12.4.1互逆命题和互逆定理 课件（共24张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 12.4.1互逆命题和互逆定理 课件（共24张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 07:21:36 | ||
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文档简介
(共24张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：12.4.1 互逆命题和互逆定理
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有命题结构对比示意图的背景图，突出题设和结论的位置关系
幻灯片 2：目录
情境引入：命题的结构分析
复习回顾：命题的概念与分类
互逆命题的概念与特征
互逆定理的概念与特征
典型例题讲解（辨析与应用）
课堂互动：判断与书写
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：命题的结构分析
问题引入：
命题 1：如果两条直线平行，那么同位角相等。
命题 2：如果同位角相等，那么两条直线平行。
观察这两个命题，它们的题设和结论有什么关系？
结构对比：
命题 1 的题设：两条直线平行；结论：同位角相等。
命题 2 的题设：同位角相等；结论：两条直线平行。
发现：命题 2 的题设是命题 1 的结论，命题 2 的结论是命题 1 的题设。
引入课题：这种题设和结论互换的命题在数学中很常见，今天我们将学习互逆命题和互逆定理的相关知识。
配图：命题 1 与命题 2 的结构对比图，用箭头标注题设和结论的互换关系
幻灯片 4：复习回顾：命题的概念与分类
命题的概念：
文字语言：判断一件事情的语句，叫做命题。
结构组成：命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）两部分组成，通常可写成 “如果…… 那么……” 的形式。
示例：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 中，题设是 “两个角是对顶角”，结论是 “这两个角相等”。
命题的分类：
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题。
反例：判断假命题的方法（举一个符合题设但不符合结论的例子）。
配图：命题的结构组成示意图，标注题设和结论的位置
幻灯片 5：互逆命题的概念与特征
概念定义：
文字语言：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
符号表示：若命题 1 为 “如果 p，那么 q”，则命题 2 为 “如果 q，那么 p”，命题 1 与命题 2 互为逆命题。
相关概念：
原命题：其中一个命题叫做原命题（如命题 1）。
逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题（如命题 2）。
特征分析：
互逆命题是成对出现的，不能单独说某个命题是逆命题。
原命题的题设和结论互换位置得到逆命题。
原命题与逆命题的真假性没有必然联系（原命题真，逆命题不一定真；原命题假，逆命题不一定假）。
示例：
原命题：如果 a=b，那么 a =b （真命题）。
逆命题：如果 a =b ，那么 a=b（假命题，反例：a=2，b=-2 时 a =b ，但 a≠b）。
配图：互逆命题的结构关系图，用双向箭头标注题设和结论的互换
幻灯片 6：互逆命题的书写与真假判断
书写步骤：
明确原命题的题设和结论（将原命题写成 “如果 p，那么 q” 的形式）。
互换题设和结论，得到逆命题（“如果 q，那么 p”）。
整理语言，确保逆命题表述清晰、准确。
示例：
原命题：等腰三角形的两个底角相等（改写：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等）。
逆命题：如果一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
真假判断方法：
原命题为真时，逆命题可能为真也可能为假（需通过推理或举反例验证）。
原命题为假时，逆命题同样可能为真或为假。
示例：
原命题：对顶角相等（真命题）；逆命题：相等的角是对顶角（假命题）。
原命题：若 a=b，则 | a|=|b|（真命题）；逆命题：若 | a|=|b|，则 a=b（假命题）。
配图：逆命题书写步骤流程图；真假命题示例对比表
幻灯片 7：互逆定理的概念与特征
概念定义：
文字语言：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
特征分析：
互逆定理的前提是两个命题都是定理（即都是真命题）。
互逆定理是互逆命题的特殊情况（只有当逆命题为真时，原定理与逆命题才构成互逆定理）。
并非所有定理都有逆定理（当定理的逆命题为假时，该定理没有逆定理）。
示例：
原定理：两直线平行，同位角相等（真命题）。
逆命题：同位角相等，两直线平行（真命题）→ 互为逆定理。
原定理：对顶角相等（真命题）。
逆命题：相等的角是对顶角（假命题）→ 不互为逆定理。
配图：互逆定理与非互逆定理的示例对比图，标注真假性判断
幻灯片 8：互逆命题与互逆定理的区别与联系
区别：
定义不同：互逆命题是题设和结论互换的两个命题；互逆定理是逆命题为真的两个定理。
真假性要求不同：互逆命题只需结构互换，不要求都是真命题；互逆定理必须两个命题都是真命题（定理）。
范围不同：互逆命题适用于所有命题；互逆定理仅适用于定理（真命题）。
联系：
互逆定理一定是互逆命题（满足题设和结论互换）。
互逆命题不一定是互逆定理（逆命题为假时不构成定理）。
两者都体现了题设和结论的互换关系。
示例对比：
互逆命题（非定理）：原命题 “如果 x=2，那么 x =4”，逆命题 “如果 x =4，那么 x=2”（逆命题为假）。
