第13章 勾股定理【章末复习】 课件（共51张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024）
文档属性
| 名称 | 第13章 勾股定理【章末复习】 课件（共51张PPT）2025-2026学年八年级数学上册（华东师大版2024） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-10 07:28:13 | ||
图片预览
文档简介
(共51张PPT)
幻灯片 1：封面
章节名称：第 13 章 勾股定理章末复习
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以直角三角形为核心，标注直角边、斜边及勾股定理公式，背景融入实际应用场景（如梯子靠墙、航海路线）
幻灯片 2：目录
复习目标：明确本章复习要点
知识梳理：核心概念与定理回顾
勾股定理的逆定理及应用
勾股定理的实际应用场景
解题思路与技巧归纳
易错点解析：常见错误与规避方法
典型例题：各类题型解题示范
综合练习：巩固提升训练
课堂小结：知识体系与方法归纳
课后作业：针对性复习任务
幻灯片 3：复习目标
知识目标：
掌握勾股定理的内容及几何表示，理解定理的推导过程。
熟练运用勾股定理进行直角三角形边长的计算。
掌握勾股定理的逆定理，能判断三角形是否为直角三角形。
了解勾股数的概念，熟记常见的勾股数。
能运用勾股定理解决实际生活中的几何问题（如最短路径、测量距离等）。
能力目标：
提高在直角三角形中运用勾股定理进行计算和推理的能力。
培养将实际问题转化为数学模型（直角三角形）的能力。
学会构造直角三角形解决非直角三角形的几何问题。
情感目标：
体会勾股定理的文化价值和实际应用价值，感受数学与生活的密切联系。
通过解决综合性问题，增强数学应用意识和逻辑思维能力。
幻灯片 4：知识梳理：核心概念与定理
勾股定理：
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，直角边为\(a\)、\(b\)，斜边为\(c\)，则\(a^2 + b^2 = c^2\)。
推导方法：割补法（如赵爽弦图、美国总统伽菲尔德的面积证法）。
赵爽弦图：以直角三角形的斜边为边作正方形，通过面积关系推导定理。
面积证法：将两个直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和推导。
公式变形：
求斜边：\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
求直角边：\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)，\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)
勾股数：
定义：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
常见勾股数：（3,4,5）、（6,8,10）、（5,12,13）、（7,24,25）等，其倍数也是勾股数（如 3k,4k,5k，k 为正整数）。
配图：直角三角形边长标注图；赵爽弦图和伽菲尔德证法的示意图；勾股数列表图
幻灯片 5：知识梳理：勾股定理的逆定理
逆定理内容：
如果三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，且边长为\(c\)的边所对的角是直角。
几何语言：在△ABC 中，若\(a^2 + b^2 = c^2\)，则△ABC 是 Rt△，且∠C=90°。
作用：判断一个三角形是否为直角三角形，是判定直角三角形的重要依据。
与勾股定理的关系：
勾股定理是直角三角形的性质定理（已知直角，得边的关系）。
逆定理是直角三角形的判定定理（已知边的关系，得直角）。
应用步骤：
确定三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边）。
计算\(a^2 + b^2\)和\(c^2\)的值。
比较两者是否相等：若相等，则为直角三角形；否则，不是。
配图：逆定理的图形示例；勾股定理与逆定理的关系对比图
幻灯片 6：勾股定理的实际应用场景
场景 1：几何图形中的边长计算
求直角三角形的边长（已知两边求第三边）。
求直角三角形斜边上的高（结合面积公式：\(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch\)，得\(h = \frac{ab}{c}\)）。
折叠问题：折叠前后对应线段相等，利用勾股定理列方程求解折叠后线段长度。
场景 2：最短路径问题
平面图形：在长方形、正方形中，求两点之间的最短路径（通常为对角线，利用勾股定理计算）。
立体图形：将立体图形（如长方体、圆柱）的表面展开为平面图形，利用 “两点之间线段最短” 结合勾股定理求最短路径。
场景 3：航海与测量问题
航海路线：船只向不同方向行驶（如正东、正北），求最终位置与起点的距离（构造直角三角形）。
高度测量：测量物体高度（如旗杆、山峰），通过构造直角三角形，利用勾股定理计算无法直接测量的高度。
距离测量：测量两点之间的距离（如河宽、两点间不可达距离），通过作垂线构造直角三角形求解。
配图：各应用场景的示意图，标注已知条件和所求量
幻灯片 7：解题思路与技巧归纳
基本解题步骤：
识别图形：判断是否为直角三角形，或能否构造直角三角形。
确定边的关系：明确直角边和斜边，若为折叠、动态问题，需找出不变的边长关系。
选择公式：根据已知条件选择勾股定理的正用或逆用公式。
计算求解：代入数据计算，注意单位统一和结果合理性（如无理数的化简、近似值保留）。
构造直角三角形的技巧：
作垂线：过非直角三角形的一个顶点作对边的垂线，将其转化为直角三角形（如求三角形的高）。
分割图形：将多边形（如四边形）分割为多个直角三角形，利用勾股定理求解边长。
方程思想的应用：
当题目中存在未知边长时，设未知数，利用勾股定理列出方程求解（如折叠问题、动态问题）。
示例：在直角三角形中，已知斜边比一条直角边长 2，另一条直角边长为 6，设直角边为\(x\)，则斜边为\(x + 2\)，列方程\(x^2 + 6^2 = (x + 2)^2\)求解。
配图：解题步骤流程图；构造直角三角形的辅助线示意图；方程思想应用的例题步骤图
幻灯片 8：易错点解析：常见错误与规避方法
