12.4.3角平分线 课件（共31张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 12.4.3角平分线 课件（共31张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 07:21:06 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：12.4.3 角平分线
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：展示角平分线将一个角平分的动态演示图作为背景，突出平分的动作
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的角平分线
角平分线的定义与表示
角平分线的性质探究
角平分线的判定方法
性质与判定的综合应用（典型例题）
尺规作图：作角的平分线
课堂互动：实践操作与问题解决
课堂总结与知识梳理
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的角平分线
图片展示：展示一些生活中具有角平分线特征的图片，如折扇展开的形状、道路的分道线夹角的平分线等。
问题引导：
观察这些图片，你能指出哪些角被平分了吗？
在这些实际例子中，角平分线起到了怎样的作用？
引入课题：角平分线在生活和数学中都有着重要的应用，今天我们就来深入学分线的相关知识。
配图：生活中角平分线实例的高清图片，标注出关键的角和角平分线
幻灯片 4：角平分线的定义与表示
定义讲解：
文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
图形语言：如图，若射线 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB。
符号语言：∵OC 平分∠AOB，∴∠AOC = ∠BOC。
相关概念：强调角平分线是一条射线，它的端点是角的顶点。
举例说明：给出一些角，让学生判断哪些射线是它们的角平分线。
配图：角平分线的标准定义图，用不同颜色标注角、顶点和角平分线
幻灯片 5：角平分线的性质探究
探究活动：
让学生在纸上画一个∠AOB，作出∠AOB 的平分线 OC，在 OC 上任意取一点 P，过点 P 分别作 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？
再在 OC 上取几个不同的点，重复上述操作，观察测量结果。
猜想归纳：引导学生猜想角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明猜想：
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E。
求证：PD = PE。
证明过程：
∵OC 平分∠AOB，
∴∠AOC = ∠BOC。
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO = ∠PEO = 90°。
在△PDO 和△PEO 中，
∠AOC = ∠BOC（已证），
∠PDO = ∠PEO（已证），
OP = OP（公共边），
∴△PDO≌△PEO（AAS）。
∴PD = PE（全等三角形对应边相等）。
性质总结：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
符号语言：∵点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD = PE。
配图：探究活动的操作步骤图；性质证明的图形与推理过程标注
幻灯片 6：角平分线性质的应用
例题 1：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，若 CD = 3，求点 D 到 AB 的距离。
分析：
因为 AD 平分∠BAC，根据角平分线的性质，点 D 到 AB 的距离等于 CD 的长度。
解答过程：
∵AD 平分∠BAC，∠C = 90°（即 DC⊥AC），过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
∴DE = DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
已知 CD = 3，
∴DE = 3，即点 D 到 AB 的距离为 3。
例题 2：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。求证：S△ABD∶S△ACD = AB∶AC。
分析：
根据角平分线的性质，可得 DE = DF。
再根据三角形面积公式 S = 1/2ah（a 为底，h 为高），分别表示出 S△ABD 和 S△ACD，然后求它们的比值。
解答过程：
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
∵S△ABD = 1/2AB·DE，S△ACD = 1/2AC·DF，
∴S△ABD∶S△ACD = 1/2AB·DE∶1/2AC·DF。
把 DE = DF 代入上式，可得 S△ABD∶S△ACD = AB∶AC。
技巧总结：在应用角平分线的性质时，要注意寻找角平分线以及角平分线上的点到角两边的垂线段，利用性质得出线段相等关系，进而解决问题。
配图：例题 1 的图形分析与解答步骤；例题 2 的图形与推理过程标注
幻灯片 7：角平分线的判定方法
思考问题：反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？
探究活动：
已知：如图，点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE。
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。
证明思路：
连接 OP。
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
PD = PE（已知），
OP = OP（公共边），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形对应角相等）。
即射线 OP 是∠AOB 的平分线，所以点 P 在∠AOB 的平分线上。
判定定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上。
判定方法总结：
利用定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线是角平分线。
利用判定定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
配图：判定定理证明的图形与推理过程；判定方法对比表格
幻灯片 8：角平分线判定的应用
例题 3：如图，BE = CF，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB = DC。求证：AD 是∠BAC 的平分线。
