1.2.2反比例函数y=k÷x（k＜0）的图象与性质 课件（共35张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共35张PPT)
1.2.2 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象与性质教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：1.2.2 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象与性质
副标题：初中数学 [对应年级]
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习引入
复习回顾：上节课我们学习了当\(k 0\)时，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象是位于第一、三象限的双曲线，在每一个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小，且图象关于原点和直线\(y= ±x\)对称。
问题提出：当\(k 0\)时，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象会有怎样的变化？它的位置、增减性等性质与\(k 0\)时是否相同？本节课我们将重点探究\(k 0\)时反比例函数的图象与性质。
学习意义：通过对比\(k 0\)和\(k 0\)时反比例函数的图象与性质，能全面掌握反比例函数的特征，提高分析和比较能力，为灵活运用反比例函数解决问题奠定基础。
第 3 页：学习目标
知识目标：会用描点法画出反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象；理解其图象的形状和位置特征；掌握当\(k 0\)时反比例函数的增减性等性质；能对比\(k 0\)和\(k 0\)时的异同。
能力目标：通过动手绘制图象、观察分析和对比归纳，培养动手操作能力、数形结合能力和对比分析能力；能运用\(k 0\)时的性质解决相关问题。
情感目标：在探究和对比的过程中，感受数学的规律性和严谨性，体会分类讨论思想的重要性，激发对函数学习的持续兴趣。
第 4 页：知识点 1—— 绘制反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象
描点法步骤：
确定函数关系式：以\(y=-\frac{6}{x}\)为例（\(k=-6 0\)）。
列表取值：在自变量取值范围\(x 0\)内，选取互为相反数的\(x\)值，计算对应的\(y\)值。如：
\(x\)
-6
-3
-2
-1
1
2
3
6
\(y\)
1
2
3
6
-6
-3
-2
-1
描点：在平面直角坐标系中，根据表格中的对应值描出各点\((x,y)\)。
连线：用平滑的曲线依次连接各点，注意图象不与坐标轴相交。
注意事项：取值需涵盖正负，体现对称性；连线时保持曲线平滑，区分与\(k 0\)时图象的差异。
第 5 页：知识点 2—— 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象形状与位置
图象形状：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象仍是由两条曲线组成的双曲线。
所在象限：当\(k 0\)时，反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象位于第二、四象限。
原因分析：当\(k 0\)时，\(xy=k 0\)，即\(x\)和\(y\)异号。当\(x 0\)时，\(y 0\)，对应图象在第四象限；当\(x 0\)时，\(y 0\)，对应图象在第二象限。
图象特征：双曲线关于原点对称；图象与\(x\)轴、\(y\)轴无交点（因\(x 0\)，\(y 0\)）；向坐标轴无限延伸，但永不相交。
对比\(k 0\)：形状相同（均为双曲线），但所在象限不同（\(k 0\)在一、三象限，\(k 0\)在二、四象限）。
第 6 页：例题 1—— 判断反比例函数图象的位置
例 1：反比例函数\(y=-\frac{3}{x}\)的图象位于哪些象限？为什么？
解析：∵在反比例函数\(y=-\frac{3}{x}\)中，\(k=-3 0\)，根据图象位置特征，当\(k 0\)时，图象位于第二、四象限。∴该函数图象位于第二、四象限。
例 2：已知反比例函数\(y=\frac{2m - 1}{x}\)的图象位于第二、四象限，求\(m\)的取值范围。
解析：∵反比例函数图象位于第二、四象限，∴\(k 0\)，即\(2m - 1 0\)，解得\(m \frac{1}{2}\)。∴\(m\)的取值范围是\(m \frac{1}{2}\)。
第 7 页：知识点 3—— 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的增减性
性质描述：当\(k 0\)时，在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象所在的每一个象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
理解要点：
