13.1.3反证法 课件（共27张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 13.1.3反证法 课件（共27张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 4.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 07:30:07 | ||
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文档简介
(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：13.1.3 反证法
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以 “否定之否定” 的逻辑示意图为背景，融入几何证明元素，突出反证法的推理过程
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的反证思维
反证法的概念与原理
反证法的一般步骤
反证法的应用实例（几何篇）
反证法的应用实例（代数篇）
直接证明与反证法的对比
课堂互动：辨析与证明
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的反证思维
生活实例：
故事 1：古代有个大臣被污蔑谋反，他要求皇帝当面验证 —— 若自己谋反，则家人中必有同谋，可皇帝查遍其家人无任何谋反证据，最终证明大臣清白。
故事 2：教室里有 50 名学生，老师说 “至少有两名学生的生日在同一个月”，如何证明？若假设 “所有学生生日都在不同月份”，但一年只有 12 个月，50 人不可能都在不同月份，故原结论成立。
问题引导：
这些例子中，证明结论的方式有何共同点？（先假设结论不成立，再推出矛盾）
当直接证明一个结论困难时，这种 “反向思考” 的方法有什么优势？
引入课题：这种通过否定结论、推导矛盾来证明原结论成立的方法，就是数学中的反证法，今天我们将学习反证法的原理与应用。
配图：大臣辩解的场景示意图；日历与学生生日分布的示意图
幻灯片 4：反证法的概念与原理
概念定义：
文字语言：反证法是间接证明的一种基本方法，它先假设命题的结论不成立（即结论的反面成立），然后通过正确的推理，得出矛盾，从而证明原命题成立。
核心思想：“否定之否定等于肯定”，即通过否定结论的反面，来肯定原结论的正确性。
原理分析：
逻辑依据：矛盾律（在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时为真）和排中律（两个互相矛盾的判断必有一真）。
推理链条：假设结论不成立→推出与已知条件、公理、定理等矛盾→假设错误→原结论成立。
适用场景：
直接证明困难的命题（如 “唯一性”“至少”“至多” 类命题）。
否定性命题（如 “不存在”“没有” 类命题）。
以 “无限”“全体” 为对象的命题。
配图：反证法的逻辑流程图，标注 “假设→推理→矛盾→结论” 的环节
幻灯片 5：反证法的一般步骤
步骤分解：
反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（明确写出 “假设…… 不成立，则……”）。
关键：准确找出结论的反面（否定形式），避免遗漏或错误。
示例：原结论 “a 是正数”，反设为 “a 不是正数”（即 a≤0）。
归谬：从这个假设出发，结合已知条件、公理、定理等，进行正确的逻辑推理，得出矛盾。
矛盾类型：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；与假设自身矛盾；推出荒谬的结论（如 “1=0”）。
结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
步骤口诀：反设→归谬→存真（否定反面→推出矛盾→肯定正面）。
示例演示：
命题：“在一个三角形中，至少有一个内角不大于 60°”。
反设：假设三角形中所有内角都大于 60°。
归谬：则三个内角之和 > 180°，与三角形内角和定理矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
配图：反证法步骤的直观示意图，用箭头连接各环节及示例标注
幻灯片 6：反证法的应用实例（几何篇）—— 基本命题
例题 1：证明 “过同一直线上的三点不能作圆”。
证明：
反设：假设过同一直线 l 上的三点 A、B、C 能作一个圆，设圆心为 O。
归谬：则 OA=OB=OC（圆的半径相等），
∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线 l 上，也在线段 BC 的垂直平分线 l 上（到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上）。
∴l ⊥l，l ⊥l，即 l ∥l （垂直于同一直线的两直线平行）。
但 l 与 l 都过点 O，两平行线不可能相交，矛盾。
结论：故假设不成立，原命题 “过同一直线上的三点不能作圆” 成立。
例题 2：证明 “在一个三角形中，不能有两个角是钝角”。
证明：
反设：假设在△ABC 中，有两个角是钝角，即∠A>90°，∠B>90°。
归谬：则∠A+∠B+∠C>90°+90°+0°=180°（∠C>0°），
这与三角形内角和定理 “三角形内角和等于 180°” 矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
技巧总结：
几何命题反证时，常利用几何公理（如平行线性质、三角形内角和）制造矛盾。
