论：当 AD 是底边上的高时，AD 同时也是顶角平分线和底边上的中线，全面验证 “三线合一” 的正确性。
幻灯片 7：“三线合一” 性质的应用（一）—— 证明线段垂直
例题 1：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，求证：AD⊥BC。
分析：已知 AB=AC，D 是 BC 中点（即 AD 是底边上的中线），根据 “三线合一” 性质，可直接得出 AD⊥BC。
证明：∵AB=AC（已知），D 是 BC 的中点（已知），
∴AD 是 BC 边上的中线。
根据等腰三角形 “三线合一” 性质，AD⊥BC。
方法总结：当已知等腰三角形和底边上的中线时，可直接利用 “三线合一” 证明这条中线也是底边上的高，即线段垂直。
幻灯片 8：“三线合一” 性质的应用（二）—— 证明角相等
例题 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，求证：∠BAD=∠CAD。
分析：已知 AB=AC，AD⊥BC（即 AD 是底边上的高），根据 “三线合一” 性质，AD 也是顶角平分线，从而得出角相等。
证明：∵AB=AC（已知），AD⊥BC（已知），
∴AD 是 BC 边上的高。
根据等腰三角形 “三线合一” 性质，AD 是∠BAC 的平分线。
∴∠BAD=∠CAD。
方法总结：当已知等腰三角形和底边上的高时，可利用 “三线合一” 证明这条高也是顶角平分线，进而证明角相等。
幻灯片 9：“三线合一” 性质的应用（三）—— 求线段长度
例题 3：如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm，∠BAC=120°，AD 是 BC 边上的中线，求 AD 和 BC 的长度。
分析：由 AB=AC，AD 是 BC 中线，根据 “三线合一” 可知 AD⊥BC，AD 平分∠BAC。先求出∠BAD 的度数，再在 Rt△ABD 中利用特殊角的三角函数或勾股定理求线段长度。
解答过程：∵AB=AC（已知），AD 是 BC 边上的中线（已知），
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC÷2=120°÷2=60°（三线合一）。
在 Rt△ABD 中，∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∴AD=AB÷2=10÷2=5cm（直角三角形中 30° 所对直角边等于斜边的一半）。
由勾股定理得：BD=√(AB -AD )=√(10 -5 )=√75=5√3 cm。
∵AD 是 BC 中线，
∴BC=2BD=2×5√3=10√3 cm。
技巧提示：在等腰三角形中，涉及特殊角度（如 30°、60°、120°）时，结合 “三线合一” 构造直角三角形，可利用特殊角的性质简化计算。
幻灯片 10：“三线合一” 与其他知识的结合应用
例题 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，E 是 AC 上一点，且 AD=AE，求证：DE⊥BC。
分析：要证 DE⊥BC，可先证 DE 平行于某条与 BC 垂直的线。由 AB=AC 想到作底边 BC 的高 AF，利用 “三线合一” 得 AF⊥BC，再证 DE∥AF 即可。
证明：过点 A 作 AF⊥BC 于 F。
∵AB=AC，AF⊥BC（辅助线作法），
∴AF 是∠BAC 的平分线（三线合一），∠BAC=2∠BAF。
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED。
∵∠BAC=∠ADE+∠AED=2∠ADE，
∴∠BAF=∠ADE。
∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）。
∵AF⊥BC，
∴DE⊥BC。
方法提炼：当直接证明垂直困难时，可利用 “三线合一” 构造等腰三角形的高，通过平行线的性质转化垂直关系。
幻灯片 11：“三线合一” 的常见误区与注意事项
误区一：在非等腰三角形中应用 “三线合一”。“三线合一” 是等腰三角形特有的性质，普通三角形（不等边三角形）不具备这一性质，不能随意应用。
误区二：混淆 “三线” 的位置。“三线合一” 中的 “三线” 指的是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高，是针对等腰三角形的顶角和底边而言的，腰上的中线、高和顶角的平分线不一定重合。
注意事项：应用 “三线合一” 时，必须先明确三角形是等腰三角形，且所涉及的线是针对顶角和底边的，确保条件满足后再应用性质。
幻灯片 12：课堂练习（一）—— 基础应用
题目 1：在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 BC=8cm，求 BD 的长度。
题目 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，若∠B=50°，求∠BAD 的度数。
学生解答：学生独立完成，教师巡视，重点检查学生是否能正确识别 “三线”，并准确应用 “三线合一” 性质。
幻灯片 13：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：如图，在△ABC 中，AB=AC，E 是 BC 上一点，且 BE=CE，求证：AE 平分∠BAC。
题目 2：已知等腰三角形的腰长为 13cm，底边长为 10cm，求底边上的高和面积。