易错点 1：混淆直角边和斜边
错误示例：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，误将\(a^2 + c^2 = b^2\)写成\(a^2 + b^2 = c^2\)。
解析：勾股定理中，斜边是直角所对的边，需先明确直角顶点，确定斜边。∠B=90° 时，斜边为 AC（设为\(b\)），则\(a^2 + c^2 = b^2\)。
规避方法：解题时先标注直角符号，明确直角边和斜边，避免公式套用错误。
易错点 2：忽略勾股定理的适用条件
错误示例：在非直角三角形中直接应用勾股定理计算边长。
解析：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形需先构造直角三角形才能应用。
规避方法：应用前先判断三角形是否为直角三角形，或通过作辅助线转化为直角三角形。
易错点 3：计算错误或结果化简不当
错误示例：计算\(\sqrt{25 + 144}\)时，误得\(13\)（正确）；但计算\(\sqrt{2^2 + 3^2}\)时，误写成\(2 + 3 = 5\)（正确应为\(\sqrt{13}\)）。
解析：根号下的加法不能直接拆分，需先计算平方和再开方。
规避方法：强化二次根式计算训练，牢记\(\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b\)，按 “先平方和，再开方” 的步骤计算。
易错点 4：立体图形展开方式考虑不全
错误示例：求长方体表面最短路径时，只考虑一种展开方式，忽略其他可能的展开方法。
解析：长方体展开有多种方式（如前面 + 上面、前面 + 右面等），需计算所有可能路径后取最小值。
规避方法：列出立体图形所有可能的展开方式，分别计算路径长度，比较后确定最短路径。
配图：错误示例与正确解析的对比图；立体图形不同展开方式的示意图
幻灯片 9：典型例题：勾股定理的基本应用
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，已知\(a = 5\)，\(c = 13\)，求\(b\)的长度及△ABC 的面积。
解析：
由勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)，得\(5^2 + b^2 = 13^2\)，即\(25 + b^2 = 169\)，\(b^2 = 144\)，\(b = 12\)（边长为正）。
面积\(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\)。
答案：\(b = 12\)，面积为 30。
例题 2：判断以线段\(a = 6\)，\(b = 8\)，\(c = 10\)为边的三角形是否为直角三角形。
解析：
最长边为\(c = 10\)，计算\(a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)，\(c^2 = 10^2 = 100\)。
因\(a^2 + b^2 = c^2\)，故该三角形是直角三角形，且∠C=90°。
答案：是直角三角形。
配图：例题 1 的直角三角形边长标注；例题 2 的三角形三边标注及直角符号判断
幻灯片 10：典型例题：实际应用与综合问题
例题 3：如图，一架梯子长 25 米，斜靠在墙上，梯子底端离墙 7 米，若梯子顶端下滑 4 米，梯子底端将向外滑动多少米？
解析：
原梯子顶端高度：由勾股定理得\(h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\)米。
下滑后顶端高度：\(24 - 4 = 20\)米，此时底端距离墙\(x = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\)米。
滑动距离：\(15 - 7 = 8\)米。
答案：梯子底端向外滑动 8 米。
例题 4：如图，长方体盒子的长、宽、高分别为 8cm、6cm、10cm，蚂蚁从 A 点沿表面爬行到 B 点，求最短路径长度。
解析：
展开前面和上面：路径长\(\sqrt{(8 + 6)^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 100} = \sqrt{296} = 2\sqrt{74}\)cm。
展开前面和右面：路径长\(\sqrt{(8 + 10)^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}\)cm。
展开左面和上面：路径长\(\sqrt{(6 + 10)^2 + 8^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}\)cm。
比较得最短路径为\(2\sqrt{74}\)cm（约 17.2cm）。
答案：最短路径长度为\(2\sqrt{74}\)cm。
配图：例题 3 的梯子滑动示意图；例题 4 的长方体展开图三种情况标注
幻灯片 11：典型例题：逆定理与综合证明
例题 5：在△ABC 中，AB=13，BC=10，BC 边上的中线 AD=12，求证：△ABC 是等腰三角形。
证明：
∵AD 是 BC 中线，BC=10，∴BD=DC=5。
在△ABD 中，AB=13，AD=12，BD=5，∵\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)，∴△ABD 是 Rt△，∠ADB=90°。
∴∠ADC=90°，在 Rt△ADC 中，AC=\(\sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\)。
∴AB=AC=13，故△ABC 是等腰三角形。
例题 6：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。
解析：
连接 AC，在 Rt△ABC 中，AC=\(\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)。
在△ACD 中，AC=5，CD=12，AD=13，∵\(5^2 + 12^2 = 13^2\)，∴△ACD 是 Rt△，∠ACD=90°。