反设时要明确几何元素的否定表述（如 “能作圆” 的反面是 “不能作圆”）。
配图：例题 1 的三点共线与圆心位置示意图；例题 2 的三角形内角关系标注
幻灯片 7：反证法的应用实例（几何篇）—— 直角三角形相关
例题 3：证明 “直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半” 的逆命题的否定：“若三角形一边上的中线不等于这边的一半，则这个三角形不是直角三角形”。
证明：
反设：假设△ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，CD≠1/2AB，且△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°。
归谬：∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线（已知∠ACB=90°），
∴根据定理 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得 CD=1/2AB，
这与反设中 “CD≠1/2AB” 矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
例题 4：证明 “在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠A 和∠B 都是锐角”。
证明：
反设：假设在 Rt△ABC 中，∠C=90°，且∠A 和∠B 不都是锐角，即至少有一个角≥90°。
归谬：不妨设∠A≥90°，则∠A+∠C≥90°+90°=180°，
∴∠A+∠B+∠C≥180°+∠B>180°（∠B>0°），与三角形内角和定理矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
技巧总结：
涉及直角三角形的反证法，可结合直角三角形性质（如中线定理、锐角互余）推导矛盾。
对于 “都是”“都不是” 类结论，反设为 “不都是”“至少有一个是”。
配图：例题 3 的中线与斜边关系图；例题 4 的直角三角形内角标注
幻灯片 8：反证法的应用实例（代数篇）
例题 5：证明 “若 a 是偶数，则 a 是偶数”。
证明：
反设：假设 a 不是偶数，即 a 是奇数，设 a=2k+1（k 为整数）。
归谬：则 a =(2k+1) =4k +4k+1=2 (2k +2k)+1，
∴a 是奇数，这与已知条件 “a 是偶数” 矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
例题 6：证明 “√2 是无理数”。
证明：
反设：假设√2 是有理数，则可设√2=p/q（p、q 为互质的正整数，q≠0）。
归谬：两边平方得 2=p /q ，即 p =2q ，
∴p 是偶数，故 p 是偶数（由例题 5 结论），设 p=2k，
则 (2k) =2q →4k =2q →q =2k ，∴q 是偶数，故 q 是偶数，
∴p、q 都为偶数，与 “p、q 互质” 矛盾。
结论：故假设不成立，√2 是无理数。
技巧总结：
代数命题反证时，常通过代数式变形、数的性质（奇偶性、互质性）推导矛盾。
对无理数的证明，常假设为分数形式，利用互质条件制造矛盾。
配图：例题 5 的奇偶性推导过程；例题 6 的分数形式假设与变形步骤
幻灯片 9：直接证明与反证法的对比
对比表格：
项目
直接证明
反证法
思维方向
从已知条件出发，直接推出结论
从否定结论出发，间接推出原结论成立
适用场景
条件与结论联系直接，推理路径清晰
直接证明困难，结论否定形式易于推理
推理依据
已知条件、公理、定理直接推导
否定结论 + 已知条件→推出矛盾
优点
直观简洁，逻辑链清晰
拓宽证明思路，解决 “疑难” 命题
示例
证明 “等腰三角形两底角相等”（用全等三角形）
证明 “过直线外一点有且只有一条平行线”
选择原则：
优先考虑直接证明（如综合法、分析法）。
遇到以下情况可尝试反证法：
结论包含 “至少”“至多”“唯一”“不存在” 等词语。
直接证明缺少条件，难以建立推导关系。
否定性命题或涉及无限集的命题。
配图：直接证明与反证法的思维路径对比图，用不同颜色标注逻辑流向
幻灯片 10：课堂互动：辨析与证明
活动一：反设练习：写出下列命题的反设。
练习 1：原命题 “三角形中最多有一个直角”→反设：“三角形中有两个或两个以上直角”。
练习 2：原命题 “若 a、b 都是正数，则 a+b 是正数”→反设：“若 a、b 都是正数，则 a+b 不是正数”。
活动二：证明应用：
练习 3：用反证法证明 “在同一平面内，若一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交”。
（提示：反设 “与另一条不相交”，则与平行线定义矛盾）
活动三：思路辨析：
练习 4：判断下列命题是否适合用反证法证明，并说明理由。
A. 证明 “对顶角相等”；B. 证明 “质数有无限多个”；C. 证明 “三角形内角和为 180°”。
（答案：B 适合，A、C 可直接证明）
配图：练习 3 的平行线与相交线示意图；练习 4 的命题类型分析提示
幻灯片 11：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
反证法定义：假设结论不成立→推矛盾→证原结论成立。
核心步骤：反设（否定结论）→归谬（推导矛盾）→结论（肯定原命题）。
矛盾类型：与已知矛盾、与公理定理矛盾、自相矛盾。
适用场景：否定性命题、“至少 / 至多” 命题、唯一性命题等。
应用技巧：
反设准确：明确结论的否定形式（如 “是”→“不是”，“都”→“不都”）。
归谬合理：推理过程必须正确，矛盾要真实存在。
