13.1.2直角三角形的判定 课件（共33张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 13.1.2直角三角形的判定 课件（共33张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 5.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 07:20:10 | ||
图片预览
文档简介
(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：13.1.1 直角三角形三边关系
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以直角三角形为主体，突出三条边，标注直角符号，背景可融入古代勾股定理相关元素
幻灯片 2：目录
情境引入：直角三角形的特殊地位
复习回顾：直角三角形的定义与相关概念
探究活动：直角三角形三边的数量关系
勾股定理的内容与表示
勾股定理的证明方法（选讲）
典型例题讲解（定理应用）
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与知识拓展
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：直角三角形的特殊地位
生活实例：展示生活中常见的直角三角形，如梯子靠在墙上形成的三角形、墙角的三角形区域、直角三角尺等。
问题引导：
这些直角三角形的三条边之间是否存在某种特殊的数量关系？
若已知直角三角形的两条边，能否求出第三条边的长度？
历史背景：简单介绍古代数学家对直角三角形三边关系的研究（如中国古代的 “勾股弦定理”），激发学习兴趣。
引入课题：今天我们将深入探究直角三角形三条边之间的数量关系 —— 勾股定理。
配图：生活中直角三角形实例图；古代勾股定理相关典籍或图形示意图
幻灯片 4：复习回顾：直角三角形的定义与相关概念
定义回顾：
文字语言：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
图形表示：如图，在△ABC 中，∠C=90°，则△ABC 是直角三角形，记作 Rt△ABC。
边的名称：
直角边：组成直角的两条边，记作 “直角边 a”“直角边 b”（通常 a、b 为两条直角边）。
斜边：直角所对的边，记作 “斜边 c”，斜边是直角三角形中最长的边。
符号标注：在图形中规范标注直角符号（∠C 处标注 “┐”），明确 a、b、c 对应的边（如 BC=a，AC=b，AB=c）。
基础提问：直角三角形的内角和是多少？两个锐角之间有什么关系？（内角和 180°，两锐角互余）
配图：直角三角形各部分名称标注图，清晰区分直角边和斜边
幻灯片 5：探究活动：直角三角形三边的数量关系
活动 1：测量与计算：
要求学生画出三个不同的直角三角形（如两直角边分别为 3cm 和 4cm、5cm 和 12cm、6cm 和 8cm）。
测量每个直角三角形三条边的长度，记录数据（精确到 0.1cm）。
计算每条直角边的平方和（a +b ）与斜边的平方（c ），对比两者的数值关系。
数据记录表：
直角三角形
直角边 a（cm）
直角边 b（cm）
斜边 c（cm）
a +b
c
a +b 与 c 的关系
1
3
4
5
25
25
相等
2
5
12
13
169
169
相等
3
6
8
10
100
100
相等
活动 2：拼图验证：
提供若干个全等的直角三角形和正方形纸片，让学生用 4 个直角三角形拼成一个大正方形（中间留小正方形空隙）。
引导学生通过面积关系推导 a +b 与 c 的关系（大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积）。
猜想归纳：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
配图：测量活动示意图；拼图验证的步骤分解图，标注面积关系
幻灯片 6：勾股定理的内容与表示
定理内容：
文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
古代表述：勾股定理（勾三、股四、弦五），其中 “勾” 指较短直角边，“股” 指较长直角边，“弦” 指斜边。
符号语言：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，则 a +b =c 。
公式变形：
已知两直角边求斜边：c=√(a +b )。
已知斜边和一条直角边求另一条直角边：a=√(c -b )，b=√(c -a )。
注意事项：
勾股定理仅适用于直角三角形。
应用时需明确哪条边是斜边（最长边），避免边的对应关系混淆。
计算时注意单位统一，结果可保留根号或根据要求取近似值。
配图：勾股定理的标准图形与符号对应图；公式变形的推导过程示意图
幻灯片 7：勾股定理的证明方法（选讲）
方法 1：赵爽弦图法：
图形构造：以直角三角形的斜边为边作大正方形，内部用 4 个全等的直角三角形拼成小正方形。
面积推导：
大正方形面积 = c 。
大正方形面积也等于 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积 = 4×(1/2ab)+(b-a) =2ab+b -2ab+a =a +b 。
∴a +b =c 。
方法 2：总统证法（伽菲尔德证法）：
图形构造：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形。
面积推导：
梯形面积 =(a+b)(a+b)/2=(a+b) /2。
梯形面积也等于三个三角形面积之和 = 1/2ab+1/2ab+1/2c =ab+1/2c 。
∴(a+b) /2=ab+1/2c ，化简得 a +b =c 。
证明意义：通过不同证明方法体会数形结合思想，加深对定理的理解。
配图：赵爽弦图的分解与面积标注；总统证法的图形构造与面积计算标注
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 已知两边求第三边
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a=5，b=12，求 c 的长度。
解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，
∴由勾股定理得 a +b =c ，
∴c =5 +12 =25+144=169，
∴c=√169=13（c>0，舍去负值）。
例题 2：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，求 AC 的长度。
解：∵∠B=90°，∴斜边为 AC（AB 和 BC 为直角边），
由勾股定理得 AB +BC =AC ，
∴AC =3 +4 =9+16=25，
∴AC=5。