面积 = S△ABC + S△ACD=\(\frac{1}{2} \times 3 \times 4 + \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 6 + 30 = 36\)。
答案：四边形 ABCD 的面积为 36。
配图：例题 5 的三角形中线标注及直角符号；例题 6 的四边形分割示意图
幻灯片 12：综合练习
练习 1：填空题
（1）在 Rt△ABC 中，∠A=90°，a=25，b=7，则 c=______。
（2）若一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长为______。
（3）已知△ABC 的三边长为 5,12,13，则△ABC 的面积是______。
答案：（1）24（\(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{625 - 49} = 24\)）；（2）5 或\(\sqrt{7}\)（分 3,4 为直角边和 4 为斜边两种情况）；（3）30（直角三角形面积\(\frac{1}{2} \times 5 \times 12\)）
练习 2：选择题
（1）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A. 9,12
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第13章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端点
和，然后把中点向上拉升至 点，则橡皮筋被拉长了
( )
（第1题）
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 如图，一圆柱体
的底面周长为，高为， 是
直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧
面爬行到点 的最短路程是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3.［2025洛阳期末］如图，在离水面
高度为8米的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子 的长为17米，
几分钟后船到达点 的位置，此时绳
子 的长为10米，则船向岸边移动
了___米.
9
（第3题）
【点拨】 在 中，
，米，
（米）， 船向岸边移动了9米.
米，
（米） 米，
（米），
返回
（第4题）
4. 如图，在笔直的铁路
上有两点，，相距，， 为
两村庄，， ，
于点，于点 ，现要
在上建一个中转站，使得， 两
13.3
村庄到站的距离相等，则_____ .
返回
5.《国务院关于印发全民健身计划
（2021-2025年）的通知》文件提出，加大
全民健身场地设施供给，进一步增加全民
健身的热情.某市某健身广场为方便群众夜
间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，
向阳兴趣小组利用长的竹竿测量照明灯灯板 的长.如
图，灯板垂直地面于点 ，第一次将竹竿的一个端点
与点重合，另一个端点落在地面上的 处，
第二次将竹竿的一个端点与点 重合，另一
个端点落在地面上的处.已知 ，
，求灯板 的长.
【解】由题意可知， .在
中，， ，则
.
在中，， ，
则 .
.
返回
6.在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有
一条雕龙从柱底沿石柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方，
石柱上刻有雕龙的部分的柱高约为16米，则雕刻在石柱上的
巨龙至少长为______.
20米
返回
7. 跷跷板是一种常见的儿童玩具.跷跷板一端
着地时如图①，支柱 地面，， 为握把，
且于，， .跷跷板可以绕点
转动，如图②是跷跷板水平时，即，此时点 ，
，，的对应点分别为点，，，，恰有 .则
跷跷板的长为_____ .
265
【点拨】由题意得，，，过 作
于， .
，.在 中，
， ，
.又， .
返回
8. 机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边角料
加工机器零件.如图，是一块直角三角形钢板边角料，
，边长为10分米， 边长为6分米.
（1）求该钢板的面积为多少平方
分米；
【解】 ， 边长为10
分米， 边长为6分米，
该钢板的面积为24平方分米.
分米. （平方分米）.
（2）现要利用这块边角料截取一个以 为底边，且面积最
大的等腰三角形 .
①请用尺规作图法确定点 的位置（不写作法，不用证明，
保留作图痕迹）；
如图，点 即为所求.
②求出 的长.
如图，由作图可知是 的垂直平分线，
，
在中，根据勾股定理，得 ，
，解得 分米，
的长为6.25分米.
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题4分，共32分）
（第1题）
1. ［2025邯郸期中］如图，在
中， ，， ，分别
以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧
相交于点，连结，，则 的周
长为( )
D
A. 14 B. 18 C. 24 D. 30
返回
2. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不
大于 ”时，首先应假设这个直角三角形中( )
A
A. 两个锐角都大于 B. 两个锐角都小于
C. 两个锐角都不大于 D. 两个锐角都等于
返回
3. ［2025长沙模拟］若三角形的三边长分别为，， ，且
满足 ，则这个三角形的形状
是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法判断
B
返回
（第4题）
4. ［2025郴州模拟］如图所示为雷达图，
规定1个单位长度代表，以点 为原
点，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并
将同心圆平均分成十二份.一艘海洋科考船
在点处用雷达发现， 两处鱼群，那么
， 两处鱼群的距离是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”.