分析与提示：题目 1 利用 “三线合一” 中底边上的中线也是顶角平分线进行证明；题目 2 先根据 “三线合一” 确定底边上的高将底边平分，再用勾股定理求高，最后计算面积。
幻灯片 14：课堂总结
知识梳理：回顾等腰三角形 “三线合一” 的定义，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；总结其三种证明方法，分别以不同的 “线” 作为已知条件进行推导。
应用归纳：“三线合一” 可用于证明线段垂直、角相等、线段相等，以及求解线段长度和角度大小，是解决等腰三角形问题的重要工具。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练识别 “三线合一” 的条件，灵活运用该性质解决各类几何问题，体会其在等腰三角形知识体系中的核心地位。
幻灯片 15：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固 “三线合一” 性质的理解与基本应用。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 延长线上一点，且 BD=BA，E 是 AC 中点，求证：DE= AB。
拓展作业：探究在等腰三角形中，若过腰上的中点作底边的垂线，是否也能得到类似 “三线合一” 的结论？写出你的猜想并尝试证明。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.4.2等腰三角形的“三线合一”
第15章 轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
2.能用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算.
3.能用等腰三角形的性质解决几何问题中的证明.
4.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程.
◎重点:用等腰三角形的性质进行计算和证明.
◎难点:“三线合一”的理解.
1.知道等腰三角形“三线合一”的特性.
等腰三角形的性质
阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.
等腰三角形顶角的平分线 垂直平分 底边，即等腰三角形顶角的平分线、 底边的中线 和 底边的高 三线合一.
垂直平分
底边的中线
底边的高
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，以下结论中错误的是( B )
A.△ABD≌△ACD
B.∠B＝∠BAD
C.D为BC的中点
D.AD是△ABC的角平分线
2.在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且BD＝CD.若∠BAC＝100°，则∠CAD＝ 50° .
B
50°
3.下列说法不．正．确．的是( D )
A.等腰三角形底边的高平分底边，平分顶角
B.等腰三角形底边的中线垂直底边，平分顶角
C.等腰三角形顶角的平分线垂直底边，平分底边
D.等腰三角形底边的中垂线不一定平分顶角
D
【变式训练】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝ 30 °.
30
等腰三角形及其推论的有关证明
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC的中点，Q为AP延长线上一点，且∠1＝∠2，求证:QM＝QN.
证明:∵AB＝AC，P为底边BC的中点，AP⊥BC，
即∠MPQ＝∠NPQ＝90°，
又∠1＝∠2，PQ＝PQ，∴△PQM≌△PQN.
∴QM＝QN.
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是( C )
A.100°
B.105°
C.110°
D.120°
C
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，试探索DE与AF的位置关系，并证明你的结论.
解:DE∥AF.
证明如下:
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAC＝(180°－∠CAD).
又∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝(180°－∠CAD)，
∴∠AED＝∠CAF，∴DE∥AF.
黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值.顶角是36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍.顶角是108°的黄金三角形把顶角分成一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍.
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，∠ACD＝20°，则∠A的度数是( A )
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
A
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点 E.
(1)证明:AE＝ED；
(2)求线段DE的长.
解:(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE.
