第12章 全等三角形【章末复习】 课件（共72张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）

(共72张PPT)
幻灯片 1：封面
章节名称：第 12 章 全等三角形章末复习
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以两个全等的三角形图形为背景，标注对应顶点、边、角，突出全等的直观特征
幻灯片 2：目录
复习目标：明确本章复习要点
知识梳理：核心概念与性质回顾
全等三角形的判定定理
全等三角形的证明思路与方法
易错点解析：常见错误与规避方法
典型例题：各类题型解题示范
综合练习：巩固提升训练
课堂小结：知识体系与方法归纳
课后作业：针对性复习任务
幻灯片 3：复习目标
知识目标：
掌握全等三角形的概念及表示方法，能准确找出全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。
理解全等三角形的性质，包括对应边相等、对应角相等。
熟练掌握全等三角形的判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）。
能运用全等三角形的性质和判定解决线段相等、角相等的证明问题。
能力目标：
能根据已知条件选择合适的判定定理证明三角形全等。
培养几何推理能力，学会分析证明思路，规范书写证明过程。
能运用全等三角形知识解决简单的实际问题和几何综合题。
情感目标：
体会几何证明的逻辑性和严谨性，感受数学推理的魅力。
通过解决几何问题，增强空间想象能力和逻辑思维能力。
幻灯片 4：知识梳理：核心概念与性质
全等三角形的概念：
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
表示方法：全等用符号 “≌” 表示，读作 “全等于”。如△ABC≌△DEF，读作 “三角形 ABC 全等于三角形 DEF”。
对应关系：全等三角形重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。
找对应关系技巧：对应顶点所对的边是对应边，对应边所对的顶点是对应顶点；对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。
全等三角形的性质：
对应边相等：若△ABC≌△DEF，则 AB=DE，BC=EF，AC=DF。
对应角相等：若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
推论：全等三角形的对应中线相等、对应高相等、对应角平分线相等；全等三角形的周长相等、面积相等。
配图：全等三角形示意图，标注对应顶点、边、角；性质对应关系的箭头图
幻灯片 5：知识梳理：全等三角形的判定定理
一般三角形全等的判定：
SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，∴△ABC≌△DEF（SSS）。
SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（SAS）。
ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中，∠B=∠E，BC=EF，∠C=∠F，∴△ABC≌△DEF（ASA）。
AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
几何语言：在△ABC 和△DEF 中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF，∴△ABC≌△DEF（AAS）。
直角三角形全等的特殊判定：
HL（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
几何语言：在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）。
注意事项：
SSA 和 AAA 不能判定三角形全等（举例说明：SSA 中两边及一边的对角对应相等，三角形不一定全等；AAA 中三角对应相等，三角形形状相同但大小可能不同）。
配图：各判定定理的图形示例，标注相等的边和角；SSA 和 AAA 不能判定全等的反例图
幻灯片 6：全等三角形的证明思路与方法
证明三角形全等的基本思路：
已知两边：
找第三边（SSS）。
找夹角（SAS）。
若为直角三角形，找斜边或另一直角边（HL 或 SAS）。
已知一边一角：
边为角的对边：找任意一角（AAS）。
边为角的邻边：找夹边的另一角（ASA）；找边的对角（AAS）；找另一边（SAS）。
已知两角：
找两角的夹边（ASA）。
找任意一角的对边（AAS）。
辅助线添加技巧：
连接线段：构造全等三角形（如连接某两点，使分散的条件集中）。
作垂线：构造直角三角形，利用 HL 或 AAS 判定全等（如过一点作已知线段的垂线）。
截长补短：证明线段和差关系时，在长线段上截取或延长短线段，构造全等三角形。
证明线段或角相等的常用方法：
