12.3.1等腰三角形的性质 课件（共33张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 12.3.1等腰三角形的性质 课件（共33张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 07:21:53 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：12.3.1 等腰三角形的性质
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有等腰三角形标准图形的背景图，标注腰、底边、顶角和底角
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的等腰三角形
复习回顾：等腰三角形的定义
实验探究：等腰三角形的对称性
等腰三角形的性质定理
典型例题讲解（性质应用）
课堂互动：辨析与计算
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的等腰三角形
生活实例：展示生活中常见的等腰三角形物体，如等腰三角形屋顶、红领巾、交通警示牌、等腰三角形风筝等。
观察特征：这些物体的三角形都有两条边长度相等，形状对称。
提出问题：等腰三角形除了两条边相等外，还有哪些特殊的性质？它的角、边上的中线、高线等有什么规律？
引入课题：今天我们将通过实验和推理，探究等腰三角形的性质。
配图：生活中等腰三角形物体的实物图，标注等腰三角形的轮廓
幻灯片 4：复习回顾：等腰三角形的定义
定义内容：
文字语言：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
图形示意：如图，在△ABC 中，AB=AC，则△ABC 是等腰三角形。
相关概念：
腰：相等的两边叫做腰（AB、AC）。
底边：另一边叫做底边（BC）。
顶角：两腰的夹角叫做顶角（∠A）。
底角：腰和底边的夹角叫做底角（∠B、∠C）。
特殊情况：
等边三角形：三边都相等的三角形是特殊的等腰三角形（腰与底边相等）。
表示方法：等腰三角形 ABC 可记作 “等腰△ABC”，其中 AB=AC。
配图：等腰三角形各部分名称标注图，区分腰、底边、顶角、底角
幻灯片 5：实验探究：等腰三角形的对称性
实验步骤：
取一张等腰三角形纸片（AB=AC）。
画出顶角∠A 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
沿着 AD 所在直线将纸片折叠，观察折叠后△ABD 和△ACD 的位置关系。
实验现象：
折叠后△ABD 与△ACD 能够完全重合（全等）。
对应边重合：BD=CD；对应角重合：∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°。
结论：
等腰三角形是轴对称图形。
顶角的平分线所在的直线是它的对称轴（底边的中线、底边的高所在直线也是对称轴）。
配图：折叠实验过程示意图，标注重合的边和角
幻灯片 6：等腰三角形的性质定理（一）—— 等边对等角
性质 1 内容：
文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）。
符号语言：在△ABC 中，∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等边对等角）。
证明过程：
已知：在△ABC 中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
证明：作顶角∠A 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
∠BAD=∠CAD（角平分线定义），
AD=AD（公共边），
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。
应用说明：
此性质可用于等腰三角形中角的计算和等量关系证明。
示例：若等腰三角形的顶角为 80°，则底角为（180°-80°）÷2=50°。
配图：性质 1 的图形示意，标注已知边和求证角；证明过程的全等三角形标注
幻灯片 7：等腰三角形的性质定理（二）—— 三线合一
性质 2 内容：
文字语言：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成 “三线合一”）。
符号语言：在△ABC 中，∵ AB=AC，AD 是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高），
∴ AD⊥BC，BD=CD（或∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；或∠BAD=∠CAD，BD=CD）。
证明过程（以顶角平分线为例）：
已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线。
求证：AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC。
证明：由△ABD≌△ACD（已证），
∴ BD=CD（AD 是中线），∠ADB=∠ADC=90°（AD 是高），
∴ 顶角平分线 AD 既是中线也是高。
应用说明：
“三线合一” 体现了等腰三角形的对称性，可简化证明过程（一个条件推出多个结论）。
示例：在等腰△ABC 中，若 AD 是底边 BC 的中线，则 AD⊥BC 且 AD 平分∠BAC。
配图：性质 2 的图形示意，标注顶角平分线、中线、高重合的位置
幻灯片 8：等腰三角形的性质拓展 —— 等边三角形性质
等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。
性质拓展：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°。
符号语言：∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠A=∠B=∠C=60°。
