11.2.3多项式与多项式相乘 课件（共22张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）

(共22张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：11.2.3 多项式与多项式相乘
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有多项式乘法算式（如\((x + 2)(x + 3)\)）的背景图，搭配矩形分割示意图突出项的乘法关系
幻灯片 2：目录
情境引入：多项式乘法的实际背景
复习回顾：单项式与多项式相乘法则
多项式与多项式相乘法则的推导
多项式与多项式相乘法则的表述
典型例题讲解
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：多项式乘法的实际背景
实际问题 1：一个长方形的长为\((a + b)\)，宽为\((c + d)\)，用两种方法表示这个长方形的面积。
方法一：整体面积 = 长 × 宽 = \((a + b)(c + d)\)。
方法二：分割面积 = \(ac + ad + bc + bd\)（分割为 4 个小矩形）。
结论：\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)。
实际问题 2：一块边长为\((x + 2)\)的正方形土地，边长增加\(3\)米后形成新正方形，求新正方形的面积。（涉及\((x + 2 + 3)(x + 2 + 3) = (x + 5)^2\)的计算）
引入概念：像\((a + b)(c + d)\)、\((x + 5)^2\)这样，由多项式之间进行乘法运算，就是多项式与多项式相乘。
配图：长方形分割面积示意图（标注 4 个小矩形的面积）、正方形边长变化示意图
幻灯片 4：复习回顾：单项式与多项式相乘法则
法则内容：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
符号表示：\(a(b + c + d) = ab + ac + ad\)。
示例应用：
\(2x(3x + y) = 6x^2 + 2xy\)。
\(-3a(a^2 - 2b) = -3a^3 + 6ab\)。
引入新问题：当两个多项式相乘时，如何转化为已学的单项式与多项式相乘进行计算？
配图：单项式与多项式相乘的步骤示例图，标注分配律应用过程
幻灯片 5：多项式与多项式相乘法则的推导
实例分析：
计算\((m + n)(a + b)\)：
把\((m + n)\)看作一个整体（单项式），应用单项式与多项式相乘法则：\((m + n) a + (m + n) b\)。
再次应用单项式与多项式相乘法则：\(ma + na + mb + nb\)。
计算\((x + 2)(x + 3)\)：
第一步转化：\(x(x + 3) + 2(x + 3)\)。
第二步展开：\(x^2 + 3x + 2x + 6\)。
合并同类项：\(x^2 + 5x + 6\)。
计算\((2a - b)(3a + 2b)\)：
分步展开：\(2a 3a + 2a 2b - b 3a - b 2b\)。
计算结果：\(6a^2 + 4ab - 3ab - 2b^2 = 6a^2 + ab - 2b^2\)。
规律总结：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
配图：多项式乘法的两步展开示意图，标注每一步的转化依据
幻灯片 6：多项式与多项式相乘法则的表述
文字语言：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
符号语言：\((a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd\)；\((m + n + p)(x + y) = mx + my + nx + ny + px + py\)。
运算步骤：
逐项相乘：用第一个多项式的每一项分别乘第二个多项式的每一项（注意符号）。
计算积项：对每一组单项式乘法，应用单项式乘法法则计算。
合并同类项：把所得的积中同类项合并，化简结果。
示例：\((x - 1)(x + 4) = x x + x 4 - 1 x - 1 4 = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4\)；\((2x + y)(x - 2y) = 2x x + 2x (-2y) + y x + y (-2y) = 2x^2 - 4xy + xy - 2y^2 = 2x^2 - 3xy - 2y^2\)。
配图：法则文字与符号表述对比图，运算步骤流程图（含逐项相乘的箭头示意）
幻灯片 7：典型例题讲解（一）—— 基础乘法运算
例题 1：计算下列各题。
（1）\((x + 5)(x + 3)\) 解：原式 = \(x x + x 3 + 5 x + 5 3 = x^2 + 3x + 5x + 15 = x^2 + 8x + 15\)。
（2）\((a - 2)(a - 4)\) 解：原式 = \(a a + a (-4) - 2 a + (-2) (-4) = a^2 - 4a - 2a + 8 = a^2 - 6a + 8\)。
（3）\((2m + 3n)(m - 2n)\) 解：原式 = \(2m m + 2m (-2n) + 3n m + 3n (-2n) = 2m^2 - 4mn + 3mn - 6n^2 = 2m^2 - mn - 6n^2\)。
（4）\((x - 1)(x^2 + x + 1)\) 解：多项式乘多项式（三项式），原式 = \(x x^2 + x x + x 1 - 1 x^2 - 1 x - 1 1 = x^3 + x^2 + x - x^2 - x - 1 = x^3 - 1\)。
注意事项：
确保每一项都相乘，不重复、不遗漏（可按 “首项 × 首项、首项 × 尾项、尾项 × 首项、尾项 × 尾项” 的顺序）。
项与项相乘时注意符号，负负得正，正负得负。
结果必须合并同类项，化简到最简形式。
配图：例题 1 的分步展开图，标注同类项合并过程
幻灯片 8：典型例题讲解（二）—— 含乘方的混合运算
例题 2：计算下列各题（含平方形式）。
（1）\((x + 3)^2\) 解：转化为多项式乘法\((x + 3)(x + 3) = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9\)。
