12.2.5三角形全等的判定-斜边直角边 课件（共35张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 12.2.5三角形全等的判定-斜边直角边 课件（共35张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 07:22:09 | ||
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文档简介
(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：12.2.5 三角形全等的判定 —— 斜边直角边
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：突出斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形示意图，标注直角、斜边和直角边
幻灯片 2：目录
情境引入：直角三角形全等的特殊需求
复习回顾：直角三角形的相关概念
HL 判定定理的核心内容
斜边直角边定理的深化理解
HL 定理的符号语言规范
典型例题讲解（基础与综合应用）
课堂互动：辨析与证明
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：直角三角形全等的特殊需求
实际问题：如图，有两个直角三角形支架，已知它们的斜边长度相等，一条直角边长度也相等，这两个支架的形状和大小是否完全相同？
思考：直角三角形是特殊的三角形，已有一个直角（90°），判定其全等是否需要像普通三角形那样的三个条件？能否简化条件？
引入概念：对于直角三角形，除了可用 SSS、SAS、ASA 等判定定理外，还有一种特殊的判定方法 —— 斜边直角边定理，这节课将专门探究这一内容。
配图：两个直角三角形支架示意图，标注直角、斜边和一组相等的直角边
幻灯片 4：复习回顾：直角三角形的相关概念
直角三角形的定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
相关边的名称：
直角边：组成直角的两条边，记作 “直角边 a”“直角边 b”。
斜边：直角所对的边，记作 “斜边 c”，斜边是直角三角形中最长的边。
直角三角形的表示：直角三角形用符号 “Rt△” 表示，如直角三角形 ABC 可记作 Rt△ABC，其中∠C 为直角。
已有判定方法回顾：
直角三角形是特殊三角形，普通三角形的全等判定定理（SSS、SAS、ASA）同样适用。
示例：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，若∠B=∠E=90°，AB=DE，BC=EF，则可通过 SAS 判定全等。
配图：直角三角形各部分名称标注图；用 SAS 判定直角三角形全等的示意图
幻灯片 5：HL 判定定理的核心内容
定理内容：
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成 “斜边直角边” 或 “HL”）。
图形示意：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，若 AB=DE（斜边相等），AC=DF（直角边相等），则 Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
核心要素：
适用对象：仅适用于直角三角形。
两个条件：斜边对应相等；一条直角边对应相等。
与其他判定定理的区别：
HL 定理是直角三角形特有的判定方法，无需再添加其他角或边的条件（利用了直角三角形本身的直角条件）。
普通三角形全等判定至少需要三个条件，而 HL 定理对于直角三角形只需两个条件（斜边 + 直角边）。
配图：HL 定理的标准示意图，标注直角、斜边和对应相等的直角边
幻灯片 6：斜边直角边定理的深化理解
定理的唯一性：
当直角三角形的斜边和一条直角边确定时，三角形的形状和大小唯一确定。
作图验证：已知一条直角边和斜边画直角三角形，只能画出唯一的三角形。
条件的严格性：
必须是 “斜边” 和 “直角边” 的组合，缺一不可。
误区警示：
仅斜边相等不能判定全等（直角边可能不同）。
仅两条直角边中的一条相等不能判定全等（斜边可能不同）。
若用两条直角边对应相等判定，属于 SAS 定理，而非 HL 定理。
常见隐含条件：
公共直角边：如 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共直角边，若斜边 AB=DB，则可满足 HL 条件。
等量转化：通过已知条件推导出斜边相等或直角边相等（如角平分线性质、中垂线性质等）。
配图：HL 定理唯一性的作图过程示意图；HL 与 SAS 在直角三角形判定中的对比图
幻灯片 7：HL 定理的符号语言规范
规范书写格式：
明确对象：写出 “在 Rt△××× 和 Rt△××× 中”（注明直角顶点）。
列出条件：分别写出斜边相等和一条直角边相等的条件，注明依据。
得出结论：写出全等判定，注明定理名称（HL）。
示例：
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF。
证明 Rt△ABC≌Rt△DEF 的符号语言：
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
AB=DE（已知），
AC=DF（已知），
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
注意事项：
必须先注明三角形是直角三角形（Rt△），并明确直角的位置。
条件列举时要清晰区分斜边和直角边。
配图：示例证明过程的规范书写截图，标注每一步的格式要求
幻灯片 8：典型例题讲解（基础应用）—— 直接应用 HL
例题 1：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，∠C=∠D=90°，AB=AB，AC=AD，求证 Rt△ABC≌Rt△ABD。
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，
AB=AB（公共斜边），
AC=AD（已知直角边），
∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。
分析：本题中 AB 是公共斜边，AC=AD 是一组直角边相等，直接满足 HL 定理条件。
例题 2：如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，求证 AC=AD。
