12.2.2三角形全等的判定-边角边 课件（共34张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 12.2.2三角形全等的判定-边角边 课件（共34张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 07:24:07 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：12.2.2 三角形全等的判定 —— 边角边
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：突出两边及其夹角对应相等的两个全等三角形示意图，标注对应边、对应角和夹角位置
幻灯片 2：目录
复习回顾：SAS 判定定理的核心内容
边角边定理的深化理解
SAS 定理的符号语言规范
典型例题讲解（基础应用）
典型例题讲解（综合应用）
课堂互动：辨析与证明
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾：SAS 判定定理的核心内容
定理回顾：
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成 “边角边” 或 “SS”）。
图形示意：如图，在△ABC 和△DEF 中，若 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS）。
核心要素：
两个 “边”：必须是两个三角形中的两组对应边。
一个 “角”：必须是两组对应边的夹角（即两边的公共角）。
与 SSA 的对比：
SAS 是两边及其夹角对应相等（能判定全等）。
SSA 是两边及其中一边的对角对应相等（不能判定全等）。
反例回顾：画出△ABC 和△ABD，使 AB=AB，AC=AD，∠B=∠B（SSA），但两个三角形不全等。
配图：SAS 定理的标准示意图；SSA 反例对比图，标注差异之处
幻灯片 4：边角边定理的深化理解
夹角的明确界定：
夹角是指两组对应边的公共角，即 “边 — 角 — 边” 的中间角。
示例：在△ABC 中，AB 与 BC 的夹角是∠B；AC 与 BC 的夹角是∠C。
误区警示：若角不是两边的公共角，则不满足 SAS 条件（如 AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，此时∠B 不是 AB 与 AC 的夹角，不能用 SAS 判定）。
定理的唯一性：
当两边及其夹角确定时，三角形的形状和大小唯一确定（作图验证：给定两边和夹角只能画出一个三角形）。
实际意义：在工程测量、零件加工中，可通过控制两边长度和夹角确保三角形构件全等。
常见隐含条件：
公共角：如△ABC 和△DBC 中，BC 为公共边，∠C 为公共角，可作为 SAS 的夹角条件。
对顶角：如两条直线相交形成的对顶角，可作为 SAS 的夹角条件（如例题 2 中的∠AOB=∠COD）。
配图：夹角位置标注图；公共角、对顶角作为夹角的示意图
幻灯片 5：SAS 定理的符号语言规范
规范书写格式：
明确对象：写出 “在△××× 和△××× 中”。
列出条件：按 “边 — 角 — 边” 的顺序列出对应相等的条件，注明依据。
得出结论：写出全等判定，注明定理名称（SAS）。
示例：
已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE。
证明△ABC≌△ADE 的符号语言：
在△ABC 和△ADE 中，
AB=AD（已知），
∠BAC=∠DAE（已知），
AC=AE（已知），
∴ △ABC≌△ADE（SAS）。
注意事项：
对应顶点字母顺序要对应（如△ABC 与△ADE 的顶点 A 对应 A，B 对应 D，C 对应 E）。
条件列举顺序最好与 “边 — 角 — 边” 一致，逻辑更清晰。
配图：示例证明过程的规范书写截图，标注每一步的格式要求
幻灯片 6：典型例题讲解（基础应用）—— 直接应用 SAS
例题 1：如图，已知 AC=AD，∠CAB=∠DAB，求证△ABC≌△ABD。
证明：在△ABC 和△ABD 中，
AC=AD（已知），
∠CAB=∠DAB（已知），
AB=AB（公共边），
∴ △ABC≌△ABD（SAS）。
分析：本题直接给出两组对应边相等和一组夹角相等（公共边 AB 是其中一组对应边，∠CAB=∠DAB 是夹角），可直接应用 SAS 判定。
例题 2：如图，点 E、F 在 AC 上，AD=BC，∠A=∠C，AE=CF，求证△ADF≌△CBE。
证明：∵ AE=CF（已知），
∴ AE + EF=CF + EF（等式性质），即 AF=CE。
在△ADF 和△CBE 中，
AD=BC（已知），
∠A=∠C（已知），
AF=CE（已证），
∴ △ADF≌△CBE（SAS）。
分析：本题需先通过等式性质证明 AF=CE（间接得到一组对应边相等），再结合已知的边和角应用 SAS。
配图：例题 1、2 的图形标注，证明步骤中的条件对应关系
幻灯片 7：典型例题讲解（综合应用）—— 结合图形性质
例题 3：如图，已知 AB∥CD，AB=CD，求证△ABD≌△CDB。
证明：∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）。
在△ABD 和△CDB 中，
AB=CD（已知），
∠ABD=∠CDB（已证），
BD=DB（公共边），
∴ △ABD≌△CDB（SAS）。