证明线段相等：通过证明线段所在的两个三角形全等，利用全等三角形对应边相等。
证明角相等：通过证明角所在的两个三角形全等，利用全等三角形对应角相等。
配图：证明思路的流程图；辅助线添加的示意图（如连接线段、作垂线）
幻灯片 7：易错点解析：常见错误与规避方法
易错点 1：对应关系找错
错误示例：在△ABC≌△DEF 中，误将 AB 对应 EF，AC 对应 DE。
解析：全等三角形的对应边是重合的边，应根据顶点顺序或图形特征确定对应关系，如△ABC≌△DEF 中，A 对应 D，B 对应 E，C 对应 F，故 AB 对应 DE，AC 对应 DF，BC 对应 EF。
规避方法：记全等三角形时，按对应顶点的顺序书写；结合图形，通过重合想象确定对应边和对应角。
易错点 2：误用判定定理
错误示例：用 SSA 判定三角形全等，如 “在△ABC 和△DEF 中，AB=DE，AC=DF，∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF”。
解析：SSA 不是全等三角形的判定定理，上述条件不能保证三角形全等。
规避方法：牢记只有 SSS、SAS、ASA、AAS、HL 可判定全等，杜绝使用 SSA 和 AAA。
易错点 3：证明过程不规范
错误示例：证明时缺少大前提（如未说明在哪个三角形中）；条件书写不完整（如 SAS 中未注明夹角）。
解析：几何证明需严谨，每一步推理都要有依据，条件要完整准确。
规避方法：书写证明过程时，先指明在哪个三角形中，再按判定定理的条件依次列出相等的边或角，最后得出全等结论并注明判定定理。
易错点 4：忽略图形的多样性
错误示例：只考虑图形的一种摆放方式，忽略其他可能的位置关系，导致漏解。
解析：全等三角形的摆放位置可能不同，需全面考虑图形的各种情况。
规避方法：画图时多角度思考，注意图形的对称性、旋转性等，避免思维定式。
配图：对应关系错误的对比图；SSA 错误判定的反例图；规范与不规范证明过程的对比图
幻灯片 8：典型例题：全等三角形的判定与性质
例题 1：如图，点 B、E、C、F 在同一直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF，求证：△ABC≌△DEF。
证明：
∵BE=CF（已知），
∴BE + EC=CF + EC（等式性质），即 BC=EF。
在△ABC 和△DEF 中，
AB=DE（已知），
AC=DF（已知），
BC=EF（已证），
∴△ABC≌△DEF（SSS）。
例题 2：如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE，求证：∠B=∠D。
证明：
∵∠BAD=∠CAE（已知），
∴∠BAD + ∠DAC=∠CAE + ∠DAC（等式性质），即∠BAC=∠DAE。
在△ABC 和△ADE 中，
AB=AD（已知），
∠BAC=∠DAE（已证），
AC=AE（已知），
∴△ABC≌△ADE（SAS）。
∴∠B=∠D（全等三角形对应角相等）。
配图：例题 1、2 的图形，标注已知条件和求证结论；证明过程的步骤标注
幻灯片 9：典型例题：直角三角形全等与综合应用
例题 3：如图，在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC=DB，求证：△ABC≌△DCB。
证明：
在 Rt△ABC 和 Rt△DCB 中，
∠A=∠D=90°（已知），
AC=DB（已知），
BC=CB（公共边），
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）。
例题 4：如图，已知 AB=CD，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为 E、F，AE=CF，求证：BF=DE。
证明：
∵AE⊥BD，CF⊥BD（已知），
∴∠AEB=∠CFD=90°（垂直定义）。
在 Rt△AEB 和 Rt△CFD 中，
AB=CD（已知），
AE=CF（已知），
∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL）。
∴BE=DF（全等三角形对应边相等）。
∴BE - EF=DF - EF（等式性质），即 BF=DE。
配图：例题 3、4 的图形，标注直角符号和已知条件；证明过程中全等判定和性质的应用标注
幻灯片 10：典型例题：辅助线添加与动态问题
例题 5：如图，在△ABC 中，AB=AC，D 是 BC 的中点，求证：AD⊥BC。
证明：
连接 AD（辅助线添加）。
在△ABD 和△ACD 中，
AB=AC（已知），
BD=CD（D 是 BC 中点），
AD=AD（公共边），
∴△ABD≌△ACD（SSS）。
∴∠ADB=∠ADC（全等三角形对应角相等）。
∵∠ADB + ∠ADC=180°（平角定义），
∴∠ADB=∠ADC=90°，即 AD⊥BC（垂直定义）。
例题 6：如图，点 P 是∠AOB 的平分线上一点，PC⊥OA 于 C，PD⊥OB 于 D，求证：PC=PD。