例题 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=25，a=7，求 b 的长度。
解：∵由勾股定理得 a +b =c ，
∴b =c -a =25 -7 =625-49=576，
∴b=√576=24（b>0）。
技巧总结：
先确定直角三角形的直角顶点，明确斜边和直角边。
代入勾股定理公式时注意边的对应关系，避免符号错误。
计算平方和或平方差时仔细核对数值，确保结果正确。
配图：例题 1、2、3 的图形标注，明确直角边和斜边的对应关系
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 实际应用
例题 4：如图，一架梯子 AB 长 25 米，斜靠在竖直的墙 AC 上，这时梯子底部 B 到墙的距离 BC 为 7 米，求梯子顶端 A 到地面的高度 AC。
解：∵梯子 AB、墙 AC、地面 BC 构成 Rt△ABC，∠C=90°，
AB=25 米（斜边），BC=7 米（直角边），
由勾股定理得 AC +BC =AB ，
∴AC =AB -BC =25 -7 =625-49=576，
∴AC=24 米。
答：梯子顶端 A 到地面的高度 AC 为 24 米。
例题 5：一个直角三角形的斜边长为 10cm，一条直角边比另一条直角边长 2cm，求两条直角边的长度。
解：设较短的直角边为 x cm，则较长的直角边为 (x+2) cm，
由勾股定理得 x +(x+2) =10 ，
展开得 x +x +4x+4=100，
整理得 2x +4x-96=0，即 x +2x-48=0，
解得 x =6，x =-8（边长不能为负，舍去），
∴x+2=8 cm。
答：两条直角边的长度分别为 6cm 和 8cm。
技巧总结：
实际问题中先抽象出直角三角形模型，明确已知边和所求边。
涉及方程求解时，设未知数后根据勾股定理列方程，注意边长的非负性。
配图：例题 4 的梯子靠墙示意图；例题 5 的直角三角形边长关系标注
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=9，b=12，求 c；若 c=30，a=18，求 b。
（答案：c=15；b=24）
活动二：概念辨析：
练习 2：下列说法正确的是（ ）。
A. 任意三角形的三边都满足 a +b =c ；B. 直角三角形的两边长为 3 和 4，第三边长一定是 5；
C. 若直角三角形的两边长为 6 和 8，则第三边长为 10；D. 勾股定理适用于所有直角三角形。
（答案：D，提示：B、C 需考虑 3、4 或 6、8 是否为直角边）
活动三：实际应用：
练习 3：如图，学校有一块长方形草坪，长 30 米，宽 20 米，现要从草坪一角到对角修一条小路，求小路的长度（结果保留根号）。
（提示：小路为长方形对角线，构成直角三角形，长和宽为直角边，答案：10√13 米）
配图：练习题的图形标注，练习 2 的错误选项分析提示
幻灯片 11：课堂总结与知识拓展
知识要点回顾：
勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a +b =c ）。
核心应用：已知两边求第三边（直接计算或列方程）。
注意事项：仅适用于直角三角形，明确斜边与直角边的对应关系。
知识拓展：
勾股数：满足 a +b =c 的三个正整数叫做勾股数（如 3,4,5；5,12,13；6,8,10 等）。
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 a +b =c ，则该三角形是直角三角形（后续将学习）。
实际应用领域：建筑测量、导航定位、几何证明等。
思想方法：
数形结合思想：通过图形面积关系推导数量关系。
转化思想：将实际问题转化为直角三角形模型求解。
配图：常见勾股数列表；勾股定理在建筑中的应用示意图
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成勾股定理的基础计算题。
提升作业：
一个直角三角形的周长为 30cm，斜边长为 13cm，求这个三角形的面积。
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，AC=6，BC=8，求 CD 的长度。
拓展作业：
查阅资料，了解勾股定理的其他证明方法（至少两种），并尝试用图形说明。
设计一个利用勾股定理解决的实际问题，画出示意图并解答。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.1.2直角三角形的判定
第13章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、了解直角三角形的判定条件；
2、能够运用勾股数解决简单实际问题；
温故知新
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，
如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
勾股定理的概念
思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
知识点一 直角三角形的判定
活动一 画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
B
3
4
C
A
5
B
5
12
C
A
13
B
8
15
C
A
17
判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？
都是直角三角形
思考1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
82+152=172
32+42=52
52+122=132
a2+b2=c2
思考2 根据上述结论你有什么猜想呢？
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
你能证明这个猜想吗？
A
b
a
C
B
c
已知：在△ABC中，AB=c , BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
A
b
a
C
B
c
A′
b
a
C′
B′
∟
证明：画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a， A′C′=b（如图）.
由勾股定理，可得 A′B′ 2= a2+b2.
因为 AB2= a2+b2，
根据“SSS”，可证△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.
勾股定理逆定理
∵在△ABC中，a2+b2=c2，
b
B
A
C
a
c
∟
定理揭示了三角形三边之间的数量关系：a2+b2=c2 → Rt△.
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
