10.2.1实数及其分类 课件（共29张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 10.2.1实数及其分类 课件（共29张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 05:42:05 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：10.2.1 实数及其分类
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：数轴上标注有理数和无理数的示意图，背景融入根号、圆周率等符号
幻灯片 2：目录
情境引入：数的范围的扩充
实数的概念：有理数与无理数
实数的分类：两种分类方式
有理数与无理数的区别
典型例题讲解
课堂互动：辨析与分类
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：数的范围的扩充
回顾数系发展：
小学阶段：自然数、分数（正有理数）。
初中阶段：引入负数，数系扩充到有理数（整数和分数）。
现实需求：
问题 1：边长为 1 的正方形，对角线长是多少？根据勾股定理，对角线长的平方等于 1 + 1 = 2，即对角线长为√2，√2 是有理数吗？
问题 2：圆的周长与直径的比值是 π，π 是有理数吗？
发现矛盾：√2 和 π 不能表示为分数形式，说明有理数已不能满足实际需求，需要扩充数系。
引入概念：像√2、π 这样的数是无理数，有理数和无理数统称为实数。
配图：正方形对角线示意图、圆的周长与直径关系图，标注√2 和 π
幻灯片 4：实数的概念：有理数与无理数
有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
特征：任何有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数都是有理数。
示例：5（整数）、-3/4（分数）、0.25（有限小数）、0.\(\dot{3}\)（无限循环小数）都是有理数。
无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
特征：不能表示为分数形式，小数部分无限且不循环。
示例：
开方开不尽的数：√2、√3、√5 等。
特殊常数：π（圆周率，约为 3.1415926535...）。
特定结构的无限不循环小数：0.1010010001...（每两个 1 之间依次多一个 0）。
实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
配图：有理数和无理数的概念对比图，标注各自的特征和示例
幻灯片 5：实数的分类：按定义分类
分类体系：
实数
├── 有理数
│ ├── 整数
│ │ ├── 正整数
│ │ ├── 0
│ │ └── 负整数
│ └── 分数
│ ├── 正分数
│ └── 负分数
└── 无理数
├── 正无理数（如√2、π）
└── 负无理数（如-√3、-π/2）
说明：
整数可以看作分母为 1 的分数，因此有理数都可以表示为分数\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）。
无理数不能表示为上述分数形式，其本质是无限不循环小数。
示例：将下列数分类：-5、3.14、√7、0、-1/3、0.\(\dot{7}\)、-√2、π/3。
有理数：-5、3.14、0、-1/3、0.\(\dot{7}\)。
无理数：√7、-√2、π/3。
配图：实数分类树状图，用不同颜色区分有理数和无理数
幻灯片 6：实数的分类：按性质分类
分类体系：
实数
├── 正实数
│ ├── 正有理数（如3、0.5）
│ └── 正无理数（如√5、π）
├── 0
└── 负实数
├── 负有理数（如-2、-1/4）
└── 负无理数（如-√3、-π）
说明：
0 既不是正数也不是负数，是实数中唯一的中性数。
正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数。
示例：将下列数按性质分类：√2、-3、0、5.2、-√5、π、-0.3。
正实数：√2、5.2、π。
0：0。
负实数：-3、-√5、-0.3。
对比两种分类：按定义分类突出数的结构特征，按性质分类突出数的大小特征，可根据需求选择分类方式。
配图：实数按性质分类的数轴表示，标注正实数、0、负实数的位置
幻灯片 7：有理数与无理数的区别
核心区别：
特征
有理数
无理数
小数形式
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
分数表示
能表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）
不能表示为分数形式
开方结果
开方开尽的数是有理数（如√4=2）
开方开不尽的数是无理数（如√2）
示例
-5、0.333、2/3
√3、π、0.101001000...