语言规范：用 “假设……”“则……”“这与…… 矛盾”“故……” 等逻辑连接词。
易错提醒：
反设错误（如将 “至少有一个” 反设为 “至多有一个”）。
推理不严谨，未真正推出矛盾（如循环论证）。
忘记最终结论，未明确 “故原命题成立”。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成反证法的基础证明题。
提升作业：
用反证法证明 “在△ABC 中，若 AB≠AC，则∠B≠∠C”。
用反证法证明 “如果两个整数的积是偶数，那么至少有一个整数是偶数”。
拓展作业：
探究：反证法在生活中的其他应用实例，写一篇短评（100 字左右）。
挑战：用反证法证明 “圆的切线垂直于过切点的半径”。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.1.3反证法
第13章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题；
2、理解并体会反证法的思想内涵；
3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念；
温故知新
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
c
a
b
A
C
B
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.
导入新课
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
知识点一 反证法
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
c
a
b
A
C
B
探究： （1）假设它是一个直角三角形;
（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
问题探究
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
探究发现
像这样的证明方法叫“反证法”.
先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.
即：一、反设；
二、推理得矛盾；
三、假设不成立，原命题正确.
归纳总结
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
百度百科
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
典例精析
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立。
所以两条直线相交只有一个交点。
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾
【例1】求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
a
b
A
●
A，
●
【例2】求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，
经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是
很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
练一练
1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°.
于是∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180 °，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等.
证明：假设它们所对的边相等，那么这两个角相等，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以它们所对的边不相等.
1.试说出下列命题的反面：
(1) a是有理数； (2) a大于5；
(3) a小于4； (4) 至少有6个；
(5) 最多有一个； (6) 两条直线相交；
a不是有理数
a小于或等于5
a大于或等于4
没有6个
一个也没有
两直线平行
2.用反证法证明“若a2≠ b2，则a ≠ b”的第一步是________.
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步_ ____.
假设a=b
假设这个三角形
是等腰三角形
5.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行.
证明：假设这两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这与已知条件矛盾，
∴假设不成立，
∴这两条直线不平行.
1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角
不是锐角”时，应先假设( )
A. 没有一个角是钝角或直角
B. 至多有一个钝角或直角
C. 没有一个角是锐角
D. 没有一个角是钝角
√
解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤.在假设
结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果
只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定.