(2)∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠EDB＝∠B，
∴BE＝DE，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝×8＝4.
利用等腰三角形的性质进行计算
1. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝54°，则∠1的大小为( C )
A.36° B.54° C.72° D.73°
C
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数.
解:如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝(180°－∠BAC)
＝(180°－54°)＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝63°－27°＝36°.
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O在BC的垂直平分线上(等腰三角形“三线合一”)，
∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝36°.
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－36°－36°＝108°.
3. 如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数.
解:设∠A＝x，∵AD＝DE＝BE，
∴∠A＝∠DEA＝x，
∴∠EDB＝∠DBA＝∠DEA＝x.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝∠A＋∠DBA＝x.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝x.
∵∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，∴x＋x＋x＝180°，
解得x＝45°.
利用等腰三角形的性质进行证明
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AB＋BD，求证:∠B＝2∠C.
证明:如图，延长AB到点F，使AF＝AC，连接DF.
∵AC＝AB＋BD，AF＝AC，∴BD＝BF，∴∠F＝∠BDF.
∵∠ABC＝∠F＋∠BDF，
∴∠ABC＝2∠F.
在△ADF和△ADC中，
∴△ADF≌△ADC(SAS)，
∴∠C＝∠F，∴∠ABC＝2∠C.
1.如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，你知道∠ACB的度数吗？由此你能得到一个什么结论？
解:∠ACB的度数是90°，理由如下:
∵CD是△ABC的中线，且CD＝AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
∵∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠ACB＝90°.
结论:一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.
2. 如图，在等边三角形ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AD＝BE，AE、CD相交于点P.求证:∠CPE＝60°.
证明:∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝CA.
又∵BE＝AD，∴△ABE≌△CAD，
∴∠BAE＝∠ACD，
又∵∠CPE是△APC的一个外角，
∴∠CPE＝∠PAC＋∠ACD＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC.
∵∠BAC＝60°，∴∠CPE＝60°.
知识点 等腰三角形的“三线合一”的性质
（第1题）
1.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程
人员的操作方法是：从电线杆上一点
往地面拉两条长度相等的固定绳和 ，
当固定点，到杆脚 的距离相等，点
，，在同一直线上时，电线杆 就
等腰三角形的
三线合一
垂直于 ．工程人员这种操作方法的依据是______________
_________.
返回
（第2题）
2.如图，在中， .分别以点
和点为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点，作直线交于点 ，若
，则的大小为___ .
D
返回
（第3题）
3. 如图，在等腰三角形中，， 为
中点，连接，若， ，则
与 之间的函数关系式是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. ［2024广州］如图，在 中，
，，为边
的中点，点，分别在边， 上，
，则四边形 的面积为
( )
C
A. 18 B. C. 9 D.
【点拨】连接 ，如图.
，，是
的中点， ,
.又 ,
.
.又, .
返回
5. ［2025临沂期末］如图，在 中，
，，，直线 垂
直平分线段，若为边的中点，点 为
直线上一动点，则 周长的最小值为
( )
C
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【点拨】如图，连接, ，
，为边的中点， ，
， .