互逆定理：原定理 “内错角相等，两直线平行”，逆定理 “两直线平行，内错角相等”（均为真命题）。
配图：互逆命题与互逆定理的关系示意图，用包含关系标注
幻灯片 9：典型例题讲解（一）—— 互逆命题的辨析
例题 1：写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。
（1）原命题：如果两个角是直角，那么这两个角相等。
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角。
原命题：真命题；逆命题：假命题（反例：两个 30° 的角相等但不是直角）。
（2）原命题：全等三角形的对应边相等。
逆命题：对应边相等的两个三角形全等。
原命题：真命题；逆命题：真命题（SSS 判定定理）。
例题 2：下列命题中，互为逆命题的是（ ）。
A. “对顶角相等” 与 “相等的角是对顶角”
B. “若 a>b，则 a+c>b+c” 与 “若 a+c>b+c，则 a>b”
C. “直角三角形的两锐角互余” 与 “两锐角互余的三角形是直角三角形”
答案：A、B、C（均满足题设和结论互换）。
技巧总结：
写逆命题时先明确原命题的题设和结论，再互换位置。
判断真假时，真命题需推理证明，假命题需举反例。
配图：例题 1 的逆命题书写过程；例题 2 的选项分析标注
幻灯片 10：典型例题讲解（二）—— 互逆定理的应用
例题 3：下列定理中，有逆定理的是（ ）。
A. 同角的余角相等
B. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C. 全等三角形的周长相等
解：
A 的逆命题：“余角相等的两个角是同角”（假命题，反例：等角的余角也相等）→ 无逆定理。
B 的逆命题：“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”（真命题）→ 有逆定理。
C 的逆命题：“周长相等的两个三角形全等”（假命题）→ 无逆定理。
答案：B。
例题 4：说出 “等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合” 的逆命题，并判断是否为逆定理。
逆命题：“如果一个三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，那么这个三角形是等腰三角形”。
判断：该逆命题是真命题（可通过全等三角形证明），因此与原定理互为逆定理。
技巧总结：
判断定理是否有逆定理，需先写出逆命题，再验证逆命题是否为真命题。
常见的互逆定理：平行线的判定与性质、等腰三角形的性质与判定等。
配图：例题 3 的逆命题真假判断分析；例题 4 的逆命题验证示意图
幻灯片 11：课堂互动：判断与书写
活动一：逆命题书写：
练习 1：写出 “如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等” 的逆命题，并判断真假。
逆命题：“如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等”（假命题，反例：相似三角形）。
活动二：互逆定理辨析：
练习 2：下列定理中，互为逆定理的是（ ）。
A. “两直线平行，内错角相等” 与 “内错角相等，两直线平行”
B. “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 与 “斜边上的中线等于斜边一半的三角形是直角三角形”
C. “全等三角形的对应角相等” 与 “对应角相等的三角形全等”
答案：A、B。
活动三：开放探究：
练习 3：请写出一个原命题为真、逆命题为假的命题，并说明理由。
示例：原命题 “如果 a=0，那么 ab=0”（真命题）；逆命题 “如果 ab=0，那么 a=0”（假命题，反例：b=0 时 ab=0）。
配图：练习题的书写与判断提示框，标注关键步骤
幻灯片 12：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
互逆命题：题设和结论互换的两个命题（原命题与逆命题）。
互逆定理：逆命题为真的两个定理（原定理与逆定理）。
核心关系：互逆定理一定是互逆命题，互逆命题不一定是互逆定理。
真假性：原命题与逆命题的真假性无关；互逆定理的两个命题均为真。
应用技巧：
写逆命题：先分解原命题的题设和结论，再互换位置并规范表述。
判真假：原命题真时逆命题需验证，原命题假时逆命题也需验证。
辨定理：判断定理是否有逆定理，关键看逆命题是否为真命题。
易错提醒：
混淆 “互逆命题” 与 “互逆定理” 的概念（忽略逆命题的真假性）。
书写逆命题时表述不完整或改变原意（如遗漏题设中的关键条件）。
误认为原命题为真时逆命题一定为真，或原命题为假时逆命题一定为假。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成逆命题的书写和真假判断。
提升作业：
写出下列定理的逆命题，并判断是否为逆定理：
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。
（2）如果两个数互为相反数，那么它们的和为 0。
举一个原命题和逆命题均为真命题的例子，再举一个原命题为真、逆命题为假的例子。
拓展作业：
探究：“全等三角形的面积相等” 是否有逆定理？为什么？
思考：如何通过举反例快速判断一个逆命题为假命题？举例说明。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.4.1互逆命题和互逆定理
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解互逆命题、互逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题并能判定其真假；
2、能用学过的知识证明一个定理的逆命题是真命题还是假命题.