分析：
由 DE⊥AB，DF⊥AC，BE = CF，DB = DC，根据 “HL” 可证 Rt△BDE≌Rt△CDF，从而得到 DE = DF。
再根据角平分线的判定定理，可得 AD 是∠BAC 的平分线。
解答过程：
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DB = DC（已知），
BE = CF（已知），
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
∴DE = DF（全等三角形对应边相等）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD 是∠BAC 的平分线（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。
例题 4：如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，AB = AD。求证：AC 平分∠BAD。
分析：
连接 AC，由∠B = ∠D = 90°，AB = AD，AC = AC，根据 “HL” 可证 Rt△ABC≌Rt△ADC，从而得到∠BAC = ∠DAC，即 AC 平分∠BAD。
解答过程：
连接 AC。
在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
AB = AD（已知），
AC = AC（公共边），
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。
∴∠BAC = ∠DAC（全等三角形对应角相等）。
∴AC 平分∠BAD。
技巧总结：在证明角平分线或利用角平分线的判定解决问题时，要注意寻找点到角两边距离相等的条件，通过证明距离相等来确定角平分线。
配图：例题 3 的图形分析与解答步骤；例题 4 的图形与推理过程标注
幻灯片 9：性质与判定的综合应用（典型例题）
例题 5：如图，在△ABC 中，∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，BE 平分∠ABC，交 AC 于点 E，AD 与 BE 相交于点 O。求∠BOD 的度数。
分析：
先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再由 AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，求出∠OAB 和∠OBA 的度数。
最后根据三角形外角性质求出∠BOD 的度数。
解答过程：
在△ABC 中，∵∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，
∴∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 40° = 80°。
∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠OAB = 1/2∠BAC = 1/2×80° = 40°，∠OBA = 1/2∠ABC = 1/2×60° = 30°。
∵∠BOD 是△ABO 的外角，
∴∠BOD = ∠OAB + ∠OBA = 40° + 30° = 70°。
例题 6：如图，已知△ABC 的内角∠BAC、∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，OE⊥AB 于点 E，OF⊥AC 于点 F。若 OE = 2，△ABC 的周长为 15，求△ABC 的面积。
分析：
根据角平分线的性质，可得 OE = OF = OD = 2。
然后将△ABC 的面积分割为△AOB、△BOC 和△AOC 的面积之和，利用三角形面积公式求解。
解答过程：
∵AO 平分∠BAC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE = OF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
同理，OF = OD，
∴OE = OF = OD = 2。
S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC
= 1/2AB·OE + 1/2BC·OD + 1/2AC·OF
= 1/2(OE·AB + OD·BC + OF·AC)
= 1/2×2×(AB + BC + AC)。
已知△ABC 的周长为 15，即 AB + BC + AC = 15，
∴S△ABC = 1/2×2×15 = 15。
技巧总结：综合运用角平分线的性质和判定时，要从条件出发，结合三角形内角和定理、三角形面积公式等知识，通过角度计算、线段相等关系的推导来解决问题。
配图：例题 5 的图形分析与解答步骤；例题 6 的图形与计算过程
幻灯片 10：尺规作图：作角的平分线
作图步骤：
已知：∠AOB。
求作：∠AOB 的平分线。
作法：
以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 M、N。
分别以点 M、N 为圆心，大于 1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点 C。
画射线 OC。
射线 OC 即为所求的∠AOB 的平分线。
原理讲解：
由作图可知，OM = ON，CM = CN，根据 “SSS” 可证△OMC≌△ONC，从而得到∠MOC = ∠NOC，即 OC 是∠AOB 的平分线。
学生练习：让学生在练习本上用尺规作出给定角的平分线，教师巡视指导。
易错提醒：
作弧时半径要适当，不能太大或太小，否则会影响作图准确性。
两弧在角内部的交点要准确找到。
配图：尺规作图的详细步骤分解图，标注每一步的操作和依据
幻灯片 11：课堂互动：实践操作与问题解决
活动一：折纸游戏：
给每个学生发一张三角形纸片，让学生通过折纸的方法作出其中一个角的平分线。
小组内交流折纸方法，并讨论如何验证折痕就是角平分线。
请小组代表展示折纸过程和验证方法。
活动二：生活应用问题：
如图，有三条公路两两相交，现要修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等。请你在图中确定加油站的位置 P，并说明理由。
学生独立思考后，小组讨论，尝试在图上作出点 P 的位置。
教师引导学生利用角平分线的知识进行分析和解答，强调作图步骤和依据。
活动三：拓展探究：
已知∠AOB 和直线 l，在直线 l 上求作一点 P，使点 P 到∠AOB 两边的距离相等。这样的点 P 有几个？请作出所有符合条件的点。
学生分组讨论，动手作图，探索不同情况下点 P 的位置。
教师引导学生分类讨论，根据角平分线的性质，结合直线 l 与∠AOB 的位置关系来确定点 P 的位置。
配图：活动一的折纸步骤提示图；活动二的问题图形；活动三的探究思路引导图
幻灯片 12：课堂总结与知识梳理
知识要点回顾：
