1.1 反比例函数 课件（共33张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共33张PPT)
1.1 反比例函数教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：1.1 反比例函数
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：情境引入
生活实例 1：一辆汽车要行驶 120 千米的路程，行驶时间\(t\)（小时）与行驶速度\(v\)（千米 / 小时）之间存在什么关系？根据路程公式\(s=vt\)，可得\(t=\frac{120}{v}\)，当速度\(v\)变化时，时间\(t\)也随之变化。
生活实例 2：一个矩形的面积为 20 平方厘米，它的长\(y\)（厘米）与宽\(x\)（厘米）之间的关系可表示为\(y=\frac{20}{x}\)，长随宽的变化而变化。
问题提出：这些关系式有什么共同特点？它们与我们之前学过的一次函数有什么区别？这就是本节课要学习的反比例函数。
学习意义：反比例函数是描述变量之间反比例关系的重要数学模型，在实际生活、物理科学等领域有广泛应用，掌握其性质能更好地解决相关问题。
第 3 页：学习目标
知识目标：理解反比例函数的概念，能写出实际问题中的反比例函数关系式；掌握反比例函数的表达式形式；能判断一个函数是否为反比例函数。
能力目标：通过分析实际问题中的变量关系，培养抽象概括能力；能根据已知条件确定反比例函数的表达式，提高数学建模能力。
情感目标：在探究反比例函数概念的过程中，感受数学与生活的密切联系，体会函数模型在描述现实世界中的作用，激发学习函数的兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 反比例函数的概念
定义：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k 0\)）的函数，叫做反比例函数。其中\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数。
表达式变形：反比例函数的表达式还可以表示为\(y=kx^{-1}\)（\(k 0\)）或\(xy=k\)（\(k 0\)），这三种形式可以相互转化。
自变量取值范围：自变量\(x\)的取值范围是不等于 0 的一切实数，相应地，函数\(y\)的取值范围也是不等于 0 的一切实数。
注意事项：\(k\)是常数且\(k 0\)，这是反比例函数定义的重要组成部分，若\(k=0\)，则函数变为\(y=0\)，不是反比例函数。
第 5 页：例题 1—— 识别反比例函数
例 1：下列函数中，哪些是反比例函数？并指出其比例系数\(k\)。
（1）\(y=\frac{3}{x}\) （2）\(y=\frac{x}{4}\) （3）\(y= - \frac{2}{x}\) （4）\(y=3x^{-1}\) （5）\(y=2x + 1\)
解析：
（1）是反比例函数，比例系数\(k=3\)；
（2）是一次函数，不是反比例函数；
（3）是反比例函数，比例系数\(k=-2\)；
（4）可变形为\(y=\frac{3}{x}\)，是反比例函数，比例系数\(k=3\)；
（5）是一次函数，不是反比例函数。
例 2：若函数\(y=(m + 2)x^{m^2 - 5}\)是反比例函数，求\(m\)的值。
解析：∵函数是反比例函数，∴需满足\(\begin{cases}m^2 - 5=-1\\m + 2 0\end{cases}\)。由\(m^2 - 5=-1\)得\(m^2=4\)，\(m= ±2\)；又∵\(m + 2 0\)，∴\(m -2\)，∴\(m=2\)。
第 6 页：知识点 2—— 根据实际问题列反比例函数关系式
解题步骤：
分析题意：找出问题中的两个变量，确定哪个是自变量，哪个是函数。
寻找关系：根据实际问题中的数量关系，找到两个变量之间的反比例关系（即它们的乘积是一个常数）。
列出表达式：根据反比例函数的一般形式\(y=\frac{k}{x}\)或\(xy=k\)，列出函数关系式，并注明自变量的取值范围。
关键要点：明确实际问题中常量\(k\)的意义，\(k\)是两个变量乘积的固定值。
第 7 页：例题 2—— 列反比例函数关系式
例 3：已知一个游泳池的容积为 1000 立方米，注满游泳池所用的时间\(t\)（小时）随注水速度\(v\)（立方米 / 小时）的变化而变化，求\(t\)与\(v\)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围。
解析：根据容积 = 注水速度 × 时间，可得\(1000=vt\)，变形得\(t=\frac{1000}{v}\)。自变量\(v\)的取值范围是\(v>0\)（注水速度不能为 0 或负数）。
例 4：某厂要生产一批零件，总数为 2000 个，生产这批零件的平均每天生产数量\(y\)（个 / 天）与生产天数\(x\)（天）之间的函数关系式是什么？若每天生产 50 个，需要多少天完成？
解析：根据总数 = 每天生产数量 × 天数，可得\(2000=xy\)，即\(y=\frac{2000}{x}\)。当\(y=50\)时，\(50=\frac{2000}{x}\)，解得\(x=40\)，即需要 40 天完成。
第 8 页：知识点 3—— 反比例函数中变量的对应关系
关系分析：在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）中，当\(x\)取一个确定的值（\(x 0\)）时，\(y\)有唯一确定的值与之对应；反之，当\(y\)取一个确定的值（\(y 0\)）时，\(x\)也有唯一确定的值与之对应。
计算应用：已知反比例函数关系式和其中一个变量的值，可求出另一个变量的值，即利用\(y=\frac{k}{x}\)或\(x=\frac{k}{y}\)进行计算。
示例：在反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)中，当\(x=2\)时，\(y=\frac{6}{2}=3\)；当\(y=-1\)时，\(x=\frac{6}{-1}=-6\)。
第 9 页：例题 3—— 变量对应关系计算
例 5：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图像经过点\((2,3)\)，求\(k\)的值，并求当\(x=-1\)时\(y\)的值。