，
，
解得 直线垂直平分线段， ，
的周长为
.由两点之间
线段最短可知，当,, 三点共线时，
的值最小，最小值为 的长，
周长的最小值为
.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：15.4.2 等腰三角形的 “三线合一”
副标题：深入探究等腰三角形的核心性质
教师姓名：[教师姓名]
授课日期：[具体日期]
幻灯片 2：复习回顾与情境引入
复习回顾：上节课学习了等腰三角形的边角性质，知道等腰三角形的两个底角相等，即 “等边对等角”。同时还了解到等腰三角形具有 “三线合一” 的特性，这一性质是等腰三角形区别于其他三角形的重要标志，本节课将对 “三线合一” 进行深入探究。
情境引入：如图，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC，若不小心将等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高这三条线中的一条擦掉了，能否利用剩下的线把擦掉的线补画出来？这就需要我们深入理解 “三线合一” 的性质。
学习目标：
深刻理解等腰三角形 “三线合一” 的含义，明确 “三线” 所指的具体内容。
掌握 “三线合一” 性质的证明方法，能从不同角度进行推导。
能熟练运用 “三线合一” 性质解决几何证明、线段和角度计算等问题。
体会 “三线合一” 在等腰三角形问题中的核心作用，提升几何推理能力。
幻灯片 3：“三线合一” 的定义解读
“三线” 的含义：在等腰三角形中，“三线” 指的是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高。
“合一” 的含义：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，即这三条线实际上是同一条线。
符号表示：在△ABC 中，AB=AC，
若 AD 是∠BAC 的平分线，则 AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高）。
若 AD 是 BC 边上的中线，则 AD 是∠BAC 的平分线，且 AD⊥BC。
若 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高），则 AD 是∠BAC 的平分线，且 AD 是 BC 边上的中线。
图示说明：在等腰三角形 ABC 中，画出一条线 AD，分别标注出当 AD 是顶角平分线、底边上的中线、底边上的高时的情况，展示三条线重合的现象。
幻灯片 4：“三线合一” 的证明（角度一：以顶角平分线为已知条件）
已知与求证：
已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线，交 BC 于点 D。
求证：AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC。
证明过程：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知），
∴∠BAD=∠CAD。
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
∠BAD=∠CAD（已证），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SAS）。
∴BD=CD（全等三角形对应边相等），即 AD 是 BC 边上的中线。
∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），
∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC（AD 是 BC 边上的高）。
结论：当 AD 是顶角平分线时，AD 同时也是底边上的中线和底边上的高，验证了 “三线合一”。
幻灯片 5：“三线合一” 的证明（角度二：以底边上的中线为已知条件）
已知与求证：
已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，即 BD=CD。
求证：AD 是∠BAC 的平分线，且 AD⊥BC。
证明过程：在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
BD=CD（已知），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等），即 AD 是∠BAC 的平分线。
∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
又∵∠ADB+∠ADC=180°（平角定义），
∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC。
结论：当 AD 是底边上的中线时，AD 同时也是顶角平分线和底边上的高，再次验证 “三线合一”。
幻灯片 6：“三线合一” 的证明（角度三：以底边上的高为已知条件）
已知与求证：
已知：在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，即∠ADB=∠ADC=90°。
求证：AD 是∠BAC 的平分线，且 AD 是 BC 边上的中线。
证明过程：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC（已知），
AD=AD（公共边），
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。
∴∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等），即 AD 是∠BAC 的平分线。
BD=CD（全等三角形对应边相等），即 AD 是 BC 边上的中线。
结论：当 AD 是底边上的高时，AD 同时也是顶角平分线和底边上的中线，全面验证 “三线合一” 的正确性。
幻灯片 7：“三线合一” 性质的应用（一）—— 证明线段垂直
例题 1：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，求证：AD⊥BC。
分析：已知 AB=AC，D 是 BC 中点（即 AD 是底边上的中线），根据 “三线合一” 性质，可直接得出 AD⊥BC。
证明：∵AB=AC（已知），D 是 BC 的中点（已知），