“每一个象限内”：增减性针对同一象限内的点，不能跨象限比较。例如在\(y=-\frac{6}{x}\)中，第二象限内\(x\)增大\(y\)增大，第四象限内\(x\)增大\(y\)增大，但不能说\(x\)从负数增大到正数时\(y\)随\(x\)的增大而增大。
变化趋势：在第二象限，双曲线从左到右逐渐上升；在第四象限，双曲线从左到右也逐渐上升。
实例验证：以\(y=-\frac{6}{x}\)为例，在第二象限内，当\(x=-3\)时\(y=2\)，\(x=-2\)时\(y=3\)，\(x\)增大（从 - 3 到 - 2）\(y\)增大（从 2 到 3）；在第四象限内，当\(x=2\)时\(y=-3\)，\(x=3\)时\(y=-2\)，\(x\)增大\(y\)增大。
对比\(k 0\)：增减性相反（\(k 0\)时减小，\(k 0\)时增大），且均需强调 “同一象限”。
第 8 页：例题 2—— 应用增减性比较函数值大小
例 3：已知反比例函数\(y=-\frac{4}{x}\)，比较下列各组中两个函数值的大小：
（1）\(y_1\)（\(x_1=2\)）和\(y_2\)（\(x_2=4\)）
（2）\(y_3\)（\(x_3=-3\)）和\(y_4\)（\(x_4=-1\)）
解析：
（1）∵\(k=-4 0\)，且\(2 4\)，两点都在第四象限，根据增减性，在第四象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大，∴\(y_1 y_2\)（\(x=2\)时\(y=-2\)，\(x=4\)时\(y=-1\)，\(-2 -1\)）。
（2）∵\(k=-4 0\)，且\(-3 -1\)，两点都在第二象限，根据增减性，在第二象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大，∴\(y_3 y_4\)（\(x=-3\)时\(y=\frac{4}{3}\)，\(x=-1\)时\(y=4\)，\(\frac{4}{3} 4\)）。
例 4：已知点\(A(x_1,y_1)\)、\(B(x_2,y_2)\)在反比例函数\(y=-\frac{5}{x}\)的图象上，且\(x_1 x_2 0\)，比较\(y_1\)和\(y_2\)的大小。
解析：∵\(k=-5 0\)，图象在第二、四象限。∵\(x_1 x_2 0\)，∴点\(A\)、\(B\)都在第二象限。根据增减性，在第二象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大，且\(x_1 x_2\)，∴\(y_1 y_2\)。
第 9 页：知识点 4—— 反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的对称性
中心对称：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象仍关于原点成中心对称。即若点\((a,b)\)在图象上，则点\((-a,-b)\)也在图象上。
轴对称：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象关于直线\(y=x\)和\(y=-x\)成轴对称。即若点\((a,b)\)在图象上，则点\((b,a)\)和\((-b,-a)\)也在图象上。
实例验证：在\(y=-\frac{6}{x}\)中，点\((-2,3)\)在图象上，则点\((2,-3)\)（中心对称）、\((3,-2)\)（关于\(y=x\)对称）、\((-3,2)\)（关于\(y=-x\)对称）也在图象上。
对比\(k 0\)：对称性完全相同，与\(k\)的正负无关。
第 10 页：例题 3—— 利用对称性解决问题
例 5：已知点\((-2,4)\)在反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象上，求\(k\)的值，并判断点\((2,-4)\)和\((4,-2)\)是否在该图象上。
解析：将点\((-2,4)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(4=\frac{k}{-2}\)，解得\(k=-8\)，∴函数关系式为\(y=-\frac{8}{x}\)。∵图象关于原点对称，点\((-2,4)\)关于原点的对称点是\((2,-4)\)，∴点\((2,-4)\)在图象上（验证：\(x=2\)时\(y=-\frac{8}{2}=-4\)）。∵图象关于\(y=x\)对称，点\((-2,4)\)关于\(y=x\)的对称点是\((4,-2)\)，∴点\((4,-2)\)在图象上（验证：\(x=4\)时\(y=-\frac{8}{4}=-2\)）。
例 6：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象经过点\((a,b)\)，其中\(a 0\)，\(b 0\)，写出该图象上另外三个点的坐标。
解析：∵图象关于原点对称，∴点\((a,b)\)关于原点的对称点\((-a,-b)\)在第四象限，且在图象上。∵图象关于\(y=x\)对称，∴点\((b,a)\)在第二象限（\(b 0\)，\(a 0\)），在图象上；点\((-b,-a)\)在第四象限，在图象上。∴另外三个点的坐标为\((-a,-b)\)、\((b,a)\)、\((-b,-a)\)。