如图， 是一茅屋的屋顶剖面，
呈等腰三角形， 米，
横梁米，从梁 上任意一点
要支一根木头顶住屋顶 处，这根
木头需要的长度可能是( )
C
A. 2.5米 B. 6米 C. 4米 D. 8米
（第5题）
【点拨】过点作 于点
米， 米，
（米）， 在
中，由勾股定理得
（米）. 由题意可知，
，即3米 米，故选C.
返回
（第6题）
6. 如图，有一个由传感器 控制的灯，
要装在门上方离地面 的墙上，任何
东西只要移至该灯及 内，灯就会
自动发光.小明身高 ，他走到离墙多
远的地方灯刚好发光 ( )
D
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7. 如图，在正方形网格内（每个小方格的
边长均为1），，，， 四点都在小方
格的格点上，则 ( )
B
A. B. C. D.
【点拨】作关于的对称点，连结， ，如图，
，， ，
， 是等腰直角三角
形. .
.
返回
（第8题）
8. 如图①，直角三角形的两个锐角分别
是 和 ，其三边上分别有一个正方
形.执行下面的操作：由两个小正方形向
外分别作锐角为 和 的直角三
D
A. 32 B. 36 C. 40 D. 48
角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.
图②是1次操作后的图形.重复上述步骤若干次后得到的图形，
人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长
为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ( )
【点拨】如图，把题图②中各个小正方形标上字母，设正方
形的边长为，正方形的边长为 正方形的面积为 ，
正方形的面积为.由题意得，正方形 的边长为2，并且是
直角三角形的斜边. 正方形 的面积为4.根据勾股定理可得
正方形的面积正方形 的面
积 题图①中所有正方形的面积和 .同理可得，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形
的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形 的面
积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正方
形的面积正方形的面积 题图②中所有正方形的面
积和，即1次操作后所有正方形的面积和 .
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是 次
操作后所有正方形的面积和 次
操作后所有正方形的面积和 .
返回
二、填空题（每小题6分，共24分）
9. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它
被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写
出一组“勾股数”：_______________________.
3，4，5（答案不唯一）
返回
（第10题）
10.如图， ，
， ，一机器人在
点处看见一个小球从点 出发沿着
方向匀速滚向点 ，机器人立即从
点 出发，沿直线匀速前进拦截小球，
13
恰好在点 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行
走的速度相等，那么机器人行走的路程的长度为____ .
返回
11.如图所示，在中，平分交于， 平分
的外角，连结，交于点，且 ，
若，则 的值为_____.
196
（第11题）
（第11题）
【点拨】平分， 平分
的外角 ，
， ，即
.， ，
同理可得， ，
在 中，由勾股定理
得 .
（第11题）
返回
12. 如图，在长方形中， ，
，为边上一个动点，将沿 折叠得到
，点的对应点为，当射线恰好经过的中点
时， 的长为______.
2或8
【点拨】①当的延长线过的中点时，如题图. 四边
形是长方形，， .
.由折叠的性质，得 ，
， ，
， .
，是的中点， .
在 中，由勾股定理，得
，
；
②当线段过的中点 时，如图，
易知， ，
.综
上， 的长为2或8.
返回
三、解答题（共44分）
13.（12分）如图，在中，， ，
，求 的面积.
【解】过点作，交 的延长线于
点.设，则 .
在和 中，由勾股定理得
， ，
，即 ，
解得，， .
.
返回
14.（16分） 物理课上，老
师带着科技小组进行物理实验.同学们
将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 ，
一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块 放置在水平
地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体 的升降.
实验初始状态如图①，物体静止在直轨道上，物体 到滑块
的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是 .
（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物
体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
【解】根据题意，得， ，
， .
.
绳子的总长度为 .
（2）如图②，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离.
如图，
根据题意得 ，， ，
， .
滑块向左滑动的距离为 .
返回
15.（16分） 如图，在 中，
，，，点从点 出发，
以每秒的速度沿折线 运动，设运动时间
为 .
（1）若点在上，则线段 的长为_____
_____；（用含 的式子表示）
（2）点在运动的过程中，若是以 为底边的等腰三
角形，求 的值.
【解】在 中，由勾股定理得
.①当点在边 上
时，由题意知，解得 ；②当
点在边上时，过点作于点 ，
，
，解得 .
. ，
即，解得 .
综上所述，的值为3或 .
