第10章 数的开方【章末复习】 课件（共55张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）

(共55张PPT)
幻灯片 1：封面
章节名称：第 10 章 数的开方章末复习
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以平方根、立方根的数学符号和几何意义图形为背景，突出章节核心内容
幻灯片 2：目录
复习目标：明确本章复习要点
知识梳理：核心概念与性质回顾
易错点解析：常见错误与规避方法
典型例题：各类题型解题示范
综合练习：巩固提升训练
课堂小结：知识体系与方法归纳
课后作业：针对性复习任务
幻灯片 3：复习目标
知识目标：
掌握平方根、算术平方根、立方根的概念及表示方法。
理解开平方与平方、开立方与立方的互逆关系。
明确无理数的概念，能区分有理数和无理数，了解实数的分类。
掌握实数的相关性质及运算。
能力目标：
能准确计算平方根、算术平方根和立方根。
能运用实数的性质解决简单的实际问题。
提高对概念的辨析能力和运算的准确性。
情感目标：
体会数的扩充过程，感受数学知识的逻辑性和系统性。
培养严谨的治学态度，提高数学学习的信心。
幻灯片 4：知识梳理：核心概念与性质回顾
平方根：
定义：如果一个数的平方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的平方根，记作\(\pm\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)）。
性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数没有平方根。
算术平方根：
定义：正数\(a\)的正的平方根叫做\(a\)的算术平方根，记作\(\sqrt{a}\)（\(a\geq0\)），\(0\)的算术平方根是\(0\)。
性质：算术平方根具有非负性，即\(\sqrt{a}\geq0\)（\(a\geq0\)）。
立方根：
定义：如果一个数的立方等于\(a\)，那么这个数叫做\(a\)的立方根，记作\(\sqrt[3]{a}\)。
性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；\(0\)的立方根是\(0\)。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
实数：有理数和无理数统称为实数，实数与数轴上的点一一对应。
配图：平方根、立方根概念的示意图；实数分类表
幻灯片 5：知识梳理：运算关系与实数性质
互逆运算：
开平方与平方互逆：若\(x^2 = a\)（\(a\geq0\)），则\(x=\pm\sqrt{a}\)；\((\pm\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)），\((\sqrt{a})^2=a\)（\(a\geq0\)）。
开立方与立方互逆：若\(x^3 = a\)，则\(x = \sqrt[3]{a}\)；\((\sqrt[3]{a})^3=a\)，\(\sqrt[3]{a^3}=a\)。
实数的性质：
实数的相反数：实数\(a\)的相反数是\(-a\)，\(0\)的相反数是\(0\)。
实数的绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，\(0\)的绝对值是\(0\)，即\(\vert a\vert=\begin{cases}a&(a>0)\\0&(a = 0)\\-a&(a<0)\end{cases}\)。
实数的运算：实数可以进行加、减、乘、除、乘方、开方运算，运算律和运算法则与有理数相同。
配图：互逆运算关系图；实数性质的示例说明图
幻灯片 6：易错点解析：常见错误与规避方法
易错点 1：平方根与算术平方根概念混淆
错误示例：认为\(\sqrt{16}=\pm4\)。
解析：\(\sqrt{16}\)表示 16 的算术平方根，结果应为\(4\)，\(\pm\sqrt{16}=\pm4\)才是 16 的平方根。
规避方法：明确算术平方根是平方根中的非负根，符号\(\sqrt{a}\)表示算术平方根。
易错点 2：忽略平方根的被开方数非负性