温故知新
什么叫做命题？
表示判断的语气叫做命题。
例如“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
知识点一 互逆命题
观察上面三组命题,你发现了什么
1.两直线平行,内错角相等；
3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；
4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
2.内错角相等,两直线平行；
5.平行四边形的对角线互相平分；
6.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
说出下列命题的条件和结论：
观察与思考
例如“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
命题“两直线平行，内错角相等”
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
条件
结论
它的逆命题“内错角相等，两直线平行”
典例精析
【例1】指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
条件：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
条件：一个三角形是等边三角形;
结论：它的每个角都等于60°.
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形.
（3）全等三角形的对应角相等.
条件：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.
练一练
（1）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
条件：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
条件：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
1、指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
知识点二 互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
互逆定理
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．
例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。
(1)如果x=y,那么x2 =y2；
(2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角；
解：逆命题：如果x2 =y2,那么x=y ；
假命题
解：逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角,那么它的第三个角是钝角；
假命题
2、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题.
1. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 如果，，则
B. 直角都相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 若，则
√
返回
2. 下列定理中没有逆定理的是( )
A. 内错角相等，两直线平行
B. 直角三角形中，两锐角互余
C. 等腰三角形两底角相等
D. 对顶角相等
√
返回
3. 下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是( )
A. 若两条直线垂直，则两条直线有交点
B. 若，则与 相等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 若直线，，则
√
【点拨】A.若两条直线垂直，则两条直线有交点，逆命题是
若两条直线有交点，则两条直线垂直，不是互逆定理，不符
合题意；B.若，则与相等，逆命题是若与 相等，
则 ，不是互逆定理，不符合题意；C.同位角相等，
两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，是互逆定
理，符合题意；D.若直线，，则 ，逆命题是
若，则直线， ，不是互逆定理，不符合题意.
故选C.
返回
4.“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是
______________________________________________，这个
逆命题是____命题（填“真”或“假”）.
如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等
假
返回
5. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与
逆命题的真假.
（1）如果，那么 ；
【解】如果，那么的逆命题为如果 ，那
么 ；原命题为假命题，逆命题为真命题.
（2）如果，那么 ；
如果，那么的逆命题为如果，那么 ；
原命题为真命题，逆命题为假命题.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内
角互补；原命题和逆命题都是真命题.
返回
6. 下列说法中错误的有( )
①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