勾股定理与其逆定理对比：
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系 A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°
a2 + b2 = c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2 + b2 = c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2 + b2 = c2
∠C=90°
数量关系a2 + b2 = c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数
典例精析
(1) a=8，b=15，c=17；
(2) a=13，b=14，c=15.
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.
解：(1) ∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，
∴ 82＋152＝172.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
(2) ∵132＋142＝365，152＝225，
∴ 132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
【例2】已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n4
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2，
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
练一练
(1) a=7，b=25，c=24；
1、判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.
(2) a:b:c=3:4:5.
解：(1) ∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，
∴ 72＋242＝252.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠B是直角.
(2)设a=3k、b=4k、c=5k，
∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，
根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
2、一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
知识点二 常见的勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数。
常见的基本勾股数有：
3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
8，15，17；
7，24，25；
9，40，41；
1.“勾股数”的任意正整数倍仍是勾股数。
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是不是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
典例精析
【例3】 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
练一练
1、像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的三个正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
a 3 6 9 12 … 3n
b 4 8 12 16 … 4n
c 5 10 15 20 … 5n
a 3 5 7 9 11 … 2n+1
b 4 12 24 40 60 … 2n(n＋1)
c 5 13 25 41 61 … 2n(n＋1)＋1
①从上面2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．
解：①规律：一组勾股数，都扩大相同倍数n(n为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数的性质
②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．
利用勾股数可以构造直角三角形.
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
3.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A.5，6，7 B.10，8，4
C.7，25，24 D.9，17，15
4.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A. B.
C. D.
C
B
1. 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从
中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，
其中是直角三角形的是( )
C
A. 5，9，12 B. 5，9，13
C. 5，12，13 D. 9，12，13
2. 若三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则此三角形中最大的角是( )
B
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定
返回
3. 如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第
三边长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025西安雁塔区月考］如图，在
由小正方形组成的 网格中，每个
小正方形的顶点称为格点.点， ，
，，，均在格点上，点， ，
，中能与点， 构成一个直角三角
形的是( )
D
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
（第5题）
5.如图，在四边形 中，
， ， ，
,则 的度数为______.
6.［2025徐州期中］如图，把一块 土地划出一个
后，测得米，米， 米，
米，其中 .
（1）判断 的形状，并说明理由；
【解】 是直角三角形.
理由： ， 米，
米，
（米）.
又米，米， ，
是直角三角形， .
（2）求图中阴影部分的面积.
阴影部分的面积
（平方米）.