易错辨析：
错误：带根号的数都是无理数（纠正：√4=2 是有理数，开方开尽的数是有理数）。
错误：无限小数都是无理数（纠正：无限循环小数是有理数，如 0.\(\dot{6}\)=2/3）。
错误：π 是有理数（纠正：π 是无限不循环小数，是无理数）。
判断方法：判断一个数是否为无理数，关键看其是否为无限不循环小数，不能仅凭形式判断。
配图：有理数与无理数的区别对比表格，标注易错点示例
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 实数的识别与分类
例题 1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14159、√16、-√7、0.1010010001...、22/7、0.\(\dot{2}\dot{1}\)、π/2。
解题步骤：
有理数：3.14159（有限小数）、√16=4（整数）、22/7（分数）、0.\(\dot{2}\dot{1}\)（无限循环小数）。
无理数：-√7（开方开不尽）、0.1010010001...（无限不循环）、π/2（π 是无理数，其一半也是无理数）。
例题 2：将下列实数按要求分类：
正有理数：{}；负无理数：{}。
数：-√2、5、-3.14、√9、0、-1/3、π、0.618。
解题步骤：
正有理数：{5、√9=3、0.618}（√9 是整数，属于有理数）。
负无理数：{-√2}（-3.14 和 - 1/3 是负有理数，π 是正无理数）。
配图：例题 1 和例题 2 的分类过程示意图，标注判断依据
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 无理数的特征分析
例题 3：下列说法正确的是（ ）
A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数
C. 带根号的数都是无理数 D. 无理数都带根号
解题步骤：
A 错误：无限循环小数是有理数，如 0.\(\dot{3}\)。
B 正确：无理数的定义就是无限不循环小数，属于无限小数。
C 错误：√4=2 是有理数，开方开尽的数是有理数。
D 错误：π 是无理数，但不带根号。
答案：B。
例题 4：写出一个比 2 大且比 3 小的无理数：______。
解题步骤：
2=√4，3=√9，因此√5、√6、√7、√8 等都是介于 2 和 3 之间的无理数。
答案：√5（答案不唯一）。
配图：例题 3 的选项分析图，例题 4 的数轴范围示意图
幻灯片 10：课堂互动：辨析与分类
活动一：概念辨析：
判断下列说法是否正确：
（1）有理数和无理数统称为实数。（正确）
（2）0 是最小的实数。（错误，负实数比 0 小）
（3）无理数是无限不循环小数。（正确）
（4）√81 是无理数。（错误，√81=9 是有理数）
活动二：分类练习：
将下列数填入相应的集合：
数：-√3、0.45、-5、√25、π、0、-0.1\(\dot{2}\)、7/3。
有理数集合：{ }
无理数集合：{ }
正实数集合：{ }
活动三：举例比赛：
规则：小组轮流举出不同类型的实数例子（正有理数、负无理数等），不能重复，说出例子并说明理由。
配图：练习题和活动题目展示图，附带答题区
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
有理数：有限小数或无限循环小数，可表示为分数\(\frac{p}{q}\)。
无理数：无限不循环小数，常见形式有开方开不尽的数、π、特定结构的无限小数。
实数分类：按定义分为有理数和无理数；按性质分为正实数、0、负实数。
核心区别：有理数与无理数的本质区别是小数形式是否为无限不循环。
方法总结：判断一个数是否为无理数，需紧扣 “无限不循环小数” 的定义，避免被表面形式误导（如带根号的数不一定是无理数）。
易错提醒：混淆有理数和无理数的特征；误认为带根号的数都是无理数；忽略 0 在实数分类中的特殊地位。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成实数的识别与分类练习题。
提升作业：
已知 x 是正无理数，且 x 在 3 和 4 之间，写出两个这样的 x：、。
下列各数中，无理数有（ ）个：√5、-3、0.121221222...、22/7、√9、π、0。
拓展作业：
查阅资料，了解无理数的发现历史（如√2 的发现与第一次数学危机），写一段简短的数学小故事。
尝试在数轴上找到表示√2 的点，思考：实数与数轴上的点有什么关系？
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
10.2.1实数及其分类
第10章 数的开方
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．掌握实数的概念，并且学会根据要求对实数进行分类；
2．掌握实数范围内相关概念的意义；
3、掌握数轴与实数的一一对应关系，能用数轴上的点表示无理数；
问题1：利用计算器，把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？
发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
思考：除了有限小数和无限循环小数，还有什么类型的数呢？
做
一
做
（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.
（1）用计算器求 ；
用计算器求 ，显示结果为1.414213562.再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.这说明计算器求得的只是2的近似值.
用计算机计算 ，你会发现：
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835…
不是一个有理数，它是一个无限不循环小数.
类似地数还有 、圆周率π等，它们都是无限不循环小数.