∴AD 是 BC 边上的中线。
根据等腰三角形 “三线合一” 性质，AD⊥BC。
方法总结：当已知等腰三角形和底边上的中线时，可直接利用 “三线合一” 证明这条中线也是底边上的高，即线段垂直。
幻灯片 8：“三线合一” 性质的应用（二）—— 证明角相等
例题 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，求证：∠BAD=∠CAD。
分析：已知 AB=AC，AD⊥BC（即 AD 是底边上的高），根据 “三线合一” 性质，AD 也是顶角平分线，从而得出角相等。
证明：∵AB=AC（已知），AD⊥BC（已知），
∴AD 是 BC 边上的高。
根据等腰三角形 “三线合一” 性质，AD 是∠BAC 的平分线。
∴∠BAD=∠CAD。
方法总结：当已知等腰三角形和底边上的高时，可利用 “三线合一” 证明这条高也是顶角平分线，进而证明角相等。
幻灯片 9：“三线合一” 性质的应用（三）—— 求线段长度
例题 3：如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm，∠BAC=120°，AD 是 BC 边上的中线，求 AD 和 BC 的长度。
分析：由 AB=AC，AD 是 BC 中线，根据 “三线合一” 可知 AD⊥BC，AD 平分∠BAC。先求出∠BAD 的度数，再在 Rt△ABD 中利用特殊角的三角函数或勾股定理求线段长度。
解答过程：∵AB=AC（已知），AD 是 BC 边上的中线（已知），
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC÷2=120°÷2=60°（三线合一）。
在 Rt△ABD 中，∠BAD=60°，
∴∠B=30°，
∴AD=AB÷2=10÷2=5cm（直角三角形中 30° 所对直角边等于斜边的一半）。
由勾股定理得：BD=√(AB -AD )=√(10 -5 )=√75=5√3 cm。
∵AD 是 BC 中线，
∴BC=2BD=2×5√3=10√3 cm。
技巧提示：在等腰三角形中，涉及特殊角度（如 30°、60°、120°）时，结合 “三线合一” 构造直角三角形，可利用特殊角的性质简化计算。
幻灯片 10：“三线合一” 与其他知识的结合应用
例题 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，E 是 AC 上一点，且 AD=AE，求证：DE⊥BC。
分析：要证 DE⊥BC，可先证 DE 平行于某条与 BC 垂直的线。由 AB=AC 想到作底边 BC 的高 AF，利用 “三线合一” 得 AF⊥BC，再证 DE∥AF 即可。
证明：过点 A 作 AF⊥BC 于 F。
∵AB=AC，AF⊥BC（辅助线作法），
∴AF 是∠BAC 的平分线（三线合一），∠BAC=2∠BAF。
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED。
∵∠BAC=∠ADE+∠AED=2∠ADE，
∴∠BAF=∠ADE。
∴DE∥AF（同位角相等，两直线平行）。
∵AF⊥BC，
∴DE⊥BC。
方法提炼：当直接证明垂直困难时，可利用 “三线合一” 构造等腰三角形的高，通过平行线的性质转化垂直关系。
幻灯片 11：“三线合一” 的常见误区与注意事项
误区一：在非等腰三角形中应用 “三线合一”。“三线合一” 是等腰三角形特有的性质，普通三角形（不等边三角形）不具备这一性质，不能随意应用。
误区二：混淆 “三线” 的位置。“三线合一” 中的 “三线” 指的是顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高，是针对等腰三角形的顶角和底边而言的，腰上的中线、高和顶角的平分线不一定重合。
注意事项：应用 “三线合一” 时，必须先明确三角形是等腰三角形，且所涉及的线是针对顶角和底边的，确保条件满足后再应用性质。
幻灯片 12：课堂练习（一）—— 基础应用
题目 1：在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，交 BC 于 D，若 BC=8cm，求 BD 的长度。
题目 2：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，若∠B=50°，求∠BAD 的度数。
学生解答：学生独立完成，教师巡视，重点检查学生是否能正确识别 “三线”，并准确应用 “三线合一” 性质。
幻灯片 13：课堂练习（二）—— 综合应用
题目 1：如图，在△ABC 中，AB=AC，E 是 BC 上一点，且 BE=CE，求证：AE 平分∠BAC。
题目 2：已知等腰三角形的腰长为 13cm，底边长为 10cm，求底边上的高和面积。
分析与提示：题目 1 利用 “三线合一” 中底边上的中线也是顶角平分线进行证明；题目 2 先根据 “三线合一” 确定底边上的高将底边平分，再用勾股定理求高，最后计算面积。
幻灯片 14：课堂总结
知识梳理：回顾等腰三角形 “三线合一” 的定义，即顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合；总结其三种证明方法，分别以不同的 “线” 作为已知条件进行推导。
应用归纳：“三线合一” 可用于证明线段垂直、角相等、线段相等，以及求解线段长度和角度大小，是解决等腰三角形问题的重要工具。
能力提升：通过本节课的学习，要能熟练识别 “三线合一” 的条件，灵活运用该性质解决各类几何问题，体会其在等腰三角形知识体系中的核心地位。
幻灯片 15：作业布置
基础作业：教材课后习题 [具体页码和题号]，巩固 “三线合一” 性质的理解与基本应用。
提升作业：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 延长线上一点，且 BD=BA，E 是 AC 中点，求证：DE= AB。
拓展作业：探究在等腰三角形中，若过腰上的中点作底边的垂线，是否也能得到类似 “三线合一” 的结论？写出你的猜想并尝试证明。
2025-2026学年沪科版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
15.4.2等腰三角形的“三线合一”
第15章 轴对称图形与等腰三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
2.能用等腰三角形的性质进行几何图形中的计算.