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
∠B=∠D=90°（已知），
BC=CD（已知直角边），
AC=AC（公共斜边），
∴ Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴ AC=AD（全等三角形对应边相等）。
分析：本题通过 HL 判定两个直角三角形全等，进而证明对应边相等。
配图：例题 1、2 的图形标注，证明步骤中的条件对应关系
幻灯片 9：典型例题讲解（综合应用）—— 结合图形性质
例题 3：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，AB=AC，求证 Rt△ABD≌Rt△ACD。
证明：∵ AD⊥BC（已知），
∴ ∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义），即△ABD 和△ACD 是直角三角形。
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC（已知斜边），
AD=AD（公共直角边），
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。
分析：本题先通过垂直定义得到直角，再结合等腰三角形的性质（AB=AC）作为斜边相等的条件，应用 HL 判定全等。
例题 4：如图，已知 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，AE=DF，AB=DC，求证∠B=∠C。
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC（已知），
∴ ∠AEB=∠DFC=90°（垂直的定义）。
在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中，
AB=DC（已知斜边），
AE=DF（已知直角边），
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。
分析：本题利用垂直得到直角三角形，通过 HL 判定全等后证明对应角相等。
配图：例题 3 的等腰三角形性质标注；例题 4 的垂直条件标注
幻灯片 10：课堂互动：辨析与证明
活动一：判定方法辨析：
练习 1：下列条件中，不能用 HL 判定 Rt△ABC≌Rt△DEF 的是（ ）。
A. ∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF；B. ∠C=∠F=90°，BC=EF，AB=DE；
C. ∠C=∠F=90°，AC=DF，BC=EF；D. ∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF。
（答案：C，C 选项是两条直角边相等，属于 SAS 判定）
活动二：证明书写练习：
练习 2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，求证 CD=DE。
（提示：证明 Rt△ACD≌Rt△AED，用 HL 定理）
活动三：实际应用分析：
练习 3：如图，要测量河两岸点 A、B 的距离，可在岸边作 AB 的垂线 BF，在 BF 上取 C、D 两点，使 BC=CD，再过 D 作 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在同一直线上，测得 DE 的长即为 AB 的长，用 HL 定理说明理由。
配图：练习题图形标注，练习 2 的证明步骤提示框
幻灯片 11：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
HL 定理核心：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等→全等。
适用范围：仅适用于直角三角形（Rt△）。
符号语言：规范注明 “Rt△”，列出斜边和直角边相等的条件。
应用技巧：
找直角条件：通过垂直定义、直角符号等确定直角三角形。
辨斜边直角边：明确斜边（直角对边）和直角边（直角邻边）的对应关系。
用隐含条件：公共斜边、公共直角边可作为 HL 的直接条件。
结合其他性质：等腰三角形、角平分线、中垂线等性质可提供边相等的条件。
易错提醒：
非直角三角形误用 HL 定理判定全等。
混淆斜边和直角边的对应关系。
证明时未注明三角形是直角三角形（Rt△）。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成 HL 判定的基础证明题。
提升作业：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，DE⊥AB 于 E，求证 CD=DE，BC=BE。
如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为 E、F，DE=BF，求证 AF=CE。
拓展作业：
探究：HL 定理与 SSS 定理在直角三角形判定中的联系（提示：结合勾股定理）。
设计一个利用 HL 定理测量物体高度的方案，画出示意图并说明原理。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.5三角形全等的判定-斜边直角边
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“H.L.”定理，体会“H.L.”的合理性；
2、掌握“H.L.”定理，能正确应用“H.L.”定理证明两个三角形全等；
3、能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题；
温故知新
问题：证明一般三角形全等有哪些方法？
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为 S.A.S.（或边角边）
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简记为 A.S.A.（或角边角）
温故知新
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为 A.A.S.（或角角边）.
4.三边分别相等的两个三角形全等.
简记为 S.S.S.（或边边边）
A
B
O
N
M
P
∟
∟
？
？
在△OMP和△ONP中
△OMP与△ONP全等吗？
探讨角平分线的作法时，小明只带了直角三角板，他说只利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理的.