分析：本题利用平行线的性质得到夹角相等（∠ABD=∠CDB），再结合已知的对应边相等应用 SAS。
例题 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是中线，求证 AD 平分∠BAC。
证明：∵ AD 是中线（已知），
∴ BD=CD（中线的定义）。
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
BD=CD（已证），
AD=AD（公共边），
∴ △ABD≌△ACD（SSS）→ 此处改为 SAS 思路：
（调整：∵ AB=AC，∠B=∠C（等边对等角），BD=CD，用 SAS）
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
∠B=∠C（等边对等角），
BD=CD（已证），
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ ∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等），即 AD 平分∠BAC。
分析：本题结合等腰三角形的性质（等边对等角）得到夹角相等，再应用 SAS 判定全等，进而证明角平分线。
配图：例题 3 的平行线性质标注；例题 4 的等腰三角形性质标注
幻灯片 8：典型例题讲解（拓展应用）—— 实际问题建模
例题 5：如图，某工厂要测量池塘两端 A、B 的距离，工人师傅在平地上取一个可直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE=CB，连接 DE，测得 DE 的长为 100 米，求 A、B 的距离。
解题步骤：
模型转化：实际问题转化为数学问题，证明△ABC≌△DEC。
证明：在△ABC 和△DEC 中，
CA=CD（已知，CD=CA），
∠ACB=∠DCE（对顶角相等），
CB=CE（已知，CE=CB），
∴ △ABC≌△DEC（SAS）。
∴ AB=DE（全等三角形对应边相等），∵ DE=100 米，∴ AB=100 米。
分析：本题利用 SAS 判定全等，将不可直接测量的 AB 长度转化为可测量的 DE 长度，体现数学建模思想。
配图：池塘测距示意图，标注测量过程和全等三角形对应关系
幻灯片 9：课堂互动：辨析与证明
活动一：判定方法辨析：
练习 1：下列条件中，不能用 SAS 判定△ABC≌△DEF 的是（ ）。
A. AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；B. AC=DF，∠C=∠F，BC=EF；
C. AB=DE，∠A=∠D，AC=DF；D. AB=DE，∠A=∠D，BC=EF。
（答案：D，因为∠A 不是 AB 与 BC 的夹角）
活动二：证明书写练习：
练习 2：如图，已知 AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证△ABD≌△ACE。
（提示：先证明∠BAD=∠CAE，再用 SAS）
活动三：实际应用分析：
练习 3：如图，用两根钢条 AC 和 BD 的中点 O 相连，使钢条可以绕点 O 转动，测量 AB 的长即可得到容器内径 CD 的长，为什么？用 SAS 定理说明理由。
配图：练习题图形标注，练习 2 的证明步骤提示框
幻灯片 10：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
SAS 定理核心：两边及其夹角对应相等→三角形全等。
关键要素：准确识别 “夹角”，区分 SAS 与 SSA。
符号语言：规范书写 “在△××× 和△××× 中” 的条件列举。
应用技巧：
找隐含条件：公共边、公共角、对顶角可作为 SAS 的边或角条件。
造相等条件：通过等式性质（如线段和差、角的和差）得到所需的边或角相等。
结合图形性质：平行线的性质、等腰三角形性质等可提供夹角相等的条件。
转化思想：将实际测量问题转化为全等三角形对应边相等的问题。
易错提醒：
误将 “一边的对角” 当作 “夹角” 应用 SAS。
对应顶点字母顺序错误，导致边、角对应关系混乱。
证明时遗漏公共边、对顶角等隐含条件的说明。
幻灯片 11：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成 SAS 判定的基础证明题。
提升作业：
如图，已知点 B、E、C、F 在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证 AC∥DF。
如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，AE=AF，∠BAD=∠CAD，求证 BE=CF。
拓展作业：
设计一个利用 SAS 定理测量学校操场中两棵树之间距离的方案，画出示意图并说明理由。
探究：若两个三角形有两边和其中一边上的高对应相等，这两个三角形是否全等？举例说明。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.2三角形全等的判定-边角边
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、通过画图、操作、实验等教学活动，探索三角形全等的判定方法（SAS）；
2.、会用SAS判定两个三角形全等；
3、灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决线段或角相等问题.