错误示例：计算\(\sqrt{-4}\)。
解析：负数没有平方根，被开方数必须是非负数，所以\(\sqrt{-4}\)无意义。
规避方法：在涉及平方根运算时，先检查被开方数是否为非负数。
易错点 3：立方根概念理解偏差
错误示例：认为\(\sqrt[3]{-8}=2\)。
解析：因为\((-2)^3=-8\)，所以\(\sqrt[3]{-8}=-2\)。
规避方法：牢记负数的立方根是负数，正数的立方根是正数。
易错点 4：无理数概念辨析不清
错误示例：认为无限小数都是无理数。
解析：无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数。
规避方法：抓住无理数 “无限不循环” 的本质特征进行判断。
配图：错误示例与正确解析的对比图
幻灯片 7：典型例题：概念辨析题
例题 1：下列说法正确的是（ ）
A. \(25\)的平方根是\(5\) B. \(-9\)的算术平方根是\(3\)
C. \(\sqrt{16}\)的平方根是\(\pm2\) D. \(\sqrt[3]{-8}=2\)
解析：
A 选项：\(25\)的平方根是\(\pm5\)，故 A 错误。
B 选项：负数没有算术平方根，故 B 错误。
C 选项：\(\sqrt{16}=4\)，\(4\)的平方根是\(\pm2\)，故 C 正确。
D 选项：\(\sqrt[3]{-8}=-2\)，故 D 错误。
答案：C
例题 2：在实数\(3.14\)，\(\sqrt{2}\)，\(\pi\)，\(\sqrt[3]{8}\)，\(0.1010010001\cdots\)（每两个\(1\)之间依次多一个\(0\)）中，无理数有（ ）
A. \(1\)个 B. \(2\)个 C. \(3\)个 D. \(4\)个
解析：\(3.14\)是有理数，\(\sqrt{2}\)是无理数，\(\pi\)是无理数，\(\sqrt[3]{8}=2\)是有理数，\(0.1010010001\cdots\)是无理数，所以无理数有\(3\)个。
答案：C
配图：例题 1 选项分析图；例题 2 无理数判断标注图
幻灯片 8：典型例题：计算题
例题 3：计算下列各式的值
（1）\(\sqrt{25}-\sqrt[3]{-27}+\sqrt{(-3)^2}\)
（2）\(\vert1 - \sqrt{2}\vert+\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}\)
解析：
（1）\(\sqrt{25}=5\)，\(\sqrt[3]{-27}=-3\)，\(\sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3\)，所以原式\(=5-(-3)+3=5 + 3+3=11\)。
（2）因为\(1<\sqrt{2}\)，所以\(\vert1-\sqrt{2}\vert=\sqrt{2}-1\)；因为\(\sqrt{2}<2\)，所以\(\sqrt{(\sqrt{2}-2)^2}=2-\sqrt{2}\)，原式\(=\sqrt{2}-1+2-\sqrt{2}=1\)。
例题 4：求下列各式中\(x\)的值
（1）\(x^2-16 = 0\)
（2）\((x + 1)^3=27\)
解析：
（1）\(x^2=16\)，则\(x=\pm\sqrt{16}=\pm4\)。
（2）\(x + 1=\sqrt[3]{27}=3\)，所以\(x=3 - 1=2\)。
配图：例题 3、4 的计算步骤分解图
幻灯片 9：典型例题：实际应用题
例题 5：一个正方体的体积是\(125cm^3\)，求这个正方体的棱长和表面积。
解析：设正方体的棱长为\(x cm\)，由正方体体积公式\(x^3=125\)，可得\(x=\sqrt[3]{125}=5\)。
正方体表面积\(=6x^2=6\times5^2=6\times25 = 150cm^2\)。
答：这个正方体的棱长是\(5cm\)，表面积是\(150cm^2\)。
例题 6：一个正数的两个平方根分别是\(2a-1\)和\(-a + 2\)，求这个正数。
解析：因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以\(2a-1+(-a + 2)=0\)，即\(2a-1 - a+2=0\)，解得\(a=-1\)。