思考：这个证明是否成立呢？这节课我们将讨论这个问题！！！
知识点一 利用“H.L.”判定直角三角形全等
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量．
(1) 你能帮他想个办法吗？
根据“S.A.S.”可测量其余两边与这两边的夹角.
根据“A.S.A.”，“A.A.S.”可测量对应一边和一锐角.
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信这个结论吗？
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗
下面，让我们来验证这个结论.
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等 .
2 cm
3 cm
步骤：
1.画一条线段AB，使它等于2cm；
2.画∠MAB=90°（用量角器或三角尺）；
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于C；
△ABC即为所求.
M
A
B
C
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？
做一做
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
4.连结BC.
知识要点
“斜边直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边直角边”或“H.L.”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
∴在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (H.L.).
∵∠C=∠C′=90°,
“S.S.A.”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
典例精析
【例1】如图，已知 AC = BD，∠C = ∠D = 90°.求证: BC = AD.
证明： ∵∠C = ∠D = 90°(已知)，
∴△ABC与△BAD 都是直角三角形(直角三角形的定义).
在Rt△ABC 与 Rt△BAD 中，
∵AB = BA (公共边)，
AC = BD (已知)，
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD (H.L.)
BC = AD (全等三角形的对应边相等).
1. 一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为: 一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形．
2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别:
（1）一般三角形全等的条件“S.S.S.”在直角三角形中被“H.L.”代替，无需找第三条边对应相等；
（2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等．
练一练
如图，在△ABC中，D为 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点 E、F 为垂足，DE = DF. 求证:△BED≌△CFD.
证明: ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，
∴ ∠BED ＝ ∠CFD ＝ 90°，
∴△BED 与△CFD 都是直角三角形．
∵D 为 BC 的中点,
∴BD ＝ CD ．
在 Rt△BED 与 Rt△CFD 中，
∵BD ＝ CD ，DE ＝ DF，
∴Rt△BED ≌ Rt△CFD (H.L.)．
2. 如图，AC = AD，∠C =∠D = 90°．求证: BC = BD.
证明:在Rt△ACB 和Rt△ADB 中,
∵AB＝AB，AC＝AD ，
∴Rt△ACB≌ Rt△ADB (H.L.)．
∴BC ＝ BD ．
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的跨度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 与 ∠F 的大小有什么关系？说说你的想法和理由.
解: ∠B＋∠F ＝ 90°．
可以利用已知条件证明
Rt△ABC ≌ Rt△DEF (H.L.)，
∴∠B ＝∠DEF，
∴∠B＋∠F ＝ 90°．
4. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是边 BC 上的高.
求证:（1）BD = DC；（2）∠BAD = ∠CAD.
证明: ∵AD 是 BC 边上的高，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°．
在Rt△ADB 和Rt△ADC 中，
AB＝AC，AD ＝ AD，
∴Rt△ADB ≌ Rt△ADC (H.L.)，
∴BD ＝ DC，∠BAD ＝∠CAD ．
5、一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成两块，他是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？他该带哪块去呢？请用数学知识解释你的结论.
解:可以．带右边的一块去．这样可以根据三角形全等的判定方法可知，具有全等的 3 个条件，即 A.S.A.
1、已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°,
求证：②AO﹦BO，CO=DO.
A
D
C
B
②证明：在△AOC 和△BOD 中，
O
∴△AOC≌△BOD(AAS)
∴AO﹦BO，CO=DO(全等三角形对应边相等).
A
D
C
B
2.如图，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC.求证：AB=CD，AD//BC.
证明：∵ AB⊥BD，CD⊥DB(已知)，
∴∠ABD=∠CDB=90° (垂直定义).
在Rt△ABD和Rt△CDB中
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）.
∴∠ADB=∠CBD， AB=CD
(全等三角形对应边、对应角相等) .
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行) .
3.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，
AC＝AE. 求证：BC＝BE.
E
D
A
C
B
F
证明：∵ AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴∠ADB=∠AFB=90°
在Rt△ADC和Rt△AFE中,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）.
∴CD=EF.
在Rt△ADB和Rt△AFB中,
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）.
