12.3.2等腰三角形的判定 课件（共32张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：12.3.2 等腰三角形的判定
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有两个底角相等的三角形示意图，标注相等的角和待判定的腰
幻灯片 2：目录
情境引入：如何判定等腰三角形
复习回顾：等腰三角形的性质
实验探究：等角对等边的猜想
等腰三角形的判定定理
典型例题讲解（判定应用）
课堂互动：辨析与证明
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：如何判定等腰三角形
实际问题：如图，工人师傅要制作一个等腰三角形零件，他测量了三角形的两个角，发现都是 70°，他能确定这个三角形是等腰三角形吗？
思考：我们已经知道等腰三角形的两个底角相等（等边对等角），那么反过来，如果一个三角形的两个角相等，它是否一定是等腰三角形？
引入课题：这节课我们将探究等腰三角形的判定方法，解决 “如何判断一个三角形是等腰三角形” 的问题。
配图：含有两个 70° 角的三角形示意图，标注两个相等的角
幻灯片 4：复习回顾：等腰三角形的性质
性质回顾：
性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
符号语言：∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等边对等角）。
性质 2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
逆向思考：
性质 1 的逆命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。这个命题是否成立？
示例：若△ABC 中∠B=∠C，能否推出 AB=AC？
配图：等腰三角形性质示意图，标注 “边相等→角相等” 的关系
幻灯片 5：实验探究：等角对等边的猜想
实验步骤：
画一个三角形 ABC，使∠B=∠C=50°。
用刻度尺测量 AB 和 AC 的长度。
观察测量结果，比较 AB 与 AC 的大小关系。
实验现象：
测量发现 AB=AC（或长度非常接近）。
重复实验：画不同的等角三角形（如∠B=∠C=60°、∠B=∠C=40°），测量结果均显示等角所对的边相等。
猜想结论：
在一个三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称为 “等角对等边”）。
配图：实验过程示意图，标注测量的边和角，显示 AB=AC 的结果
幻灯片 6：等腰三角形的判定定理 —— 等角对等边
定理内容：
文字语言：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成 “等角对等边”）。
符号语言：在△ABC 中，∵ ∠B=∠C（已知），∴ AB=AC（等角对等边）。
证明过程：
已知：在△ABC 中，∠B=∠C。
求证：AB=AC。
证明：作∠BAC 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
在△ABD 和△ACD 中，
∠B=∠C（已知），
∠BAD=∠CAD（角平分线定义），
AD=AD（公共边），
∴ △ABD≌△ACD（AAS），
∴ AB=AC（全等三角形对应边相等）。
应用说明：
此定理可用于判定一个三角形是否为等腰三角形（只要找到两个相等的角）。
示例：若△ABC 中∠A=∠B，则 BC=AC，△ABC 是等腰三角形。
配图：定理的图形示意，标注已知角和求证边；证明过程的全等三角形标注
幻灯片 7：等腰三角形的判定拓展 —— 等边三角形判定
判定方法 1：
文字语言：三边都相等的三角形是等边三角形。
符号语言：∵ AB=BC=AC，∴ △ABC 是等边三角形。
判定方法 2：
文字语言：三个角都相等的三角形是等边三角形。
证明思路：∵ ∠A=∠B=∠C，∴ AB=BC=AC（等角对等边），∴ △ABC 是等边三角形。
判定方法 3：
文字语言：有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形。
证明思路：若 AB=AC，∠A=60°，则∠B=∠C=60°，∴ AB=BC=AC；若 AB=AC，∠B=60°，则∠C=60°，∠A=60°，∴ AB=BC=AC。
配图：等边三角形判定示意图，分别标注三边相等、三角相等、一角 60° 的等腰三角形
幻灯片 8：性质与判定的区别与联系
区别：
性质：已知等腰三角形（边相等）→ 推出角相等（等边对等角）。
判定：已知角相等→ 推出等腰三角形（边相等）（等角对等边）。
简记：性质是 “边等→角等”，判定是 “角等→边等”。
联系：
两者互为逆命题，共同揭示了等腰三角形中边与角的关系。
应用时需明确 “已知什么，要证什么”（性质用于证角等，判定用于证边等）。
示例对比：
性质应用：∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C（证角等）。