温故知新
A
B
C
D
E
F
根据上一节的学习，我们知道，
如果△ABC≌△DEF，那么它们的对应边相等，对应角相等.
如图，AB=DE，BC=EF，AC=DF；
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
问题：因铺设电线的需要，要在池塘两侧 A 、B 处各埋设一根电线杆(如图)，现有一足够长的米尺却无法直接量出 A 、B 两点间的距离．
同学们,你们知道怎样测出A 、B 两点之间的距离吗？
知识点一 SAS判定三角形全等
A
B
C
D
E
F
由全等三角形的性质我们知道，两个三角形一共有六个要素，即三条边，三个角；
小明想判别△ABC与△DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等．
小红提出了质疑：能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
探索
为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？
将六个元素(三条边、三个角)分类组合，可能出现:
两边一角对应相等，
两角一边对应相等，
三角对应相等，
三边对应相等.
你认为这些情况下，两个三角形会全等吗？
探索交流
探索1：只有一个条件对应相等时（一条边或一个角）
（2）只有一个角相等时
（1）只有一条边相等时
3cm
3cm
45
45
3cm
45
两个三角形不一定全等
两个三角形不一定全等
结论：只有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
探索2：只有两个条件对应相等时
（两条边对应相等；两个角对应相等；一个角和一条边对应相等）
（1）三角形的两边对应相等时
5cm
5cm
3cm
3cm
两个三角形不一定全等
（2）三角形的两角对应相等时
45
30
45
30
两个三角形不一定全等
（3）三角形的一个角和一条边对应相等时
3cm
3cm
30
30
两个三角形不一定全等
结论：只有两个条件相等不能保证两个三角形全等.
做
一
做
如图，已知两条线段和一个角,试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，看看是否完全重合.
下面我们用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
如图，在△ABC 和△A′B′C′中，已知 AB = A′B′，∠A = ∠A′，AC = A'C'.
△ABC 与△A′B′C′重合，这就说明这两个三角形全等.
在△ABC 和△ A′B′C′中，
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（S.A.S.）．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“S.A.S. ”）．
知识要点
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = A′B′，
∠A =∠A′，
AC =A′C′ ，
A
B
C
A ′
B ′
C ′
必须是两边“夹角”
典例精析
例1、如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC．
D
A
B
C
证明：在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）．
注意图形中的隐含条件“公共边”.
按照三角形前后顺序，对应顶点放在对应位置.
例2、如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC．
D
B
C
A
（1）DC ＝BC吗？
（2）CA平分∠DCB吗？
（3）本例包含哪一种图形变换？
归纳：判定两条线段相等或两个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到.
练一练
1、如图，已知线段 AC、BD 相交于点 E，AE = DE，BE = CE. 求证: △ABE≌DCE.