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（三线合一）。
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
证明思路：
由等边三角形的定义（AB=AC=BC），利用 “等边对等角” 可得∠A=∠B=∠C，再结合三角形内角和为 180°，得每个角为 60°。
配图：等边三角形的性质示意图，标注三个 60° 角和三条对称轴
幻灯片 9：典型例题讲解（一）—— 角度计算
例题 1：在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，求∠B 和∠C 的度数。
解：∵ AB=AC（已知），
∴ ∠B=∠C（等边对等角）。
∵ ∠A + ∠B + ∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=50°，
∴ 50° + 2∠B=180°，解得∠B=∠C=65°。
例题 2：在等腰△ABC 中，一个内角为 70°，求另外两个内角的度数。
解：分两种情况：
情况 1：顶角为 70°，则底角为（180°-70°）÷2=55°，另外两个角为 55°、55°。
情况 2：底角为 70°，则顶角为 180°-70°×2=40°，另外两个角为 70°、40°。
综上，另外两个内角为 55°、55° 或 70°、40°。
技巧总结：
等腰三角形中角的计算需注意分类讨论（顶角或底角不确定时）。
利用 “等边对等角” 和三角形内角和定理建立方程求解。
配图：例题 1、2 的图形标注，角度计算过程示意图
幻灯片 10：典型例题讲解（二）—— 三线合一应用
例题 3：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∠B=50°，求∠BAD 的度数。
解：∵ AB=AC，AD 是 BC 边上的中线（已知），
∴ AD 平分∠BAC（三线合一），∠BAC=180°-2×50°=80°（等边对等角），
∴ ∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°。
例题 4：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，求证 BD=CD，∠BAD=∠CAD。
证明：∵ AB=AC，AD⊥BC（已知），
∴ AD 是 BC 边上的中线，且 AD 平分∠BAC（三线合一），
∴ BD=CD，∠BAD=∠CAD。
技巧总结：
“三线合一” 可将中线、高、角平分线的条件相互转化，简化证明。
应用时需明确等腰三角形的腰和底边，确定 “三线” 对应的位置。
配图：例题 3、4 的图形标注，三线合一条件的转化示意图
幻灯片 11：课堂互动：辨析与计算
活动一：性质辨析：
练习 1：下列说法正确的是（ ）。
A. 等腰三角形的高一定是对称轴；B. 等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直于底边；
C. 等腰三角形的角平分线、中线、高都相等；D. 等腰三角形的底角一定是锐角。
（答案：B、D）
活动二：角度计算：
练习 2：在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=∠B，求△ABC 各内角的度数。
（提示：由 AB=AC 得∠B=∠C，结合∠A=∠B，得∠A=∠B=∠C=60°）
活动三：证明应用：
练习 3：如图，AB=AC，BD=CD，求证 AD⊥BC。
（提示：利用 “三线合一”，证明 AD 是中线即可推出 AD 是高）
配图：练习题图形标注，练习 3 的证明步骤提示框
幻灯片 12：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
等腰三角形定义：有两边相等的三角形，特殊形式是等边三角形。
性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
性质 2（三线合一）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
等边三角形性质：三内角相等（均为 60°），三条三线合一，三条对称轴。
应用技巧：
角度计算：利用 “等边对等角” 和内角和定理，分类讨论顶角与底角。
证明应用：通过 “三线合一” 实现中线、高、角平分线的条件转化。
辅助线添加：等腰三角形中常作顶角平分线、底边上的中线或高作为辅助线。
易错提醒：
忽略等腰三角形中角的分类讨论（顶角和底角不确定时）。
误用 “三线合一”（仅适用于等腰三角形的顶角平分线、底边中线和底边高）。
混淆等腰三角形与等边三角形的性质差异。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成等腰三角形性质的基础计算题和证明题。
提升作业：
如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求∠A 的度数。
如图，在等边△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，求∠BAD 的度数和 BD 与 BC 的数量关系。
拓展作业：
用尺规作图法作出一个等腰三角形，并利用折叠实验验证其 “三线合一” 性质。
探究：等腰三角形两腰上的中线有什么关系？两腰上的高呢？（提示：通过证明全等三角形）
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.3.1等腰三角形的性质
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解并掌握等腰三角形的性质；
2、经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；
温故知新
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？
2.等腰三角形的有关概念
A
B
C
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边,
底边与腰的夹角叫做底角.