返回
2. 如图，在中，，点 为
内一点，连结，， ，
，求证： ，用反证
法证明时，第一步应假设( )
A. B.
C. D.
√
返回
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相
平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾.
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D. 垂直的定义
【点拨】命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线
互相平行”，用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过
一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾.
√
返回
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补.
【解】已知:如图,,,都被 所截.
求证: .
证明:假设 .
,
.
,
,这和平角为 矛盾,
假设 不成立,即 .
返回
5. 下列对反证法的理解错误的是( )
A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法
B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法
C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件
D. 用反证法证得的结论有时不可靠
√
返回
反证法
定义：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
步骤
1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的
2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
课程名称：13.1.3 反证法
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以 “否定之否定” 的逻辑示意图为背景，融入几何证明元素，突出反证法的推理过程
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的反证思维
反证法的概念与原理
反证法的一般步骤
反证法的应用实例（几何篇）
反证法的应用实例（代数篇）
直接证明与反证法的对比
课堂互动：辨析与证明
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的反证思维
生活实例：
故事 1：古代有个大臣被污蔑谋反，他要求皇帝当面验证 —— 若自己谋反，则家人中必有同谋，可皇帝查遍其家人无任何谋反证据，最终证明大臣清白。
故事 2：教室里有 50 名学生，老师说 “至少有两名学生的生日在同一个月”，如何证明？若假设 “所有学生生日都在不同月份”，但一年只有 12 个月，50 人不可能都在不同月份，故原结论成立。
问题引导：
这些例子中，证明结论的方式有何共同点？（先假设结论不成立，再推出矛盾）
当直接证明一个结论困难时，这种 “反向思考” 的方法有什么优势？
引入课题：这种通过否定结论、推导矛盾来证明原结论成立的方法，就是数学中的反证法，今天我们将学习反证法的原理与应用。
配图：大臣辩解的场景示意图；日历与学生生日分布的示意图
幻灯片 4：反证法的概念与原理
概念定义：
文字语言：反证法是间接证明的一种基本方法，它先假设命题的结论不成立（即结论的反面成立），然后通过正确的推理，得出矛盾，从而证明原命题成立。
核心思想：“否定之否定等于肯定”，即通过否定结论的反面，来肯定原结论的正确性。
原理分析：
逻辑依据：矛盾律（在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时为真）和排中律（两个互相矛盾的判断必有一真）。
推理链条：假设结论不成立→推出与已知条件、公理、定理等矛盾→假设错误→原结论成立。
适用场景：
直接证明困难的命题（如 “唯一性”“至少”“至多” 类命题）。
否定性命题（如 “不存在”“没有” 类命题）。
以 “无限”“全体” 为对象的命题。
配图：反证法的逻辑流程图，标注 “假设→推理→矛盾→结论” 的环节
幻灯片 5：反证法的一般步骤
步骤分解：
反设：假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立（明确写出 “假设…… 不成立，则……”）。
关键：准确找出结论的反面（否定形式），避免遗漏或错误。
示例：原结论 “a 是正数”，反设为 “a 不是正数”（即 a≤0）。
归谬：从这个假设出发，结合已知条件、公理、定理等，进行正确的逻辑推理，得出矛盾。
矛盾类型：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾；与假设自身矛盾；推出荒谬的结论（如 “1=0”）。
结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题的结论成立。