返回
7. ［2025常州期末］下列由三条线段，，构成的三角形
其内角分别为,,：； ，
，； ；
，，为大于1的整数 ，其
中能构成直角三角形的是( )
B
A. ①④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：13.1.1 直角三角形三边关系
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以直角三角形为主体，突出三条边，标注直角符号，背景可融入古代勾股定理相关元素
幻灯片 2：目录
情境引入：直角三角形的特殊地位
复习回顾：直角三角形的定义与相关概念
探究活动：直角三角形三边的数量关系
勾股定理的内容与表示
勾股定理的证明方法（选讲）
典型例题讲解（定理应用）
课堂互动：计算与辨析
课堂总结与知识拓展
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：直角三角形的特殊地位
生活实例：展示生活中常见的直角三角形，如梯子靠在墙上形成的三角形、墙角的三角形区域、直角三角尺等。
问题引导：
这些直角三角形的三条边之间是否存在某种特殊的数量关系？
若已知直角三角形的两条边，能否求出第三条边的长度？
历史背景：简单介绍古代数学家对直角三角形三边关系的研究（如中国古代的 “勾股弦定理”），激发学习兴趣。
引入课题：今天我们将深入探究直角三角形三条边之间的数量关系 —— 勾股定理。
配图：生活中直角三角形实例图；古代勾股定理相关典籍或图形示意图
幻灯片 4：复习回顾：直角三角形的定义与相关概念
定义回顾：
文字语言：有一个角是直角（90°）的三角形叫做直角三角形。
图形表示：如图，在△ABC 中，∠C=90°，则△ABC 是直角三角形，记作 Rt△ABC。
边的名称：
直角边：组成直角的两条边，记作 “直角边 a”“直角边 b”（通常 a、b 为两条直角边）。
斜边：直角所对的边，记作 “斜边 c”，斜边是直角三角形中最长的边。
符号标注：在图形中规范标注直角符号（∠C 处标注 “┐”），明确 a、b、c 对应的边（如 BC=a，AC=b，AB=c）。
基础提问：直角三角形的内角和是多少？两个锐角之间有什么关系？（内角和 180°，两锐角互余）
配图：直角三角形各部分名称标注图，清晰区分直角边和斜边
幻灯片 5：探究活动：直角三角形三边的数量关系
活动 1：测量与计算：
要求学生画出三个不同的直角三角形（如两直角边分别为 3cm 和 4cm、5cm 和 12cm、6cm 和 8cm）。
测量每个直角三角形三条边的长度，记录数据（精确到 0.1cm）。
计算每条直角边的平方和（a +b ）与斜边的平方（c ），对比两者的数值关系。
数据记录表：
直角三角形
直角边 a（cm）
直角边 b（cm）
斜边 c（cm）
a +b
c
a +b 与 c 的关系
1
3
4
5
25
25
相等
2
5
12
13
169
169
相等
3
6
8
10
100
100
相等
活动 2：拼图验证：
提供若干个全等的直角三角形和正方形纸片，让学生用 4 个直角三角形拼成一个大正方形（中间留小正方形空隙）。
引导学生通过面积关系推导 a +b 与 c 的关系（大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积）。
猜想归纳：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
配图：测量活动示意图；拼图验证的步骤分解图，标注面积关系
幻灯片 6：勾股定理的内容与表示
定理内容：
文字语言：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
古代表述：勾股定理（勾三、股四、弦五），其中 “勾” 指较短直角边，“股” 指较长直角边，“弦” 指斜边。
符号语言：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c，则 a +b =c 。
公式变形：
已知两直角边求斜边：c=√(a +b )。
已知斜边和一条直角边求另一条直角边：a=√(c -b )，b=√(c -a )。
注意事项：
勾股定理仅适用于直角三角形。
应用时需明确哪条边是斜边（最长边），避免边的对应关系混淆。
计算时注意单位统一，结果可保留根号或根据要求取近似值。
配图：勾股定理的标准图形与符号对应图；公式变形的推导过程示意图
幻灯片 7：勾股定理的证明方法（选讲）
方法 1：赵爽弦图法：
图形构造：以直角三角形的斜边为边作大正方形，内部用 4 个全等的直角三角形拼成小正方形。
面积推导：
大正方形面积 = c 。
大正方形面积也等于 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积 = 4×(1/2ab)+(b-a) =2ab+b -2ab+a =a +b 。
∴a +b =c 。
方法 2：总统证法（伽菲尔德证法）：
图形构造：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形。
面积推导：
梯形面积 =(a+b)(a+b)/2=(a+b) /2。
梯形面积也等于三个三角形面积之和 = 1/2ab+1/2ab+1/2c =ab+1/2c 。
∴(a+b) /2=ab+1/2c ，化简得 a +b =c 。
证明意义：通过不同证明方法体会数形结合思想，加深对定理的理解。
配图：赵爽弦图的分解与面积标注；总统证法的图形构造与面积计算标注