判定应用：∵ ∠B=∠C，∴ AB=AC（证边等）。
配图：性质与判定的逻辑关系对比图，标注因果关系
幻灯片 9：典型例题讲解（一）—— 基础判定
例题 1：如图，在△ABC 中，∠A=36°，∠C=72°，求证△ABC 是等腰三角形。
解：∵ ∠A + ∠B + ∠C=180°（三角形内角和定理），
∴ ∠B=180°-∠A -∠C=180°-36°-72°=72°，
∴ ∠B=∠C=72°（等量代换），
∴ AB=AC（等角对等边），
∴ △ABC 是等腰三角形。
例题 2：如图，∠A=∠B，CE∥AD 交 AB 于 E，求证 CE=CB。
证明：∵ CE∥AD（已知），
∴ ∠CEB=∠A（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠A=∠B（已知），
∴ ∠CEB=∠B（等量代换），
∴ CE=CB（等角对等边）。
技巧总结：
判定等腰三角形的关键是找到两个相等的角。
利用平行线性质、三角形内角和定理等推导角相等。
配图：例题 1、2 的图形标注，角相等的推导过程示意图
幻灯片 10：典型例题讲解（二）—— 综合应用
例题 3：如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，DE∥BC 交 AB 于 E，求证△BDE 是等腰三角形。
证明：∵ BD 平分∠ABC（已知），
∴ ∠ABD=∠CBD（角平分线定义）。
∵ DE∥BC（已知），
∴ ∠EDB=∠CBD（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠ABD=∠EDB（等量代换），
∴ BE=DE（等角对等边），
∴ △BDE 是等腰三角形。
例题 4：如图，在等边△ABC 中，AD=BE=CF，求证△DEF 是等边三角形。
证明：∵ △ABC 是等边三角形（已知），
∴ AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°（等边三角形性质）。
∵ AD=BE=CF（已知），
∴ AB-AD=BC-BE=AC-CF，即 DB=EC=FA。
在△ADF、△BED 和△CFE 中，
AD=BE=CF，∠A=∠B=∠C，FA=DB=EC，
∴ △ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴ DF=ED=FE（全等三角形对应边相等），
∴ △DEF 是等边三角形。
技巧总结：
综合题中需结合角平分线、平行线等性质推导角相等。
等边三角形判定可先证等腰再证一角为 60°，或直接证三边相等。
配图：例题 3 的角关系标注；例题 4 的全等三角形对应关系标注
幻灯片 11：课堂互动：辨析与证明
活动一：判定辨析：
练习 1：下列说法正确的是（ ）。
A. 有两个角相等的三角形是等腰三角形；B. 有一个角是 60° 的三角形是等边三角形；
C. 等腰三角形的角平分线一定是中线；D. 等边三角形是等腰三角形的特殊形式。
（答案：A、D）
活动二：判定应用：
练习 2：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，∠A=30°，求证 BD= BC= AB。
（提示：先证∠B=60°，∠BCD=30°，利用等角对等边和直角三角形性质）
活动三：开放探究：
练习 3：已知△ABC 中，∠A=80°，当∠B=______时，△ABC 是等腰三角形。
（答案：80°、50° 或 20°，分类讨论顶角和底角）
配图：练习题图形标注，练习 3 的分类讨论示意图
幻灯片 12：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
等腰三角形判定定理：等角对等边（两个角相等→对应边相等）。
等边三角形判定：三边相等；三角相等；等腰三角形 + 一角 60°。
性质与判定的区别：性质是 “边等→角等”，判定是 “角等→边等”。
应用技巧：
判定等腰三角形：通过角平分线、平行线、三角形内角和等推导角相等。
分类讨论：当角的位置不确定时（如练习 3），需分情况讨论顶角和底角。
辅助线添加：必要时作角平分线、平行线等辅助线构造等角条件。
易错提醒：
混淆等腰三角形的性质与判定（证边等用判定，证角等用性质）。
忽略等边三角形判定中 “等腰三角形” 的前提（一角 60° 的三角形不一定是等边三角形）。
分类讨论不全面，遗漏可能的等腰情况。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成等腰三角形判定的基础证明题和计算题。
提升作业：
如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=100°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，求证 AD + BD=BC。