证明：在△ABE和△DCE中，
∵AE = DE(已知)，
∠AEB = ∠DEC (对顶角相等)，
BE = CE(已知)，
∴△ ABE≌DCE ( S.A.S.).
①对应:“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系；
②顺序:“SAS”基本事实反映的是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.若角为其中一边的对角，则不能保证两个三角形全等.
注意点：
1．如图，AC与BD交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需( )
A．AB＝DC
B．OB＝OC
C．∠A＝∠D
D．∠AOB＝∠DOC
B
A
D
C
B
O
根据SAS判定三角形全等的条件即可得出答案；
1
2.如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则△ABD≌_________,判定依据是__________.
A
C
D
B
E
2
△ACE
SAS
3．如图，AD＝CB，∠1=∠2， 求证：△ADC≌△CBA．
A
D
B
C
1
2
证明：
∴△ADC≌△CBA(SAS)．
在△ADC与△CBA中，
解：利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．
4.某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块(如图)，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？
5、如图，有一池塘.要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连结 AC 并延长到 D，使 CD = CA. 连结 BC 并延长到 E，使 CE= CB. 连结 DE，那么 DE 的长就是 A、B 的距离. 你知道其中的道理吗？
已知: AD 与 BE 相交于点 C，CA = CD，CB = CE.
求证: AB = DE.
证明：在△ACB 和△DCE 中，
∵CA = CD (已知)，
∠1= ∠2 (对顶角相等），
CB = CE (已知)，
∴∠ACB≌△DCE (S.A.S.).
∴AB = DE (全等三角形的对应边相等).
6. 如图所示，小明想设计一种测零件内径 AB 的卡钳.在卡钳的设计中，要使测出的 DC 长度恰好为内径 AB 的长度，那么卡钳各部分的尺寸应满足什么条件呢？请提出你的想法.
解: 满足 OA ＝ OC，OB＝OD ．
∵OA ＝ OC，OB＝OD ，∠AOB＝∠COD ，
∴△AOB≌△COD (S.A.S.)，
∴AB＝CD ．
1. 如图，和相交于点，若 ，
用“”证明 ，还需( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，已知 ，下面甲、乙、丙、丁
四个三角形中，与 全等的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 小明用同种材料制
成的金属框架如图所示，已知
，， ，其
中框架的质量为840克， 的
质量为106克，则整个金属框架的质
量为( )
D
A. 734克 B. 946克 C. 1 052克 D. 1 574克
返回
（第4题）
4. 在测量一个小口圆形容器的
壁厚时，小明用“ 型转动钳”按如图方法进行测
量，其中，，测得 ，
，用和 表示圆形容器的壁厚是______
___.
（第4题）
【点拨】在和 中，
, 圆形容器的壁厚为
.
返回
5.如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则
与 的数量关系是______________.
（第5题）
6.［2025重庆江北区月考］如图，在
和中，点在线段 上，
与交于点.若 ，
， .
（1）求证： ；
【证明】， .
在与中，
， .
（2）若 ， ，求 的度数.
【解】由（1）知， .
， ，
， .
两边及其夹角分别相等的两个三角形
三角形全等的“S.A.S.”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
“S.S.A.”不能判定两个三角形全等.