两腰所夹的角叫做顶角,
腰
腰
底边
顶角
底角
边：
角：
法国巴黎的卢浮宫
城市大桥建筑
图片欣赏
知识点一 等腰三角形的性质
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
做一做
D
A
B
C
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗？
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
底角
∠B ＝∠C
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2.
探究归纳
A
B
C
D
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等.
（简写成“等边对等角”）
你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢？
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B ＝∠C
证明：画∠BAC的平分线AD.
D
1
2
在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC（已知）
∠1＝∠2（角平分线的定义）
AD＝AD（公共边）
∴ △ABD≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
从这里你还可以得到什么结论？
A
B
C
D
1
2
AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
A
B
C
D
1
2
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。
等腰三角形的性质：
（简称“三线合一”）
文字语言 图形语言 符号语言
等边对等角
底边上的高、中线及顶角平分线重合
A
B
C
A
B
C
D
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
在△ABC中，AB=AC.
(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；
(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；
(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
知识归纳
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
A
B
C
D
1
2
？
？
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等边对等角）
∴∠C＝∠1.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠2.
∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF.
D
A
B
C
F
E
证明：
∵AB=AC，
∴ ∠B= ∠C (等边对等角).
∵D是BC的中点，
∴ DB=DC .
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
在△DBE和△DCF中，
∴ △DBE ≌ △DCF(AAS).
∴ DE=DF .
练一练
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，
(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．
A
B
C
D
70°
40°
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝ ___．
(3)如果有一个角等于120°,
那么∠A＝ ____ ，∠B＝___ ，∠C ＝___ ．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少度？
55°
55°
120°
30°
30°
解：若∠A=50°,则∠B=∠C=65°；
若∠B=∠C=50°,则∠A=80°.
已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
2. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
找出图中相等的角并说明理由.
解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B.
∵AB=AC，
∴∠C=∠B.
∴∠BAD=∠B=∠C
A
B
C
D
∵DC=AC，
∴∠DAC=∠ADC.
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，
∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠ADB=∠BAC.
3.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
(2) 证明：∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴ AD⊥BC（三线合一）
1
2
解： (1) ∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴∠1=∠2= ∠BAC（三线合一）
∵∠BAC＝110°（已知）
∴∠ 1=∠2=55°（等式性质）
知识点二 等边三角形的性质
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得 ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
A
C
B
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
A
B
C
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质：
正三角形
典例精析
A
B
C
D
例3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD；
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A；
（4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °，
∴x+2x+2x=180 °.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
D
1.等腰三角形的对称轴是 ( )
A.底边上的中线 B.顶角的平分线
C.底边上的高 D.底边的垂直平分线
注：对称轴要回答是直线，而ABC三个选项是线段或射线，不符合要求
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是 ( )
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC D. AB=2BD
A
B
C
D
D
根据等腰三角形的性质即可证明ABC，D无法说明；
1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形，
则 的度数是( )
A. B.
C. 或 D. 或 或
（第2题）
2. 如图，在中， ，
， ，则
( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. ［2025长沙岳麓区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠
晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，
迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一
亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.
如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形，，
是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线
的是( )
（第3题）
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
√
4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值
称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形 的两边
长分别是3和9，则它的“优美比” 为__.
5.如图， 的周长为20，且
，于点， 的周
长为16，那么 的长为___.
6
返回
6.［2025上海金山区期末］如图，在
中，为边 上一点，
.
（1）试说明 ；
【解】， ，
.
.
（2）过点作的平行线交 的延长
线于点，若，求证： 平分
.
【证明】， .
，， ，
，平分 .