∴BD=BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
4. 如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F.若BE=CF，则图中全等三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
C
A
F
C
B
E
根据全等的条件将全等的三角形一一列出即可；
1. ［2025渭南期中］如图，要用“ ”判定
和 全等的条件是( )
C
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
返回
（第2题）
2. 两个同样大小的直角三角尺按如图所示
的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于
点，另一直角边，分别落在
的边和上，且，作射线 ，
则在说明为 的平分线的过程中，
证全等的依据是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图所示，已知在 中，
，，交于点 ，
若 ，则 ( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】在中， ，
，交于点 ，且
， ，
.
， ，
，
.
返回
4. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖
直墙上.已知左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度
相等，若，，，则 的长为
___ .
6
（第4题）
【点拨】由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
， ，
.
返回
（第5题）
5.如图，为斜边 上的一点，且
，过点作的垂线，交 于点
，若，则的长为____ .
12
【点拨】连结.根据题意，可得 .
， ，
，
.又， .
返回
6.［2025汕头月考］如图，在四边形中， ，
连结对角线，且，点在边上，连结 ，过
点作，垂足为，若 .求证：
（1） ；
【证明】， .
在和中，
，
，
即 .
（2） .
如图，连结 ，
易知 .
在和 中，
， .
， .
， .
斜边直角边
判定定理
形式
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
H.L.（斜边直角边），存在于直角三角形中
判定直角三角形全等与判定一般三角形全等的联系与区别
应用
用H.L.解决问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：12.2.5 三角形全等的判定 —— 斜边直角边
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：突出斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形示意图，标注直角、斜边和直角边
幻灯片 2：目录
情境引入：直角三角形全等的特殊需求
复习回顾：直角三角形的相关概念
HL 判定定理的核心内容
斜边直角边定理的深化理解
HL 定理的符号语言规范
典型例题讲解（基础与综合应用）
课堂互动：辨析与证明
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：直角三角形全等的特殊需求
实际问题：如图，有两个直角三角形支架，已知它们的斜边长度相等，一条直角边长度也相等，这两个支架的形状和大小是否完全相同？
思考：直角三角形是特殊的三角形，已有一个直角（90°），判定其全等是否需要像普通三角形那样的三个条件？能否简化条件？
引入概念：对于直角三角形，除了可用 SSS、SAS、ASA 等判定定理外，还有一种特殊的判定方法 —— 斜边直角边定理，这节课将专门探究这一内容。
配图：两个直角三角形支架示意图，标注直角、斜边和一组相等的直角边
幻灯片 4：复习回顾：直角三角形的相关概念
直角三角形的定义：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
相关边的名称：
直角边：组成直角的两条边，记作 “直角边 a”“直角边 b”。
斜边：直角所对的边，记作 “斜边 c”，斜边是直角三角形中最长的边。
直角三角形的表示：直角三角形用符号 “Rt△” 表示，如直角三角形 ABC 可记作 Rt△ABC，其中∠C 为直角。
已有判定方法回顾：
直角三角形是特殊三角形，普通三角形的全等判定定理（SSS、SAS、ASA）同样适用。
示例：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，若∠B=∠E=90°，AB=DE，BC=EF，则可通过 SAS 判定全等。
配图：直角三角形各部分名称标注图；用 SAS 判定直角三角形全等的示意图
幻灯片 5：HL 判定定理的核心内容
定理内容：
文字语言：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成 “斜边直角边” 或 “HL”）。
图形示意：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，若 AB=DE（斜边相等），AC=DF（直角边相等），则 Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
核心要素：
适用对象：仅适用于直角三角形。
两个条件：斜边对应相等；一条直角边对应相等。
与其他判定定理的区别：
HL 定理是直角三角形特有的判定方法，无需再添加其他角或边的条件（利用了直角三角形本身的直角条件）。
普通三角形全等判定至少需要三个条件，而 HL 定理对于直角三角形只需两个条件（斜边 + 直角边）。
配图：HL 定理的标准示意图，标注直角、斜边和对应相等的直角边