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
章节名称：第 13 章 勾股定理章末复习
授课教师：[教师姓名]
授课班级：[具体班级]
配图建议：以直角三角形为核心，标注直角边、斜边及勾股定理公式，背景融入实际应用场景（如梯子靠墙、航海路线）
幻灯片 2：目录
复习目标：明确本章复习要点
知识梳理：核心概念与定理回顾
勾股定理的逆定理及应用
勾股定理的实际应用场景
解题思路与技巧归纳
易错点解析：常见错误与规避方法
典型例题：各类题型解题示范
综合练习：巩固提升训练
课堂小结：知识体系与方法归纳
课后作业：针对性复习任务
幻灯片 3：复习目标
知识目标：
掌握勾股定理的内容及几何表示，理解定理的推导过程。
熟练运用勾股定理进行直角三角形边长的计算。
掌握勾股定理的逆定理，能判断三角形是否为直角三角形。
了解勾股数的概念，熟记常见的勾股数。
能运用勾股定理解决实际生活中的几何问题（如最短路径、测量距离等）。
能力目标：
提高在直角三角形中运用勾股定理进行计算和推理的能力。
培养将实际问题转化为数学模型（直角三角形）的能力。
学会构造直角三角形解决非直角三角形的几何问题。
情感目标：
体会勾股定理的文化价值和实际应用价值，感受数学与生活的密切联系。
通过解决综合性问题，增强数学应用意识和逻辑思维能力。
幻灯片 4：知识梳理：核心概念与定理
勾股定理：
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，直角边为\(a\)、\(b\)，斜边为\(c\)，则\(a^2 + b^2 = c^2\)。
推导方法：割补法（如赵爽弦图、美国总统伽菲尔德的面积证法）。
赵爽弦图：以直角三角形的斜边为边作正方形，通过面积关系推导定理。
面积证法：将两个直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形，利用梯形面积等于三个三角形面积之和推导。
公式变形：
求斜边：\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)
求直角边：\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)，\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)
勾股数：
定义：能够构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
常见勾股数：（3,4,5）、（6,8,10）、（5,12,13）、（7,24,25）等，其倍数也是勾股数（如 3k,4k,5k，k 为正整数）。
配图：直角三角形边长标注图；赵爽弦图和伽菲尔德证法的示意图；勾股数列表图
幻灯片 5：知识梳理：勾股定理的逆定理
逆定理内容：
如果三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，那么这个三角形是直角三角形，且边长为\(c\)的边所对的角是直角。
几何语言：在△ABC 中，若\(a^2 + b^2 = c^2\)，则△ABC 是 Rt△，且∠C=90°。
作用：判断一个三角形是否为直角三角形，是判定直角三角形的重要依据。
与勾股定理的关系：
勾股定理是直角三角形的性质定理（已知直角，得边的关系）。
逆定理是直角三角形的判定定理（已知边的关系，得直角）。
应用步骤：
确定三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边）。
计算\(a^2 + b^2\)和\(c^2\)的值。
比较两者是否相等：若相等，则为直角三角形；否则，不是。
配图：逆定理的图形示例；勾股定理与逆定理的关系对比图
幻灯片 6：勾股定理的实际应用场景
场景 1：几何图形中的边长计算
求直角三角形的边长（已知两边求第三边）。
求直角三角形斜边上的高（结合面积公式：\(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch\)，得\(h = \frac{ab}{c}\)）。
折叠问题：折叠前后对应线段相等，利用勾股定理列方程求解折叠后线段长度。
场景 2：最短路径问题
平面图形：在长方形、正方形中，求两点之间的最短路径（通常为对角线，利用勾股定理计算）。
立体图形：将立体图形（如长方体、圆柱）的表面展开为平面图形，利用 “两点之间线段最短” 结合勾股定理求最短路径。
场景 3：航海与测量问题
航海路线：船只向不同方向行驶（如正东、正北），求最终位置与起点的距离（构造直角三角形）。
高度测量：测量物体高度（如旗杆、山峰），通过构造直角三角形，利用勾股定理计算无法直接测量的高度。
距离测量：测量两点之间的距离（如河宽、两点间不可达距离），通过作垂线构造直角三角形求解。
配图：各应用场景的示意图，标注已知条件和所求量
幻灯片 7：解题思路与技巧归纳
基本解题步骤：
识别图形：判断是否为直角三角形，或能否构造直角三角形。
确定边的关系：明确直角边和斜边，若为折叠、动态问题，需找出不变的边长关系。
选择公式：根据已知条件选择勾股定理的正用或逆用公式。
计算求解：代入数据计算，注意单位统一和结果合理性（如无理数的化简、近似值保留）。
构造直角三角形的技巧：
作垂线：过非直角三角形的一个顶点作对边的垂线，将其转化为直角三角形（如求三角形的高）。
分割图形：将多边形（如四边形）分割为多个直角三角形，利用勾股定理求解边长。
方程思想的应用：
当题目中存在未知边长时，设未知数，利用勾股定理列出方程求解（如折叠问题、动态问题）。
示例：在直角三角形中，已知斜边比一条直角边长 2，另一条直角边长为 6，设直角边为\(x\)，则斜边为\(x + 2\)，列方程\(x^2 + 6^2 = (x + 2)^2\)求解。
配图：解题步骤流程图；构造直角三角形的辅助线示意图；方程思想应用的例题步骤图
幻灯片 8：易错点解析：常见错误与规避方法
易错点 1：混淆直角边和斜边
错误示例：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，误将\(a^2 + c^2 = b^2\)写成\(a^2 + b^2 = c^2\)。
解析：勾股定理中，斜边是直角所对的边，需先明确直角顶点，确定斜边。∠B=90° 时，斜边为 AC（设为\(b\)），则\(a^2 + c^2 = b^2\)。
规避方法：解题时先标注直角符号，明确直角边和斜边，避免公式套用错误。
易错点 2：忽略勾股定理的适用条件
错误示例：在非直角三角形中直接应用勾股定理计算边长。
解析：勾股定理仅适用于直角三角形，非直角三角形需先构造直角三角形才能应用。
规避方法：应用前先判断三角形是否为直角三角形，或通过作辅助线转化为直角三角形。
易错点 3：计算错误或结果化简不当
