13.2勾股定理的应用 课件（共29张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）

(共29张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：13.2 勾股定理的应用
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以生活中常见的勾股定理应用场景（如梯子靠墙、建筑框架）为背景，突出直角三角形和边长关系
幻灯片 2：目录
情境引入：生活中的直角三角形问题
勾股定理回顾：公式与变形
几何图形中的应用（求边长）
最短路径问题（立体图形展开）
航海与测量中的应用
实际生活中的综合应用
课堂互动：问题解决与计算
课堂总结与技巧归纳
课后作业布置
幻灯片 3：情境引入：生活中的直角三角形问题
场景展示：
场景 1：工人师傅用梯子维修屋顶，梯子底部距离墙基 3 米，梯子长 5 米，求梯子顶端到地面的高度。
场景 2：如图，某小区有一块长方形草坪，长 20 米，宽 15 米，从草坪一角到对角修一条小路，求小路的长度。
场景 3：航海中，一艘轮船从港口出发向正东方向行驶 12 海里，再向正北方向行驶 9 海里，求此时轮船与港口的距离。
问题引导：
这些场景中都包含哪个几何图形？（直角三角形）
如何利用勾股定理解决这些实际问题？
引入课题：勾股定理不仅是数学中的重要定理，在解决实际问题时也有着广泛应用，今天我们将学习勾股定理在各类问题中的具体应用。
配图：三个场景的示意图，标注已知条件和所求问题
幻灯片 4：勾股定理回顾：公式与变形
核心公式：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，直角边为 a、b，斜边为 c，则 a +b =c 。
公式变形：
求斜边：c=√(a +b )
求直角边：a=√(c b )，b=√(c a )
注意事项：
明确直角三角形的直角顶点，区分斜边和直角边。
计算时注意单位统一，结果可保留根号或根据要求取近似值（如保留一位小数）。
应用前需确认图形是否为直角三角形，或能否构造直角三角形。
快速练习：
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=6，b=8，则 c=；若 c=13，a=5，则 b=。（答案：10；12）
配图：直角三角形边长标注图，公式变形的推导箭头
幻灯片 5：几何图形中的应用（求边长）
例题 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，CD⊥AB 于 D，求 CD 的长度。
分析：
先由勾股定理求出斜边 AB 的长度。
再利用直角三角形面积公式（面积 = 1/2× 直角边乘积 = 1/2× 斜边 × 斜边上的高）求 CD。
解答过程：
在 Rt△ABC 中，AB =AC +BC =8 +6 =64+36=100，∴AB=10cm。
∵S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×AB×CD，
∴1/2×8×6=1/2×10×CD→24=5CD→CD=4.8cm。
例题 2：如图，在△ABC 中，AB=25，BC=20，AC=15，求△ABC 的面积。
分析：
先判断△ABC 是否为直角三角形（验证 15 +20 是否等于 25 ）。
确认是直角三角形后，以两条直角边为底和高计算面积。
解答过程：
∵15 +20 =225+400=625=25 ，即 AC +BC =AB ，
∴△ABC 是直角三角形，∠C=90°。
∴S△ABC=1/2×AC×BC=1/2×15×20=150。
技巧总结：
求直角三角形斜边上的高时，可结合面积公式建立等式。
已知三角形三边时，先验证是否为直角三角形（勾股定理逆定理）。
配图：例题 1 的直角三角形与斜边上的高标注；例题 2 的三角形三边标注及直角符号
幻灯片 6：最短路径问题（立体图形展开）
例题 3：如图，有一个长方体盒子，长、宽、高分别为 8cm、6cm、10cm，在盒子内壁 A 点处有一只蚂蚁，它想吃到 B 点处的食物，求蚂蚁爬行的最短路径长度（结果保留根号）。
分析：
立体图形中最短路径需通过展开成平面图形求解，长方体展开有三种可能（前面 + 上面、前面 + 右面、左面 + 上面）。
分别计算三种展开图中 A、B 两点间的直线距离，取最小值。
解答过程：
展开前面和上面：路径长 =√[(8+6) +10 ]=√(196+100)=√296=2√74 cm。
展开前面和右面：路径长 =√[(8+10) +6 ]=√(324+36)=√360=6√10 cm。
展开左面和上面：路径长 =√[(6+10) +8 ]=√(256+64)=√320=8√5 cm。
比较大小：2√74≈17.2，6√10≈18.97，8√5≈17.89，最短路径为 2√74 cm。
例题 4：如图，圆柱的底面半径为 3cm，高为 10cm，一只蚂蚁从 A 点沿圆柱表面爬行到 B 点（A、B 在同一母线上的两端），求最短路径长度。
分析：
