10.2.2实数的运算 课件（共16张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）

(共16张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：10.2.2 实数的运算
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：带有实数运算符号（如 +、-、×、÷、√、 √等）的数轴背景图
幻灯片 2：目录
复习回顾：实数的概念与分类
实数的运算法则
实数的运算律
实数的运算顺序
实数的近似计算
典型例题讲解
课堂互动：计算与应用
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾：实数的概念与分类
实数的定义：有理数和无理数统称为实数。
分类回顾：
按定义：有理数（有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）。
按性质：正实数、0、负实数。
重要关联：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
引入新课：有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用，本节课将学习实数的运算。
配图：实数分类思维导图，数轴与实数对应关系示意图
幻灯片 4：实数的运算法则（一）—— 加减乘除
加法法则：
同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加。
异号两数相加：取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
互为相反数的两数相加得 0；一个数同 0 相加仍得这个数。
示例：√2 + 2√2 = 3√2（同类二次根式可合并）；3 + √2 （非同类无法合并，保留形式）。
减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数（a - b = a + (-b)）。
示例：5 - √3 = 5 + (-√3)；√5 - √2 （直接表示，无法化简）。
乘法法则：
两数相乘：同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。
任何数同 0 相乘都得 0；几个不为 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
示例：√2×√3 = √6；(-2)×√5 = -2√5。
除法法则：
除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数（a ÷ b = a×(1/b)，b ≠ 0）。
两数相除：同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非 0 数得 0。
示例：√6 ÷ √2 = √6×(1/√2) = √3；√5 ÷ 2 = √5/2。
配图：各运算法则示例算式及计算过程
幻灯片 5：实数的运算法则（二）—— 乘方与开方
乘方法则：
正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0。
示例：(√2) = 2；(-√3) = 3；(√5) = 5√5。
开方运算：
平方根：正数 a 的平方根为 ±√a，0 的平方根为 0，负数没有平方根。
立方根：任意实数 a 的立方根为 √a，正数的立方根为正，负数的立方根为负，0 的立方根为 0。
重要性质：
(√a) = a（a ≥ 0）；√(a ) = |a|（a 为任意实数）。
( √a) = a； √(a ) = a（a 为任意实数）。
示例：√((√3) ) = √3； √( (-2) ) = -2。
配图：乘方与开方运算示例及性质推导过程
幻灯片 6：实数的运算律
加法交换律：a + b = b + a。
示例：√2 + 3 = 3 + √2。
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)。
示例：(2 + √3) + √5 = 2 + (√3 + √5)。
乘法交换律：a×b = b×a。
示例：√2×√3 = √3×√2。
乘法结合律：(a×b)×c = a×(b×c)。
示例：(2×√5)×√2 = 2×(√5×√2) = 2√10。
乘法分配律：a×(b + c) = a×b + a×c。
示例：√2×(√3 + √2) = √2×√3 + √2×√2 = √6 + 2。
说明：运算律在实数范围内同样适用，合理运用可简化运算。
配图：各运算律示例及简化过程标注
幻灯片 7：实数的运算顺序
运算顺序规则：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减。
同级运算，从左到右依次进行。
如有括号，先算括号里面的（按小括号、中括号、大括号的顺序）。
示例：计算 3√2 + (√3) × 2 - √16 ÷ 2。
步骤 1：算乘方和开方：(√3) = 3，√16 = 4。
步骤 2：算乘除：3×2 = 6，4÷2 = 2。
步骤 3：算加减：3√2 + 6 - 2 = 3√2 + 4。
注意事项：含有无理数的运算，结果能化简的要化简，不能化简的保留原式。
配图：运算顺序流程图，示例运算步骤分解图
幻灯片 8：实数的近似计算
近似计算的必要性：无理数是无限不循环小数，实际应用中常取近似值计算。
常用近似值：
√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，√5 ≈ 2.236，π ≈ 3.1416。
计算步骤：
确定无理数的近似值（根据题目要求保留相应小数位数）。
代入算式进行有理数运算。
按要求保留结果的近似值（注意四舍五入规则）。
示例：计算 √2 + √3（结果保留两位小数）。
解：√2 ≈ 1.414，√3 ≈ 1.732，因此√2 + √3 ≈ 1.414 + 1.732 = 3.146 ≈ 3.15。