幻灯片 6：斜边直角边定理的深化理解
定理的唯一性：
当直角三角形的斜边和一条直角边确定时，三角形的形状和大小唯一确定。
作图验证：已知一条直角边和斜边画直角三角形，只能画出唯一的三角形。
条件的严格性：
必须是 “斜边” 和 “直角边” 的组合，缺一不可。
误区警示：
仅斜边相等不能判定全等（直角边可能不同）。
仅两条直角边中的一条相等不能判定全等（斜边可能不同）。
若用两条直角边对应相等判定，属于 SAS 定理，而非 HL 定理。
常见隐含条件：
公共直角边：如 Rt△ABC 和 Rt△DBC 中，BC 为公共直角边，若斜边 AB=DB，则可满足 HL 条件。
等量转化：通过已知条件推导出斜边相等或直角边相等（如角平分线性质、中垂线性质等）。
配图：HL 定理唯一性的作图过程示意图；HL 与 SAS 在直角三角形判定中的对比图
幻灯片 7：HL 定理的符号语言规范
规范书写格式：
明确对象：写出 “在 Rt△××× 和 Rt△××× 中”（注明直角顶点）。
列出条件：分别写出斜边相等和一条直角边相等的条件，注明依据。
得出结论：写出全等判定，注明定理名称（HL）。
示例：
已知：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF。
证明 Rt△ABC≌Rt△DEF 的符号语言：
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
AB=DE（已知），
AC=DF（已知），
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
注意事项：
必须先注明三角形是直角三角形（Rt△），并明确直角的位置。
条件列举时要清晰区分斜边和直角边。
配图：示例证明过程的规范书写截图，标注每一步的格式要求
幻灯片 8：典型例题讲解（基础应用）—— 直接应用 HL
例题 1：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，∠C=∠D=90°，AB=AB，AC=AD，求证 Rt△ABC≌Rt△ABD。
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ABD 中，
AB=AB（公共斜边），
AC=AD（已知直角边），
∴ Rt△ABC≌Rt△ABD（HL）。
分析：本题中 AB 是公共斜边，AC=AD 是一组直角边相等，直接满足 HL 定理条件。
例题 2：如图，∠B=∠D=90°，BC=CD，求证 AC=AD。
证明：在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
∠B=∠D=90°（已知），
BC=CD（已知直角边），
AC=AC（公共斜边），
∴ Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），
∴ AC=AD（全等三角形对应边相等）。
分析：本题通过 HL 判定两个直角三角形全等，进而证明对应边相等。
配图：例题 1、2 的图形标注，证明步骤中的条件对应关系
幻灯片 9：典型例题讲解（综合应用）—— 结合图形性质
例题 3：如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，AB=AC，求证 Rt△ABD≌Rt△ACD。
证明：∵ AD⊥BC（已知），
∴ ∠ADB=∠ADC=90°（垂直的定义），即△ABD 和△ACD 是直角三角形。
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC（已知斜边），
AD=AD（公共直角边），
∴ Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）。
分析：本题先通过垂直定义得到直角，再结合等腰三角形的性质（AB=AC）作为斜边相等的条件，应用 HL 判定全等。
例题 4：如图，已知 AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为 E、F，AE=DF，AB=DC，求证∠B=∠C。
证明：∵ AE⊥BC，DF⊥BC（已知），
∴ ∠AEB=∠DFC=90°（垂直的定义）。
在 Rt△ABE 和 Rt△DCF 中，
AB=DC（已知斜边），
AE=DF（已知直角边），
∴ Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），
∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。
分析：本题利用垂直得到直角三角形，通过 HL 判定全等后证明对应角相等。
配图：例题 3 的等腰三角形性质标注；例题 4 的垂直条件标注
幻灯片 10：课堂互动：辨析与证明
活动一：判定方法辨析：
练习 1：下列条件中，不能用 HL 判定 Rt△ABC≌Rt△DEF 的是（ ）。
A. ∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF；B. ∠C=∠F=90°，BC=EF，AB=DE；
C. ∠C=∠F=90°，AC=DF，BC=EF；D. ∠C=∠F=90°，AB=DE，BC=EF。
（答案：C，C 选项是两条直角边相等，属于 SAS 判定）
活动二：证明书写练习：
练习 2：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，DE⊥AB 于 E，求证 CD=DE。
（提示：证明 Rt△ACD≌Rt△AED，用 HL 定理）
活动三：实际应用分析：
练习 3：如图，要测量河两岸点 A、B 的距离，可在岸边作 AB 的垂线 BF，在 BF 上取 C、D 两点，使 BC=CD，再过 D 作 BF 的垂线 DE，使 A、C、E 在同一直线上，测得 DE 的长即为 AB 的长，用 HL 定理说明理由。
配图：练习题图形标注，练习 2 的证明步骤提示框