知识点一 无理数的概念
无限不循环的小数叫做无理数.
无理数也像有理数一样广泛存在着.
有理数和无理数统称实数.
你能举几个无理数的例子吗？
最典型的无理数是π
１．圆周率 及一些含有 的数
２．开方开不尽的数，如：
３．有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
无理数的特征
注：含根号的数不一定都是无理数，如
判定一个数是不是无理数:
(1)是看它是不是无限小数；
(2)看它是不是不循环小数；
(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能.
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数；
(2) 是无理数；
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数.
归纳总结
典例精析
【例1】在实数中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，0，是有理数，
无理数有：，,共2个．
故选：B．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
练一练
1．在，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：∵=3，
∴在中，无理数有，，，共3个，
故选：C.
讲授新课
知识点二 实数的分类
按概念分类
实数
有理数
分数
整数
正整数
0
负整数
自然数
正分数
负分数
无理数
正无理数
负无理数
有限小数及无限循环小数
无限不循环小数
（1）含π的数；
（2）开方开不尽的数；
（3）有规律但不循环的无限小数.
实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
按性质分类
讲授新课
典例精析
【例2】下列说法正确的个数是（ ）
①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③无理数与无理数的和一定是无理数；④无理数与有理数的和一定是无理数；⑤是分数；⑥无理数与有理数的积一定是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三 实数与数轴上点的关系
思考：每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？
无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
试
一
试
你能在数轴上找到表示 的点吗？
如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 .
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图所示.
发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
概括
实数与数轴上的点是一一对应的.
典例精析
【例3】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB=AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
知识点四 实数的计算
试一试：（1）分别写出 的相反数；
解： 的相反数是 ；π-3.14的相反数是3.14-π.
（2）指出 分别是什么数的相反数.
解： 是 的相反数； 是 的相反数.
试一试：（3）求 的绝对值；
解：
（4）已知一个数的绝对值是 ，求这个数.
解：绝对值为 的数是 或 .
涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行.
试比较 与π的大小.
解：用计算器求得
而π≈3.141592654，
因此
1.完成下列表格：
实数 π
相反数
绝对值
﹣π
π
1. 下列各数： ， ，
，， ，其中无理数有( )
C
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. ［2025驻马店模拟］已知下列结论：①在数轴上的点只能
表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③
实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有
有限个.其中正确的结论是( )
B
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
返回
3. 若无理数满足，则 可以为
_________________________.（写出两个）
4.如图，数轴上，两点表示的数分别为， ，且
，则点 所表示的数为_________.
，（答案不唯一）
返回
5.把下列各数分别填入相应的集合里：
，,,,,,,,
（每两个2之间依次增加一个1）,， .
正有理数集合：_____________ ；
负有理数集合：_________________________ ；
正无理数集合： ______________________________________
______________ ；
负无理数集合：______________ .
,
,
,, （每两个2之间依次增加一个1），
，，
返回
（第6题）
6. 如图，面积为
7的正方形的顶点 在数轴上，
且表示的数为1，若 ，则
数轴上点 所表示的数为( )
C
A. B. C. D.
返回
7.下列六个数：，，， ， ，
（相邻两个2之间0的个数逐次加1），若
其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为 ，
则 ___.
6
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数与数轴上点的一一对应
实数的性质及运算
性质：实数的相反数、绝对值、倒数运算.