第 11 页：知识点 5——\(k 0\)与\(k 0\)时反比例函数性质对比
相同点：
图象形状均为双曲线。
图象都关于原点中心对称，关于直线\(y=x\)和\(y=-x\)轴对称。
图象都不与\(x\)轴、\(y\)轴相交。
不同点：
性质类别
\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）
\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）
所在象限
第一、三象限
第二、四象限
增减性
在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而减小
在每一象限内，\(y\)随\(x\)的增大而增大
变量符号关系
\(x\)、\(y\)同号
\(x\)、\(y\)异号
第 12 页：例题 4—— 综合应用性质解决问题
例 7：已知反比例函数\(y=\frac{m - 2}{x}\)，当\(x 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，求\(m\)的取值范围，并判断该函数图象所在的象限。
解析：∵当\(x 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大，∴该反比例函数在相应象限内是增函数，即\(k 0\)。∴\(m - 2 0\)，解得\(m 2\)。∵\(k 0\)，∴函数图象位于第二、四象限。
例 8：已知点\(A(1,y_1)\)、\(B(3,y_2)\)、\(C(-2,y_3)\)在反比例函数\(y=-\frac{6}{x}\)的图象上，比较\(y_1\)、\(y_2\)、\(y_3\)的大小。
解析：∵\(k=-6 0\)，图象在第二、四象限。点\(A\)、\(B\)的\(x 0\)，在第四象限，\(y\)随\(x\)的增大而增大，∵\(1 3\)，∴\(y_1 y_2 0\)。点\(C\)的\(x=-2 0\)，在第二象限，\(y_3 0\)。∴\(y_1 y_2 y_3\)。
第 13 页：课堂练习
练习 1：画出反比例函数\(y=-\frac{4}{x}\)的图象，并说明其图象位于哪些象限。
练习 2：已知反比例函数\(y=-\frac{5}{x}\)，当\(x_1=2\)，\(x_2=5\)时，比较\(y_1\)和\(y_2\)的大小；当\(x_3=-4\)，\(x_4=-1\)时，比较\(y_3\)和\(y_4\)的大小。
练习 3：若反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)（\(k 0\)）的图象经过点\((-3,2)\)，求\(k\)的值，并判断点\((1,-6)\)是否
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
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1.2.2反比例函数y=k÷x（k＜0）的图象与性质
第1章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察与思考
问题 下表是一个反比例函数的部分取值，想一想这些点如果在平面直角坐标系中，那么会是怎样的一种情况呢？可以试着动手画一画．
x -6 -3 -2 -1 1 2 3 6
y 1 2 3 6 -6 -3 -2 -1
反比例函数 图象与性质
例1 画反比例函数 的图象.
解析：通过上节课学习可知画图象的三个步骤为
列表
描点
连线
需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0．
解：列表如下
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y … 0.8 1 2 4 -4 -2 -1 -0.8 …
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得 　 的图象．
1
2
3
4
5
6
-1
-3
-2
-4
-5
-6
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-6
-5
5
6
y
x
y =
x
4
O
　　
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　图象的画法与 图象的画法类似，但在解题的时候要注意图象所在的象限．
方法归纳
观察与思考
当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数
(k＜0) 的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
知识要点
归纳：
(1) 当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 (k ≠ 0) 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定反比例函数图象的位置和增减性
点 (2，y1) 和 (3，y2) 均在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“＞”“＜”或“=”).