返回
（第7题）
7. 某平板电脑
支架如图所示，其中
， ，为了使
用的舒适性，可调整 的
大小.若增大 ，则
的变化情况是( )
A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小
√
等腰三角形的性质
底与腰不相等
定义
等边对等角→证明角相等
三线合一
底与腰相等→等边三角形
定义
等腰三角形的所有性质
特有性质：三边相等；三个角都等于60°
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：12.3.1 等腰三角形的性质
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有等腰三角形标准图形的背景图，标注腰、底边、顶角和底角
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的等腰三角形
复习回顾：等腰三角形的定义
实验探究：等腰三角形的对称性
等腰三角形的性质定理
典型例题讲解（性质应用）
课堂互动：辨析与计算
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的等腰三角形
生活实例：展示生活中常见的等腰三角形物体，如等腰三角形屋顶、红领巾、交通警示牌、等腰三角形风筝等。
观察特征：这些物体的三角形都有两条边长度相等，形状对称。
提出问题：等腰三角形除了两条边相等外，还有哪些特殊的性质？它的角、边上的中线、高线等有什么规律？
引入课题：今天我们将通过实验和推理，探究等腰三角形的性质。
配图：生活中等腰三角形物体的实物图，标注等腰三角形的轮廓
幻灯片 4：复习回顾：等腰三角形的定义
定义内容：
文字语言：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
图形示意：如图，在△ABC 中，AB=AC，则△ABC 是等腰三角形。
相关概念：
腰：相等的两边叫做腰（AB、AC）。
底边：另一边叫做底边（BC）。
顶角：两腰的夹角叫做顶角（∠A）。
底角：腰和底边的夹角叫做底角（∠B、∠C）。
特殊情况：
等边三角形：三边都相等的三角形是特殊的等腰三角形（腰与底边相等）。
表示方法：等腰三角形 ABC 可记作 “等腰△ABC”，其中 AB=AC。
配图：等腰三角形各部分名称标注图，区分腰、底边、顶角、底角
幻灯片 5：实验探究：等腰三角形的对称性
实验步骤：
取一张等腰三角形纸片（AB=AC）。
画出顶角∠A 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
沿着 AD 所在直线将纸片折叠，观察折叠后△ABD 和△ACD 的位置关系。
实验现象：
折叠后△ABD 与△ACD 能够完全重合（全等）。
对应边重合：BD=CD；对应角重合：∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°。
结论：
等腰三角形是轴对称图形。
顶角的平分线所在的直线是它的对称轴（底边的中线、底边的高所在直线也是对称轴）。
配图：折叠实验过程示意图，标注重合的边和角
幻灯片 6：等腰三角形的性质定理（一）—— 等边对等角
性质 1 内容：
文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简写成 “等边对等角”）。
符号语言：在△ABC 中，∵ AB=AC（已知），∴ ∠B=∠C（等边对等角）。
证明过程：
已知：在△ABC 中，AB=AC。
求证：∠B=∠C。
证明：作顶角∠A 的平分线 AD，交 BC 于点 D。
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
∠BAD=∠CAD（角平分线定义），
AD=AD（公共边），
∴ △ABD≌△ACD（SAS），
∴ ∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。
应用说明：
此性质可用于等腰三角形中角的计算和等量关系证明。
示例：若等腰三角形的顶角为 80°，则底角为（180°-80°）÷2=50°。
配图：性质 1 的图形示意，标注已知边和求证角；证明过程的全等三角形标注
幻灯片 7：等腰三角形的性质定理（二）—— 三线合一
性质 2 内容：
文字语言：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成 “三线合一”）。
符号语言：在△ABC 中，∵ AB=AC，AD 是顶角平分线（或底边上的中线、底边上的高），
∴ AD⊥BC，BD=CD（或∠BAD=∠CAD，AD⊥BC；或∠BAD=∠CAD，BD=CD）。
证明过程（以顶角平分线为例）：
已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 是∠BAC 的平分线。
求证：AD 是 BC 边上的中线，且 AD⊥BC。
证明：由△ABD≌△ACD（已证），
∴ BD=CD（AD 是中线），∠ADB=∠ADC=90°（AD 是高），
∴ 顶角平分线 AD 既是中线也是高。
应用说明：
“三线合一” 体现了等腰三角形的对称性，可简化证明过程（一个条件推出多个结论）。
示例：在等腰△ABC 中，若 AD 是底边 BC 的中线，则 AD⊥BC 且 AD 平分∠BAC。
配图：性质 2 的图形示意，标注顶角平分线、中线、高重合的位置
幻灯片 8：等腰三角形的性质拓展 —— 等边三角形性质
等边三角形定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形（特殊的等腰三角形）。
性质拓展：
等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于 60°。