幻灯片 8：典型例题讲解（一）—— 已知两边求第三边
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a=5，b=12，求 c 的长度。
解：∵在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，
∴由勾股定理得 a +b =c ，
∴c =5 +12 =25+144=169，
∴c=√169=13（c>0，舍去负值）。
例题 2：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，求 AC 的长度。
解：∵∠B=90°，∴斜边为 AC（AB 和 BC 为直角边），
由勾股定理得 AB +BC =AC ，
∴AC =3 +4 =9+16=25，
∴AC=5。
例题 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，c=25，a=7，求 b 的长度。
解：∵由勾股定理得 a +b =c ，
∴b =c -a =25 -7 =625-49=576，
∴b=√576=24（b>0）。
技巧总结：
先确定直角三角形的直角顶点，明确斜边和直角边。
代入勾股定理公式时注意边的对应关系，避免符号错误。
计算平方和或平方差时仔细核对数值，确保结果正确。
配图：例题 1、2、3 的图形标注，明确直角边和斜边的对应关系
幻灯片 9：典型例题讲解（二）—— 实际应用
例题 4：如图，一架梯子 AB 长 25 米，斜靠在竖直的墙 AC 上，这时梯子底部 B 到墙的距离 BC 为 7 米，求梯子顶端 A 到地面的高度 AC。
解：∵梯子 AB、墙 AC、地面 BC 构成 Rt△ABC，∠C=90°，
AB=25 米（斜边），BC=7 米（直角边），
由勾股定理得 AC +BC =AB ，
∴AC =AB -BC =25 -7 =625-49=576，
∴AC=24 米。
答：梯子顶端 A 到地面的高度 AC 为 24 米。
例题 5：一个直角三角形的斜边长为 10cm，一条直角边比另一条直角边长 2cm，求两条直角边的长度。
解：设较短的直角边为 x cm，则较长的直角边为 (x+2) cm，
由勾股定理得 x +(x+2) =10 ，
展开得 x +x +4x+4=100，
整理得 2x +4x-96=0，即 x +2x-48=0，
解得 x =6，x =-8（边长不能为负，舍去），
∴x+2=8 cm。
答：两条直角边的长度分别为 6cm 和 8cm。
技巧总结：
实际问题中先抽象出直角三角形模型，明确已知边和所求边。
涉及方程求解时，设未知数后根据勾股定理列方程，注意边长的非负性。
配图：例题 4 的梯子靠墙示意图；例题 5 的直角三角形边长关系标注
幻灯片 10：课堂互动：计算与辨析
活动一：基础计算：
练习 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=9，b=12，求 c；若 c=30，a=18，求 b。
（答案：c=15；b=24）
活动二：概念辨析：
练习 2：下列说法正确的是（ ）。
A. 任意三角形的三边都满足 a +b =c ；B. 直角三角形的两边长为 3 和 4，第三边长一定是 5；
C. 若直角三角形的两边长为 6 和 8，则第三边长为 10；D. 勾股定理适用于所有直角三角形。
（答案：D，提示：B、C 需考虑 3、4 或 6、8 是否为直角边）
活动三：实际应用：
练习 3：如图，学校有一块长方形草坪，长 30 米，宽 20 米，现要从草坪一角到对角修一条小路，求小路的长度（结果保留根号）。
（提示：小路为长方形对角线，构成直角三角形，长和宽为直角边，答案：10√13 米）
配图：练习题的图形标注，练习 2 的错误选项分析提示
幻灯片 11：课堂总结与知识拓展
知识要点回顾：
勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（a +b =c ）。
核心应用：已知两边求第三边（直接计算或列方程）。
注意事项：仅适用于直角三角形，明确斜边与直角边的对应关系。
知识拓展：
勾股数：满足 a +b =c 的三个正整数叫做勾股数（如 3,4,5；5,12,13；6,8,10 等）。
勾股定理的逆定理：若三角形三边满足 a +b =c ，则该三角形是直角三角形（后续将学习）。
实际应用领域：建筑测量、导航定位、几何证明等。
思想方法：
数形结合思想：通过图形面积关系推导数量关系。
转化思想：将实际问题转化为直角三角形模型求解。
配图：常见勾股数列表；勾股定理在建筑中的应用示意图
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成勾股定理的基础计算题。
提升作业：
一个直角三角形的周长为 30cm，斜边长为 13cm，求这个三角形的面积。
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，AC=6，BC=8，求 CD 的长度。
拓展作业：
查阅资料，了解勾股定理的其他证明方法（至少两种），并尝试用图形说明。
设计一个利用勾股定理解决的实际问题，画出示意图并解答。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.1.2直角三角形的判定
第13章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、了解直角三角形的判定条件；
2、能够运用勾股数解决简单实际问题；