解析：∵函数图像经过点\((2,3)\)，将\(x=2\)，\(y=3\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k=6\)，∴反比例函数关系式为\(y=\frac{6}{x}\)。当\(x=-1\)时，\(y=\frac{6}{-1}=-6\)。
例 6：已知\(y\)与\(x\)成反比例，且当\(x=3\)时，\(y= - 4\)，求当\(y=6\)时\(x\)的值。
解析：∵\(y\)与\(x\)成反比例，∴设\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）。将\(x=3\)，\(y=-4\)代入得\(-4=\frac{k}{3}\)，\(k=-12\)，∴函数关系式为\(y=-\frac{12}{x}\)。当\(y=6\)时，\(6=-\frac{12}{x}\)，解得\(x=-2\)。
第 10 页：知识点 4—— 反比例函数与正比例函数的区别
表达式不同：反比例函数表达式为\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)），正比例函数表达式为\(y=kx\)（\(k 0\)）。
变量关系不同：反比例函数中两个变量的乘积是常数（\(xy=k\)），正比例函数中两个变量的比值是常数（\(\frac{y}{x}=k\)）。
自变量取值范围不同：反比例函数中自变量\(x 0\)，正比例函数中自变量\(x\)可以取任意实数。
图像形状不同：反比例函数的图像是双曲线，正比例函数的图像是过原点的直线（后续将详细学习）。
表格对比：
函数类型
表达式
变量关系
自变量取值范围
反比例函数
\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）
\(xy=k\)（乘积为常数）
\(x 0\)
正比例函数
\(y=kx\)（\(k 0\)）
\(\frac{y}{x}=k\)（比值为常数）
\(x\)为任意实数
第 11 页：课堂练习
练习 1：下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. \(y=2x\) B. \(y=\frac{x}{3}\) C. \(y=\frac{1}{2x}\) D. \(y=x^2 + 1\)
练习 2：若函数\(y=(a - 1)x^{a^2 - 2}\)是反比例函数，求\(a\)的值。
练习 3：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)经过点\((-3,2)\)，求该函数的表达式，并求当\(x=6\)时\(y\)的值。
练习 4：某长方形的面积为 15，写出它的长\(y\)与宽\(x\)之间的函数关系式，并判断是否为反比例函数。
第 12 页：知识总结
反比例函数定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k 0\)）的函数，也可表示为\(y=kx^{-1}\)或\(xy=k\)。
关键特征：\(k 0\)，自变量\(x 0\)，函数值\(y 0\)。
列关系式步骤：分析实际问题中的变量关系，确定常量\(k\)，根据\(xy=k\)列出表达式。
与正比例函数区别：表达式、变量关系、自变量取值范围均不同。
第 13 页：课后作业
作业 1：判断下列函数是否为反比例函数，若是，指出比例系数\(k\)：
（1）\(y=-\frac{5}{x}\) （2）\(y=\frac{1}{x} + 1\) （3）\(y=\frac{3}{2x}\) （4）\(xy=7\)
作业 2：已知\(y\)与\(x\)成反比例，且当\(x= - 2\)时，\(y=5\)，求当\(x=5\)时\(y\)的值。
作业 3：一个蓄水池的容积为 500 立方米，排水速度\(v\)（立方米 / 分钟）与排水时间\(t\)（分钟）之间的函数关系式是什么？若排水速度为 20 立方米 / 分钟，需要多少分钟排完水？
作业 4：已知函数\(y=(m^2 - 4)x^{m^2 - m - 7}\)是反比例函数，求\(m\)的值，并写出函数表达式。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1 反比例函数
第1章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
？
？
情境引入
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
笔记本单价 x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 …
购买的笔记本数量 y/本 …
通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？你还能举出这样的例子吗？
20
15
12
10
6
4
？
反比例函数的概念
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的表达式.
合作探究
(1) 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速
度 v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t
(单位：h) 的变化而变化；
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草
坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的
变化而变化；
(3) 已知某市的总面积为 1.68×104 km2 ，人均占有
面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的
变化而变化.
观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
问题：
都具有 的形式，其中 是常数．
分式
分子
(k 为常数，k ≠ 0) 的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数，其中 x 是自变量，常数 k (k ≠ 0) 称为反比例函数的比例系数.