则\(2a-1=2\times(-1)-1=-3\)，这个正数为\((-3)^2=9\)。
答：这个正数是\(9\)。
配图：例题 5 正方体示意图；例题 6 平方根关系分析图
幻灯片 10：综合练习
练习 1：填空题
（1）\(4\)的算术平方根是______，\(64\)的立方根是______。
（2）若\(\sqrt{x + 2}=3\)，则\(x=\)______。
（3）比较大小：\(-\sqrt{5}\)______\(-2\)（填 “\(>\)”“\(<\)” 或 “\(=\)”）。
答案：（1）\(2\)，\(4\)；（2）\(7\)；（3）\(<\)
练习 2：选择题
（1）下列计算正确的是（ ）
A. \(\sqrt{(-5)^2}=-5\) B. \(\sqrt[3]{-8}=-2\) C. \(\sqrt{36}=\pm6\) D. \(-\sqrt{4}=2\)
（2）下列实数中，是无理数的是（ ）
A. \(0\) B. \(\frac{22}{7}\) C. \(\sqrt{3}\) D. \(0.3\)
答案：（1）B；（2）C
练习 3：解答题
（1）计算：\(\sqrt{49}+\sqrt[3]{-64}-\vert\sqrt{3}-2\vert\)
（2）求\(x\)的值：\(2(x - 1)^2=8\)
答案：（1）\(7-4-(2-\sqrt{3})=3 - 2+\sqrt{3}=1+\sqrt{3}\)；（2）\((x - 1)^2=4\)，\(x - 1=\pm2\)，\(x=3\)或\(x=-1\)
配图：练习题的答题区域示意图
幻灯片 11：课堂小结：知识体系与方法归纳
知识体系：
数的开方包括平方根、算术平方根、立方根的概念及运算。
由有理数扩充到实数，实数包括有理数和无理数，实数与数轴上的点一一对应。
平方根与平方、立方根与立方互为逆运算，可利用这种关系进行计算和求解方程。
方法归纳：
概念辨析：抓住各概念的本质特征，如平方根的双值性、算术平方根的非负性、立方根的唯一性。
运算技巧：在进行开方运算时，先判断被开方数的符号和取值范围，再选择合适的方法计算。
问题解决：对于实际问题，先将其转化为数学问题，再运用数的开方知识求解。
易错提醒：再次强调本章易错点，如概念混淆、忽略被开方数非负性等。
幻灯片 12：课后作业
基础作业：
完成课本第 [具体页码] 章末复习题 A 组所有题目。
整理本章错题本，分析错误原因。
提升作业：
完成课本第 [具体页码] 章末复习题 B 组题目。
已知\(a\)，\(b\)为实数，且\(\sqrt{a - 1}+(b + 2)^2=0\)，求\(a + b\)的立方根。
拓展作业：
探究：如何用边长为\(1\)的正方形纸片拼出面积为\(2\)的正方形，并用所学知识说明其边长是无理数。
查阅资料，了解无理数的发现历史，写一篇简短的数学小短文。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第10章 数的开方
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
考点1 平方根
1. 的平方根是( )
D
A. 9 B. 9和 C. 3 D. 3和
2. 下列说法正确的是( )
A
A. 的平方根是
B. 的算术平方根是5
C. 的平方根是7
D. 1的平方根和算术平方根都是1
返回
3.已知，当最小时， 的算术平方
根为___.
1
4. 已知9，16和 三个数，使这三个数中的一
个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的
数 的值：_____________.
，，
返回
5.如图，在 的方格中（每个小正方形
的边长为1），四边形 是正方形，
利用面积的关系可得正方形 的边长
是____.
【点拨】
，所以正方形的边长是 .
返回
考点2 立方根
6. 的立方根为( )
A
A. B. C. D. 不存在
7.将体积分别为和 的长方体铁块，熔成一个
正方体铁块，那么这个正方体铁块的棱长是___ .
9
返回
8.已知与互为相反数其中，则 __.
【点拨】由与互为相反数可得 与
互为相反数，所以 ，整理得
.将代入可得， .