错误示例：计算\(\sqrt{25 + 144}\)时，误得\(13\)（正确）；但计算\(\sqrt{2^2 + 3^2}\)时，误写成\(2 + 3 = 5\)（正确应为\(\sqrt{13}\)）。
解析：根号下的加法不能直接拆分，需先计算平方和再开方。
规避方法：强化二次根式计算训练，牢记\(\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b\)，按 “先平方和，再开方” 的步骤计算。
易错点 4：立体图形展开方式考虑不全
错误示例：求长方体表面最短路径时，只考虑一种展开方式，忽略其他可能的展开方法。
解析：长方体展开有多种方式（如前面 + 上面、前面 + 右面等），需计算所有可能路径后取最小值。
规避方法：列出立体图形所有可能的展开方式，分别计算路径长度，比较后确定最短路径。
配图：错误示例与正确解析的对比图；立体图形不同展开方式的示意图
幻灯片 9：典型例题：勾股定理的基本应用
例题 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，已知\(a = 5\)，\(c = 13\)，求\(b\)的长度及△ABC 的面积。
解析：
由勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)，得\(5^2 + b^2 = 13^2\)，即\(25 + b^2 = 169\)，\(b^2 = 144\)，\(b = 12\)（边长为正）。
面积\(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 30\)。
答案：\(b = 12\)，面积为 30。
例题 2：判断以线段\(a = 6\)，\(b = 8\)，\(c = 10\)为边的三角形是否为直角三角形。
解析：
最长边为\(c = 10\)，计算\(a^2 + b^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)，\(c^2 = 10^2 = 100\)。
因\(a^2 + b^2 = c^2\)，故该三角形是直角三角形，且∠C=90°。
答案：是直角三角形。
配图：例题 1 的直角三角形边长标注；例题 2 的三角形三边标注及直角符号判断
幻灯片 10：典型例题：实际应用与综合问题
例题 3：如图，一架梯子长 25 米，斜靠在墙上，梯子底端离墙 7 米，若梯子顶端下滑 4 米，梯子底端将向外滑动多少米？
解析：
原梯子顶端高度：由勾股定理得\(h = \sqrt{25^2 - 7^2} = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24\)米。
下滑后顶端高度：\(24 - 4 = 20\)米，此时底端距离墙\(x = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15\)米。
滑动距离：\(15 - 7 = 8\)米。
答案：梯子底端向外滑动 8 米。
例题 4：如图，长方体盒子的长、宽、高分别为 8cm、6cm、10cm，蚂蚁从 A 点沿表面爬行到 B 点，求最短路径长度。
解析：
展开前面和上面：路径长\(\sqrt{(8 + 6)^2 + 10^2} = \sqrt{196 + 100} = \sqrt{296} = 2\sqrt{74}\)cm。
展开前面和右面：路径长\(\sqrt{(8 + 10)^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}\)cm。
展开左面和上面：路径长\(\sqrt{(6 + 10)^2 + 8^2} = \sqrt{256 + 64} = \sqrt{320} = 8\sqrt{5}\)cm。
比较得最短路径为\(2\sqrt{74}\)cm（约 17.2cm）。
答案：最短路径长度为\(2\sqrt{74}\)cm。
配图：例题 3 的梯子滑动示意图；例题 4 的长方体展开图三种情况标注
幻灯片 11：典型例题：逆定理与综合证明
例题 5：在△ABC 中，AB=13，BC=10，BC 边上的中线 AD=12，求证：△ABC 是等腰三角形。
证明：
∵AD 是 BC 中线，BC=10，∴BD=DC=5。
在△ABD 中，AB=13，AD=12，BD=5，∵\(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2\)，∴△ABD 是 Rt△，∠ADB=90°。
∴∠ADC=90°，在 Rt△ADC 中，AC=\(\sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\)。
∴AB=AC=13，故△ABC 是等腰三角形。
例题 6：如图，在四边形 ABCD 中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形 ABCD 的面积。
解析：
连接 AC，在 Rt△ABC 中，AC=\(\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)。
在△ACD 中，AC=5，CD=12，AD=13，∵\(5^2 + 12^2 = 13^2\)，∴△ACD 是 Rt△，∠ACD=90°。
面积 = S△ABC + S△ACD=\(\frac{1}{2} \times 3 \times 4 + \frac{1}{2} \times 5 \times 12 = 6 + 30 = 36\)。
答案：四边形 ABCD 的面积为 36。
配图：例题 5 的三角形中线标注及直角符号；例题 6 的四边形分割示意图
幻灯片 12：综合练习
练习 1：填空题
（1）在 Rt△ABC 中，∠A=90°，a=25，b=7，则 c=______。
（2）若一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4，则第三边长为______。
（3）已知△ABC 的三边长为 5,12,13，则△ABC 的面积是______。
答案：（1）24（\(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{625 - 49} = 24\)）；（2）5 或\(\sqrt{7}\)（分 3,4 为直角边和 4 为斜边两种情况）；（3）30（直角三角形面积\(\frac{1}{2} \times 5 \times 12\)）
练习 2：选择题
（1）下列各组数中，不是勾股数的是（ ）
A. 9,12
2025-2026学年华东师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第13章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 如图，长为的橡皮筋放置在直线上，固定两端点
和，然后把中点向上拉升至 点，则橡皮筋被拉长了
( )