如图，在△ABC 中，∠B=2∠C，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，求证 AB + BD=AC。
拓展作业：
探究：如何利用等腰三角形的判定定理测量池塘的宽度（仿照全等三角形的测距方法）。
证明：如果一个三角形的外角平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
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12.3.2等腰三角形的判定
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、能用所学的知识证明等腰三角形的判定定理与等边三角形的判定定理；
2、能用等腰三角形性质定理与判定定理、等边三角形的性质定理与判定定理解决有关问题；
温故知新
A
B
C
等腰三角形的性质：
等腰三角形两腰相等。
等腰三角形两底角相等（等边对等角）。
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线互相重合（三线合一）。
等腰三角形是轴对称图形。
　
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
A
B
C
A
知识点一 等腰三角形的判定
探究新知
对于一个三角形，怎样判定它是不是等腰三角形呢？
按定义，看它是否有两条边相等。
你还能找到其他的判定方法吗？
探索
我们知道，等腰三角形的两个底角相等.反过来，在一个三角形中，如果有两个角相等，那么它是等腰三角形吗？
画画看，你发现了什么？
在△ABD与△ACD中，
∠1=∠2，（角平分线的定义）
∴ △ABD ≌ △ACD（AAS）.
∠B=∠C（已知），
AD=AD（公共边），
∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)，
∴ △ ABC是等腰三角形.
画∠BAC的平分线交BC于点D.
证明：
C
A
B
2
1
D
（
（
已知：在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：AB=AC．
想想看，还可以添加什么辅助线证明这一结论？
等腰三角形的判定方法：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．
总结归纳
等角对等边
等边对等角
∴ AC=AB ( ).
即△ABC为等腰三角形.
∵∠B=∠C ( ),
已知
等角对等边
在△ABC中，
应用格式：
B
C
A
(
(
文字语言 图形语言 符号语言
等边对等角
等角对等边
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
A
B
C
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴AC = AB ( 等角对等边）.
A
B
C
在△ABC中，
∵∠B =∠C (已知)，
它们的条件与结论正好调换了过来， 这也叫互逆命题.
典例精析
【例1】 如图，在△ABC中，AB=AC，角平分线BD、CE相交于点O. OB与OC相等吗？请说明理由.
A
B
C
O
E
D
解：OB=OC.
理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB (等边对等角).
∵BD、CE是角平分线，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB (角平分线定义).
∴∠OBC=∠OCB (等量代换).
∴OB=OC (等角对等边).
练一练
1、如图，在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°．求证：AB＝AC.
A
B
C
40°
70°
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
∠A＝40°，∠B＝70°
∴∠C＝180°－∠A－∠B
＝180°－40°－70°＝70°
∴∠C＝∠B
∴ AB＝AC（等角对等边）
2、如图，AB//CD，∠1＝∠2 . 求证：AB＝AC.
A
B
C
D
2
1
证明：∵AB∥CD
∴∠B＝∠2（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1＝∠2 （已知）
∴∠B＝∠1 （等量代换）
∴AB＝AC（等角对等边）
知识点二 等边三角形的判定
一个三角形满足什么条件就是等边三角形
由等腰三角形的判定定理，可得等边三角形的两个判定定理：
1.三个角都相等的三角形是等边三角形；
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.
你能证明这些定理吗？
A
B
C
三个角都相等的三角形是等边三角形.
已知：如图，∠A= ∠ B=∠C.
求证： AB=AC=BC.
∵ ∠A= ∠ B,
∴ AC=BC.
∵ ∠ B=∠C,
∴ AB=AC.
∴AB=AC=BC.