幻灯片 11：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
HL 定理核心：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等→全等。
适用范围：仅适用于直角三角形（Rt△）。
符号语言：规范注明 “Rt△”，列出斜边和直角边相等的条件。
应用技巧：
找直角条件：通过垂直定义、直角符号等确定直角三角形。
辨斜边直角边：明确斜边（直角对边）和直角边（直角邻边）的对应关系。
用隐含条件：公共斜边、公共直角边可作为 HL 的直接条件。
结合其他性质：等腰三角形、角平分线、中垂线等性质可提供边相等的条件。
易错提醒：
非直角三角形误用 HL 定理判定全等。
混淆斜边和直角边的对应关系。
证明时未注明三角形是直角三角形（Rt△）。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成 HL 判定的基础证明题。
提升作业：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，DE⊥AB 于 E，求证 CD=DE，BC=BE。
如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为 E、F，DE=BF，求证 AF=CE。
拓展作业：
探究：HL 定理与 SSS 定理在直角三角形判定中的联系（提示：结合勾股定理）。
设计一个利用 HL 定理测量物体高度的方案，画出示意图并说明原理。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.2.5三角形全等的判定-斜边直角边
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、已知斜边、直角边会画直角三角形，经历画直角三角形探究得到“H.L.”定理，体会“H.L.”的合理性；
2、掌握“H.L.”定理，能正确应用“H.L.”定理证明两个三角形全等；
3、能正确应用所学的全等三角形的判定定理解决问题；
温故知新
问题：证明一般三角形全等有哪些方法？
1. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
简记为 S.A.S.（或边角边）
2.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
简记为 A.S.A.（或角边角）
温故知新
3.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
简记为 A.A.S.（或角角边）.
4.三边分别相等的两个三角形全等.
简记为 S.S.S.（或边边边）
A
B
O
N
M
P
∟
∟
？
？
在△OMP和△ONP中
△OMP与△ONP全等吗？
探讨角平分线的作法时，小明只带了直角三角板，他说只利用三角板也可以作角平分线，方法如下：
我们知道，证明三角形全等不存在SSA定理的.
思考：这个证明是否成立呢？这节课我们将讨论这个问题！！！
知识点一 利用“H.L.”判定直角三角形全等
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量．
(1) 你能帮他想个办法吗？
根据“S.A.S.”可测量其余两边与这两边的夹角.
根据“A.S.A.”，“A.A.S.”可测量对应一边和一锐角.
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等.于是，他就肯定“两个直角三角形是全等的”.
你相信这个结论吗？
（2）如果他只带一个卷尺，能完成这个任务吗
下面，让我们来验证这个结论.
斜边和一条直角边对应相等→两个直角三角形全等 .
2 cm
3 cm
步骤：
1.画一条线段AB，使它等于2cm；
2.画∠MAB=90°（用量角器或三角尺）；
3.以点B为圆心、3cm长为半径画圆弧，交射线AM于C；
△ABC即为所求.
M
A
B
C
把你画的直角三角形与其他同学画的直角三角形相比较，它们全等吗？
做一做
如图，已知两条线段，试画一个直角三角形，使长的线段为其斜边、短的线段为其一条直角边.
4.连结BC.
知识要点
“斜边直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边直角边”或“H.L.”）.
几何语言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
∴在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (H.L.).
∵∠C=∠C′=90°,
“S.S.A.”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
典例精析
【例1】如图，已知 AC = BD，∠C = ∠D = 90°.求证: BC = AD.
证明： ∵∠C = ∠D = 90°(已知)，
∴△ABC与△BAD 都是直角三角形(直角三角形的定义).
在Rt△ABC 与 Rt△BAD 中，
∵AB = BA (公共边)，
AC = BD (已知)，
∴Rt△ABC ≌ Rt△BAD (H.L.)
BC = AD (全等三角形的对应边相等).
1. 一般三角形的全等与直角三角形的全等是从一般到特殊的关系，二者之间的联系为: 一般三角形的判定方法同样适用于直角三角形．
2.判定一般三角形的全等与直角三角形的全等的区别:
（1）一般三角形全等的条件“S.S.S.”在直角三角形中被“H.L.”代替，无需找第三条边对应相等；
（2）“两边及其中一边的对角对应相等”不能判定一般三角形全等，但能判定直角三角形全等．
练一练
如图，在△ABC中，D为 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点 E、F 为垂足，DE = DF. 求证:△BED≌△CFD.