③任何一个定理都有逆定理；
④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
√
互逆命题与互逆定理
互逆命题
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
概念
概念
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：12.4.1 互逆命题和互逆定理
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：含有命题结构对比示意图的背景图，突出题设和结论的位置关系
幻灯片 2：目录
情境引入：命题的结构分析
复习回顾：命题的概念与分类
互逆命题的概念与特征
互逆定理的概念与特征
典型例题讲解（辨析与应用）
课堂互动：判断与书写
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：命题的结构分析
问题引入：
命题 1：如果两条直线平行，那么同位角相等。
命题 2：如果同位角相等，那么两条直线平行。
观察这两个命题，它们的题设和结论有什么关系？
结构对比：
命题 1 的题设：两条直线平行；结论：同位角相等。
命题 2 的题设：同位角相等；结论：两条直线平行。
发现：命题 2 的题设是命题 1 的结论，命题 2 的结论是命题 1 的题设。
引入课题：这种题设和结论互换的命题在数学中很常见，今天我们将学习互逆命题和互逆定理的相关知识。
配图：命题 1 与命题 2 的结构对比图，用箭头标注题设和结论的互换关系
幻灯片 4：复习回顾：命题的概念与分类
命题的概念：
文字语言：判断一件事情的语句，叫做命题。
结构组成：命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）两部分组成，通常可写成 “如果…… 那么……” 的形式。
示例：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等” 中，题设是 “两个角是对顶角”，结论是 “这两个角相等”。
命题的分类：
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题。
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题。
反例：判断假命题的方法（举一个符合题设但不符合结论的例子）。
配图：命题的结构组成示意图，标注题设和结论的位置
幻灯片 5：互逆命题的概念与特征
概念定义：
文字语言：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题。
符号表示：若命题 1 为 “如果 p，那么 q”，则命题 2 为 “如果 q，那么 p”，命题 1 与命题 2 互为逆命题。
相关概念：
原命题：其中一个命题叫做原命题（如命题 1）。
逆命题：另一个命题叫做原命题的逆命题（如命题 2）。
特征分析：
互逆命题是成对出现的，不能单独说某个命题是逆命题。
原命题的题设和结论互换位置得到逆命题。
原命题与逆命题的真假性没有必然联系（原命题真，逆命题不一定真；原命题假，逆命题不一定假）。
示例：
原命题：如果 a=b，那么 a =b （真命题）。
逆命题：如果 a =b ，那么 a=b（假命题，反例：a=2，b=-2 时 a =b ，但 a≠b）。
配图：互逆命题的结构关系图，用双向箭头标注题设和结论的互换
幻灯片 6：互逆命题的书写与真假判断
书写步骤：
明确原命题的题设和结论（将原命题写成 “如果 p，那么 q” 的形式）。
互换题设和结论，得到逆命题（“如果 q，那么 p”）。
整理语言，确保逆命题表述清晰、准确。
示例：
原命题：等腰三角形的两个底角相等（改写：如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等）。
逆命题：如果一个三角形的两个底角相等，那么这个三角形是等腰三角形。
真假判断方法：
原命题为真时，逆命题可能为真也可能为假（需通过推理或举反例验证）。
原命题为假时，逆命题同样可能为真或为假。
示例：
原命题：对顶角相等（真命题）；逆命题：相等的角是对顶角（假命题）。
原命题：若 a=b，则 | a|=|b|（真命题）；逆命题：若 | a|=|b|，则 a=b（假命题）。
配图：逆命题书写步骤流程图；真假命题示例对比表
幻灯片 7：互逆定理的概念与特征
概念定义：
文字语言：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理。
特征分析：
互逆定理的前提是两个命题都是定理（即都是真命题）。
互逆定理是互逆命题的特殊情况（只有当逆命题为真时，原定理与逆命题才构成互逆定理）。
并非所有定理都有逆定理（当定理的逆命题为假时，该定理没有逆定理）。
示例：
原定理：两直线平行，同位角相等（真命题）。
逆命题：同位角相等，两直线平行（真命题）→ 互为逆定理。
原定理：对顶角相等（真命题）。
逆命题：相等的角是对顶角（假命题）→ 不互为逆定理。
配图：互逆定理与非互逆定理的示例对比图，标注真假性判断
幻灯片 8：互逆命题与互逆定理的区别与联系
区别：
定义不同：互逆命题是题设和结论互换的两个命题；互逆定理是逆命题为真的两个定理。
真假性要求不同：互逆命题只需结构互换，不要求都是真命题；互逆定理必须两个命题都是真命题（定理）。
范围不同：互逆命题适用于所有命题；互逆定理仅适用于定理（真命题）。
联系：
互逆定理一定是互逆命题（满足题设和结论互换）。
互逆命题不一定是互逆定理（逆命题为假时不构成定理）。
两者都体现了题设和结论的互换关系。
示例对比：
互逆命题（非定理）：原命题 “如果 x=2，那么 x =4”，逆命题 “如果 x =4，那么 x=2”（逆命题为假）。
