1.2.1反比例函数y=k÷x（k＞0）的图象与性质 课件（共36张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共36张PPT)
1.2.1 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象与性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：1.2.1 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象与性质
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了反比例函数的概念，知道形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k 0\)）的函数是反比例函数，其表达式还可表示为\(y=kx^{-1}\)或\(xy=k\)，自变量\(x\)的取值范围是\(x 0\)。
问题提出：我们已经学习了一次函数的图象是一条直线，那么反比例函数的图象是什么形状呢？它又具有哪些独特的性质？本节课我们将重点探究当\(k 0\)时，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象与性质。
学习意义：掌握反比例函数的图象与性质，能帮助我们更直观地理解变量之间的变化关系，为解决实际问题和后续学习更复杂的函数知识奠定基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：会用描点法画出反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象；理解其图象的形状和位置特征；掌握当\(k 0\)时反比例函数的增减性等性质。
能力目标：通过动手绘制图象、观察分析图象特征，培养动手操作能力和数形结合的思维能力；能运用反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的性质解决简单问题。
情感目标：在探究反比例函数图象与性质的过程中，感受数学的严谨性和图象的美感，激发对函数学习的兴趣，体会数形结合思想的重要性。
第 4 页：知识点 1—— 绘制反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象
描点法步骤：
确定函数关系式：以\(y=\frac{6}{x}\)为例（\(k=6 0\)）。
列表取值：在自变量取值范围\(x 0\)内，选取一些互为相反数的\(x\)值，计算对应的\(y\)值。如：
\(x\)
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
\(y\)
-1
-2
-3
-6
6
3
2
1
描点：在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描出各点\((x,y)\)。
连线：用平滑的曲线依次连接各点，注意图象不与坐标轴相交。
注意事项：取值时要包含正数和负数，以体现图象的对称性；连线时不能连成折线，要保证曲线的平滑性。
第 5 页：知识点 2—— 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象形状与位置
图象形状：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象是由两条曲线组成的双曲线。
所在象限：当\(k 0\)时，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象位于第一、三象限。
原因分析：当\(k 0\)时，\(xy=k 0\)，即\(x\)和\(y\)同号。当\(x 0\)时，\(y 0\)，对应图象在第一象限；当\(x 0\)时，\(y 0\)，对应图象在第三象限。
图象特征：双曲线关于原点对称；图象与\(x\)轴、\(y\)轴都没有交点（因为\(x 0\)，\(y 0\)）；向坐标轴无限延伸，但永远不会与坐标轴相交。
第 6 页：例题 1—— 判断反比例函数图象的位置
例 1：反比例函数\(y=\frac{5}{x}\)的图象位于哪些象限？为什么？
解析：∵在反比例函数\(y=\frac{5}{x}\)中，\(k=5 0\)，根据反比例函数图象位置特征，当\(k 0\)时，图象位于第一、三象限。∴该函数图象位于第一、三象限。
例 2：已知反比例函数\(y=\frac{m + 2}{x}\)的图象位于第一、三象限，求\(m\)的取值范围。
解析：∵反比例函数图象位于第一、三象限，∴\(k 0\)，即\(m + 2 0\)，解得\(m -2\)。∴\(m\)的取值范围是\(m -2\)。
第 7 页：知识点 3—— 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的增减性
性质描述：当\(k 0\)时，在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象所在的每一个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
理解要点：
“每一个象限内”：增减性是针对同一象限内的点而言的，不能跨象限比较。例如在\(y=\frac{6}{x}\)中，第一象限内\(x\)增大\(y\)减小，第三象限内\(x\)增大\(y\)减小，但不能说当\(x\)从负数增大到正数时\(y\)随\(x\)的增大而减小。
变化趋势：在第一象限，双曲线从左到右逐渐下降；在第三象限，双曲线从左到右也逐渐下降。
实例验证：以\(y=\frac{6}{x}\)为例，在第一象限内，当\(x=1\)时\(y=6\)，\(x=2\)时\(y=3\)，\(x\)增大\(y\)减小；在第三象限内，当\(x=-3\)时\(y=-2\)，\(x=-2\)时\(y=-3\)，\(x\)增大（从 - 3 到 - 2）\(y\)减小（从 - 2 到 - 3）。
第 8 页：例题 2—— 应用增减性比较函数值大小
例 3：已知反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)，比较下列各组中两个函数值的大小：
（1）\(y_1\)（\(x_1=2\)）和\(y_2\)（\(x_2=4\)）
（2）\(y_3\)（\(x_3=-3\)）和\(y_4\)（\(x_4=-1\)）
解析：
（1）∵\(k=4 0\)，且\(2 4\)，两点都在第一象限，根据增减性，在第一象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小，∴\(y_1 y_2\)。
（2）∵\(k=4 0\)，且\(-3 -1\)，两点都在第三象限，根据增减性，在第三象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小，∴\(y_3 y_4\)（\(x=-3\)时\(y=-\frac{4}{3}\)，\(x=-1\)时\(y=-4\)，\(-\frac{4}{3} -4\)）。