圆柱展开为长方形，长为底面圆周长的一半（π×3=3π cm），宽为圆柱的高 10cm。
A、B 两点在展开图中为长方形的对角顶点，路径长为长方形对角线长。
解答过程：
展开后长方形长 = 3π cm，宽 = 10cm，
最短路径 =√[(3π) +10 ]=√(9π +100) cm≈√(88.7+100)=√188.7≈13.7 cm。
技巧总结：
立体图形最短路径：“展曲为平”，将立体表面展开为平面，利用勾股定理求直线距离。
长方体需考虑不同展开方式，计算后取最小值；圆柱展开为长方形，长为底面半周长。
配图：例题 3 的长方体展开图三种情况示意图；例题 4 的圆柱展开图及路径标注
幻灯片 7：航海与测量中的应用
例题 5：一艘轮船从港口 O 出发，向正东方向行驶 24 海里到达 A 点，再向正北方向行驶 10 海里到达 B 点，此时轮船与港口 O 的距离是多少？若轮船从 B 点沿直线返回港口，每小时行驶 13 海里，需要多少小时？
分析：
OA 与 AB 垂直，△OAB 为直角三角形，OA=24 海里，AB=10 海里，求斜边 OB。
返回时间 = OB 距离 ÷ 速度。
解答过程：
在 Rt△OAB 中，OB =OA +AB =24 +10 =576+100=676，∴OB=26 海里。
返回时间 = 26÷13=2 小时。
答：轮船与港口距离为 26 海里，返回需要 2 小时。
例题 6：如图，某测量队在山脚 A 处测得山顶 B 的仰角为 45°，沿倾斜角为 30° 的山坡前进 1000 米到达 D 处，再测得山顶 B 的仰角为 60°，求山高 BC（结果保留根号）。
分析：
过 D 作 DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F，构造直角三角形 ADE、BDF。
利用角度关系和勾股定理表示各边长度，建立方程求解。
解答过程：
设 DE=DF=AE=x（∠DAE=30°，AD=1000 米，DE=500 米，AE=500√3 米）。
设 BF=y，∠BDF=60°，则 DF= y/√3，BF= y。
由∠BAC=45°，得 BC=AC，即 500+y=500√3 + y/√3，
解得 y=500√3，BC=500+500√3=500 (1+√3) 米。
技巧总结：
航海问题中，正东、正北方向构成直角，可直接构造直角三角形。
测量问题中，通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数和勾股定理结合求解。
配图：例题 5 的航海路线示意图；例题 6 的测量场景与辅助线标注
幻灯片 8：实际生活中的综合应用
例题 7：如图，某小区有一块直角三角形空地 ABC，∠C=90°，AC=6 米，BC=8 米，现要在空地内建一个正方形健身区 CDEF，点 D 在 AC 上，点 E 在 AB 上，点 F 在 BC 上，求正方形的边长。
分析：
设正方形边长为 x，AD=6 x，BF=8 x。
由 DE∥BC，得△ADE∽△ACB，利用相似比或勾股定理表示 AE 长度。
同理表示 EB 长度，由 AB=AE+EB=10 米建立方程。
解答过程：
AB=√(6 +8 )=10 米，设正方形边长为 x，则 AD=6 x，
∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，AD/AC=DE/BC→(6 x)/6=x/8→x=24/7≈3.43 米。
例题 8：如图，一根竹子高 10 尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处，求折断处离地面的高度。
分析：
设折断处离地面高度为 x 尺，则折断部分长度为 (10 x) 尺，构成直角三角形，直角边为 x 和 3，斜边为 10 x。
解答过程：
由勾股定理得 x +3 =(10 x) →x +9=100 20x+x →20x=91→x=4.55 尺。
技巧总结：
实际问题中先抽象出直角三角形模型，明确已知量和未知量。
通过设未知数，利用勾股定理列方程求解，注意单位统一和实际意义。
配图：例题 7 的直角三角形与正方形标注；例题 8 的竹子折断示意图
幻灯片 9：课堂互动：问题解决与计算
活动一：基础计算：
练习 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，c=13，求 b 和△ABC 的面积。
（答案：b=12，面积 = 30）
活动二：最短路径：
练习 2：如图，棱长为 1 的正方体盒子中，一只蚂蚁从顶点 A 爬到顶点 B，求最短路径长度。
（提示：展开前面和右面，路径 =√[(1+1) +1 ]=√5）
活动三：实际应用：
练习 3：如图，某学校有一块长方形操场，长 40 米，宽 30 米，现要在操场四周每隔 5 米种一棵树，四个角都要种，共需种多少棵树？（提示：先求操场周长，再除以间距）
（答案：周长 = 140 米，140÷5=28 棵）
练习 4：一架长 25 米的梯子斜靠在墙上，梯子底端离墙 7 米，若梯子顶端下滑 4 米，梯子底端将向外滑动多少米？