（第1题）
A. B. C. D.
√
返回
（第2题）
2. 如图，一圆柱体
的底面周长为，高为， 是
直径，一只蚂蚁从点 出发沿着圆柱体的侧
面爬行到点 的最短路程是( )
A. B. C. D.
√
返回
（第3题）
3.［2025洛阳期末］如图，在离水面
高度为8米的岸上，有人用绳子拉船
靠岸，开始时绳子 的长为17米，
几分钟后船到达点 的位置，此时绳
子 的长为10米，则船向岸边移动
了___米.
9
（第3题）
【点拨】 在 中，
，米，
（米）， 船向岸边移动了9米.
米，
（米） 米，
（米），
返回
（第4题）
4. 如图，在笔直的铁路
上有两点，，相距，， 为
两村庄，， ，
于点，于点 ，现要
在上建一个中转站，使得， 两
13.3
村庄到站的距离相等，则_____ .
返回
5.《国务院关于印发全民健身计划
（2021-2025年）的通知》文件提出，加大
全民健身场地设施供给，进一步增加全民
健身的热情.某市某健身广场为方便群众夜
间健身活动，在广场部分位置加装照明灯，
向阳兴趣小组利用长的竹竿测量照明灯灯板 的长.如
图，灯板垂直地面于点 ，第一次将竹竿的一个端点
与点重合，另一个端点落在地面上的 处，
第二次将竹竿的一个端点与点 重合，另一
个端点落在地面上的处.已知 ，
，求灯板 的长.
【解】由题意可知， .在
中，， ，则
.
在中，， ，
则 .
.
返回
6.在底面周长约为6米且带有层层回环不断的云朵石柱上，有
一条雕龙从柱底沿石柱表面均匀地盘绕2圈到达柱顶正上方，
石柱上刻有雕龙的部分的柱高约为16米，则雕刻在石柱上的
巨龙至少长为______.
20米
返回
7. 跷跷板是一种常见的儿童玩具.跷跷板一端
着地时如图①，支柱 地面，， 为握把，
且于，， .跷跷板可以绕点
转动，如图②是跷跷板水平时，即，此时点 ，
，，的对应点分别为点，，，，恰有 .则
跷跷板的长为_____ .
265
【点拨】由题意得，，，过 作
于， .
，.在 中，
， ，
.又， .
返回
8. 机械厂车间里的师傅利用剩余钢板边角料
加工机器零件.如图，是一块直角三角形钢板边角料，
，边长为10分米， 边长为6分米.
（1）求该钢板的面积为多少平方
分米；
【解】 ， 边长为10
分米， 边长为6分米，
该钢板的面积为24平方分米.
分米. （平方分米）.
（2）现要利用这块边角料截取一个以 为底边，且面积最
大的等腰三角形 .
①请用尺规作图法确定点 的位置（不写作法，不用证明，
保留作图痕迹）；
如图，点 即为所求.
②求出 的长.
如图，由作图可知是 的垂直平分线，
，
在中，根据勾股定理，得 ，
，解得 分米，
的长为6.25分米.
返回
［时间：60分钟 分值：100分］
一、选择题（每小题4分，共32分）
（第1题）
1. ［2025邯郸期中］如图，在
中， ，， ，分别
以点，为圆心， 长为半径画弧，两弧
相交于点，连结，，则 的周
长为( )
D
A. 14 B. 18 C. 24 D. 30
返回
2. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不
大于 ”时，首先应假设这个直角三角形中( )
A
A. 两个锐角都大于 B. 两个锐角都小于
C. 两个锐角都不大于 D. 两个锐角都等于
返回
3. ［2025长沙模拟］若三角形的三边长分别为，， ，且
满足 ，则这个三角形的形状
是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 无法判断
B
返回
（第4题）
4. ［2025郴州模拟］如图所示为雷达图，
规定1个单位长度代表，以点 为原
点，过数轴上的每一刻度点画同心圆，并
将同心圆平均分成十二份.一艘海洋科考船
在点处用雷达发现， 两处鱼群，那么
， 两处鱼群的距离是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5. 杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”.