步骤口诀：反设→归谬→存真（否定反面→推出矛盾→肯定正面）。
示例演示：
命题：“在一个三角形中，至少有一个内角不大于 60°”。
反设：假设三角形中所有内角都大于 60°。
归谬：则三个内角之和 > 180°，与三角形内角和定理矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
配图：反证法步骤的直观示意图，用箭头连接各环节及示例标注
幻灯片 6：反证法的应用实例（几何篇）—— 基本命题
例题 1：证明 “过同一直线上的三点不能作圆”。
证明：
反设：假设过同一直线 l 上的三点 A、B、C 能作一个圆，设圆心为 O。
归谬：则 OA=OB=OC（圆的半径相等），
∴点 O 在线段 AB 的垂直平分线 l 上，也在线段 BC 的垂直平分线 l 上（到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上）。
∴l ⊥l，l ⊥l，即 l ∥l （垂直于同一直线的两直线平行）。
但 l 与 l 都过点 O，两平行线不可能相交，矛盾。
结论：故假设不成立，原命题 “过同一直线上的三点不能作圆” 成立。
例题 2：证明 “在一个三角形中，不能有两个角是钝角”。
证明：
反设：假设在△ABC 中，有两个角是钝角，即∠A>90°，∠B>90°。
归谬：则∠A+∠B+∠C>90°+90°+0°=180°（∠C>0°），
这与三角形内角和定理 “三角形内角和等于 180°” 矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
技巧总结：
几何命题反证时，常利用几何公理（如平行线性质、三角形内角和）制造矛盾。
反设时要明确几何元素的否定表述（如 “能作圆” 的反面是 “不能作圆”）。
配图：例题 1 的三点共线与圆心位置示意图；例题 2 的三角形内角关系标注
幻灯片 7：反证法的应用实例（几何篇）—— 直角三角形相关
例题 3：证明 “直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半” 的逆命题的否定：“若三角形一边上的中线不等于这边的一半，则这个三角形不是直角三角形”。
证明：
反设：假设△ABC 中，CD 是 AB 边上的中线，CD≠1/2AB，且△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°。
归谬：∵CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 的中线（已知∠ACB=90°），
∴根据定理 “直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，得 CD=1/2AB，
这与反设中 “CD≠1/2AB” 矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
例题 4：证明 “在△ABC 中，若∠C 是直角，则∠A 和∠B 都是锐角”。
证明：
反设：假设在 Rt△ABC 中，∠C=90°，且∠A 和∠B 不都是锐角，即至少有一个角≥90°。
归谬：不妨设∠A≥90°，则∠A+∠C≥90°+90°=180°，
∴∠A+∠B+∠C≥180°+∠B>180°（∠B>0°），与三角形内角和定理矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
技巧总结：
涉及直角三角形的反证法，可结合直角三角形性质（如中线定理、锐角互余）推导矛盾。
对于 “都是”“都不是” 类结论，反设为 “不都是”“至少有一个是”。
配图：例题 3 的中线与斜边关系图；例题 4 的直角三角形内角标注
幻灯片 8：反证法的应用实例（代数篇）
例题 5：证明 “若 a 是偶数，则 a 是偶数”。
证明：
反设：假设 a 不是偶数，即 a 是奇数，设 a=2k+1（k 为整数）。
归谬：则 a =(2k+1) =4k +4k+1=2 (2k +2k)+1，
∴a 是奇数，这与已知条件 “a 是偶数” 矛盾。
结论：故假设不成立，原命题成立。
例题 6：证明 “√2 是无理数”。
证明：
反设：假设√2 是有理数，则可设√2=p/q（p、q 为互质的正整数，q≠0）。
归谬：两边平方得 2=p /q ，即 p =2q ，
∴p 是偶数，故 p 是偶数（由例题 5 结论），设 p=2k，
则 (2k) =2q →4k =2q →q =2k ，∴q 是偶数，故 q 是偶数，
∴p、q 都为偶数，与 “p、q 互质” 矛盾。
结论：故假设不成立，√2 是无理数。
技巧总结：
代数命题反证时，常通过代数式变形、数的性质（奇偶性、互质性）推导矛盾。
对无理数的证明，常假设为分数形式，利用互质条件制造矛盾。
配图：例题 5 的奇偶性推导过程；例题 6 的分数形式假设与变形步骤
幻灯片 9：直接证明与反证法的对比
对比表格：
项目
直接证明
反证法
思维方向
从已知条件出发，直接推出结论
从否定结论出发，间接推出原结论成立
适用场景
条件与结论联系直接，推理路径清晰
直接证明困难，结论否定形式易于推理
推理依据
已知条件、公理、定理直接推导
否定结论 + 已知条件→推出矛盾
优点
直观简洁，逻辑链清晰
拓宽证明思路，解决 “疑难” 命题
示例