实数的大小比较与运算
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：10.2.1 实数及其分类
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：数轴上标注有理数和无理数的示意图，背景融入根号、圆周率等符号
幻灯片 2：目录
情境引入：数的范围的扩充
实数的概念：有理数与无理数
实数的分类：两种分类方式
有理数与无理数的区别
典型例题讲解
课堂互动：辨析与分类
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：数的范围的扩充
回顾数系发展：
小学阶段：自然数、分数（正有理数）。
初中阶段：引入负数，数系扩充到有理数（整数和分数）。
现实需求：
问题 1：边长为 1 的正方形，对角线长是多少？根据勾股定理，对角线长的平方等于 1 + 1 = 2，即对角线长为√2，√2 是有理数吗？
问题 2：圆的周长与直径的比值是 π，π 是有理数吗？
发现矛盾：√2 和 π 不能表示为分数形式，说明有理数已不能满足实际需求，需要扩充数系。
引入概念：像√2、π 这样的数是无理数，有理数和无理数统称为实数。
配图：正方形对角线示意图、圆的周长与直径关系图，标注√2 和 π
幻灯片 4：实数的概念：有理数与无理数
有理数的定义：整数和分数统称为有理数。
特征：任何有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数；反过来，有限小数或无限循环小数都是有理数。
示例：5（整数）、-3/4（分数）、0.25（有限小数）、0.\(\dot{3}\)（无限循环小数）都是有理数。
无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数。
特征：不能表示为分数形式，小数部分无限且不循环。
示例：
开方开不尽的数：√2、√3、√5 等。
特殊常数：π（圆周率，约为 3.1415926535...）。
特定结构的无限不循环小数：0.1010010001...（每两个 1 之间依次多一个 0）。
实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
配图：有理数和无理数的概念对比图，标注各自的特征和示例
幻灯片 5：实数的分类：按定义分类
分类体系：
实数
├── 有理数
│ ├── 整数
│ │ ├── 正整数
│ │ ├── 0
│ │ └── 负整数
│ └── 分数
│ ├── 正分数
│ └── 负分数
└── 无理数
├── 正无理数（如√2、π）
└── 负无理数（如-√3、-π/2）
说明：
整数可以看作分母为 1 的分数，因此有理数都可以表示为分数\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）。
无理数不能表示为上述分数形式，其本质是无限不循环小数。
示例：将下列数分类：-5、3.14、√7、0、-1/3、0.\(\dot{7}\)、-√2、π/3。
有理数：-5、3.14、0、-1/3、0.\(\dot{7}\)。
无理数：√7、-√2、π/3。
配图：实数分类树状图，用不同颜色区分有理数和无理数
幻灯片 6：实数的分类：按性质分类
分类体系：
实数
├── 正实数
│ ├── 正有理数（如3、0.5）
│ └── 正无理数（如√5、π）
├── 0
└── 负实数
├── 负有理数（如-2、-1/4）
└── 负无理数（如-√3、-π）
说明：
0 既不是正数也不是负数，是实数中唯一的中性数。
正实数都大于 0，负实数都小于 0，正实数大于一切负实数。
示例：将下列数按性质分类：√2、-3、0、5.2、-√5、π、-0.3。
正实数：√2、5.2、π。
0：0。
负实数：-3、-√5、-0.3。
对比两种分类：按定义分类突出数的结构特征，按性质分类突出数的大小特征，可根据需求选择分类方式。
配图：实数按性质分类的数轴表示，标注正实数、0、负实数的位置
幻灯片 7：有理数与无理数的区别
核心区别：
特征
有理数
无理数
小数形式
有限小数或无限循环小数
无限不循环小数
分数表示
能表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）
不能表示为分数形式
开方结果
开方开尽的数是有理数（如√4=2）
开方开不尽的数是无理数（如√2）
示例
-5、0.333、2/3
√3、π、0.101001000...
易错辨析：
错误：带根号的数都是无理数（纠正：√4=2 是有理数，开方开尽的数是有理数）。
错误：无限小数都是无理数（纠正：无限循环小数是有理数，如 0.\(\dot{6}\)=2/3）。
错误：π 是有理数（纠正：π 是无限不循环小数，是无理数）。
判断方法：判断一个数是否为无理数，关键看其是否为无限不循环小数，不能仅凭形式判断。
配图：有理数与无理数的区别对比表格，标注易错点示例
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 实数的识别与分类
例题 1：下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14159、√16、-√7、0.1010010001...、22/7、0.\(\dot{2}\dot{1}\)、π/2。
解题步骤：
有理数：3.14159（有限小数）、√16=4（整数）、22/7（分数）、0.\(\dot{2}\dot{1}\)（无限循环小数）。