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
尺规作图：作角平分线的方法和原理。
应用技巧总结：
利用角平分线的性质可证明线段相等，解决有关距离问题。
利用判定定理可确定角平分线的位置，构造等腰三角形等。
在解决综合问题时，要善于结合三角形等其他几何图形的性质进行分析。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.4.3角平分线
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、会叙述角平分线的性质及判定;
2、能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;
3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
温故知新
如图，你能画出∠AOB的对称轴吗？
射线OC就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线.
A
O
B
C
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
问题情境
知识点一 角平分线的性质定理
如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
下面我们来证明刚才得到的结论.
D
P
A
C
B
E
O
已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB .
求证:PD=PE.
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点，
∴∠DOP=∠BOP.
∵PD⊥OA,PE⊥OB ，
∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△OPD和△OPE 中，
∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP,
∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.).
∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等．
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
典例精析
【例1】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
试说明：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
A
B
C
D
E
F
解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ △BDE ≌△CDF.
∴ EB=FC.
BD=CD，
∠B=∠C，
∠DEB=∠DFC，
练一练
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( ).
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
1、判断下列的写法是否正确？
理由：
没有垂直，不能确定BD、CD是点D到角两边的距离.
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
( )
角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
理由：
无法确定点D在∠BAC的平分线上.
在角平分线上和垂直这两个条件缺一不可．
知识点二 角平分线的判定定理
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
t条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
证明：
作射线OP，
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知），
∵PD⊥OA,PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ H.L.）.
∴∠AOP=∠BOP
B
A
D
O
P
E
∴点P在∠AOB的平分线上.
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
做一做
怎样证明这个结论呢
A
B
C
P
N
M
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
典例精析
【例2】如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF. 求证：点F在∠BAC的平分线上.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDF=∠BEF=90 °.
在△CDF和△BEF中，
∵∠CDF=∠BEF=90 °，∠CFD=∠BFE，BF=CF，
∴△CDF≌△BEF( A.A.S.)，
∴DF=EF，
∴点F在∠BAC的平分线上.
A
B
C
D
F
E
练一练
1.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
D
E
F
证明：作FG⊥AC，FH⊥BC，FM⊥AB﹐垂足分别为G、H 、M .
G
H
M
∵ CF平分∠ECB，BF平分∠CBD
∴ FG＝FH＝FM
∴点F在∠DAE的平分线上.
2、如图所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD.
求证：AD平分∠BAC.
A
B
C
D
M
N
证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，则∠BMD=∠CND=90°.在△BDM和△CDN中,
∴△BDM≌△CDN(AAS).
∴DM=DN.又∵DM⊥AB，DN⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
1. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是( )
A.2 B.3 C. 1 D.4
D
E
O
B
A
●
D
P
C
2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.
下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
D
O
●
B
P
A
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是_____
6 cm
A
C
D
B
E
（第1题）
1. 如图，是 的角平分线，且
，则与 的面
积之比为( )
A. B. C.
D.