温故知新
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
反过来，
如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形吗？
勾股定理的概念
思考：同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗
用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段,一个工匠同时握住绳子的第1个结和第13个结,两个助手分别握住第4个结和第8个结,拉紧绳子就得到一个直角三角形, 其直角在第4个结处.
知识点一 直角三角形的判定
活动一 画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）.
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
B
3
4
C
A
5
B
5
12
C
A
13
B
8
15
C
A
17
判断一下上述你所画的三角形的形状．你有什么发现？
都是直角三角形
思考1 这三组数在数量关系上有什么相同点？
(2) a=5，b=12，c=13；
(3) a=8，b=15，c=17.
(1) a=3，b=4，c=5；
82+152=172
32+42=52
52+122=132
a2+b2=c2
思考2 根据上述结论你有什么猜想呢？
猜想：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
你能证明这个猜想吗？
A
b
a
C
B
c
已知：在△ABC中，AB=c , BC=a, CA=b, 且a2+b2=c2.
求证：△ ABC是直角三角形.
A
b
a
C
B
c
A′
b
a
C′
B′
∟
证明：画一个△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a， A′C′=b（如图）.
由勾股定理，可得 A′B′ 2= a2+b2.
因为 AB2= a2+b2，
根据“SSS”，可证△ABC ≌△A′ B′ C′ .
于是，∠C=∠C′=90°，△ABC是直角三角形.
勾股定理逆定理
∵在△ABC中，a2+b2=c2，
b
B
A
C
a
c
∟
定理揭示了三角形三边之间的数量关系：a2+b2=c2 → Rt△.
如果三角形的三边长a，b，c 满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
几何语言：
∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°.
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角 ，最长边所对角为直角.
特别说明：
勾股定理与其逆定理对比：
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
条件
结论
区别
联系 A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°
a2 + b2 = c2
“直角三角形”为条件，数量关系a2 + b2 = c2为结论. 是直角三角形的性质.
A
b
a
C
B
c
都与直角三角形有关，都与三边数量关系a2 + b2 = c2有关
在△ABC中，a2 + b2 = c2
∠C=90°
数量关系a2 + b2 = c2为条件，“直角三角形”为结论. 是直角三角形的判定.
形
数
典例精析
(1) a=8，b=15，c=17；
(2) a=13，b=14，c=15.
【例1】下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？若是，请指出哪个角是直角.
解：(1) ∵82＋152＝64＋225＝289，172＝289，
∴ 82＋152＝172.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
(2) ∵132＋142＝365，152＝225，
∴ 132＋142≠152，不符合勾股定理的逆定理，
∴ 这个三角形不是直角三角形.
【例2】已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n为大于1的正整数).试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.
解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2
=n4-2n2+1+4n4
=n4+2n2+1
=(n2+1)2
=AC2，
∴△ABC是直角三角形，边AC所对的角是直角.
想一想，为什么选择AB2+BC2？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
练一练
(1) a=7，b=25，c=24；
1、判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，若是，请指出哪个角是直角.
(2) a:b:c=3:4:5.
解：(1) ∵72＋242＝49＋576＝625，252＝625，
∴ 72＋242＝252.
∴根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠B是直角.