无理数：-√7（开方开不尽）、0.1010010001...（无限不循环）、π/2（π 是无理数，其一半也是无理数）。
例题 2：将下列实数按要求分类：
正有理数：{}；负无理数：{}。
数：-√2、5、-3.14、√9、0、-1/3、π、0.618。
解题步骤：
正有理数：{5、√9=3、0.618}（√9 是整数，属于有理数）。
负无理数：{-√2}（-3.14 和 - 1/3 是负有理数，π 是正无理数）。
配图：例题 1 和例题 2 的分类过程示意图，标注判断依据
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 无理数的特征分析
例题 3：下列说法正确的是（ ）
A. 无限小数都是无理数 B. 无理数都是无限小数
C. 带根号的数都是无理数 D. 无理数都带根号
解题步骤：
A 错误：无限循环小数是有理数，如 0.\(\dot{3}\)。
B 正确：无理数的定义就是无限不循环小数，属于无限小数。
C 错误：√4=2 是有理数，开方开尽的数是有理数。
D 错误：π 是无理数，但不带根号。
答案：B。
例题 4：写出一个比 2 大且比 3 小的无理数：______。
解题步骤：
2=√4，3=√9，因此√5、√6、√7、√8 等都是介于 2 和 3 之间的无理数。
答案：√5（答案不唯一）。
配图：例题 3 的选项分析图，例题 4 的数轴范围示意图
幻灯片 10：课堂互动：辨析与分类
活动一：概念辨析：
判断下列说法是否正确：
（1）有理数和无理数统称为实数。（正确）
（2）0 是最小的实数。（错误，负实数比 0 小）
（3）无理数是无限不循环小数。（正确）
（4）√81 是无理数。（错误，√81=9 是有理数）
活动二：分类练习：
将下列数填入相应的集合：
数：-√3、0.45、-5、√25、π、0、-0.1\(\dot{2}\)、7/3。
有理数集合：{ }
无理数集合：{ }
正实数集合：{ }
活动三：举例比赛：
规则：小组轮流举出不同类型的实数例子（正有理数、负无理数等），不能重复，说出例子并说明理由。
配图：练习题和活动题目展示图，附带答题区
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
实数的概念：有理数和无理数统称为实数。
有理数：有限小数或无限循环小数，可表示为分数\(\frac{p}{q}\)。
无理数：无限不循环小数，常见形式有开方开不尽的数、π、特定结构的无限小数。
实数分类：按定义分为有理数和无理数；按性质分为正实数、0、负实数。
核心区别：有理数与无理数的本质区别是小数形式是否为无限不循环。
方法总结：判断一个数是否为无理数，需紧扣 “无限不循环小数” 的定义，避免被表面形式误导（如带根号的数不一定是无理数）。
易错提醒：混淆有理数和无理数的特征；误认为带根号的数都是无理数；忽略 0 在实数分类中的特殊地位。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成实数的识别与分类练习题。
提升作业：
已知 x 是正无理数，且 x 在 3 和 4 之间，写出两个这样的 x：、。
下列各数中，无理数有（ ）个：√5、-3、0.121221222...、22/7、√9、π、0。
拓展作业：
查阅资料，了解无理数的发现历史（如√2 的发现与第一次数学危机），写一段简短的数学小故事。
尝试在数轴上找到表示√2 的点，思考：实数与数轴上的点有什么关系？
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
10.2.1实数及其分类
第10章 数的开方
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．掌握实数的概念，并且学会根据要求对实数进行分类；
2．掌握实数范围内相关概念的意义；
3、掌握数轴与实数的一一对应关系，能用数轴上的点表示无理数；
问题1：利用计算器，把下列各数写成小数的形式，你有什么发现？
发现：任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.
反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
思考：除了有限小数和无限循环小数，还有什么类型的数呢？
做
一
做
（2）利用平方运算验算（1）中所得的结果.
（1）用计算器求 ；
用计算器求 ，显示结果为1.414213562.再用计算器计算1.414213562的平方，结果是1.999999999，并不是2.这说明计算器求得的只是2的近似值.
用计算机计算 ，你会发现：
1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799073247846210703885038753432764157273501384623091229702492483605585073721264412149709993583141322266592750559275579995050115278206057147010955997160597027453459686201472851741864088919860955232923048430871432145083976260362799525140798968725339654633180882964062061525835…
不是一个有理数，它是一个无限不循环小数.
类似地数还有 、圆周率π等，它们都是无限不循环小数.
知识点一 无理数的概念
无限不循环的小数叫做无理数.
无理数也像有理数一样广泛存在着.
有理数和无理数统称实数.