√
返回
（第2题）
2. ［2024常州］如图，在纸上画有 ，
将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点
在 的平分线上，则( )
A. 与一定相等 B. 与 一定不相等
C. 与一定相等 D. 与 一定不相等
√
返回
（第3题）
3. 如图，是等腰三角形 底边上的
中线，平分,交于点 ,
，，则 的面积是
( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
√
返回
4.如图，在中，，平分交于点 ，
，垂足为，的面积为5，则 的长为___.
2
（第4题）
5.如图，点是和的平分线的交点， 于
点，，的周长是36，则 的面积为____.
54
（第5题）
角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：12.4.3 角平分线
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：展示角平分线将一个角平分的动态演示图作为背景，突出平分的动作
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的角平分线
角平分线的定义与表示
角平分线的性质探究
角平分线的判定方法
性质与判定的综合应用（典型例题）
尺规作图：作角的平分线
课堂互动：实践操作与问题解决
课堂总结与知识梳理
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的角平分线
图片展示：展示一些生活中具有角平分线特征的图片，如折扇展开的形状、道路的分道线夹角的平分线等。
问题引导：
观察这些图片，你能指出哪些角被平分了吗？
在这些实际例子中，角平分线起到了怎样的作用？
引入课题：角平分线在生活和数学中都有着重要的应用，今天我们就来深入学分线的相关知识。
配图：生活中角平分线实例的高清图片，标注出关键的角和角平分线
幻灯片 4：角平分线的定义与表示
定义讲解：
文字语言：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。
图形语言：如图，若射线 OC 是∠AOB 的平分线，则∠AOC = ∠BOC = 1/2∠AOB。
符号语言：∵OC 平分∠AOB，∴∠AOC = ∠BOC。
相关概念：强调角平分线是一条射线，它的端点是角的顶点。
举例说明：给出一些角，让学生判断哪些射线是它们的角平分线。
配图：角平分线的标准定义图，用不同颜色标注角、顶点和角平分线
幻灯片 5：角平分线的性质探究
探究活动：
让学生在纸上画一个∠AOB，作出∠AOB 的平分线 OC，在 OC 上任意取一点 P，过点 P 分别作 PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E。
测量 PD 和 PE 的长度，你发现了什么？
再在 OC 上取几个不同的点，重复上述操作，观察测量结果。
猜想归纳：引导学生猜想角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明猜想：
已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E。
求证：PD = PE。
证明过程：
∵OC 平分∠AOB，
∴∠AOC = ∠BOC。
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO = ∠PEO = 90°。
在△PDO 和△PEO 中，
∠AOC = ∠BOC（已证），
∠PDO = ∠PEO（已证），
OP = OP（公共边），
∴△PDO≌△PEO（AAS）。
∴PD = PE（全等三角形对应边相等）。
性质总结：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
符号语言：∵点 P 在∠AOB 的平分线 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD = PE。
配图：探究活动的操作步骤图；性质证明的图形与推理过程标注
幻灯片 6：角平分线性质的应用
例题 1：如图，在△ABC 中，∠C = 90°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，若 CD = 3，求点 D 到 AB 的距离。
分析：
因为 AD 平分∠BAC，根据角平分线的性质，点 D 到 AB 的距离等于 CD 的长度。
解答过程：
∵AD 平分∠BAC，∠C = 90°（即 DC⊥AC），过点 D 作 DE⊥AB 于点 E，
∴DE = DC（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
已知 CD = 3，
∴DE = 3，即点 D 到 AB 的距离为 3。
例题 2：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F。求证：S△ABD∶S△ACD = AB∶AC。
分析：
根据角平分线的性质，可得 DE = DF。
再根据三角形面积公式 S = 1/2ah（a 为底，h 为高），分别表示出 S△ABD 和 S△ACD，然后求它们的比值。
解答过程：
∵AD 是∠BAC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
∵S△ABD = 1/2AB·DE，S△ACD = 1/2AC·DF，
∴S△ABD∶S△ACD = 1/2AB·DE∶1/2AC·DF。
把 DE = DF 代入上式，可得 S△ABD∶S△ACD = AB∶AC。
技巧总结：在应用角平分线的性质时，要注意寻找角平分线以及角平分线上的点到角两边的垂线段，利用性质得出线段相等关系，进而解决问题。