例 4：已知点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)在反比例函数\(y=\frac{7}{x}\)的图象上，且\(x_1 0 x_2\)，比较\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解析：∵\(k=7 0\)，∴图象在第一、三象限。∵\(x_1 0\)，∴点\(A\)在第三象限，\(y_1 0\)；∵\(x_2 0\)，∴点\(B\)在第一象限，\(y_2 0\)。∴\(y_1 y_2\)。
第 9 页：知识点 4—— 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的对称性
中心对称：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象关于原点成中心对称。即若点\((a,b)\)在图象上，则点\((-a,-b)\)也在图象上。
轴对称：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象关于直线\(y=x\)和\(y=-x\)成轴对称。即若点\((a,b)\)在图象上，则点\((b,a)\)和\((-b,-a)\)也在图象上。
实例验证：在\(y=\frac{6}{x}\)中，点\((2,3)\)在图象上，则点\((-2,-3)\)（中心对称）、\((3,2)\)（关于\(y=x\)对称）、\((-3,-2)\)（关于\(y=-x\)对称）也在图象上。
第 10 页：例题 3—— 利用对称性解决问题
例 5：已知点\((3,2)\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象上，求\(k\)的值，并判断点\((-3,-2)\)和\((2,3)\)是否在该图象上。
解析：将点\((3,2)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(2=\frac{k}{3}\)，解得\(k=6\)，∴函数关系式为\(y=\frac{6}{x}\)。∵图象关于原点对称，点\((3,2)\)关于原点的对称点是\((-3,-2)\)，∴点\((-3,-2)\)在图象上。∵图象关于\(y=x\)对称，点\((3,2)\)关于\(y=x\)的对称点是\((2,3)\)，∴点\((2,3)\)在图象上（验证：当\(x=2\)时，\(y=\frac{6}{2}=3\)）。
例 6：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象经过点\((a,b)\)，其中\(a 0\)，\(b 0\)，求该图象经过的另外三个象限内的点的坐标。
解析：∵图象关于原点对称，∴点\((a,b)\)关于原点的对称点\((-a,-b)\)在第三象限，且在图象上。∵图象关于\(y=x\)对称，∴点\((b,a)\)在第一象限（已包含），点\((-b,-a)\)在第三象限（与\((-a,-b)\)可能重合或不同）。综上，另外三个点可表示为\((-a,-b)\)、\((b,a)\)（第一象限）、\((-b,-a)\)（第三象限），但主要在第三象限的对称点为\((-a,-b)\)。
第 11 页：知识点 5—— 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）图象与性质总结
图象形状：双曲线（由两条曲线组成）。
所在象限：第一、三象限。
增减性：在每一个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小。
对称性：关于原点中心对称，关于直线\(y=x\)和\(y=-x\)轴对称。
与坐标轴关系：不与\(x\)轴、\(y\)轴相交，无限接近坐标轴。
表格归纳：
性质类别
\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）
图象形状
双曲线
所在象限
第一、三象限
增减性
在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小
对称性
关于原点中心对称，关于\(y=x\)、\(y=-x\)轴对称
与坐标轴交点
无交点
第 12 页：课堂练习
练习 1：画出反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)的图象，并说明其图象位于哪些象限。
练习 2：已知反比例函数\(y=\frac{3}{x}\)，当\(x_1=1\)，\(x_2=3\)时，比较\(y_1\)和\(y_2\)的大小；当\(x_3=-2\)，\(x_4=-4\)时，比较\(y_3\)和\(y_4\)的大小。
练习 3：若点\((2,m)\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象上，且该函数图象经过点\((n,4)\)，求\(m\)与\(n\)的关系。
练习 4：反比例函数\(y=\frac{k - 1}{x}\)的图象在第一、三象限，求\(k\)的取值范围，并判断当\(x 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大如何变化。
第 13 页：知识总结
图象绘制：用描点法，经历列表、描点、连线三个步骤，注意取值的对称性和曲线的平滑性。
图象特征：\(k 0\)时，图象是位于第一、三象限的双曲线，关于原点和直线\(y= ±x\)对称，不与坐标轴相交。
核心性质：在每一个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小，应用时需注意 “同一象限” 的前提。
思想方法：数形结合思想（通过图象理解性质）、归纳法（从具体函数归纳一般性质）。
第 14 页：课后作业
作业 1：已知反比例函数\(y=\frac{8}{x}\)，当\(x 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而______，图象位于第______象限。
作业 2：画出反比例函数\(y=\frac{2}{x}\)的图象，并根据图象回答：当\(x=-1\)时，\(y=\)；当\(y=1\)时，\(x=\)。
作业 3：已知点\(A(1,y_1)\)、\(B(2,y_2)\)、\(C(-3,y_3)\)在反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)的图象上，比较\(y_1\)、\(y_2\)、\(y_3\)的大小。
作业 4：反比例函数\(y=\frac{m}{x}\)（\(m 0\)）的图象经过点\((2,5)\)，求\(m\)的值，并判断点\((5,2)\)和\((-2,-5)\)是否在该图象上。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
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1.2.1反比例函数y=k÷x（k＞0）的图象与性质
第1章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？
复习引入
写出一个反比例函数，你能画出它的图象吗？
反比例函数的图象和性质
合作探究
例1 画反比例函数 与 的图象.