（2）\((2a - b)^2 - (a + b)(a - b)\) 解：先算乘方和乘法，再算减法，原式 = \(4a^2 - 4ab + b^2 - (a^2 - b^2) = 4a^2 - 4ab + b^2 - a^2 + b^2 = 3a^2 - 4ab + 2b^2\)。
例题 3：化简求值：已知\(x = 2\)，\(y = -1\)，求\((x + 2y)(x - y) - (x + y)^2\)的值。
解题步骤：
先化简式子：\(x^2 - xy + 2xy - 2y^2 - (x^2 + 2xy + y^2) = x^2 + xy - 2y^2 - x^2 - 2xy - y^2 = -xy - 3y^2\)。
代入\(x = 2\)，\(y = -1\)：\(-2 (-1) - 3 (-1)^2 = 2 - 3 = -1\)。
说明：含平方的多项式乘法可转化为相同多项式相乘；混合运算需先算乘方、乘法，再算加减；化简求值需先化简再代入。
配图：例题 2 的平方展开过程图，例题 3 的化简与代入步骤标注
幻灯片 9：典型例题讲解（三）—— 实际应用与规律探索
例题 4：实际应用：一个长方形的长为\((2x + 3)\)米，宽为\((x + 2)\)米，若长增加\(1\)米，宽减少\(1\)米，求新长方形的面积比原长方形的面积减少了多少。
解题步骤：
原面积 = \((2x + 3)(x + 2) = 2x^2 + 4x + 3x + 6 = 2x^2 + 7x + 6\)。
新长 = \(2x + 4\)，新宽 = \(x + 1\)，新面积 = \((2x + 4)(x + 1) = 2x^2 + 2x + 4x + 4 = 2x^2 + 6x + 4\)。
面积减少量 = 原面积 - 新面积 = \((2x^2 + 7x + 6) - (2x^2 + 6x + 4) = x + 2\)。
因此，面积减少了\((x + 2)\)平方米。
例题 5：规律探索：观察下列多项式乘法的结果，总结规律。
\((x + 1)(x + 2) = x^2 + 3x + 2\)；\((x - 3)(x + 4) = x^2 + x - 12\)。
规律：\((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\)（二次项系数为 1 的多项式乘法）。
应用：直接写出\((x + 5)(x - 2) = x^2 + 3x - 10\)。
配图：例题 4 的长方形长和宽变化示意图，例题 5 的规律总结对比表
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：计算\((x + 2)(x - 5)\)；\((2a - 3)(3a + 4)\)；\((m + n)(m^2 - mn + n^2)\)。
练习 2：计算\((x - 1)^2\)；\((a + 2b)(a - 2b) + (a + b)^2\)。
活动二：辨析纠错：
指出错误并改正：
（1）\((x + 3)(x - 2) = x^2 - 6\)（错误，漏乘中间项，应为\(x^2 + x - 6\)）。
（2）\((2x - 1)(x + 4) = 2x^2 + 8x - 1\)（错误，漏乘常数项与第二项，应为\(2x^2 + 8x - x - 4 = 2x^2 + 7x - 4\)）。
（3）\((a - b)^2 = a^2 - b^2\)（错误，平方展开错误，应为\(a^2 - 2ab + b^2\)）。
活动三：能力提升：
练习 3：已知\((x + 2)(x - 3) = x^2 + mx + n\)，求\(m\)、\(n\)的值。
练习 4：若一个多项式与\((x - 1)(x + 2)\)的积为\(x^3 - ax^2 - bx + 2\)，求\(a\)、\(b\)的值。
配图：练习题展示图，附带答题区和纠错提示（用不同颜色标注错误位置）
幻灯片 11：课堂总结与归纳
知识要点回顾：
多项式与多项式相乘的定义：多项式之间的乘法运算。
运算法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
运算步骤：逐项相乘→计算积项→合并同类项。
特殊规律：\((x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab\)（适用于二次项系数为 1 的情况）。
混合运算：先算乘方，再算乘法，最后算加减；化简求值需先化简再代入。
方法总结：进行多项式乘法时，可按 “顺序相乘→准确计算→合并化简” 的步骤进行，确保每一项都参与运算；对于特殊形式的多项式乘法（如平方形式），可记忆规律简化计算。
易错提醒：
漏乘多项式中的某些项（尤其是常数项或符号项）。
项与项相乘时符号错误。
结果中未合并同类项或合并错误。
混淆平方展开式（如\((a - b)^2\)漏掉中间项\(-2ab\)）。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成多项式与多项式相乘的基本计算题。
提升作业：
计算：\((3x - 2y)(2x + 3y) - (x - y)^2\)；\((x + 1)(x^2 - x + 1) - x(x^2 + 1)\)。
已知一个多项式与\((x + 3)(x - 4)\)的积为\(2x^3 - x^2 - 13x + 6\)，求这个多项式。
拓展作业：
一个正方形的边长为\(x\)，若边长增加\(a\)，则面积增加\(b\)，请用含\(x\)和\(a\)的式子表示\(b\)，并计算当\(x = 5\)，\(a = 2\)时\(b\)的值。
探索规律：计算\((a + b)(a - b)\)，\((a + b)(a^2 - ab + b^2)\)，\((a - b)(a^2 + ab + b^2)\)，总结这些特殊多项式乘法的结果特征。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
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11.2.3多项式与多项式相乘
第11章 整式的乘除
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1．理解并掌握多项式与多项式相乘的法则；
2．运用多项式与多项式的乘法法则进行运算；
温故知新
(1)(-x)3·(-x)3·(-x)5=______;
(2) (x2)4=_______;
(3) (x3y5)4=______;
(4)(xy)3·(xy)4·(xy)5=______;
(5) (-3x3y)(-5x4y2z4)=___________;
(6)-3ab2(-4a+3ab-2)=___________________.