配图：例题 1 的图形分析与解答步骤；例题 2 的图形与推理过程标注
幻灯片 7：角平分线的判定方法
思考问题：反过来，如果一个点到一个角的两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上吗？
探究活动：
已知：如图，点 P 在∠AOB 内部，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE。
求证：点 P 在∠AOB 的平分线上。
证明思路：
连接 OP。
在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中，
PD = PE（已知），
OP = OP（公共边），
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）。
∴∠AOP = ∠BOP（全等三角形对应角相等）。
即射线 OP 是∠AOB 的平分线，所以点 P 在∠AOB 的平分线上。
判定定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE，∴点 P 在∠AOB 的平分线上。
判定方法总结：
利用定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线是角平分线。
利用判定定理：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
配图：判定定理证明的图形与推理过程；判定方法对比表格
幻灯片 8：角平分线判定的应用
例题 3：如图，BE = CF，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F，且 DB = DC。求证：AD 是∠BAC 的平分线。
分析：
由 DE⊥AB，DF⊥AC，BE = CF，DB = DC，根据 “HL” 可证 Rt△BDE≌Rt△CDF，从而得到 DE = DF。
再根据角平分线的判定定理，可得 AD 是∠BAC 的平分线。
解答过程：
在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DB = DC（已知），
BE = CF（已知），
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）。
∴DE = DF（全等三角形对应边相等）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD 是∠BAC 的平分线（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。
例题 4：如图，在四边形 ABCD 中，∠B = ∠D = 90°，AB = AD。求证：AC 平分∠BAD。
分析：
连接 AC，由∠B = ∠D = 90°，AB = AD，AC = AC，根据 “HL” 可证 Rt△ABC≌Rt△ADC，从而得到∠BAC = ∠DAC，即 AC 平分∠BAD。
解答过程：
连接 AC。
在 Rt△ABC 和 Rt△ADC 中，
AB = AD（已知），
AC = AC（公共边），
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）。
∴∠BAC = ∠DAC（全等三角形对应角相等）。
∴AC 平分∠BAD。
技巧总结：在证明角平分线或利用角平分线的判定解决问题时，要注意寻找点到角两边距离相等的条件，通过证明距离相等来确定角平分线。
配图：例题 3 的图形分析与解答步骤；例题 4 的图形与推理过程标注
幻灯片 9：性质与判定的综合应用（典型例题）
例题 5：如图，在△ABC 中，∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，BE 平分∠ABC，交 AC 于点 E，AD 与 BE 相交于点 O。求∠BOD 的度数。
分析：
先根据三角形内角和定理求出∠BAC 的度数，再由 AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，求出∠OAB 和∠OBA 的度数。
最后根据三角形外角性质求出∠BOD 的度数。
解答过程：
在△ABC 中，∵∠ABC = 60°，∠ACB = 40°，
∴∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 60° - 40° = 80°。
∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠OAB = 1/2∠BAC = 1/2×80° = 40°，∠OBA = 1/2∠ABC = 1/2×60° = 30°。
∵∠BOD 是△ABO 的外角，
∴∠BOD = ∠OAB + ∠OBA = 40° + 30° = 70°。
例题 6：如图，已知△ABC 的内角∠BAC、∠ACB 的平分线相交于点 O，过点 O 作 OD⊥BC 于点 D，OE⊥AB 于点 E，OF⊥AC 于点 F。若 OE = 2，△ABC 的周长为 15，求△ABC 的面积。
分析：
根据角平分线的性质，可得 OE = OF = OD = 2。
然后将△ABC 的面积分割为△AOB、△BOC 和△AOC 的面积之和，利用三角形面积公式求解。
解答过程：
∵AO 平分∠BAC，OE⊥AB，OF⊥AC，
∴OE = OF（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）。
同理，OF = OD，
∴OE = OF = OD = 2。
S△ABC = S△AOB + S△BOC + S△AOC
= 1/2AB·OE + 1/2BC·OD + 1/2AC·OF
= 1/2(OE·AB + OD·BC + OF·AC)
= 1/2×2×(AB + BC + AC)。