证明 “等腰三角形两底角相等”（用全等三角形）
证明 “过直线外一点有且只有一条平行线”
选择原则：
优先考虑直接证明（如综合法、分析法）。
遇到以下情况可尝试反证法：
结论包含 “至少”“至多”“唯一”“不存在” 等词语。
直接证明缺少条件，难以建立推导关系。
否定性命题或涉及无限集的命题。
配图：直接证明与反证法的思维路径对比图，用不同颜色标注逻辑流向
幻灯片 10：课堂互动：辨析与证明
活动一：反设练习：写出下列命题的反设。
练习 1：原命题 “三角形中最多有一个直角”→反设：“三角形中有两个或两个以上直角”。
练习 2：原命题 “若 a、b 都是正数，则 a+b 是正数”→反设：“若 a、b 都是正数，则 a+b 不是正数”。
活动二：证明应用：
练习 3：用反证法证明 “在同一平面内，若一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交”。
（提示：反设 “与另一条不相交”，则与平行线定义矛盾）
活动三：思路辨析：
练习 4：判断下列命题是否适合用反证法证明，并说明理由。
A. 证明 “对顶角相等”；B. 证明 “质数有无限多个”；C. 证明 “三角形内角和为 180°”。
（答案：B 适合，A、C 可直接证明）
配图：练习 3 的平行线与相交线示意图；练习 4 的命题类型分析提示
幻灯片 11：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
反证法定义：假设结论不成立→推矛盾→证原结论成立。
核心步骤：反设（否定结论）→归谬（推导矛盾）→结论（肯定原命题）。
矛盾类型：与已知矛盾、与公理定理矛盾、自相矛盾。
适用场景：否定性命题、“至少 / 至多” 命题、唯一性命题等。
应用技巧：
反设准确：明确结论的否定形式（如 “是”→“不是”，“都”→“不都”）。
归谬合理：推理过程必须正确，矛盾要真实存在。
语言规范：用 “假设……”“则……”“这与…… 矛盾”“故……” 等逻辑连接词。
易错提醒：
反设错误（如将 “至少有一个” 反设为 “至多有一个”）。
推理不严谨，未真正推出矛盾（如循环论证）。
忘记最终结论，未明确 “故原命题成立”。
幻灯片 12：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成反证法的基础证明题。
提升作业：
用反证法证明 “在△ABC 中，若 AB≠AC，则∠B≠∠C”。
用反证法证明 “如果两个整数的积是偶数，那么至少有一个整数是偶数”。
拓展作业：
探究：反证法在生活中的其他应用实例，写一篇短评（100 字左右）。
挑战：用反证法证明 “圆的切线垂直于过切点的半径”。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
13.1.3反证法
第13章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题；
2、理解并体会反证法的思想内涵；
3、通过反证法的学习，培养辩证唯物主义观念；
温故知新
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）有关系a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
c
a
b
A
C
B
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.
导入新课
路边苦李
王戎7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.伙伴问他为什么不去摘？
王戎回答说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.
王戎是怎么知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
知识点一 反证法
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a,AC=b（a≤b≤c）,a2 +b2 ≠ c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
c
a
b
A
C
B
探究： （1）假设它是一个直角三角形;
（2）由勾股定理，一定有a2 +b2 ＝c2，与已知条件a2 +b2 ≠ c2矛盾；
（3）因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
问题探究
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：(1)先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；
(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确。
探究发现
像这样的证明方法叫“反证法”.
先假设结论的反面是正确的；然后经过演绎推理，推出与基本事实、已证定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原命题正确.
即：一、反设；
二、推理得矛盾；
三、假设不成立，原命题正确.