证明: ∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，
∴ ∠BED ＝ ∠CFD ＝ 90°，
∴△BED 与△CFD 都是直角三角形．
∵D 为 BC 的中点,
∴BD ＝ CD ．
在 Rt△BED 与 Rt△CFD 中，
∵BD ＝ CD ，DE ＝ DF，
∴Rt△BED ≌ Rt△CFD (H.L.)．
2. 如图，AC = AD，∠C =∠D = 90°．求证: BC = BD.
证明:在Rt△ACB 和Rt△ADB 中,
∵AB＝AB，AC＝AD ，
∴Rt△ACB≌ Rt△ADB (H.L.)．
∴BC ＝ BD ．
如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平方向的跨度 DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠B 与 ∠F 的大小有什么关系？说说你的想法和理由.
解: ∠B＋∠F ＝ 90°．
可以利用已知条件证明
Rt△ABC ≌ Rt△DEF (H.L.)，
∴∠B ＝∠DEF，
∴∠B＋∠F ＝ 90°．
4. 如图，在△ABC中，AB = AC，AD是边 BC 上的高.
求证:（1）BD = DC；（2）∠BAD = ∠CAD.
证明: ∵AD 是 BC 边上的高，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°．
在Rt△ADB 和Rt△ADC 中，
AB＝AC，AD ＝ AD，
∴Rt△ADB ≌ Rt△ADC (H.L.)，
∴BD ＝ DC，∠BAD ＝∠CAD ．
5、一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成两块，他是否可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具呢？他该带哪块去呢？请用数学知识解释你的结论.
解:可以．带右边的一块去．这样可以根据三角形全等的判定方法可知，具有全等的 3 个条件，即 A.S.A.
1、已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°,
求证：②AO﹦BO，CO=DO.
A
D
C
B
②证明：在△AOC 和△BOD 中，
O
∴△AOC≌△BOD(AAS)
∴AO﹦BO，CO=DO(全等三角形对应边相等).
A
D
C
B
2.如图，AB⊥BD，CD⊥DB，AD=BC.求证：AB=CD，AD//BC.
证明：∵ AB⊥BD，CD⊥DB(已知)，
∴∠ABD=∠CDB=90° (垂直定义).
在Rt△ABD和Rt△CDB中
∴Rt△ABD≌Rt△CDB（HL）.
∴∠ADB=∠CBD， AB=CD
(全等三角形对应边、对应角相等) .
∴ AD//BC(内错角相等，两直线平行) .
3.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，
AC＝AE. 求证：BC＝BE.
E
D
A
C
B
F
证明：∵ AD，AF分别是△ABC和△ABE的高，
∴∠ADB=∠AFB=90°
在Rt△ADC和Rt△AFE中,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE（HL）.
∴CD=EF.
在Rt△ADB和Rt△AFB中,
∴Rt△ADB≌Rt△AFB（HL）.
∴BD=BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
4. 如图所示，BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别是E、F.若BE=CF，则图中全等三角形有( )
A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对
C
A
F
C
B
E
根据全等的条件将全等的三角形一一列出即可；
1. ［2025渭南期中］如图，要用“ ”判定
和 全等的条件是( )
C
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
返回
（第2题）
2. 两个同样大小的直角三角尺按如图所示
的方式摆放，其中两条一样长的直角边交于
点，另一直角边，分别落在
的边和上，且，作射线 ，
则在说明为 的平分线的过程中，
证全等的依据是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图所示，已知在 中，
，，交于点 ，
若 ，则 ( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
【点拨】在中， ，
，交于点 ，且
， ，
.
， ，
，
.
返回
4. 如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖
直墙上.已知左边滑梯的高度 与右边滑梯水平方向的长度
相等，若，，，则 的长为
___ .
6
（第4题）
【点拨】由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，
， ，
.
返回
（第5题）
5.如图，为斜边 上的一点，且
，过点作的垂线，交 于点
，若，则的长为____ .
12
【点拨】连结.根据题意，可得 .
， ，
，
.又， .
返回
6.［2025汕头月考］如图，在四边形中， ，
连结对角线，且，点在边上，连结 ，过
点作，垂足为，若 .求证：
（1） ；
【证明】， .
在和中，
，
，
即 .
（2） .
如图，连结 ，
易知 .
在和 中，
， .
， .
， .
斜边直角边
判定定理
形式
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等
H.L.（斜边直角边），存在于直角三角形中
判定直角三角形全等与判定一般三角形全等的联系与区别
应用
用H.L.解决问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！