注意事项：中间过程的近似值应比最终要求多保留一位小数，以保证结果准确性。
配图：近似计算步骤示意图，常用无理数近似值表
幻灯片 9：典型例题讲解（一）—— 实数的化简与运算
例题 1：计算下列各式。
（1）√5 + 2√5 - 3√5 解：原式 = (1 + 2 - 3)√5 = 0。
（2）√2×√8 + (√3) 解：原式 = √16 + 3 = 4 + 3 = 7。
（3）(√6 - √2)×√2 解：原式 = √6×√2 - √2×√2 = √12 - 2 = 2√3 - 2。
例题 2：化简下列各式。
（1）√((-3) ) 解：原式 = | -3 | = 3。
（2） √(27) + √(16) - √(9) 解：原式 = 3 + 4 - 3 = 4。
（3）√(5 + 12 ) 解：原式 = √(25 + 144) = √169 = 13。
配图：例题 1 和例题 2 的计算步骤分解，标注运算律和法则的应用
幻灯片 10：典型例题讲解（二）—— 近似计算与实际应用
例题 3：计算 √3 × √6 - π（结果保留一位小数）。
解题步骤：
先化简：√3×√6 = √18 = 3√2 ≈ 3×1.414 = 4.242。
代入 π≈3.1416：4.242 - 3.1416 ≈ 1.1004 ≈ 1.1。
例题 4：一个正方形的边长为√5 cm，求它的周长和面积。
解题步骤：
周长 = 4× 边长 = 4×√5 ≈ 4×2.236 ≈ 8.944 cm（精确值为 4√5 cm）。
面积 = 边长 = (√5) = 5 cm 。
因此，正方形的周长为 4√5 cm（约 8.9 cm），面积为 5 cm 。
配图：例题 3 的近似计算过程，例题 4 的正方形示意图及计算标注
幻灯片 11：课堂互动：计算与应用
活动一：基础计算：
练习 1：计算 √12 - √3 + √27。
练习 2：计算 (√5 + 2)(√5 - 2)（提示：利用平方差公式）。
活动二：近似计算：
练习 3：计算 √2 + π - 2（结果保留两位小数）。
活动三：实际应用：
练习 4：一个正方体的体积为 8√2 cm ，求它的棱长（结果用根号表示）。
活动四：纠错练习：
指出错误：√(-2) = -2（正确：√(-2) = 2）。
指出错误：√3 + √2 = √5（正确：无法合并，保留原式）。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示
幻灯片 12：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
实数运算法则：与有理数运算法则一致，包括加减乘除、乘方开方。
运算律：加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律、分配律在实数范围内适用。
运算顺序：先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内。
近似计算：无理数取近似值代入，注意保留位数和四舍五入。
重要性质：(√a) = a（a ≥ 0），√(a ) = |a|，( √a) = a， √(a ) = a。
方法总结：实数运算时，先观察能否化简（如合并同类二次根式、利用性质化简），再按顺序计算；实际应用中区分精确值和近似值。
易错提醒：忽略被开方数的非负性；错误合并非同类二次根式；近似计算时保留位数不当；运算顺序错误。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成实数的化简与运算练习题。
提升作业：
计算：(√3 + 1) - 2√3； √8 + √(25) - √( (-3) )。
已知 a = √5 + 2，b = √5 - 2，求 a×b 的值。
拓展作业：
计算一个半径为√2 cm 的圆的周长和面积（π 取 3.14，结果保留两位小数）。
探索规律：计算√(n + 1) - √n 与√n - √(n - 1) 的大小关系（n 为正整数），并举例验证。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
10.2.2实数的运算
第10章 数的开方
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 知道有理数的运算法则、运算律对于实数仍然成立;
2.知道学过的有关数、式、方程(组)的性质、法则、解法，对于实数仍然成立；
学生能清晰阐述单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的运算法则，并能准确运用这些法则进行运算。
熟练掌握整式乘法的运算技巧，能够对复杂的整式乘法式子进行化简和求值，确保计算结果的准确性。
（二）过程与方法目标
经历整式乘法运算法则的推导过程，培养学生观察、归纳、类比、推理的能力，提升逻辑思维水平。
引导学生在解决整式乘法问题的过程中，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想方法，增强分析和解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观目标
通过自主探究与合作交流，激发学生对数学的探索热情，培养学生勇于创新和团队协作的精神。
让学生感受整式乘法运算的简洁美和规律性，体会数学在实际生活中的广泛应用，增强学习数学的兴趣和自信心。
二、教学重难点
（一）教学重点
深入理解单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘运算法则的推导过程。
熟练运用整式乘法运算法则进行准确计算，包括单项式、多项式的乘法运算及混合运算。
（二）教学难点
理解多项式与多项式相乘时，乘法分配律的运用以及如何准确合并同类项。
灵活运用整式乘法运算法则解决复杂问题，避免在计算过程中出现符号错误和运算顺序错误。
议一议
对于实数 a，它有几个平方根，几个立方根呢？
每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.