互逆定理：原定理 “内错角相等，两直线平行”，逆定理 “两直线平行，内错角相等”（均为真命题）。
配图：互逆命题与互逆定理的关系示意图，用包含关系标注
幻灯片 9：典型例题讲解（一）—— 互逆命题的辨析
例题 1：写出下列命题的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。
（1）原命题：如果两个角是直角，那么这两个角相等。
逆命题：如果两个角相等，那么这两个角是直角。
原命题：真命题；逆命题：假命题（反例：两个 30° 的角相等但不是直角）。
（2）原命题：全等三角形的对应边相等。
逆命题：对应边相等的两个三角形全等。
原命题：真命题；逆命题：真命题（SSS 判定定理）。
例题 2：下列命题中，互为逆命题的是（ ）。
A. “对顶角相等” 与 “相等的角是对顶角”
B. “若 a>b，则 a+c>b+c” 与 “若 a+c>b+c，则 a>b”
C. “直角三角形的两锐角互余” 与 “两锐角互余的三角形是直角三角形”
答案：A、B、C（均满足题设和结论互换）。
技巧总结：
写逆命题时先明确原命题的题设和结论，再互换位置。
判断真假时，真命题需推理证明，假命题需举反例。
配图：例题 1 的逆命题书写过程；例题 2 的选项分析标注
幻灯片 10：典型例题讲解（二）—— 互逆定理的应用
例题 3：下列定理中，有逆定理的是（ ）。
A. 同角的余角相等
B. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C. 全等三角形的周长相等
解：
A 的逆命题：“余角相等的两个角是同角”（假命题，反例：等角的余角也相等）→ 无逆定理。
B 的逆命题：“到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”（真命题）→ 有逆定理。
C 的逆命题：“周长相等的两个三角形全等”（假命题）→ 无逆定理。
答案：B。
例题 4：说出 “等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合” 的逆命题，并判断是否为逆定理。
逆命题：“如果一个三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，那么这个三角形是等腰三角形”。
判断：该逆命题是真命题（可通过全等三角形证明），因此与原定理互为逆定理。
技巧总结：
判断定理是否有逆定理，需先写出逆命题，再验证逆命题是否为真命题。
常见的互逆定理：平行线的判定与性质、等腰三角形的性质与判定等。
配图：例题 3 的逆命题真假判断分析；例题 4 的逆命题验证示意图
幻灯片 11：课堂互动：判断与书写
活动一：逆命题书写：
练习 1：写出 “如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等” 的逆命题，并判断真假。
逆命题：“如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等”（假命题，反例：相似三角形）。
活动二：互逆定理辨析：
练习 2：下列定理中，互为逆定理的是（ ）。
A. “两直线平行，内错角相等” 与 “内错角相等，两直线平行”
B. “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半” 与 “斜边上的中线等于斜边一半的三角形是直角三角形”
C. “全等三角形的对应角相等” 与 “对应角相等的三角形全等”
答案：A、B。
活动三：开放探究：
练习 3：请写出一个原命题为真、逆命题为假的命题，并说明理由。
示例：原命题 “如果 a=0，那么 ab=0”（真命题）；逆命题 “如果 ab=0，那么 a=0”（假命题，反例：b=0 时 ab=0）。
配图：练习题的书写与判断提示框，标注关键步骤
幻灯片 12：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
互逆命题：题设和结论互换的两个命题（原命题与逆命题）。
互逆定理：逆命题为真的两个定理（原定理与逆定理）。
核心关系：互逆定理一定是互逆命题，互逆命题不一定是互逆定理。
真假性：原命题与逆命题的真假性无关；互逆定理的两个命题均为真。
应用技巧：
写逆命题：先分解原命题的题设和结论，再互换位置并规范表述。
判真假：原命题真时逆命题需验证，原命题假时逆命题也需验证。
辨定理：判断定理是否有逆定理，关键看逆命题是否为真命题。
易错提醒：
混淆 “互逆命题” 与 “互逆定理” 的概念（忽略逆命题的真假性）。
书写逆命题时表述不完整或改变原意（如遗漏题设中的关键条件）。
误认为原命题为真时逆命题一定为真，或原命题为假时逆命题一定为假。
幻灯片 13：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成逆命题的书写和真假判断。
提升作业：
写出下列定理的逆命题，并判断是否为逆定理：
（1）角平分线上的点到角两边的距离相等。
（2）如果两个数互为相反数，那么它们的和为 0。
举一个原命题和逆命题均为真命题的例子，再举一个原命题为真、逆命题为假的例子。
拓展作业：
探究：“全等三角形的面积相等” 是否有逆定理？为什么？
思考：如何通过举反例快速判断一个逆命题为假命题？举例说明。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.4.1互逆命题和互逆定理
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、理解互逆命题、互逆定理的概念，能写出一个命题的逆命题并能判定其真假；
2、能用学过的知识证明一个定理的逆命题是真命题还是假命题.