（提示：先求原顶端高度 24 米，下滑后高度 20 米，底端距离 15 米，滑动 8 米）
配图：练习题的图形标注，关键步骤提示
幻灯片 10：课堂总结与技巧归纳
知识要点回顾：
勾股定理应用核心：a +b =c 及变形公式，适用于直角三角形。
常见应用场景：几何图形边长计算、立体图形最短路径、航海测量、生活实际问题。
关键方法：构造直角三角形，将非直角问题转化为直角问题。
解题步骤：
建模：从实际问题中抽象出直角三角形模型，明确已知边和所求边。
选公式：根据已知条件选择勾股定理公式或变形公式。
计算：代入数据计算，注意单位和结果合理性（如最短路径需比较不同方案）。
验证：结合实际情况验证结果是否符合题意。
技巧归纳：
遇立体图形最短路径：展开表面为平面，利用 “两点之间线段最短” 和勾股定理。
遇折叠、折断问题：折叠 / 折断前后的线段长度关系不变，构造直角三角形。
遇综合问题：通过作垂线（高、辅助线）构造直角三角形，结合相似、方程等知识。
幻灯片 11：课后作业布置
基础作业：课本 [具体页码] 习题 [具体题号]，完成勾股定理应用的基础计算题。
提升作业：
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9，BC=12，点 P 从点 A 出发沿 AC 向点 C 以 1 个单位 / 秒的速度运动，点 Q 从点 C 出发沿 CB 向点 B 以 2 个单位 / 秒的速度运动，同时出发，几秒后 PQ 的长度为 10？
一个等腰三角形的周长为 16，底边上的高为 4，求这个三角形的三边长。
拓展作业：
设计一个利用勾股定理测量学校旗杆高度的方案，写出所需工具、步骤和计算公式。
探究：若直角三角形的三边长为连续整数，求这三个数（提示：设中间数为 x，列方程求解）。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
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13.2勾股定理的应用
第13章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1、能运用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题；
2、经历勾股定理的应用过程，熟练掌握其应用方法，明确应用条件；
温故知新
勾股定理 勾股定理的逆定理
图形
文字语言
符号语言
A
b
a
C
B
∟
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ a2 + b2 = c2.
A
b
a
C
B
c
在△ABC中，a2 + b2 = c2，
∴△ABC为直角三角形，∠C=90°.
如果三角形的三边长a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
直角三角形两直角边分别为a、b的平方和等于斜边c的平方.
从远处看斜拉桥，可以发现有许多直角三角形.
已知桥面上以上的索塔AB的高，怎样计算拉索AC、AD、AE、AF、AG的长？
分别测量出BC、BD、BE、BF、BG的长度，根据勾股定理计算出AC、AD、AE、AF、AG的长
知识点一 勾股定理的应用——最短路径问题
看一看：观察下图中物体的运动过程，试着计算其运动路程。
典例精析
【例1】如图所示，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程. (精确到0.01cm)
分析：蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开(如图)，得到长方形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是这一展开图——长方形ABCD的对角线AC之长.
A
B
C
D
解：如图所示，在Rt△ABC中，BC=底面周长的一半=10cm.由勾股定理，可得
A
B
C
D
答：爬行的最短路程约为10. 77 cm.
练一练
1、如图①，已知长方体的长、宽、高分别为30cm、20cm、10cm，一只蚂蚁从A处出发到B处觅食，求它爬行的最短路程.(结果保留根号)
因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
解：长方体的展开图如图
如图②，展开前面、右面，由勾股定理得AB=
=
如图③，展开前面、上面，由勾股定理得AB=
=
如图④，展开左面、上面，由勾股定理得AB=
=
∵ ，∴爬行最短路程为 cm.
知识点二 勾股定理的应用——几何问题
【例2】 如图, 在△ABC中, AB＝26, BC＝20, BC边上的中线AD＝24, 求AC.
D
C
B
A
26
20
24
解：∵AD是△ABC的中线，且BC=20，
∴BD==10.
∵AD2＋BD2＝576＋100＝676，
AB 2＝262＝676，
∴AD2＋BD2＝AB2，
∴ ∠ADB＝90°，AD垂直平分BC．
∴AC＝AB＝26.