一般地，如果两个变量 y 与 x 的关系可以表示成
反比例函数 (k ≠ 0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
思考：
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式
中，作为行驶时间的 t 的取值应满足 t＞0，且当 t 取每一个确定的值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示之外，还有没有其他表达方式？
想一想：
反比例函数的三种表达方式 (注意 k ≠ 0)：
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
练一练
是，
解：因为 是反比例函数，
所以
4－k2 = 0，
k－2 ≠ 0.
解得 k =－2.
所以该反比例函数的表达式为
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程 (组) 求解即可.
例1 若函数 是反比例函数，求 k 的值，并写出该反比例函数的表达式.
1. 已知函数 是反比例函数，则 k 必须
满足 .
2. 当 m = 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠-1
±1
练一练
确定反比例函数的表达式
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x = 2 时，y = 6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数表达式；
提示：因为 y 是 x 的反比例函数，所以设 .把 x = 2 和 y = 6 代入上式，就可求出常数 k 的值.
解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有
解得 k = 12.
因此
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
解：把 x = 4 代入 ，得
方法总结：用待定系数法求反比例函数表达式的步骤：
① 设出含有待定系数的反比例函数表达式；
② 将已知条件(自变量与函数的对应值)代入表达式，得到关于待定系数的方程；
③ 解方程，求出待定系数的值；
④ 写出反比例函数的表达式.
练一练
已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x = 3 时，y =－4.
(1) 求 y 关于 x 的函数表达式；
(2) 当 y = 6 时，求 x 的值.
解：(1) 设 . 因为当 x = 3 时，y =－4，所以有
解得 k =－12.
因此
(2) 把 y = 6 代入 ，得
解得 x = －2.
例3 在压力不变的情况下，某物体承受的压强 p Pa是它的受力面积 S m2 的反比例函数，如图.
(1) 求 p 与 S 之间的函数表达式；
(2) 当 S = 0.5 时，求物体承受的压强 p 的值.
解：(1) 设 . 函数图象过点 (0.1，1000)，
代入上式，得 解得 k = 100.
所以 p 与 S 的函数表达式是 .
(2) 当 S = 0.5 时，
答：物体承受的压强 p 的值为 200 Pa.
p/Pa
S/m2
O
0.1
1000
建立简单的反比例函数模型
例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度. 如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数表达式，并计算当车速为 100 km/h 时视野的度数.
当 v = 100 时，f = 40.
所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度.
解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，所以
解得 k = 4000.
因此
如图，已知菱形 ABCD 的面积为 180，设它的两条对角线 AC，BD 的长分别为 x，y. 写出变量 y 与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
B
C
D
练一练
解：因为菱形的面积等于两条对角线长
乘积的一半，
所以
所以变量 y 与 x 之间的关系式为 ，
它是反比例函数.
1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
y 和 x 成反比例函数关系的有 ( )
① x 人共饮水 10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半径为 x m，高为 y m 的圆柱形水桶的体积为10 m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成的圆的半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间为 y.
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
A. B.
C. D.
2. 下列函数中，y 是 x 的反比例函数的是 ( )
A
3. 填空：
(1) 若 是反比例函数，则 m 的取值范围是
.
(2) 若 是反比例函数，则 m 的取值范
围是 .
(3) 若 是反比例函数，则 m 的值是 .
m ≠ 1
m ≠ 0 且 m ≠ －2
－1
知识点1 反比例函数的定义
1.［2025益阳月考］下列函数中：（1）；（2） ；（3）
；（4） ，反比例函数有( )
A
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
返回
2.反比例函数 的比例系数为( )
A
A. B. C. D.
返回
3.［2025邵阳月考］当时，反比例函数 的函数值为
( )
B
A. B.4 C. D.
返回
4.［2025长沙月考］函数中，自变量 的取值范围是______.
返回
5.已知函数是反比例函数，则 的取值范围是______________.
且
返回
6.［教材P4“习题1.1”第3题变式］已知反比例函数 .
（1）当时，求函数值 ；
解：当时， .
（2）当时，求自变量 的值.
解：当时，，解得 .
返回
知识点2 建立反比例函数模型
7.下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数关系的是( )
D
A.某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度 之间的关系
B.长方形的面积一定，它的两条邻边的长与 之间的关系
C.压强公式中，一定时，压强与受力面积 之间的关系
D.三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系
返回
8.已知变量， 满足下面的关系：
… 1 2 3 …
… 1 1.5 3 …
则， 之间的函数表达式为( )
C
A. B. C. D.
返回
9.［教材P3“练习”第2题变式］ 写出下列问题中两个变量之间的函数表
达式，并判断其是不是反比例函数.
（1）底边为的三角形的面积与底边上的高 的关系；
解： ,不是反比例函数.
（2）一艘轮船从甲地驶往相距的乙地，轮船的速度 与
航行时间 的关系；
解： ，是反比例函数.
（3）在检修长的管道时，每天能检修 ,剩下的未检修的管道
长与检修天数 的关系.
解： ，不是反比例函数.
返回
建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数表达式
反比例函数：定义；
三种表达方式
反比例函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！