＜
练一练
例2 反比例函数 的图象大致是（ ）
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
典例精析
D
例3 如图是反比例函数 的图象，根据图象，回答下列问题：
（1）k 的取值范围是 k＞0 还是 k＜0？说明理由；
x
y
o
由图可知，反比例函数的图象的
两支双曲线分别位于第一三象限
内，在每个象限内，函数值 y 随自
变量 x 的增大而减小，因此，k＞0.
（2）如果点 A（-3，y1），B（-2，y2）是该函数上的两点，试比较 y1、y2 的大小.
x
y
o
因为点 A（-3，y1），B（-2，y2）
是该图象上的两点，且-3 < 0，-2 < 0，
所以点 A，B 都位于第三象限.又因为
-3 < -2，由反比例函数图象的性质
可知：y1 > y2
例4 若双曲线 y = 的两个分支分别在第二、四象限，则 k 的取值范围是( )
A. k＞ B. k＜
C. k = D.不存在
解析：反比例函数图象的两个分支分别在第二、四象限，则必有 2k - 1＜0，解得 k＜ . 故选 B.
B
例5 已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值.
解：由题意得 a2 + a－7 =－1，且 a－1＜0．
解得 a =－3.
双曲线的概念及性质
问题：观察前面绘制出来的图象，想一想它们有什么样的共同点与特征呢？
x
y
x
y
双曲线
O
O
是轴对称图形，也是
以原点为对称中心的中
心对称图形．
例6 如图，已知直线 y = mx 与双曲线 的一个交点坐标为(-1，3)，则它们的另一个交点坐标是 ( )
A. (1，3) B. (3，1)
C. (1，-3) D. (-1，3)
x
y
C
O
例7 点(2，y1)和(3，y2)在函数 上，
则 y1 y2．（填“>”“<”或“=”）
<
解析：由题意知该反比例函数位于第二、四象限，且 y 随着自变量 x 的增大而增大，故 y1＜y2．
１．若反比例函数 的图象分别位于第二、四象限，则 k 的取值可能是 ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
A
2. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( )
O
x
y
A
O
x
y
B
O
x
y
C
O
x
y
D
B
知识点1 反比例函数 的图象
1.［2025长沙校级月考］当时，反比例函数 的图象大致是
( )
B
A. B. C. D.
返回
2.反比例函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
3.反比例函数的图象在第二、四象限，则 的取值范围是______.
返回
4.［教材P9“练习”变式］ 反比例函数的图象经过点 .
（1）求 的值；
解：把点的坐标代入，得 .
（2）在如图的坐标系内画出该函数的图象；
解：反比例函数 的图象如图所示.
（3）当时，直接写出 的取值范围.
解：当时， .
返回
知识点2 反比例函数 的性质
5.对于反比例函数 ，下列说法正确的是( )
D
A.点 在它的图象上 B.它的图象在第三、四象限
C.当时，随的增大而减小 D.当时，随 的增大而增大
返回
6.［2025常德月考］已知点，都在反比例函数 的
图象上，且，则与 的大小关系为( )
C
A. B. C. D.
返回
7.若的取值范围如图所示，则反比例函数 的图象的每一个分
支，随 的增大而______.
增大
返回
8.［教材P10“例2”变式］已知反比例函数 的图象如图所示：
（1） 的值是____.
（2）你认为点 在这个函数的图象上吗？
______（填“在”或“不在”）.
不在
（3）在第二象限内，随 的增大而______
（填“增大”或“减小”）.
增大
返回
9.函数 的图象在( )
B
A.第一、三象限 B.第二、四象限 C.第一、二象限 D.第三、四象限
返回
10.下列关于反比例函数 的描述不正确的是( )
C
A.图象的两个分支与坐标轴永不相交
B.图象与直线 的两个交点关于坐标原点对称
C.函数值总是随自变量 的增大而增大
D.若点在函数的图象上，则点 也在函数的图象上
返回
反比例函数 (k ≠ 0) k k ＞ 0 k ＜ 0
图象
性质
图象位于第一、三象限
图象位于第二、四象限
在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每个象限内，y 随
x 的增大而增大
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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