-x11
x8
x12y20
x12y12
15x7y3z4
12a2b2-9a2b3+6ab2
　
某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林地的长、宽分别增加n米和b米.用两种方法表示这块林地现在的面积，你知道下面的等式蕴含着什么样的运算法则吗？
m
n
b
am
bm
an
bn
a
知识点一 多项式与多项式相乘
ma
na
mb
nb
a
m
b
n
你能用不同的形式表示所拼图的面积吗？
这块林区现在长为（m+n）米，宽为（a+b）米.
由于(m+n)(a+b)和(ma+mb+na+nb)表示同一块地的面积，故有：
(m+n)(a+b)=
ma
+ mb
+ na
+ nb.
如何进行多项式与多项式相乘的运算 ？
实际上，把(m+n)看成一个整体，有：
= ma+mb+na+nb.
(m+n)(a+b)
= (m+n)a+(m+n)b
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
知识要点
多项式乘以多项式
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
典例精析
【例1】计算：
（1）(x+2)(x-3)；
（2）(2x+5y)(3x-2y).
-3x
=x2-x-6
=x2
+2x
-6
=6x2
=6x2+11xy-10y2
-10y2
-4xy
+15xy
【例2】计算：
（1）(m-2n)(m2+mn-3n2)
（2）(3x2-2x+2)(2x+1)
（1）(m-2n)(m2+mn-3n2)
=m· m2 +m·mn-m·3n2-2n·m2-2n·mn+2n·3n2
=m3 +m2n-3mn2-2m2n-2mn2+6n3
=m3-m2n-5mn2+6n3
（2）(3x2-2x+2)(2x+1)
=6x3+3x2-4x2-2x+4x+2
=6x3-x2+2x+2
练一练
（1）(x+5)(x-7)；
1、计算：
（2）(x+5y)(x-7y)；
（3）(2m+3n)(2m-3n)；
（4）(2a+3b)2.
=x2-7x+5x-35
=x2-2x-35
=x2-7xy+5xy-35y2
=x2-2xy-35y2
=4m2+6mn-6mn-9n2
=4m2-9n2
=4a2+12ab+9b2
1．若(x-1)(x+m)=x2+2x+n，则常数n的值为（ ）
A．3 B．2 C．-3 D．-2
【详解】解：∵(x-1)(x+m)=x2+(m-1)x-m，
∴m-1=2,n=-m，
解得：m=3,n=-3.
故选：C
1. ［2025海口龙华区期中］若
，则与 的值分别是( )
A. ，6 B. 1， C. ， D. ，2
2. 聪聪计算一道整式乘法的题： ，由于
聪聪将第一个多项式中的“”抄成“ ”，得到的结果为
，则 的值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
√
√
返回
3. 多项式的计算结果是，已知 ，由
此可知多项式 是( )
A. B. C. D.
4. 已知，则 的值为
( )
A. B. 2 C. D.
√
√
返回
5. 观察如图所示多项式相乘的运算过程，根
据你发现的规律，若 ，则整
数 的值可能是__________________.（写出一个即可）
10（答案不唯一）
（第5题）
返回
（第6题）
6. 如图，某中学校园内有
一块长为米，宽为 米的
长方形地块，学校计划在中间修一个“ ”
形文化广场.
（1）“ ”形文化广场的面积为__________平方米；
（2）当，时，“ ”形文化广场的面积为____平方米.
38
返回
7. 计算：
（1） ；
【解】原式
.
（2） ；
原式
.
（3） .
原式
.
多项式乘以多项式，按一定的顺序进行，必须做到
不重不漏；多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类
项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积.
返回
8.解方程或不等式.
（1） ；
【解】 ，
， ，
， .
（2） .
，
，， .
返回
9. 已知，是常数，若化简 的结果不
含的二次项，则 的值为( )
A. 1 B. C. 5 D.
【点拨】 .
不含 的二次项，
.
√
返回
多项式×多项式
运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加
（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
注意
不要漏乘；正确确定各项符号；结果要最简
实质上是转化为单项式×多项式的运算
(x-1)2在一般情况下不等于x2-12.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！