已知△ABC 的周长为 15，即 AB + BC + AC = 15，
∴S△ABC = 1/2×2×15 = 15。
技巧总结：综合运用角平分线的性质和判定时，要从条件出发，结合三角形内角和定理、三角形面积公式等知识，通过角度计算、线段相等关系的推导来解决问题。
配图：例题 5 的图形分析与解答步骤；例题 6 的图形与计算过程
幻灯片 10：尺规作图：作角的平分线
作图步骤：
已知：∠AOB。
求作：∠AOB 的平分线。
作法：
以点 O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 OA、OB 于点 M、N。
分别以点 M、N 为圆心，大于 1/2MN 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部相交于点 C。
画射线 OC。
射线 OC 即为所求的∠AOB 的平分线。
原理讲解：
由作图可知，OM = ON，CM = CN，根据 “SSS” 可证△OMC≌△ONC，从而得到∠MOC = ∠NOC，即 OC 是∠AOB 的平分线。
学生练习：让学生在练习本上用尺规作出给定角的平分线，教师巡视指导。
易错提醒：
作弧时半径要适当，不能太大或太小，否则会影响作图准确性。
两弧在角内部的交点要准确找到。
配图：尺规作图的详细步骤分解图，标注每一步的操作和依据
幻灯片 11：课堂互动：实践操作与问题解决
活动一：折纸游戏：
给每个学生发一张三角形纸片，让学生通过折纸的方法作出其中一个角的平分线。
小组内交流折纸方法，并讨论如何验证折痕就是角平分线。
请小组代表展示折纸过程和验证方法。
活动二：生活应用问题：
如图，有三条公路两两相交，现要修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等。请你在图中确定加油站的位置 P，并说明理由。
学生独立思考后，小组讨论，尝试在图上作出点 P 的位置。
教师引导学生利用角平分线的知识进行分析和解答，强调作图步骤和依据。
活动三：拓展探究：
已知∠AOB 和直线 l，在直线 l 上求作一点 P，使点 P 到∠AOB 两边的距离相等。这样的点 P 有几个？请作出所有符合条件的点。
学生分组讨论，动手作图，探索不同情况下点 P 的位置。
教师引导学生分类讨论，根据角平分线的性质，结合直线 l 与∠AOB 的位置关系来确定点 P 的位置。
配图：活动一的折纸步骤提示图；活动二的问题图形；活动三的探究思路引导图
幻灯片 12：课堂总结与知识梳理
知识要点回顾：
角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线。
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
判定：到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
尺规作图：作角平分线的方法和原理。
应用技巧总结：
利用角平分线的性质可证明线段相等，解决有关距离问题。
利用判定定理可确定角平分线的位置，构造等腰三角形等。
在解决综合问题时，要善于结合三角形等其他几何图形的性质进行分析。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
12.4.3角平分线
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、会叙述角平分线的性质及判定;
2、能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理．能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;
3、经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．
温故知新
如图，你能画出∠AOB的对称轴吗？
射线OC就是的∠AOB的对称轴，也是角平分线.
A
O
B
C
在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？
A
B
C
问题情境
知识点一 角平分线的性质定理
如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程.
对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE.
角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
D
P
A
C
B
E
O
下面我们来证明刚才得到的结论.
D
P
A
C
B
E
O
已知:OC平分∠AOB, P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB .
求证:PD=PE.
证明:∵ OC平分∠AOB, P是OC上一点，
∴∠DOP=∠BOP.
∵PD⊥OA,PE⊥OB ，
∴∠ODP=∠OEP=90°.
在△OPD和△OPE 中，
∠DOP=∠EOP ,∠ODP=∠OEP ,OP=OP,
∴ △OPD≌△OPE (A.A.S.).
∴PD＝PE（全等三角形的对应边相等）.
由上面证明，我们得到角平分线的性质定理:
角平分线上的点到角两边的距离相等．
几何语言描述：
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
典例精析
【例1】已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.
试说明：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
A
B
C
D
E
F
解： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中，
∴ △BDE ≌△CDF.