注意：1.已知两边，必须找“夹角”；
2.已知一角和这角的一夹边，必
须找这角的另一夹边.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：12.2.2 三角形全等的判定 —— 边角边
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：突出两边及其夹角对应相等的两个全等三角形示意图，标注对应边、对应角和夹角位置
幻灯片 2：目录
复习回顾：SAS 判定定理的核心内容
边角边定理的深化理解
SAS 定理的符号语言规范
典型例题讲解（基础应用）
典型例题讲解（综合应用）
课堂互动：辨析与证明
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：复习回顾：SAS 判定定理的核心内容
定理回顾：
文字语言：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成 “边角边” 或 “SS”）。
图形示意：如图，在△ABC 和△DEF 中，若 AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，则△ABC≌△DEF（SAS）。
核心要素：
两个 “边”：必须是两个三角形中的两组对应边。
一个 “角”：必须是两组对应边的夹角（即两边的公共角）。
与 SSA 的对比：
SAS 是两边及其夹角对应相等（能判定全等）。
SSA 是两边及其中一边的对角对应相等（不能判定全等）。
反例回顾：画出△ABC 和△ABD，使 AB=AB，AC=AD，∠B=∠B（SSA），但两个三角形不全等。
配图：SAS 定理的标准示意图；SSA 反例对比图，标注差异之处
幻灯片 4：边角边定理的深化理解
夹角的明确界定：
夹角是指两组对应边的公共角，即 “边 — 角 — 边” 的中间角。
示例：在△ABC 中，AB 与 BC 的夹角是∠B；AC 与 BC 的夹角是∠C。
误区警示：若角不是两边的公共角，则不满足 SAS 条件（如 AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，此时∠B 不是 AB 与 AC 的夹角，不能用 SAS 判定）。
定理的唯一性：
当两边及其夹角确定时，三角形的形状和大小唯一确定（作图验证：给定两边和夹角只能画出一个三角形）。
实际意义：在工程测量、零件加工中，可通过控制两边长度和夹角确保三角形构件全等。
常见隐含条件：
公共角：如△ABC 和△DBC 中，BC 为公共边，∠C 为公共角，可作为 SAS 的夹角条件。
对顶角：如两条直线相交形成的对顶角，可作为 SAS 的夹角条件（如例题 2 中的∠AOB=∠COD）。
配图：夹角位置标注图；公共角、对顶角作为夹角的示意图
幻灯片 5：SAS 定理的符号语言规范
规范书写格式：
明确对象：写出 “在△××× 和△××× 中”。
列出条件：按 “边 — 角 — 边” 的顺序列出对应相等的条件，注明依据。
得出结论：写出全等判定，注明定理名称（SAS）。
示例：
已知：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE。
证明△ABC≌△ADE 的符号语言：
在△ABC 和△ADE 中，
AB=AD（已知），
∠BAC=∠DAE（已知），
AC=AE（已知），
∴ △ABC≌△ADE（SAS）。
注意事项：
对应顶点字母顺序要对应（如△ABC 与△ADE 的顶点 A 对应 A，B 对应 D，C 对应 E）。
条件列举顺序最好与 “边 — 角 — 边” 一致，逻辑更清晰。
配图：示例证明过程的规范书写截图，标注每一步的格式要求
幻灯片 6：典型例题讲解（基础应用）—— 直接应用 SAS
例题 1：如图，已知 AC=AD，∠CAB=∠DAB，求证△ABC≌△ABD。
证明：在△ABC 和△ABD 中，
AC=AD（已知），
∠CAB=∠DAB（已知），
AB=AB（公共边），
∴ △ABC≌△ABD（SAS）。
分析：本题直接给出两组对应边相等和一组夹角相等（公共边 AB 是其中一组对应边，∠CAB=∠DAB 是夹角），可直接应用 SAS 判定。
例题 2：如图，点 E、F 在 AC 上，AD=BC，∠A=∠C，AE=CF，求证△ADF≌△CBE。
证明：∵ AE=CF（已知），
∴ AE + EF=CF + EF（等式性质），即 AF=CE。
在△ADF 和△CBE 中，
AD=BC（已知），
∠A=∠C（已知），
AF=CE（已证），
∴ △ADF≌△CBE（SAS）。
分析：本题需先通过等式性质证明 AF=CE（间接得到一组对应边相等），再结合已知的边和角应用 SAS。
配图：例题 1、2 的图形标注，证明步骤中的条件对应关系
幻灯片 7：典型例题讲解（综合应用）—— 结合图形性质
例题 3：如图，已知 AB∥CD，AB=CD，求证△ABD≌△CDB。
证明：∵ AB∥CD（已知），
∴ ∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等）。
在△ABD 和△CDB 中，
AB=CD（已知），
∠ABD=∠CDB（已证），
BD=DB（公共边），
∴ △ABD≌△CDB（SAS）。
分析：本题利用平行线的性质得到夹角相等（∠ABD=∠CDB），再结合已知的对应边相等应用 SAS。