如图， 是一茅屋的屋顶剖面，
呈等腰三角形， 米，
横梁米，从梁 上任意一点
要支一根木头顶住屋顶 处，这根
木头需要的长度可能是( )
C
A. 2.5米 B. 6米 C. 4米 D. 8米
（第5题）
【点拨】过点作 于点
米， 米，
（米）， 在
中，由勾股定理得
（米）. 由题意可知，
，即3米 米，故选C.
返回
（第6题）
6. 如图，有一个由传感器 控制的灯，
要装在门上方离地面 的墙上，任何
东西只要移至该灯及 内，灯就会
自动发光.小明身高 ，他走到离墙多
远的地方灯刚好发光 ( )
D
A. B. C. D.
返回
（第7题）
7. 如图，在正方形网格内（每个小方格的
边长均为1），，，， 四点都在小方
格的格点上，则 ( )
B
A. B. C. D.
【点拨】作关于的对称点，连结， ，如图，
，， ，
， 是等腰直角三角
形. .
.
返回
（第8题）
8. 如图①，直角三角形的两个锐角分别
是 和 ，其三边上分别有一个正方
形.执行下面的操作：由两个小正方形向
外分别作锐角为 和 的直角三
D
A. 32 B. 36 C. 40 D. 48
角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形.
图②是1次操作后的图形.重复上述步骤若干次后得到的图形，
人们把它称为“毕达哥拉斯树”.若图①中的直角三角形斜边长
为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为 ( )
【点拨】如图，把题图②中各个小正方形标上字母，设正方
形的边长为，正方形的边长为 正方形的面积为 ，
正方形的面积为.由题意得，正方形 的边长为2，并且是
直角三角形的斜边. 正方形 的面积为4.根据勾股定理可得
正方形的面积正方形 的面
积 题图①中所有正方形的面积和 .同理可得，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形
的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形 的面
积正方形的面积正方形的面积正方形的面积 正方
形的面积正方形的面积 题图②中所有正方形的面
积和，即1次操作后所有正方形的面积和 .
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是 次
操作后所有正方形的面积和 次
操作后所有正方形的面积和 .
返回
二、填空题（每小题6分，共24分）
9. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它
被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，请你写
出一组“勾股数”：_______________________.
3，4，5（答案不唯一）
返回
（第10题）
10.如图， ，
， ，一机器人在
点处看见一个小球从点 出发沿着
方向匀速滚向点 ，机器人立即从
点 出发，沿直线匀速前进拦截小球，
13
恰好在点 处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行
走的速度相等，那么机器人行走的路程的长度为____ .
返回
11.如图所示，在中，平分交于， 平分
的外角，连结，交于点，且 ，
若，则 的值为_____.
196
（第11题）
（第11题）
【点拨】平分， 平分
的外角 ，
， ，即
.， ，
同理可得， ，
在 中，由勾股定理
得 .
（第11题）
返回
12. 如图，在长方形中， ，
，为边上一个动点，将沿 折叠得到
，点的对应点为，当射线恰好经过的中点
时， 的长为______.
2或8
【点拨】①当的延长线过的中点时，如题图. 四边
形是长方形，， .
.由折叠的性质，得 ，
， ，
， .
，是的中点， .
在 中，由勾股定理，得
，
；
②当线段过的中点 时，如图，
易知， ，
.综
上， 的长为2或8.
返回
三、解答题（共44分）
13.（12分）如图，在中，， ，
，求 的面积.
【解】过点作，交 的延长线于
点.设，则 .
在和 中，由勾股定理得
， ，
，即 ，
解得，， .
.
返回
14.（16分） 物理课上，老
师带着科技小组进行物理实验.同学们
将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮 ，
一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块 放置在水平
地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体 的升降.
实验初始状态如图①，物体静止在直轨道上，物体 到滑块
的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是 .
（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物
体的大小忽略不计）
（1）求绳子的总长度；
【解】根据题意，得， ，
， .
.
绳子的总长度为 .
（2）如图②，若物体升高，求滑块 向左滑动的距离.
如图，
根据题意得 ，， ，
， .
滑块向左滑动的距离为 .
返回
15.（16分） 如图，在 中，
，，，点从点 出发，
以每秒的速度沿折线 运动，设运动时间
为 .
（1）若点在上，则线段 的长为_____
_____；（用含 的式子表示）
（2）点在运动的过程中，若是以 为底边的等腰三
角形，求 的值.
【解】在 中，由勾股定理得
.①当点在边 上
时，由题意知，解得 ；②当
点在边上时，过点作于点 ，
，
，解得 .
. ，
即，解得 .
综上所述，的值为3或 .
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！