证明：
∵点 P 在∠AOB 的平分线上（已知），
∴∠AOP=∠BOP（角平分线定义）。
∵PC⊥OA，PD⊥OB（已知），
∴∠OCP=∠ODP=90°（垂直定义）。
在△OCP 和△ODP 中，
∠OCP=∠ODP（已证），
∠AOP=∠BOP（已证），
OP=OP（公共边），
∴△OCP≌△ODP（AAS）。
∴PC=PD（全等三角形对应边相等）。
配图：例题 5 连接 AD 的辅助线标注；例题 6 的角平分线和垂线标注，全等三角形对应关系图
幻灯片 11：综合练习
练习 1：填空题
（1）已知△ABC≌△DEF，∠A=50°，∠B=60°，则∠F=______。
（2）如图，AC=AD，BC=BD，则△ABC≌△ABD 的判定定理是______。
（3）在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若要利用 HL 证明 Rt△ABC≌Rt△DEF，还需添加的条件是______和______。
答案：（1）70°（由三角形内角和 180° 得∠C=70°，全等三角形对应角相等∠F=∠C）；（2）SSS；（3）AB=DE（斜边），AC=DF（直角边）（或其他合理答案）
练习 2：选择题
（1）下列条件中，不能判定△ABC≌△DEF 的是（ ）
A. AB=DE，BC=EF，AC=DF B. ∠A=∠D，∠B=∠E，AC=DF
C. AB=DE，∠A=∠D，BC=EF D. ∠A=∠D，AB=DE，∠B=∠E
（2）如图，∠ACB=∠DFE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，需要补充的一个条件是（ ）
A. AC=DF B. ∠A=∠D C. ∠B=∠E D. 以上都可以
答案：（1）C（SSA 不能判定）；（2）D（AC=DF 用 SAS；∠A=∠D 用 AAS；∠B=∠E 用 ASA）
练习 3：解答题
（1）如图，AB=CD，AD=CB，求证：∠A=∠C。
（2）如图，在△ABC 中，∠B=∠C，D、E 分别在 AB、AC 上，且 BD=CE，求证：DE∥BC。
答案：（1）连接 BD，证明△ABD≌△CDB（SSS），得∠A=∠C；（2）证明△BDE≌△CEB（SAS），得∠BDE=∠C，又∠B=∠C，故∠BDE=∠B，得 DE∥BC（内错角相等）。
配图：练习题的图形，标注已知条件和辅助线提示
幻灯片 12：课堂小结：知识体系与方法归纳
知识体系：
全等三角形的核心是 “完全重合”，体现在对应边相等、对应角相等的性质上。
判定定理是证明全等的依据，需根据已知条件灵活选择 SSS、SAS、ASA、AAS、HL。
利用全等三角形可解决线段相等、角相等的证明问题，是几何推理的重要工具。
方法归纳：
证明全等时，先确定已知条件类型（边、角），再按对应思路选择判定定理。
书写证明过程要规范：指明三角形→列出条件→得出全等→运用性质。
遇到复杂问题时，通过添加辅助线构造全等三角形，将分散条件集中。
思想方法：
转化思想：将线段或角相等的问题转化为三角形全等的问题。
数形结合：结合图形分析已知条件和求证结论，理清推理思路。
幻灯片 13：课后作业
基础作业：
完成课本第 [具体页码] 章末复习题 A 组所有题目。
整理本章涉及的辅助线添加方法，每种方法举一个实例。
提升作业：
完成课本第 [具体页码] 章末复习题 B 组题目。
如图，在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°，D 是 BC 上一点，EC⊥BC，EC=BD，DF=FE，求证：AF⊥DE。
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第12章 全等三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
考点1 命题、定义和定理
1. 下列句子中，是定义的是( )
A. 在正数前面加上符号“-”的数是负数
B. , 两条直线平行吗
C. 画一个角等于已知角
D. 过一点画已知直线的垂线
√
返回
2. 下列语句中属于定理的是( )
A. 在直线上任取一点
B. 如果两个角相等，那么这两个角是同位角
C. 对顶角相等
D. 直线和 垂直吗
3. 对于命题“若，则 ”，小明想举一个反例说明
它是一个假命题，则符合要求的反例可以是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
√
√
返回
（第4题）
4.如图，点，分别在线段， 上，连
结，， .现有以下三个论断：
；； .如果
以其中两个论断为条件，另一个论断为结论
构造命题，能够构成___个真命题.
3
（第4题）
【点拨】以①②为条件，③为结论能够构成
真命题，理由如下： ，
.又 ，
，， ；以
①③为条件，②为结论能够构成真命题，理
由如下：， ，
，， ；以②③为条件，①
为结论能够构成真命题，理由如下：
， ，
， ，
.
综上，以其中两个论断为条件，另一个论断
为结论构造命题，能够构成3个真命题.