归纳总结
反证法是数学证明的一种重要方法，历史上许多著名的命题都是用反证法证明的.一个命题，当正面证明有困难或者不可能时，就可以尝试运用反证法，有时该问题竟能轻易地被解决，此即所谓“正难则反”.因此，牛顿就说过：“反证法是数学家最精良的武器之一.”用反证法不是直接证明结论，而是间接地去否定与结论相反的一面，从而得出事物真实的一面.反证法是一种间接的证明方法.
百度百科
现在再回到勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.即“在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C=90°，那么a2+b2=c2”是一个真命题.
思考：在△ABC中，如果AB=c，BC=a，CA=b，且∠C≠90°，那么a2+b2≠c2是真命题吗？
先思考作什么假设，再用反证法写出推理过程.
典例精析
证明：假设a与b不止一个交点，不妨假设有两个交点A和A’。
因为两点确定一条直线，即经过点A和A’的直线有且只有一条，这与已知两条直线矛盾,假设不成立。
所以两条直线相交只有一个交点。
小结：根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的基本事实、定理矛盾
【例1】求证：两条直线相交只有一个交点。
已知：如图两条相交直线a、b。
求证：a与b只有一个交点。
a
b
A
●
A，
●
【例2】求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析:想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，
经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是
很困难的，因此可以考虑用反证法.
证明：假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1与l2.这与两点确定一条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
练一练
1、求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC至少有一个内角小于或等于60°.
证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°.
于是∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180 °，这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
2.求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等.
证明：假设它们所对的边相等，那么这两个角相等，这与已知条件矛盾，所以假设不成立，所以它们所对的边不相等.
1.试说出下列命题的反面：
(1) a是有理数； (2) a大于5；
(3) a小于4； (4) 至少有6个；
(5) 最多有一个； (6) 两条直线相交；
a不是有理数
a小于或等于5
a大于或等于4
没有6个
一个也没有
两直线平行
2.用反证法证明“若a2≠ b2，则a ≠ b”的第一步是________.
3.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步_ ____.
假设a=b
假设这个三角形
是等腰三角形
5.求证：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线不平行.
证明：假设这两条直线平行，那么这两条直线被第三条直线所截，同位角相等，这与已知条件矛盾，
∴假设不成立，
∴这两条直线不平行.
1. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角
不是锐角”时，应先假设( )
A. 没有一个角是钝角或直角
B. 至多有一个钝角或直角
C. 没有一个角是锐角
D. 没有一个角是钝角
√
解此题的关键是要懂得反证法的意义及步骤.在假设
结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果
只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必
须一一否定.
返回
2. 如图，在中，，点 为
内一点，连结，， ，
，求证： ，用反证
法证明时，第一步应假设( )
A. B.
C. D.
√
返回
3. 命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相
平行”，用反证法证明时，最终推出与( )矛盾.
A. 两点确定一条直线
B. 在同一平面内，过一点与已知直线垂直的直线只有一条
C. 过直线外一点与已知直线平行的直线只有一条
D. 垂直的定义
【点拨】命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线
互相平行”，用反证法证明时，最终推出与在同一平面内，过
一点与已知直线垂直的直线只有一条矛盾.
√
返回
4.用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补.
【解】已知:如图,,,都被 所截.
求证: .
证明:假设 .
,
.
,
,这和平角为 矛盾,
假设 不成立,即 .
返回
5. 下列对反证法的理解错误的是( )
A. 直接证明命题比较困难时可以考虑反证法
B. 命题的结论是否定形式时可以考虑反证法
C. 反证法的假设可以作为下面证明时的条件
D. 用反证法证得的结论有时不可靠
√
返回
反证法
定义：从命题的结论的反面出发，进行推理论证，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法
步骤
1.先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面是正确的
2.从这个假设出发，通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾
3.由矛盾判定假设不正确，从而得到原结论正确
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！