3.能用等腰三角形的性质解决几何问题中的证明.
4.经历用等腰三角形的性质证明“HL”定理的过程.
◎重点:用等腰三角形的性质进行计算和证明.
◎难点:“三线合一”的理解.
1.知道等腰三角形“三线合一”的特性.
等腰三角形的性质
阅读教材本课时相关内容，解决下列问题.
等腰三角形顶角的平分线 垂直平分 底边，即等腰三角形顶角的平分线、 底边的中线 和 底边的高 三线合一.
垂直平分
底边的中线
底边的高
1. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，以下结论中错误的是( B )
A.△ABD≌△ACD
B.∠B＝∠BAD
C.D为BC的中点
D.AD是△ABC的角平分线
2.在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，且BD＝CD.若∠BAC＝100°，则∠CAD＝ 50° .
B
50°
3.下列说法不．正．确．的是( D )
A.等腰三角形底边的高平分底边，平分顶角
B.等腰三角形底边的中线垂直底边，平分顶角
C.等腰三角形顶角的平分线垂直底边，平分底边
D.等腰三角形底边的中垂线不一定平分顶角
D
【变式训练】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，则∠BAD＝ 30 °.
30
等腰三角形及其推论的有关证明
4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，P是BC的中点，Q为AP延长线上一点，且∠1＝∠2，求证:QM＝QN.
证明:∵AB＝AC，P为底边BC的中点，AP⊥BC，
即∠MPQ＝∠NPQ＝90°，
又∠1＝∠2，PQ＝PQ，∴△PQM≌△PQN.
∴QM＝QN.
1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AD是BC边上的中线，CE平分∠BCA交AB于点E，AD、CE相交于点F，则∠CFA的度数是( C )
A.100°
B.105°
C.110°
D.120°
C
2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，点D在BA的延长线上，点E在AC上，且AD＝AE，试探索DE与AF的位置关系，并证明你的结论.
解:DE∥AF.
证明如下:
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠CAF＝∠BAC＝(180°－∠CAD).
又∵AD＝AE，
∴∠AED＝∠ADE＝(180°－∠CAD)，
∴∠AED＝∠CAF，∴DE∥AF.
黄金三角形是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值.顶角是36°的黄金三角形按任意一底角的角平分线分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角是另一个的2倍.顶角是108°的黄金三角形把顶角分成一个72°和一个36°的角，这条分线也把黄金三角形分成两个小等腰三角形，且其中一个等腰三角形的底角也是另一个的2倍.
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AB于点D，连接CD，∠ACD＝20°，则∠A的度数是( A )
A.50°
B.40°
C.30°
D.20°
A
2.如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝8，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点 E.
(1)证明:AE＝ED；
(2)求线段DE的长.
解:(1)∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD.
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝∠CAD，
∴∠EAD＝∠ADE，
∴AE＝DE.