例题 4：如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 是中线，求证 AD 平分∠BAC。
证明：∵ AD 是中线（已知），
∴ BD=CD（中线的定义）。
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
BD=CD（已证），
AD=AD（公共边），
∴ △ABD≌△ACD（SSS）→ 此处改为 SAS 思路：
（调整：∵ AB=AC，∠B=∠C（等边对等角），BD=CD，用 SAS）
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
∠B=∠C（等边对等角），
BD=CD（已证），
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ ∠BAD=∠CAD（全等三角形对应角相等），即 AD 平分∠BAC。
分析：本题结合等腰三角形的性质（等边对等角）得到夹角相等，再应用 SAS 判定全等，进而证明角平分线。
配图：例题 3 的平行线性质标注；例题 4 的等腰三角形性质标注
幻灯片 8：典型例题讲解（拓展应用）—— 实际问题建模
例题 5：如图，某工厂要测量池塘两端 A、B 的距离，工人师傅在平地上取一个可直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D，使 CD=CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE=CB，连接 DE，测得 DE 的长为 100 米，求 A、B 的距离。
解题步骤：
模型转化：实际问题转化为数学问题，证明△ABC≌△DEC。
证明：在△ABC 和△DEC 中，
CA=CD（已知，CD=CA），
∠ACB=∠DCE（对顶角相等），
CB=CE（已知，CE=CB），
∴ △ABC≌△DEC（SAS）。
∴ AB=DE（全等三角形对应边相等），∵ DE=100 米，∴ AB=100 米。
分析：本题利用 SAS 判定全等，将不可直接测量的 AB 长度转化为可测量的 DE 长度，体现数学建模思想。
配图：池塘测距示意图，标注测量过程和全等三角形对应关系
幻灯片 9：课堂互动：辨析与证明
活动一：判定方法辨析：
练习 1：下列条件中，不能用 SAS 判定△ABC≌△DEF 的是（ ）。
A. AB=DE，∠B=∠E，BC=EF；B. AC=DF，∠C=∠F，BC=EF；
C. AB=DE，∠A=∠D，AC=DF；D. AB=DE，∠A=∠D，BC=EF。
（答案：D，因为∠A 不是 AB 与 BC 的夹角）
活动二：证明书写练习：
练习 2：如图，已知 AB=AC，AD=AE，∠1=∠2，求证△ABD≌△ACE。
（提示：先证明∠BAD=∠CAE，再用 SAS）
活动三：实际应用分析：
练习 3：如图，用两根钢条 AC 和 BD 的中点 O 相连，使钢条可以绕点 O 转动，测量 AB 的长即可得到容器内径 CD 的长，为什么？用 SAS 定理说明理由。
配图：练习题图形标注，练习 2 的证明步骤提示框
幻灯片 10：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
SAS 定理核心：两边及其夹角对应相等→三角形全等。
关键要素：准确识别 “夹角”，区分 SAS 与 SSA。
符号语言：规范书写 “在△××× 和△××× 中” 的条件列举。
应用技巧：
找隐含条件：公共边、公共角、对顶角可作为 SAS 的边或角条件。
造相等条件：通过等式性质（如线段和差、角的和差）得到所需的边或角相等。
结合图形性质：平行线的性质、等腰三角形性质等可提供夹角相等的条件。
转化思想：将实际测量问题转化为全等三角形对应边相等的问题。
易错提醒：
误将 “一边的对角” 当作 “夹角” 应用 SAS。
对应顶点字母顺序错误，导致边、角对应关系混乱。
证明时遗漏公共边、对顶角等隐含条件的说明。
幻灯片 11：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成 SAS 判定的基础证明题。
提升作业：
如图，已知点 B、E、C、F 在同一直线上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证 AC∥DF。
如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，AE=AF，∠BAD=∠CAD，求证 BE=CF。
拓展作业：
设计一个利用 SAS 定理测量学校操场中两棵树之间距离的方案，画出示意图并说明理由。
探究：若两个三角形有两边和其中一边上的高对应相等，这两个三角形是否全等？举例说明。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.2三角形全等的判定-边角边
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、通过画图、操作、实验等教学活动，探索三角形全等的判定方法（SAS）；
2.、会用SAS判定两个三角形全等；
3、灵活地运用所学的判定方法判定两个三角形全等，从而解决线段或角相等问题.