返回
考点3 实数及分类
9. 在实数，，，0， ， ，
中，无理数有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
10.把下列各数填入相应的集合内：
（每两个2之间的1依次多一个）， ，
，，，，，， .
正有理数集合：{_______ …}；
正无理数集合：{ ____________________________________
_________________ …}；
,
（每两个2之间的1依次多一个），，
负有理数集合：{_ ______ …}；
负无理数集合：{______________________ …}；
正实数集合：{_______________________________________
________________________ …}；
负实数集合：{_ __________________________ …}.
,
,,,,
,,,,,
（每两个2之间的1依次
多一个），，， ，
【解】正有理数集合： ；
正无理数集合： （每两个2之间的1依次
多一个），， ；
负有理数集合： ；
负无理数集合：{-,,, ,…}；
正实数集合： （每两个2之间的1依次多
一个），，，， ；
负实数集合：,,,,,… .
返回
考点4 实数的性质
11. 是 的( )
A
A. 相反数 B. 平方根
C. 绝对值 D. 算术平方根
12. ［2025天津和平区月考］ 的绝对值是( )
A
A. 3 B. C. D.
13.的倒数是_____， _______.
返回
考点5 估算与大小比较
14. 若，，，则，，
的大小关系为( )
D
A. B. C. D.
返回
15. ［2025成都郫都区期中］如图，若数轴上的点， ，
，，表示数，0，1，2，3，则表示的点 应在
( )
C
A. 线段上 B. 线段 上
C. 线段上 D. 线段 上
返回
16. 大、中、小三个正方形
按如图所示的方式摆放，若大正方形的面积
为5，小正方形的面积为1，则正方形
的边长可能是( )
B
A. 1 B. C. D. 3
17.比较大小：___11，___2.（填“ ”或“ ”）
返回
考点6 实数的运算
18. 下列各数中，与 的和为有理数的是( )
B
A. B. C. D.
【点拨】 ，是无理数；
，是有理数;
，是无理数；
，是无理数，故选B.
返回
19.计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式 .
返回
20.［2025重庆江津区月考］我们用表示不大于 的最大整
数.的值称为数的小数部分，如， 的小
数部分为 .
（1）___， ____；
1
（2）设的小数部分为，求 的值.
【解】， 的整数部分为2.
的小数部分为， .
， .
.
返回
思想1 方程思想
21. 已知，则
( )
C
A. 0 B. C. 1 D. 2 026
返回
思想2 数形结合思想
22. ［2025佛山三水区期中］已知实数，， 在数轴上的对
应点如图所示，则 ( )
C
A. B. C. D.
返回
思想3 分类讨论思想
23.已知，其中， 均为整数，
则 _________.
0或2或4
【点拨】，其中， 均为整
数，，， 可分三种情况：①
当，时， ，
， ；②当
，时， 或
，， 或
；③当 ，
时，或， ，
或
.综上， 或2或0.
返回
思想4 整体思想
24.已知， ，且
，，求 的值.
【解】， ，
①, ，
将①变形得 ,
将②代入③,得，将代入②，得 .
， ，
，即, .
.
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. ［2024德州］在0，，， 这四个数中，最小的数是
( )
A. 0 B. C. D.
√
返回
2. 如图， 在数轴上对应的点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
3. ［2025重庆永川区模拟］如果是64的立方根，那么 的算
术平方根是( )
A. 4 B. 2 C. D.
√
√
返回
4. 已知，那么 的值为( )
A. 1 B. C. D.
5. 下列各组数中互为相反数的一组是( )
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
√
√
返回
6. ［2025青岛崂山区月考］如图，用边长为3的两个小正方
形剪拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数
是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
√
【点拨】 用边长为3的两个小正方形剪拼成一个大正方
形， 大正方形的面积为， 大正方形的边长
为.， 大正方形
的边长最接近的整数是4.