∴ EB=FC.
BD=CD，
∠B=∠C，
∠DEB=∠DFC，
练一练
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( ).
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
1、判断下列的写法是否正确？
理由：
没有垂直，不能确定BD、CD是点D到角两边的距离.
(2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = ,
( )
角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等
BD CD
×
B
A
D
C
理由：
无法确定点D在∠BAC的平分线上.
在角平分线上和垂直这两个条件缺一不可．
知识点二 角平分线的判定定理
这一定理描述了角平分线的性质，那么反过来会有什么结果呢？
写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？
t条 件 结 论
性质定理
逆命题
一个点在角的平分线上
这个点到这个角两边的距离相等
一个点到角两边的距离相等
这个点在这个角的平分线上
想想看，这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？
逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上.
分析：为了证明点P在∠AOB的平分线上，可以先作射线OP，然后证明Rt△PDO≌Rt△PEO，从而得到∠AOP=∠BOP.
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.
求证：点P在∠AOB的角平分线上.
B
A
D
O
P
E
证明：
作射线OP，
在Rt△PDO和Rt△PEO 中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD= PE（已知），
∵PD⊥OA,PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ H.L.）.
∴∠AOP=∠BOP
B
A
D
O
P
E
∴点P在∠AOB的平分线上.
判定定理：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边距离相等.
定理的作用：判断点在角平分线上.
应用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.
D
P
A
C
B
E
O
角平分线的判定定理与性质定理互为逆定理.
利用尺规作三角形的三条角平分线，你发现了什么？
发现：三角形的三条角平分线交于一点．
做一做
怎样证明这个结论呢
A
B
C
P
N
M
点拨：要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线上即可.思路可表示如下：
试试看，你会写出证明过程吗？
AP是∠BAC的平分线
BP是∠ABC的平分线
PI=PH
PG=PI
PH=PG
点P在∠BCA的平分线上
A
B
C
P
F
H
D
E
I
G
典例精析
【例2】如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF. 求证：点F在∠BAC的平分线上.
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠CDF=∠BEF=90 °.
在△CDF和△BEF中，
∵∠CDF=∠BEF=90 °，∠CFD=∠BFE，BF=CF，
∴△CDF≌△BEF( A.A.S.)，
∴DF=EF，
∴点F在∠BAC的平分线上.
A
B
C
D
F
E
练一练
1.如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
D
E
F
证明：作FG⊥AC，FH⊥BC，FM⊥AB﹐垂足分别为G、H 、M .
G
H
M
∵ CF平分∠ECB，BF平分∠CBD
∴ FG＝FH＝FM
∴点F在∠DAE的平分线上.
2、如图所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD.
求证：AD平分∠BAC.
A
B
C
D
M
N
证明：如图，过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，则∠BMD=∠CND=90°.在△BDM和△CDN中,
∴△BDM≌△CDN(AAS).
∴DM=DN.又∵DM⊥AB，DN⊥AC,
∴AD平分∠BAC.
1. 如图，P是∠AOB的平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD=2，则点P到边OA的距离是( )
A.2 B.3 C. 1 D.4
D
E
O
B
A
●
D
P
C
2. 如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.
下列结论中不一定成立的是( )
A．PA＝PB B．PO平分∠APB
C．OA＝OB D．AB垂直平分OP
D
O
●
B
P
A
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是_____
6 cm
A
C
D
B
E
（第1题）
1. 如图，是 的角平分线，且
，则与 的面
积之比为( )
A. B. C.
D.
√
返回
（第2题）
2. ［2024常州］如图，在纸上画有 ，
将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点
在 的平分线上，则( )
A. 与一定相等 B. 与 一定不相等
C. 与一定相等 D. 与 一定不相等
√
返回
（第3题）
3. 如图，是等腰三角形 底边上的
中线，平分,交于点 ,
，，则 的面积是
( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
√
返回
4.如图，在中，，平分交于点 ，
，垂足为，的面积为5，则 的长为___.
2
（第4题）
5.如图，点是和的平分线的交点， 于
点，，的周长是36，则 的面积为____.
54
（第5题）
角平分线的性质及判定
性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！