温故知新
什么叫做命题？
表示判断的语气叫做命题。
例如“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
知识点一 互逆命题
观察上面三组命题,你发现了什么
1.两直线平行,内错角相等；
3.如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧；
4.如果小明发烧,那么他一定患了肺炎；
2.内错角相等,两直线平行；
5.平行四边形的对角线互相平分；
6.对角线互相平分的四边形是平行四边形；
说出下列命题的条件和结论：
观察与思考
例如“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。
命题“两直线平行，内错角相等”
如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做它的逆命题。
条件
结论
它的逆命题“内错角相等，两直线平行”
典例精析
【例1】指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余.
条件：一个三角形是直角三角形.
结论：它的两个锐角互余.
逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形.
(2)等边三角形的每个角都等于60°.
条件：一个三角形是等边三角形;
结论：它的每个角都等于60°.
逆命题：如果一个三角形的每个角都等于60°，那么这个三角形是等边三角形.
（3）全等三角形的对应角相等.
条件：两个三角形是全等三角形.
结论：它们的对应角相等.
逆命题：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等.
练一练
（1）到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
条件：一个点到一个角的两边距离相等.
结论：它在这个角的平分线上.
逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等.
（2）线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
条件：一个点在一条线段的垂直平分线上.
结论：它到这条线段的两个端点的距离相等.
逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
1、指出下列命题的条件和结论，并说出它们的逆命题.
知识点二 互逆定理
如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理.
“两直线平行，内错角相等”
“内错角相等，两直线平行”
互逆定理
注意1：逆命题、互逆命题不一定是真命题，
但逆定理、互逆定理，一定是真命题.
注意2：不是所有的定理都有逆定理.
我们已经知道命题“两直线平行，内错角相等”和它的逆命题“内错角相等，两直线平行”都是定理，因此它们就是互逆定理．
一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．
例如“相等的角是对顶角”是假命题，但它的逆命题“对顶角相等”是真命题，且是定理．
1、写出下列命题的逆命题，并判断它是真是假。
(1)如果x=y,那么x2 =y2；
(2)如果一个三角形有一个角是钝角,那么它的另外两个角是锐角；
解：逆命题：如果x2 =y2,那么x=y ；
假命题
解：逆命题：如果一个三角形有两个角是锐角,那么它的第三个角是钝角；
假命题
2、说出下列命题的逆命题，并判定逆命题的真假：
①既是中心对称，又是轴对称的图形是圆.
②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.
逆命题：圆既是中心对称，又是轴对称的图形——真命题
逆命题：平行四边形有一组对边平行并且相等——真命题
逆命题：高速行驶时，不接触地面的交通工具是磁悬浮列车——假命题.
1. 下列命题的逆命题是真命题的是( )
A. 如果，，则
B. 直角都相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 若，则
√
返回
2. 下列定理中没有逆定理的是( )
A. 内错角相等，两直线平行
B. 直角三角形中，两锐角互余
C. 等腰三角形两底角相等
D. 对顶角相等
√
返回
3. 下列命题写出逆命题后，两者是互逆定理的是( )
A. 若两条直线垂直，则两条直线有交点
B. 若，则与 相等
C. 同位角相等，两直线平行
D. 若直线，，则
√
【点拨】A.若两条直线垂直，则两条直线有交点，逆命题是
若两条直线有交点，则两条直线垂直，不是互逆定理，不符
合题意；B.若，则与相等，逆命题是若与 相等，
则 ，不是互逆定理，不符合题意；C.同位角相等，
两直线平行，逆命题是两直线平行，同位角相等，是互逆定
理，符合题意；D.若直线，，则 ，逆命题是
若，则直线， ，不是互逆定理，不符合题意.
故选C.
返回
4.“如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等”的逆命题是
______________________________________________，这个
逆命题是____命题（填“真”或“假”）.
如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等
假
返回
5. 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与
逆命题的真假.
（1）如果，那么 ；
【解】如果，那么的逆命题为如果 ，那
么 ；原命题为假命题，逆命题为真命题.
（2）如果，那么 ；
如果，那么的逆命题为如果，那么 ；
原命题为真命题，逆命题为假命题.
（3）同旁内角互补，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内
角互补；原命题和逆命题都是真命题.
返回
6. 下列说法中错误的有( )
①任何一个命题都有逆命题；
②若原命题是假命题，则它的逆命题也是假命题；
③任何一个定理都有逆定理；
④若原命题是真命题，则它的逆命题也是真命题.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
√
互逆命题与互逆定理
互逆命题
互逆定理
一个定理的逆命题也是定理，这两个定理叫做互逆定理
第一个命题的条件是第二个命题的结论；
第一个命题的结论是第二个命题的条件.
概念
概念
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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