提示：画函数的图象步骤一般为：
列表→描点→连线.
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列表如下：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
-1
-1.2
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1.2
1
-2
-2.4
-3
-4
-6
6
4
3
2.4
2
-12
12
-1
-5
-4
-6
O
-2
x
1
2
3
4
5
6
-3
5
6
y
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，即可得函数 　与 的图象.
方法归纳
　　
　　
　　绘制反比例函数的图象与绘制一次函数的图象的步骤基本一致，不同之处在于反比例函数图象为曲线，连线时应该尽量保证线条自然，图象是延伸的，注意不要画成有明确端点．曲线的发展趋势只能靠近坐标轴，但不能和坐标轴相交．
观察这两个函数图象，回答下列问题：
思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内，随着 x 的增大，y 如何变化？
你能由它们的表达式说明原因吗？
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，
考虑问题 (1)(2)，你能得出同
样的结论吗？
●由两支曲线组成，且分别位于第一、三象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
知识要点
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
A.
x
y
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
y
B.
x
o
练一练
2. 已知反比例函数 的图象过点 (－2，－3)，函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与 y2
的大小关系为 ( )
A. y1 ＞ y2
B. y1 = y2
C. y1 ＜ y2
D. 无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的表达式为 ，因为 6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分上，根据 ＞5，可知 y1，y2 的大小关系.
例1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为点 A (2，6) 在第一象限，所以这个函数的
图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点 B(3，4)，C( ， )，D(2，5)是否在这个
函数的图象上？
解：设这个反比例函数的表达式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k = 12.
因为点 B，C 的坐标都满足该表达式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以反比例函数的表达式为 .
(1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围
是什么？
O
x
y
例2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一
支位于第一象限，所以另一支
必位于第三象限.
由因为这个函数图象位于第一、
三象限，所以 m－5＞0，解得 m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5＞0，所以在这个函数图象的任一支
上，y 都随 x 的增大而减小，因此当 x1＞x2 时，
y1＜y2.
2．已知反比例函数 的图象在第一、三象限内，则 m 的取值范围是________.
1. 反比例函数 的图象在 ( )
A. 第一、二象限 B. 第一、三象限
C. 第二、三象限 D.第二、四象限
B
3.在反比例函数　　 (k>0)的图象上有两点 A( x1，y1 )，
B( x2，y2 ) 且 x1 > x2 > 0，则 y1 - y2 的值为 ( )
A．正数 B．负数
C．非正数 D．非负数
B
4. 已知反比例函数 y = mxm －5，它的两个分支分别在
第一、第三象限，求 m 的值.
解：因为反比例函数 y = mxm －5 的两个分支分别在第
一、第三象限，
所以有
m2－5 = －1，
m＞0，
解得 m = 2.
5.已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的表达式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入表达式，得 ，
　　
解得 k = 6.
∴ 这个函数的表达式为 .　　
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的表达
式，因为点 B 的坐标不满足该表达式，点 C
的坐标满足该表达式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3 时，y =－2；
当 x =－1 时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
知识点1 反比例函数 的图象
1.［2025株洲期中］反比例函数 的大致图象是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.［教材P5“探究”变式］下列各点中，在反比例函数 图象上的是
( )
B
A. B. C. D.
返回
3.反比例函数为常数，且 的图象位于( )
A
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
返回
4.［2025长沙月考］若反比例函数 的图象位于第一、三象限，
则 的取值范围是_______.
返回
知识点2 反比例函数 的性质
5.下列关于反比例函数 的图象的对称性的叙述错误的是( )
D
A.关于原点中心对称 B.关于直线 对称
C.关于直线对称 D.关于 轴对称
返回
（第6题）
6.如图，反比例函数的图象经过点 ，
则以下说法错误的是( )
C
A.
B.图象经过点
C.当时，
D.当时，随 的增大而减小
返回
7.如图，反比例函数的图象经过点，当时， 的取
值范围是_______.
（第7题）
返回
8.若点,都在反比例函数的图象上，则， 的大小关系
是___（填“ ”“”或“ ”）.
返回
9.［教材P7“练习”变式］ 已知反比例函数 .
（1）完成表格，并在如图的平面直角坐标系中画出该函数图象；
… 1 2 3 4 …
… …
解：表格完成如下：
… 1 2 3 4 …
… 4 2 1 …
画出函数图象如图所示：
（2）根据图象回答：当时， 的取值范围是_______；
（3）根据图象回答：当时， 的取值范围是_____________.
或
返回
10.［2024天津中考］若点,, 都在反比例函数
的图象上，则,, 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
返回
性质：在每个象限内，y随 x 的增大而减小
图象：分别位于第一、三象限
图象的画法（描点法）：列表、描点、连线
反比例函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！