（第4题）
返回
考点2 全等三角形的判定与性质
5. 如图，，， ，且
， ，则 ( )
（第5题）
A. B. C. D.
√
返回
6. 如图，与交于点,在 与
中， ,请添加一个条件：__________________
______,使得 .
（答案不唯一）
返回
7.［2025北京西城区期中］给出如下定义：两条线段相交于
一点（交点不与端点重合），连结不同线段的两个端点，再
连结另两个端点，所得图形称为“8字形”.如图①，线段 与
交于点,连结和 ,所得图形即为“8字形”.
（1）下列四个图形中，含有“8字形”的有___个.
2
（2）如图②,与交于点,连结和,和 的延长
线交于点,满足 , .
①当 时，判断与 的数量关系，并证明；
【解】 ，证明如下：
，
， ， .
， .
在和中，
， .
②如图③,当 时，求证： .
【证明】如图，在 上截取
，连结 ，
，
，
在和 中，
.
，
， ，
， ，
.
返回
考点3 等腰三角形的性质与判定
（第8题）
8. 如图，，分别是 的中线
和角平分线，若 ，
，则 的度数是
( )
A. B.
C. D.
√
（第8题）
【点拨】是 的中线，
， ，
是的角平分线， ，
.
， .
返回
9.如图，为等边三角形， 为等腰直角三角形，
，则直线与直线相交所构成的锐角为____ .
15
（第9题）
【点拨】延长与交于点 ，如图所示.
为等边三角形，
.
为等腰直角三角形，， ，
， ，
即直线与直线相交所构成的锐角为 .
返回
10.在中，，
是边的中点，, 分别是
, 边上的点.
（1）如图①,连结, ,若
,求证：
；
【证明】连结,如图①.,是 边
的中点，， 垂
直平分, ,
,即
.
, ,
, .
（2）如图②,若,, 在一条直线上，且
，探究与 之间的数量关系，并说
明理由.
【解】 .理由如下：
连结,如图②.易得 .
, ，
和 都是等腰直角三角形，
， .
在和中，
, .
易知, .
返回
考点4 线段垂直平分线的性质与判定
11. 如图，， ，则有( )
A. 平分
B. 垂直平分
C. 与 互相垂直平分
D. 垂直平分
√
返回
12.如图，在中， ，点是 上的一点，
，的垂直平分线分别交，于点，，则
______.
返回
13.［2025合肥庐阳区期中］如图，在
中，是的垂直平分线，与边
交于点，点在上，且 ，连结
.
（1）求证： ；
【证明】是的垂直平分线，点在 上，
.又，， .
（2）连结，若，求证： .
， ，
，
. ， .又
，
，即 .
是的垂直平分线， ，
， ， .
返回
考点5 角平分线的性质与判定
（第14题）
14. ［2025福州仓山区期中］如图，
平分，于点，点在
上，于点，若 ，
，，则 的长为( )
A. 4.5 B. 5 C. 7 D.
√
【点拨】如图，作于 平分
，解得 .
，，， ，
返回
15.［2025盐城期中］如图，是的平分线，
于，的面积是，， ，
则___ .
5
（第15题）
【点拨】如图，过作交 的延长
线于 .
是的平分线， ，
.
的面积是，， ，
， ，
解得 .
返回
16.如图，小颖同学想画 的平分线，
可忘了带量角器和圆规，只有一个带刻度
的直角三角尺，于是她做了如下操作：在
，边上量取 ，分别
过点，点作，， 与
交于点，作射线，则射线就是 的平分线.请
判断小颖的做法是否可行？并说明理由.
【解】小颖的做法可行，理由如下：
， ，
.
在和中，
，， .
又，，即 .
在和中，
.
又，，是 的
平分线.
返回
思想1 方程思想
（第17题）
17. ［2025广州越秀区期中］如图，在
中，， ，
且，则 的度数是( )
A. B. C. D.
√
（第17题）
【点拨】设.因为 ，
所以可设 ，则
.又因为
，所以 ，
所以 .
又因为，所以 ，解得
，所以的度数是 .
返回
18.［2024内江］如图，在中， ，
，，则 的度数为______.
（第18题）
（第18题）
【点拨】，，
可设 ，
，
，
.
，
，
，
，
， .又
， .
（第18题）
返回
思想2 转化思想
19. 如图， 的面积为36，
，点为 边上一点，过点
分别作于，于 ，若
，则 的长为( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
√
【点拨】如图，连结 的面积
为36，
的面积的面积
的面积 ，
，， ，
，， .