证明：
判定1：
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
A
B
C
已知： 若AB=AC , ∠A= 60°.
求证： AB=AC=BC.
证明：∵AB=AC , ∠A= 60 °.
∴∠B＝∠C＝ (180。－∠A)= 60°.
∴∠A= ∠ B=∠C.
∴AB=AC=BC.
1
2
动动手
若AB=AC , ∠B= 60°，求证AB=AC=BC.
等腰三角形
边
角
特殊线
对称性
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(三条)
三个角都相等，
轴对称图形对称轴（3条）
等边三角形
轴对称图形对称轴（1条）
两个底角相等
底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)
且都是60°
两条边相等
三条边都相等
等边三角形性质归纳：
典例精析
【例2】 如图，已知△ABC为等边三角形，点E、F分别在边AC、BC上，且AE=CF，AF与BE相交于点D.
(1)求证:△ABE≌△CAF;
(2)求∠BDF的度数.
解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,
∴∠BAE=∠C=60°，AB=CA，
在△ABE和△CAF中，
∴△ABE≌△CAF (SAS).
A
B
C
D
E
F
解：(2)∵△ABE≌△CAF,
∴∠ABE=∠CAF.
∴∠BDF=∠ABE+∠BAF
=∠CAF+∠BAF
=∠BAC=60°.
A
B
C
D
E
F
(2)求∠BDF的度数.
练一练
1.如图，在等边△ABC的AC边上取中点D，BC的延长线取一点E，使CE＝CD，连接BD，DE.求证：∠ABD＝∠E.
A
B
C
D
E
证明: ∵△ABC为等边三角形, BD是AC边的中线,∴BD⊥AC， BD平分∠ABC，
∴∠DBE＝∠ABD＝∠ABC＝30°.∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E.∵∠ACB＝60°，
∴∠CDE＋∠E＝60°，∴∠CDE＝∠E＝30°，
∴∠ABD＝∠E.
2.如图, 等边△ABC中, D、E、F分别是各边上的一点, 且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF，
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
A
B
C
D
F
E
3、如图，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1) 线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
B
C
A
M
N
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
(2) AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
B
C
A
F
E
M
N
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．
想一想：本题你还能得到哪些结论？
1.在△ABC中, 已知∠A=50°，∠B=65°，判断△ABC是什么三角形，为什么
△ABC是等腰三角形, 因为∠B=65°, ∠A=50°,
所以∠C=65°, ∠B =∠C=65°,
所以△ABC是等腰三角形.
2.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠1=_____，∠2=_____，图中的等腰三角形有___________________________.
36°
72°
△ABC
△DBA
△BCD
A
B
C
D
(
(
1
2
1. 已知等腰三角形的一个外角是 ，则它是( )
C
A. 等腰直角三角形 B. 一般的等腰三角形
C. 等边三角形 D. 等腰钝角三角形
返回
2. ［2025潍坊期中］下列条件中，可以判定 是等腰三
角形的是( )
D
A. B.
C. 三角形的一个外角为 D. ，
【点拨】A.， ，
，解得 ，此时不能确定和 的
度数，故无法判定的形状；B. ，
可设，， ，又
， ，解得
， ， ，
，故不能判定为等腰三角形；C. 三
角形的一个外角为 ， 三角形的一个内角为 ，不
能判定为等腰三角形；D. ， ，
，故能判定 为
等腰三角形.
返回
3. 如图， ，
，则图中的等腰三角形有( )
D
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
（第4题）
4.将含 角的直角三角板和直尺按如图所
示的方式放置，已知 ，点， 表
示的刻度分别为，，则线段 的
长为___ .
2
【点拨】 直尺的两对边互相平行， .
.
，
， 是等边三角形，
.
返回
（第5题）
5.如图，在中，，点在 的
延长线上，于点，交于点 ，
若，，则 的长度为____.
10
等腰三角形的判定
判定→等角对等边
应用→证明同一个三角形中两边相等
等边三角形→判定方法
证三个角都相等或有两个角等于60°
先证等腰三角形，再证有一个角等于60°
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！