符号语言：∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠A=∠B=∠C=60°。
等边三角形每条边上的中线、高和所对角的平分线都相互重合（三线合一）。
等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。
证明思路：
由等边三角形的定义（AB=AC=BC），利用 “等边对等角” 可得∠A=∠B=∠C，再结合三角形内角和为 180°，得每个角为 60°。
配图：等边三角形的性质示意图，标注三个 60° 角和三条对称轴
幻灯片 9：典型例题讲解（一）—— 角度计算
例题 1：在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=50°，求∠B 和∠C 的度数。
解：∵ AB=AC（已知），
∴ ∠B=∠C（等边对等角）。
∵ ∠A + ∠B + ∠C=180°（三角形内角和定理），∠A=50°，
∴ 50° + 2∠B=180°，解得∠B=∠C=65°。
例题 2：在等腰△ABC 中，一个内角为 70°，求另外两个内角的度数。
解：分两种情况：
情况 1：顶角为 70°，则底角为（180°-70°）÷2=55°，另外两个角为 55°、55°。
情况 2：底角为 70°，则顶角为 180°-70°×2=40°，另外两个角为 70°、40°。
综上，另外两个内角为 55°、55° 或 70°、40°。
技巧总结：
等腰三角形中角的计算需注意分类讨论（顶角或底角不确定时）。
利用 “等边对等角” 和三角形内角和定理建立方程求解。
配图：例题 1、2 的图形标注，角度计算过程示意图
幻灯片 10：典型例题讲解（二）—— 三线合一应用
例题 3：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，∠B=50°，求∠BAD 的度数。
解：∵ AB=AC，AD 是 BC 边上的中线（已知），
∴ AD 平分∠BAC（三线合一），∠BAC=180°-2×50°=80°（等边对等角），
∴ ∠BAD= ∠BAC= ×80°=40°。
例题 4：如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于 D，求证 BD=CD，∠BAD=∠CAD。
证明：∵ AB=AC，AD⊥BC（已知），
∴ AD 是 BC 边上的中线，且 AD 平分∠BAC（三线合一），
∴ BD=CD，∠BAD=∠CAD。
技巧总结：
“三线合一” 可将中线、高、角平分线的条件相互转化，简化证明。
应用时需明确等腰三角形的腰和底边，确定 “三线” 对应的位置。
配图：例题 3、4 的图形标注，三线合一条件的转化示意图
幻灯片 11：课堂互动：辨析与计算
活动一：性质辨析：
练习 1：下列说法正确的是（ ）。
A. 等腰三角形的高一定是对称轴；B. 等腰三角形的顶角平分线平分底边且垂直于底边；
C. 等腰三角形的角平分线、中线、高都相等；D. 等腰三角形的底角一定是锐角。
（答案：B、D）
活动二：角度计算：
练习 2：在等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=∠B，求△ABC 各内角的度数。
（提示：由 AB=AC 得∠B=∠C，结合∠A=∠B，得∠A=∠B=∠C=60°）
活动三：证明应用：
练习 3：如图，AB=AC，BD=CD，求证 AD⊥BC。
（提示：利用 “三线合一”，证明 AD 是中线即可推出 AD 是高）
配图：练习题图形标注，练习 3 的证明步骤提示框
幻灯片 12：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
等腰三角形定义：有两边相等的三角形，特殊形式是等边三角形。
性质 1（等边对等角）：等腰三角形的两个底角相等。
性质 2（三线合一）：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
等边三角形性质：三内角相等（均为 60°），三条三线合一，三条对称轴。
应用技巧：
角度计算：利用 “等边对等角” 和内角和定理，分类讨论顶角与底角。
证明应用：通过 “三线合一” 实现中线、高、角平分线的条件转化。
辅助线添加：等腰三角形中常作顶角平分线、底边上的中线或高作为辅助线。
易错提醒：
忽略等腰三角形中角的分类讨论（顶角和底角不确定时）。
误用 “三线合一”（仅适用于等腰三角形的顶角平分线、底边中线和底边高）。
混淆等腰三角形与等边三角形的性质差异。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成等腰三角形性质的基础计算题和证明题。
提升作业：
如图，在△ABC 中，AB=AC，点 D 在 AC 上，且 BD=BC=AD，求∠A 的度数。
如图，在等边△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，求∠BAD 的度数和 BD 与 BC 的数量关系。
拓展作业：
用尺规作图法作出一个等腰三角形，并利用折叠实验验证其 “三线合一” 性质。
探究：等腰三角形两腰上的中线有什么关系？两腰上的高呢？（提示：通过证明全等三角形）
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.3.1等腰三角形的性质
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解并掌握等腰三角形的性质；
2、经历等腰三角形的探究过程，能初步运用等腰三角形的性质解决有关问题；
温故知新
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
1.具备什么条件的三角形是等腰三角形？
2.等腰三角形的有关概念
A
B
C
相等的两条边叫做腰,
另一条边叫做底边,
底边与腰的夹角叫做底角.