温故知新
A
B
C
D
E
F
根据上一节的学习，我们知道，
如果△ABC≌△DEF，那么它们的对应边相等，对应角相等.
如图，AB=DE，BC=EF，AC=DF；
∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F.
问题：因铺设电线的需要，要在池塘两侧 A 、B 处各埋设一根电线杆(如图)，现有一足够长的米尺却无法直接量出 A 、B 两点间的距离．
同学们,你们知道怎样测出A 、B 两点之间的距离吗？
知识点一 SAS判定三角形全等
A
B
C
D
E
F
由全等三角形的性质我们知道，两个三角形一共有六个要素，即三条边，三个角；
小明想判别△ABC与△DEF是否全等，他逐一检查三角形的三条边、三个角是不是都相等．
小红提出了质疑：能否在上述六个条件中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全等呢？
探索
为了探索三角形全等的条件，现在我们考虑两个三角形有三组对应相等的元素，那么此时会出现几种可能的情况呢？
将六个元素(三条边、三个角)分类组合，可能出现:
两边一角对应相等，
两角一边对应相等，
三角对应相等，
三边对应相等.
你认为这些情况下，两个三角形会全等吗？
探索交流
探索1：只有一个条件对应相等时（一条边或一个角）
（2）只有一个角相等时
（1）只有一条边相等时
3cm
3cm
45
45
3cm
45
两个三角形不一定全等
两个三角形不一定全等
结论：只有一个条件相等不能保证两个三角形全等.
探索2：只有两个条件对应相等时
（两条边对应相等；两个角对应相等；一个角和一条边对应相等）
（1）三角形的两边对应相等时
5cm
5cm
3cm
3cm
两个三角形不一定全等
（2）三角形的两角对应相等时
45
30
45
30
两个三角形不一定全等
（3）三角形的一个角和一条边对应相等时
3cm
3cm
30
30
两个三角形不一定全等
结论：只有两个条件相等不能保证两个三角形全等.
做
一
做
如图，已知两条线段和一个角,试画一个三角形，使这两条线段为其两边，这个角为这两边的夹角.
把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，看看是否完全重合.
下面我们用叠合的方法，看看你和你同伴所画的两个三角形是否可以完全重合.
如图，在△ABC 和△A′B′C′中，已知 AB = A′B′，∠A = ∠A′，AC = A'C'.
△ABC 与△A′B′C′重合，这就说明这两个三角形全等.
在△ABC 和△ A′B′C′中，
∴ △ABC ≌△ A′B′ C′（S.A.S.）．
文字语言：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等
（简写成“边角边”或“S.A.S. ”）．
知识要点
“边角边”判定方法
几何语言：
AB = A′B′，
∠A =∠A′，
AC =A′C′ ，
A
B
C
A ′
B ′
C ′
必须是两边“夹角”
典例精析
例1、如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC．
D
A
B
C
证明：在△ABC和△ADC中，
∴ △ABC ≌ △ADC（SAS）．
注意图形中的隐含条件“公共边”.
按照三角形前后顺序，对应顶点放在对应位置.
例2、如图，AB =AD，∠BAC =∠DAC. 求证：△ABC≌△ADC．
D
B
C
A
（1）DC ＝BC吗？
（2）CA平分∠DCB吗？
（3）本例包含哪一种图形变换？
归纳：判定两条线段相等或两个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到.