返回
20.［2025宿迁期中］如图，等边三角形纸
片的边长为，点， 分别在
，上，将沿直线折叠，点
落在点处，且点在 的外部，则图
中三个阴影部分的周长之和为___ .
6
返回
思想3 分类讨论思想
21.在中，，的垂直平分线与 所在直线
相交所得的锐角为 ，则底角 __________.
或
【点拨】如图①，当 的垂直
平分线与线段 相交时，则可得
， ，
.
，
；
如图②，当 的垂直平分线与
线段 的延长线相交时，则可得
， ，
，
. ，
.
综上，的度数为 或 .
返回
22.如图，， ，
.点沿线段 由点
向点运动，点沿线段由点向点
运动，， 两点同时出发，它们的运动
时间记为.已知点的运动速度是，如果顶点是 ，
，的三角形与顶点是，，的三角形全等，那么点 的
运动速度是多少
【解】设点的运动速度是 .
， 顶点是 ，
，的三角形与顶点是，， 的三角
形全等时，有两种情况： ，
，，解得 .
，解得；，， ，
解得.综上，点的运动速度为或 .
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题4分，共32分）
1. 下列命题中是定理的是( )
C
A. 两点确定一条直线
B. 两直线平行，同位角相等
C. 直角三角形的两个锐角互余
D. 两点之间，线段最短
返回
（第2题）
2. 如图，在中， ，
，分别以点， 为圆心，
大于 的长为半径画弧，过两弧的
交点作直线，交于点，连结 ，
则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在中， ，
，，分别平分 ，
，，则 ( )
D
A. 3 B. 11 C. 7 D. 8
返回
（第4题）
4. ［2025北京西城区月考］如图所示的正
方形网格中，网格线的交点称为格点.已知
线段是等腰三角形的一边，
的三个顶点都在正方形网格的格点上，则
这样的等腰三角形的个数为( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
返回
（第5题）
5. 如图，在中， 平分
，于点，连结 ，已
知 的面积为5，则阴影部分的面
积为( )
C
A. 3.5 B. 3 C. 2.5 D. 2
【点拨】如图，延长交于 ，
平分 ，
，
.在 与
中，
，， ，
， .
.
的面积为5， 阴影部分的面
积 .
返回
（第6题）
6. 如图，的平分线与 的垂直平分线
交于点，于点，若 ，
，则 的长为( )
D
A. 1 B. 3 C. D. 9
【点拨】如图，连结，，过点 作
于点 ，
垂直平分， .
平分，， ，
， .在
和中，
，
，
.
在和中，
，
， .
返回
（第7题）
7. .如图，在中， ，过
点作于点，过点作
于点，连结，过点作 ，
交于点，与交于点 .下列结
论：； ；
； .其中
正确的结论有( )
D
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
（第7题）
【点拨】于点， 于
点 ，
，
，故①正
确；， ，
， ，
， ，在
和 中，
， ，
故②正确；
， ，
， ，
（第7题）
故③正确；，
， ，
，
， ，
在和 中，
，
，故④正确.
（第7题）
返回
（第8题）
8. 如图， 的
两条高与交于点， ，
.点在射线上，且 ，
动点从点出发，沿线段 以每秒1
个单位长度的速度向终点 运动，同时
动点从点出发，沿射线 以每秒3
个单位长度的速度运动，当点 到达点
时，， 两点同时停止运动，设运
动时间为秒，当与 全等
时， 的值为( )
A. B. C. 或
D. 或
D
（第8题）
【点拨】的两条高与交于点 ，
， .
，，当点在点
右侧，点在边上时，如图①，， ，则
，
，，
当时，，即，解得 ；
当点在点左侧，点在边 的延长线上时，如图②，
，，则，易知 ，
， 当时，，即 ，
解得.综上所述，的值为或 .
返回
二、填空题（每小题5分，共20分）
9.［2024宿迁］命题“两直线平行，同位角相等”的逆命题是
________________________.
同位角相等，两直线平行
（第10题）
10.如图，是等边三角形，点 在
内，，将绕点 逆时
针旋转得到，则 的长等于___.
4
返回
（第11题）
11.如图，在 中，
，是 的一条角
平分线，点在上，过 作
于，于 ，且
，若， ，
，则 的长为___.
2
【点拨】如图所示，连结 ，作
于是 的一条角
平分线，点在上， ，
，
，
，
，
，
，， .
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！