你能举几个无理数的例子吗？
最典型的无理数是π
１．圆周率 及一些含有 的数
２．开方开不尽的数，如：
３．有一定的规律，但不循环的无限小数，如：
无理数的特征
注：含根号的数不一定都是无理数，如
判定一个数是不是无理数:
(1)是看它是不是无限小数；
(2)看它是不是不循环小数；
(3)所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能.
具体从以下几方面来判断:
(1)开方开不尽的数是无理数；
(2) 是无理数；
(3)无理数与有理数的和、差一定是无理数；
(4)无理数与有理数（不为0）的积、商一定是无理数.
归纳总结
典例精析
【例1】在实数中，是无理数的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：，0，是有理数，
无理数有：，,共2个．
故选：B．
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
练一练
1．在，无理数的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【详解】解：∵=3，
∴在中，无理数有，，，共3个，
故选：C.
讲授新课
知识点二 实数的分类
按概念分类
实数
有理数
分数
整数
正整数
0
负整数
自然数
正分数
负分数
无理数
正无理数
负无理数
有限小数及无限循环小数
无限不循环小数
（1）含π的数；
（2）开方开不尽的数；
（3）有规律但不循环的无限小数.
实数
正实数
0
负实数
正有理数
正无理数
负有理数
负无理数
按性质分类
讲授新课
典例精析
【例2】下列说法正确的个数是（ ）
①无限小数都是无理数；②带根号的数都是无理数；③无理数与无理数的和一定是无理数；④无理数与有理数的和一定是无理数；⑤是分数；⑥无理数与有理数的积一定是无理数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
知识点三 实数与数轴上点的关系
思考：每个有理数都可以用数轴上的点表示，那么有理数能不能将数轴排满？
无理数是否也可以用数轴上的点来表示呢？
试
一
试
你能在数轴上找到表示 的点吗？
如图所示，将两个边长为1的正方形分别沿对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形.容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长为 .
这就是说，边长为1的正方形的对角线长是 .利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示 的点，如图所示.
发现：每一个无理数都可以用数轴上的一个点来表示.数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数.
概括
实数与数轴上的点是一一对应的.
典例精析
【例3】如图，面积为5的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为-1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB=AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
知识点四 实数的计算
试一试：（1）分别写出 的相反数；
解： 的相反数是 ；π-3.14的相反数是3.14-π.
（2）指出 分别是什么数的相反数.
解： 是 的相反数； 是 的相反数.
试一试：（3）求 的绝对值；
解：
（4）已知一个数的绝对值是 ，求这个数.
解：绝对值为 的数是 或 .
涉及无理数的大小比较和运算，通常可以取它们的近似值来进行.
试比较 与π的大小.
解：用计算器求得
而π≈3.141592654，
因此
1.完成下列表格：
实数 π
相反数
绝对值
﹣π
π
1. 下列各数： ， ，
，， ，其中无理数有( )
C
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
2. ［2025驻马店模拟］已知下列结论：①在数轴上的点只能
表示无理数；②任何一个无理数都能用数轴上的点表示；③
实数与数轴上的点一一对应；④有理数有无限个，无理数有
有限个.其中正确的结论是( )
B
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④
返回
3. 若无理数满足，则 可以为
_________________________.（写出两个）
4.如图，数轴上，两点表示的数分别为， ，且
，则点 所表示的数为_________.
，（答案不唯一）
返回
5.把下列各数分别填入相应的集合里：
，,,,,,,,
（每两个2之间依次增加一个1）,， .
正有理数集合：_____________ ；
负有理数集合：_________________________ ；
正无理数集合： ______________________________________
______________ ；
负无理数集合：______________ .
,
,
,, （每两个2之间依次增加一个1），
，，
返回
（第6题）
6. 如图，面积为
7的正方形的顶点 在数轴上，
且表示的数为1，若 ，则
数轴上点 所表示的数为( )
C
A. B. C. D.
返回
7.下列六个数：，，， ， ，
（相邻两个2之间0的个数逐次加1），若
其中无理数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为 ，
则 ___.
6
实数
有理数和无理数统称实数
在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.
实数与数轴上点的一一对应
实数的性质及运算
性质：实数的相反数、绝对值、倒数运算.
实数的大小比较与运算
在实数范围内，有关有理数的相反数、倒数和绝对值等概念、大小比较、运算法则及运算律仍然适用．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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