(2)∵DE∥AC，
∴∠EDB＝∠C.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠EDB＝∠B，
∴BE＝DE，
∴DE＝BE＝AE＝AB＝×8＝4.
利用等腰三角形的性质进行计算
1. 如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，若∠ABC＝54°，则∠1的大小为( C )
A.36° B.54° C.72° D.73°
C
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，求∠OEC的度数.
解:如图，连接OB、OC，
∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°.
又∵AB＝AC，∴∠ABC＝(180°－∠BAC)
＝(180°－54°)＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝63°－27°＝36°.
∵DO是AB的垂直平分线，AO为∠BAC的平分线，
∴点O在BC的垂直平分线上(等腰三角形“三线合一”)，
∴OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝36°.
∵将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－36°－36°＝108°.
3. 如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，求∠A的度数.
解:设∠A＝x，∵AD＝DE＝BE，
∴∠A＝∠DEA＝x，
∴∠EDB＝∠DBA＝∠DEA＝x.
∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝∠A＋∠DBA＝x.
∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝x.
∵∠C＋∠ABC＋∠A＝180°，∴x＋x＋x＝180°，
解得x＝45°.
利用等腰三角形的性质进行证明
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AC＝AB＋BD，求证:∠B＝2∠C.
证明:如图，延长AB到点F，使AF＝AC，连接DF.
∵AC＝AB＋BD，AF＝AC，∴BD＝BF，∴∠F＝∠BDF.
∵∠ABC＝∠F＋∠BDF，
∴∠ABC＝2∠F.
在△ADF和△ADC中，
∴△ADF≌△ADC(SAS)，
∴∠C＝∠F，∴∠ABC＝2∠C.
1.如图，CD是△ABC的中线，且CD＝AB，你知道∠ACB的度数吗？由此你能得到一个什么结论？
解:∠ACB的度数是90°，理由如下:
∵CD是△ABC的中线，且CD＝AB，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCD.
∵∠A＋∠ACD＋∠B＋∠BCD＝180°，
∴∠ACB＝90°.
结论:一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形.
2. 如图，在等边三角形ABC中，点D在AB上，点E在BC上，AD＝BE，AE、CD相交于点P.求证:∠CPE＝60°.
证明:∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠BAC＝60°，AB＝CA.
又∵BE＝AD，∴△ABE≌△CAD，
∴∠BAE＝∠ACD，
又∵∠CPE是△APC的一个外角，
∴∠CPE＝∠PAC＋∠ACD＝∠EAC＋∠BAE＝∠BAC.
∵∠BAC＝60°，∴∠CPE＝60°.
知识点 等腰三角形的“三线合一”的性质
（第1题）
1.如图，为了让电线杆垂直于地面，工程
人员的操作方法是：从电线杆上一点
往地面拉两条长度相等的固定绳和 ，
当固定点，到杆脚 的距离相等，点
，，在同一直线上时，电线杆 就
等腰三角形的
三线合一
垂直于 ．工程人员这种操作方法的依据是______________
_________.
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（第2题）
2.如图，在中， .分别以点
和点为圆心，大于 的长为半径作弧，
两弧交于点，作直线交于点 ，若
，则的大小为___ .
D
返回
（第3题）
3. 如图，在等腰三角形中，， 为
中点，连接，若， ，则
与 之间的函数关系式是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. ［2024广州］如图，在 中，
，，为边
的中点，点，分别在边， 上，
，则四边形 的面积为
( )
C
A. 18 B. C. 9 D.
【点拨】连接 ，如图.
，，是
的中点， ,
.又 ,
.
.又, .
返回
5. ［2025临沂期末］如图，在 中，
，，，直线 垂
直平分线段，若为边的中点，点 为
直线上一动点，则 周长的最小值为
( )
C
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
【点拨】如图，连接, ，
，为边的中点， ，
， .
，
，
解得 直线垂直平分线段， ，
的周长为
.由两点之间
线段最短可知，当,, 三点共线时，
的值最小，最小值为 的长，
周长的最小值为
.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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