练一练
1、如图，已知线段 AC、BD 相交于点 E，AE = DE，BE = CE. 求证: △ABE≌DCE.
证明：在△ABE和△DCE中，
∵AE = DE(已知)，
∠AEB = ∠DEC (对顶角相等)，
BE = CE(已知)，
∴△ ABE≌DCE ( S.A.S.).
①对应:“SAS”包含“边”“角”两种元素，一定要注意元素的“对应”关系；
②顺序:“SAS”基本事实反映的是两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.若角为其中一边的对角，则不能保证两个三角形全等.
注意点：
1．如图，AC与BD交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需( )
A．AB＝DC
B．OB＝OC
C．∠A＝∠D
D．∠AOB＝∠DOC
B
A
D
C
B
O
根据SAS判定三角形全等的条件即可得出答案；
1
2.如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则△ABD≌_________,判定依据是__________.
A
C
D
B
E
2
△ACE
SAS
3．如图，AD＝CB，∠1=∠2， 求证：△ADC≌△CBA．
A
D
B
C
1
2
证明：
∴△ADC≌△CBA(SAS)．
在△ADC与△CBA中，
解：利用今天所学“边角边”知识，带黑色的那块．因为它完整地保留了两边及其夹角，一个三角形两条边的长度和夹角的大小确定了，这个三角形的形状、大小就确定下来了．
4.某同学不小心把一块三角形的玻璃从两个顶点处打碎成两块(如图)，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃．请问如果只准带一块碎片，应该带哪一块去，能试着说明理由吗？
5、如图，有一池塘.要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连结 AC 并延长到 D，使 CD = CA. 连结 BC 并延长到 E，使 CE= CB. 连结 DE，那么 DE 的长就是 A、B 的距离. 你知道其中的道理吗？
已知: AD 与 BE 相交于点 C，CA = CD，CB = CE.
求证: AB = DE.
证明：在△ACB 和△DCE 中，
∵CA = CD (已知)，
∠1= ∠2 (对顶角相等），
CB = CE (已知)，
∴∠ACB≌△DCE (S.A.S.).
∴AB = DE (全等三角形的对应边相等).
6. 如图所示，小明想设计一种测零件内径 AB 的卡钳.在卡钳的设计中，要使测出的 DC 长度恰好为内径 AB 的长度，那么卡钳各部分的尺寸应满足什么条件呢？请提出你的想法.
解: 满足 OA ＝ OC，OB＝OD ．
∵OA ＝ OC，OB＝OD ，∠AOB＝∠COD ，
∴△AOB≌△COD (S.A.S.)，
∴AB＝CD ．
1. 如图，和相交于点，若 ，
用“”证明 ，还需( )
B
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 如图，已知 ，下面甲、乙、丙、丁
四个三角形中，与 全等的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 小明用同种材料制
成的金属框架如图所示，已知
，， ，其
中框架的质量为840克， 的
质量为106克，则整个金属框架的质
量为( )
D
A. 734克 B. 946克 C. 1 052克 D. 1 574克
返回
（第4题）
4. 在测量一个小口圆形容器的
壁厚时，小明用“ 型转动钳”按如图方法进行测
量，其中，，测得 ，
，用和 表示圆形容器的壁厚是______
___.
（第4题）
【点拨】在和 中，
, 圆形容器的壁厚为
.
返回
5.如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，则
与 的数量关系是______________.
（第5题）
6.［2025重庆江北区月考］如图，在
和中，点在线段 上，
与交于点.若 ，
， .
（1）求证： ；
【证明】， .
在与中，
， .
（2）若 ， ，求 的度数.
【解】由（1）知， .
， ，
， .
两边及其夹角分别相等的两个三角形
三角形全等的“S.A.S.”判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
“S.S.A.”不能判定两个三角形全等.
注意：1.已知两边，必须找“夹角”；
2.已知一角和这角的一夹边，必
须找这角的另一夹边.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！