两腰所夹的角叫做顶角,
腰
腰
底边
顶角
底角
边：
角：
法国巴黎的卢浮宫
城市大桥建筑
图片欣赏
知识点一 等腰三角形的性质
剪一张等腰三角形的半透明纸片，每人所剪的等腰三角形的大小和形状可以不一样，如图，把纸片对折，让两腰AB、AC重叠在一起，折痕为AD.你能发现什么现象吗？
做一做
D
A
B
C
1.等腰三角形是轴对称图形.
我们可以得出结论：
A
C
B
D
折痕AD所在直线是等腰三角形的对称轴.
你还有新的发现吗？
∠B，∠C 是等腰三角形的 .
底角
∠B ＝∠C
所以我们可以描述为:
等腰三角形的两个底角相等.
2.
探究归纳
A
B
C
D
等腰三角形的性质：
等腰三角形的两底角相等.
（简写成“等边对等角”）
你还有什么方法可以证明“等边对等角”呢？
A
B
C
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B ＝∠C
证明：画∠BAC的平分线AD.
D
1
2
在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC（已知）
∠1＝∠2（角平分线的定义）
AD＝AD（公共边）
∴ △ABD≌△ACD（S.A.S）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
从这里你还可以得到什么结论？
A
B
C
D
1
2
AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高。
A
B
C
D
1
2
等腰三角形底边上的高、中线及顶角的平分线相互重合。
等腰三角形的性质：
（简称“三线合一”）
文字语言 图形语言 符号语言
等边对等角
底边上的高、中线及顶角平分线重合
A
B
C
A
B
C
D
在△ABC中，
∵AC = AB (已知)，
∴∠B =∠C ( 等边对等角）.
在△ABC中，AB=AC.
(1)∵∠BAD=∠CAD，∴BD=CD，AD⊥BC；
(2)∵AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD；
(3)∵BD=CD，∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC.
知识归纳
典例精析
例1 已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且AD＝BD，
求证: ∠ADB＝∠BAC．
A
B
C
D
1
2
？
？
证明：∵AB＝AC，AD＝BD，
∴∠B＝∠C，∠B＝∠1（等边对等角）
∴∠C＝∠1.
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠2.
∴∠ADB＝∠1+∠2=∠BAC.
例2 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F.
求证：DE=DF.
D
A
B
C
F
E
证明：
∵AB=AC，
∴ ∠B= ∠C (等边对等角).
∵D是BC的中点，
∴ DB=DC .
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ ∠DEB=∠DFC=90°.
在△DBE和△DCF中，
∴ △DBE ≌ △DCF(AAS).
∴ DE=DF .
练一练
1. 如图，在△ABC中，AB=AC，
(1)如果∠B＝70°，那么∠C＝____，∠A＝____．
A
B
C
D
70°
40°
(2)如果∠A＝70°，那么∠B＝____，∠C＝ ___．
(3)如果有一个角等于120°,
那么∠A＝ ____ ，∠B＝___ ，∠C ＝___ ．
(4)如果有一个角等于50°，那么另两个角等于多少度？
55°
55°
120°
30°
30°
解：若∠A=50°,则∠B=∠C=65°；
若∠B=∠C=50°,则∠A=80°.
已知一个内角，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
2. 如图，在△ABC中，点D在BC上，AD=BD，AB=AC=CD.
找出图中相等的角并说明理由.
解：∠BAD=∠B=∠C；∠BAC=∠ADB；∠ADC=∠DAC.
∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B.
∵AB=AC，
∴∠C=∠B.
∴∠BAD=∠B=∠C
A
B
C
D
∵DC=AC，
∴∠DAC=∠ADC.