0的平方根是0.
在实数范围内，负实数没有平方根.
在实数范围内，每个实数a有且只有一个立方根.
方法（1）：对实数a、b，如果a-b>0，则a>b；反之，则a方法（2）：正实数大于一切负实数，两个负实数比较，绝对值大的反而小； （定义与绝对值法）
方法（3）：数轴上右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数要大. （数轴法）
原点
0
正实数
负实数
<
思 考
两个实数是否可以比较大小？都有哪些比较大小的方法呢？
若 a > b，则 ，反过来也成立.
若 a > b，则 ，反过来也成立.
两个正实数 a，b：
比较下列各组数的大小.
（1）2.5 与 ；（2）3 与 ；（3）－3 与 .
解（1）2.52 = 6.25， ，又6.25<7，所以 2.5< .
（2）33 = 27， ，又27 > 25，所以 3 > .
（3）因为 |－3|=3， ，由（2）知 3 > ，
所以－3 < .
例题讲解
例1
若 a > b，则 ，反过来也成立.
若 a > b，则 ，反过来也成立.
两个正实数 a，b：
探究新知
思 考
不用计算器，分别估计 与 在哪两个相邻整数之间.
所以 应介于 10 和 11 之间，
即 10 < < 11.
由于 102 = 100 < 115，
，112 = 121 > 115，
由于 43 = 64 < 121，
，53 = 125 > 121，
所以 应介于 4 和 5 之间，
即 4 < < 5.
例题讲解
例3
用计算器计算：2× （结果精确到 0.01）.
解 依次按键：
显示结果：4.472 135 955.
所以 2× ≈ 4.47 .
1. ［2024自贡］在0，，， 四个数中，最大的数是
( )
A. B. 0 C. D.
2. ［2025成都新津区月考］在与 之间的整数是( )
A. ，，0，1，2，3 B. ， ，0，1，2
C. ，0，1，2 D. ，0，1，2，3
√
√
返回
3. 下列说法中，不正确的是( )
A. 的绝对值是
B. 的相反数是
C. 的立方根是2
D. 的倒数是
4. 数轴上表示， 的点分别为，，是线段 的中点，
则点 所表示的数是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
5.（1）已知，，，则，， 三个数的大
小关系为__________.
（2）已知，，则， 的大小关系为______.
6.已知有理数,满足，则 ___.
1
【点拨】,,
为有理数，，，， ，
.
返回
7.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
8. 已知实数， 在数轴上如图所示，
.化简 .
【解】由题图得， ，
， .
.
返回
9. 若一个数的绝对值是，则 的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
10. ［2025周口期中］已知实数，，，，，，且，
互为倒数，，互为相反数，的绝对值为， 的算术平方
根是8，则 的值是( )
A. B. C. D.
√
√
返回
11. ［2025苏州期中］已知的整数部分为 ，小数部分
为，则 的值为( )
A. B. C. D. 5
√
返回
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选做作业：完成练习册本课时的习题.
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