(2)设a=3k、b=4k、c=5k，
∵(3k)2+(4k)2=25k2，(5k)2=25k2，
∴(3k)2+(4k)2=(5k)2，
根据勾股定理的逆定理得这个三角形是直角三角形，∠C是直角.
2、一个零件的形状如图1所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图2所示,你说这个零件符合要求吗
D
A
B
C
4
3
5
13
12
D
A
B
C
图1
图2
在△BCD中，
所以△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角.
因此，这个零件符合要求.
解：在△ABD中，
所以△ABD 是直角三角形，∠A是直角.
知识点二 常见的勾股数
满足a2+b2=c2的三个正整数， 称为勾股数。
常见的基本勾股数有：
3，4，5；
6，8，10；
5，12，13；
8，15，17；
7，24，25；
9，40，41；
1.“勾股数”的任意正整数倍仍是勾股数。
2．判断勾股数的方法：
(1)确定是不是三个正整数；
(2)确定最大数；
(3)计算：看较小两数的平方和是否等于最大数的平方．
3．易错警示：勾股数必须同时满足两个条件：
(1)三个数都是正整数；
(2)两个较小数的平方和等于最大数的平方．
典例精析
【例3】 下列各组数是勾股数的是( )
A.6，8，10 B.7，8，9
C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132
A
方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可.
练一练
1、像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a2＋b2＝c2的三个正整数，通常称为勾股数，请你填表并探索规律．
a 3 6 9 12 … 3n
b 4 8 12 16 … 4n
c 5 10 15 20 … 5n
a 3 5 7 9 11 … 2n+1
b 4 12 24 40 60 … 2n(n＋1)
c 5 13 25 41 61 … 2n(n＋1)＋1
①从上面2个表中你能发现什么规律？
②你能根据发现的规律写出更多的勾股数吗？试试看 ．
解：①规律：一组勾股数，都扩大相同倍数n(n为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数.
勾股数的性质
②答案不唯一，如：15，20，25；13，84，85等．
利用勾股数可以构造直角三角形.
1.设三角形的三边长分别等于下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形.若是，指出哪一条边所对的角是直角.
(1) 12，16，20； (2) 1.5，2，2.5.
解：(1)因为122+162=400=202，所以是直角三角形，且边长为20的边所对的角为直角.
(2)因为1.52+22=2.52，所以是直角三角形，且边长为2.5的边所对的角为直角.
2.若一个三角形的三条边长a、b、c满足a2=c2-b2，则这个三角形是直角三角形吗？
解：因为a2=c2-b2，所以a2+b2=c2，所以这个三角形是直角三角形.
3.以下各组数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A.5，6，7 B.10，8，4
C.7，25，24 D.9，17，15
4.以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是( ).
A. B.
C. D.
C
B
1. 四根小棒的长分别是5，9，12，13，从
中任意选择三根小棒首尾相接，搭成边长如下的四个三角形，
其中是直角三角形的是( )
C
A. 5，9，12 B. 5，9，13
C. 5，12，13 D. 9，12，13
2. 若三角形的三边长分别为，， ，且满足
，则此三角形中最大的角是( )
B
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角 D. 无法确定
返回
3. 如图，有四个三角形，各有一边长为6，一边长为8，若第
三边长分别为6，8，10，12，则面积最大的三角形是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4. ［2025西安雁塔区月考］如图，在
由小正方形组成的 网格中，每个
小正方形的顶点称为格点.点， ，
，，，均在格点上，点， ，
，中能与点， 构成一个直角三角
形的是( )
D
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
返回
（第5题）
5.如图，在四边形 中，
， ， ，
,则 的度数为______.
6.［2025徐州期中］如图，把一块 土地划出一个
后，测得米，米， 米，
米，其中 .
（1）判断 的形状，并说明理由；
【解】 是直角三角形.
理由： ， 米，
米，
（米）.
又米，米， ，
是直角三角形， .
（2）求图中阴影部分的面积.
阴影部分的面积
（平方米）.
返回
7. ［2025常州期末］下列由三条线段，，构成的三角形
其内角分别为,,：； ，
，； ；
，，为大于1的整数 ，其
中能构成直角三角形的是( )
B
A. ①④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③
直角三角形的判定
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形
勾股数：满足a2+b2=c2的三个正整数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！