还有其他方法求AC吗？
能求出△ABC的周长和面积吗
典例精析
练一练
1. 计算图中四边形ABCD的面积.
解：在Rt△ADB中，由勾股定理得：
BD2=AD2+AB2=122+162=400 ，
∴BD=20，
∵CD2＝152=225，
∴ CD2+BD2＝BC2.
∴ 由勾股定理的逆定理得：∠BDC＝90°.
∴ BD⊥CD
S四边形ABCD=S△ABD+S△BDC
=×16×12+×15×20=246.
D
C
B
A
∟
12
16
15
25
BC2＝252=625，
2. 一个三角形三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm. 求这个三角形的面积.
解：∵三边长的比为3:4:5，它的周长是60cm．
∴三边长分别为：
60×，60×，60×，
∵152＋202＝252，
∴这个三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积是：
.
知识点三 勾股定理的实际应用
典例精析
【例3】如图，四边形ABCD是学校的一块空地，经数学兴趣小组的测量可知，∠B=90°，BC=3米，AB=4米，CD=13米，AD=12米．为了提高校园的绿化面积，现学校决定在空地内铺草坪，若铺设每平方米草坪需要30元，则将这块空地全部铺满一层草坪的费用是多少？
A
B
C
D
3
4
12
13
解：如图，连接AC.在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC2＝AB2＋BC2＝32＋42，∴AC＝5.∵AC2＋AD2=52＋122＝169，CD2＝169，∴CD2＝AC2＋AD2.∴由勾股定理的逆定理得：∠CAD＝90°.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·AD＝×4×3＋×5×12＝36.
∵36×30=1080（元），
∴这块地全部种草的费用是1080元．
∟
练一练
1、一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门(厂门上方为半圆形拱门)？
分析：由于车宽1.6米，所以卡车能否通过，只要比较距厂门中线0.8米处的高度与车高即可.如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面相交于点H.
解：在Rt△OCD中，由勾股定理，可得
CH=CD+DH=0.6+2.3=2.9＞2.5.
可见高度上有0.4米的余量，因此卡车能通过厂门.
2、有一根高为16米的电线杆在A处断裂，如图所示，电线杆的顶部C落在离电线杆底部B处8米远的地方，求电线杆断裂处A到地面的距离．
根据题意可知在Rt△ABC中，∠ABC =90°，BC=8米，AB＋AC=16米．若设AB=x米，则AC=(16-x)米，然后根据勾股定理列出方程求解．
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°.
设AB=x米，则AC=(16-x)米.
根据勾股定理，得x2+82=(16-x)2，
解得x=6，即AB=6米.
答：电线杆断裂处A到地面的距离为6米.
1.如图，将一根长13厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（　　）厘米．
A．1 B．2 C．3 D．4
C
13cm
8cm
6cm
？cm
2.如图，由于台风影响，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是　　　　米.
8
3、在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长为AD=AB=（x+1）尺，
在直角三角形ABC中，BC=5尺
由勾股定理得:BC2+AC2=AB2
即 52+x2=(x+1)2
25+x2= x2+2x+1，
2x=24，
∴ x=12， x+1=13 ．
答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺．
解：
4.如图，已知CD＝6cm，AD＝8cm， ∠ADC＝90o，BC＝24cm，AB＝26cm，求阴影部分面积.
解：在Rt△ADC中，
∵AC2=AD2+CD2（勾股定理）
=82+62=100，
∴AC=10.
∵AC2+BC2=102+242=676=262，
∴△ACB为直角三角形(勾股定理的逆定理).
∴S阴影部分=S△ACB-S△ACD
=120-24
=96.
1. 如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端点
和，然后把中点向上拉升至 点，则橡皮筋被拉长了
( )
（第1题）
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 如图，一圆柱体
的底面周长为，高为， 是
直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧
面爬行到点 的最短路程是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3.［2025洛阳期末］如图，在离水面
高度为8米的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子 的长为17米，
几分钟后船到达点 的位置，此时绳
子 的长为10米，则船向岸边移动
了___米.
9
（第4题）
4. 如图，在笔直的铁路
上有两点，，相距，， 为
两村庄，， ，
于点，于点 ，现要
在上建一个中转站，使得， 两
13.3
村庄到站的距离相等，则_____ .
返回
勾股定理的应用
最短路径问题
求最短路径长度
实际问题中的应用
求长度、距离、宽度、高度等
关键：构造直角三角形
几何问题中的应用
求三角形的边长、求图形的面积等
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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