∵∠ADB＝∠C+∠DAC，
∠BAC＝∠BAD+∠DAC，
∴∠ADB=∠BAC.
3.如图的房屋人字梁架中，AB＝AC ，BD=DC， ∠BAC＝110°，
(1) 求∠B、∠C、∠1、∠2的度数；
(2) 求证：AD⊥BC .
(2) 证明：∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴ AD⊥BC（三线合一）
1
2
解： (1) ∵AB=AC，BD=DC（已知）
∴∠1=∠2= ∠BAC（三线合一）
∵∠BAC＝110°（已知）
∴∠ 1=∠2=55°（等式性质）
知识点二 等边三角形的性质
因为等边三角形是特殊的等腰三角形，由等腰三角形等边对等角的性质得到，∠B＝ ∠ C，
同理可得 ∠A＝∠B
所以 ∠A＝∠B＝∠C，
又由 ∠A＋∠B＋∠C＝180°，
从而推出 ∠A＝∠B＝∠C＝60°.
也就是说：等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
三条边都相等的三角形是等边三角形，它也是轴对称图形，那么等边三角形的每个角的度数是多少呢？它有几条对称轴？
A
C
B
等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，也称为正三角形.
三条对称轴
A
B
C
等边三角形的各个角都相等，并且每一个角都等于60°.
等边三角形的性质：
正三角形
典例精析
A
B
C
D
例3 如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数.
（1）找出图中所有相等的角；
（2）指出图中有几个等腰三角形？
∠A=∠ABD,
∠C=∠BDC=∠ABC；
△ABC,
△ABD,
△BCD；
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
（3）观察∠BDC与∠A，∠ABD的关系，∠ABC、∠C呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠BDC=2 ∠A,
∠C= ∠BDC=2 ∠A；
（4）设∠A=x,请把△ ABC的内角和用含x的式子表示出来.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °，
∴x+2x+2x=180 °.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
设∠A=x,则∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
从而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
在△ABC中，∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
D
1.等腰三角形的对称轴是 ( )
A.底边上的中线 B.顶角的平分线
C.底边上的高 D.底边的垂直平分线
注：对称轴要回答是直线，而ABC三个选项是线段或射线，不符合要求
2.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，下列结论中不正确的是 ( )
A. ∠B=∠C B. AD⊥BC
C. AD平分∠BAC D. AB=2BD
A
B
C
D
D
根据等腰三角形的性质即可证明ABC，D无法说明；
1. 在中，已知 ，若 是等腰三角形，
则 的度数是( )
A. B.
C. 或 D. 或 或
（第2题）
2. 如图，在中， ，
， ，则
( )
A. B. C. D.
√
√
返回
3. ［2025长沙岳麓区期中］“一亭幽绝费平章，峡口清风赠
晚凉.前度桃花斗红紫，今来枫叶染丹黄.饶将春色输秋色，
迎过朝阳送夕阳.此地四时可乘兴，待谁招鹤共翱翔.”其中“一
亭”指的是具有一座悠久历史的古典园林建筑——“爱晚亭”.
如图，“爱晚亭”的顶部可看作等腰三角形，，
是边上的一点.下列条件不能说明是 的角平分线
的是( )
（第3题）
A.
B.
C.
D. 与 的周长相等
√
4. 定义：等腰三角形的底边长与其腰长的比值
称为这个等腰三角形的“优美比”.若等腰三角形 的两边
长分别是3和9，则它的“优美比” 为__.
5.如图， 的周长为20，且
，于点， 的周
长为16，那么 的长为___.
6
返回
6.［2025上海金山区期末］如图，在
中，为边 上一点，
.
（1）试说明 ；
【解】， ，
.
.
（2）过点作的平行线交 的延长
线于点，若，求证： 平分
.
【证明】， .
，， ，
，平分 .
返回
（第7题）
7. 某平板电脑
支架如图所示，其中
， ，为了使
用的舒适性，可调整 的
大小.若增大 ，则
的变化情况是( )
A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小
√
等腰三角形的性质
底与腰不相等
定义
等边对等角→证明角相等
三线合一
底与腰相等→等边三角形
定义
等腰三角形的所有性质
特有性质：三边相等；三个角都等于60°
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！