返回
7. 如图，数轴上，两点所对应的实数分别是 ，1.若线
段，则点 所表示的实数是( )
A. B. C. D.
【点拨】，两点所对应的实数分别是 ，1，
.又 ，
. 点 所表示的实数为
.
√
返回
8. 若用 表示任意正实数的整数部分，例
如：，， ，则式子
A. 22 B. C. 23 D.
的值为（式子中的“ ”“-”依次相间）( )
√
【点拨】，，，， ，
， ,
, ，
, .
返回
二、填空题（每小题4分，共16分）
9. 请写出一个与 的和为有理数的实数：
______________________.
（答案不唯一）
10. 将一把刻度尺按如图所示的方式放在数
轴上数轴的单位长度是，刻度尺上的“”和“ ”
分别对应数轴上的数“”和“”，则 的值为_______.
返回
11.已知,是有理数，且, 满足等式
，则 的立方
根为___.
2
【点拨】,是有理数，且, 满足等式
，
，则 解得
的立方根为2.
返回
12. 我们规定：若一个三位数 的各个
数位上的数字互不相等，且满足百位数字与个位数字之和等
于十位数字的两倍，则称 为“中倍数”.例如：数258，
， 是“中倍数”；数358，
， 不是“中倍数”，按照这个规定：最大
的“中倍数”是_____.若是“中倍数”，将 的百位数字和个位
数字对调位置后组成一个新三位数， 是一个整数，
则满足条件的 的最小值为_____.
987
531
【点拨】结合“中倍数”的定义，知最大的“中倍数”是987.设
的百位数字为，个位数字为 ，则
，
，
.， ,且
是整数，或.根据题意知
是偶数，,,或,或 ,
或,或, 为531，642，753，
864，975， 满足条件的 的最小值为531.
返回
三、解答题（共52分）
13.（8分）计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） .
原式
.
返回
14.（8分）在下列各数中，选择合适的数填入相应的集合中.
，，，，，0， ，，.
有理数集合：____________________________ ；
无理数集合：________________________ ；
正实数集合：_________________ ；
负实数集合：____________________________ .
，，，0，，
,
,
,
【解】有理数集合：，，，0，， ；
无理数集合： ；
正实数集合： ；
负实数集合： .
返回
15.（10分）已知是满足不等式 的所有整数
的和，是满足不等式 的最大整数.
（1）求， 的值；
【解】是满足不等式 的所有整数的和，
.
是满足不等式的最大整数， .
（2）求 的平方根.
由（1）知，， .
的平方根为 .
返回
16.（12分） 若实数，满足 ，我们
就说与 是关于6的“如意数”.
（1）与___是关于6的“如意数”， 与_______是关于
6的“如意数”；
9
（2）若实数满足，判断 与
是否是关于6的“如意数”，并说明理由.
【解】与 不是关于6的“如意数”.理由如下：
， .
，
与 不是关于6的“如意数”.
返回
17.（14分）［2025西安长安区期中］如图，半径为1个单位长
度的圆片上有一点与数轴上的原点重合.所有结果均保留 .
（1）若该圆片从原点沿数轴向左滚动一周，圆片上与原点
重合的点到达点，设点表示的数为 .
①求 的值；
【解】 ，
点表示的数是 .
②求 的算术平方根.
，
算术平方根是 .
（2）若圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，向左滚动
的周数记为负数，依次滚动的情况记录如下：， ，
，， .
①第几次滚动后，点距离原点最近？第几次滚动后，点 距
离原点最远？
第一次距离原点2周，第二次： ，距离原点1周，
第三次：，距离原点4周，第四次： ，
在原点处，第五次：， ，距离原点3
周， 第四次滚动后，点 距离原点最近，第三次滚动后，
点 距离原点最远.
②当圆片结束运动时，点运动的路程共多少？此时点 所表
示的数是多少？
，
， 当圆片结束运动时，点 运动的路程
共 . ，
. 此时点所表示的数是 .
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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