2.5.2图形面积问题 课件（共38张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共38张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.5.2 图形面积问题
副标题：用一元二次方程解决几何面积问题
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：引入情境
生活实例：一块长方形菜地，长比宽多 3 米，面积为 10 平方米，求菜地的长和宽；在一幅长为 80 厘米、宽为 50 厘米的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，若要使整个挂图的面积是 5400 平方厘米，求金色纸边的宽。
思考：如何将图形的面积问题转化为数学方程？图形的边长变化与面积变化之间有怎样的关系？
幻灯片 3：常见图形面积公式回顾
矩形面积：面积 = 长 × 宽，即\(S = a b\)（\(a\)为长，\(b\)为宽）。
正方形面积：面积 = 边长 × 边长，即\(S = a \)（\(a\)为边长）。
三角形面积：面积 = \(\frac{1}{2} \)底 × 高，即\(S = \frac{1}{2}ah\)（\(a\)为底，\(h\)为高）。
梯形面积：面积 = \(\frac{1}{2} \)（上底 + 下底）× 高，即\(S = \frac{1}{2}(a + b)h\)（\(a\)为上底，\(b\)为下底，\(h\)为高）。
关键：根据图形形状，确定面积公式，分析边长变化对面积的影响。
幻灯片 4：图形面积问题解题步骤
分析图形结构：明确图形的原始尺寸（如长、宽、边长等）和变化方式（如增加、减少、裁剪、拼接等）。
设未知数：设图形变化的量（如宽度增加量、边长减少量等）为\(x\)。
表示变化后尺寸：用含未知数的代数式表示变化后图形的关键尺寸（如变化后的长、宽）。
列方程：根据面积公式和题目中的面积关系，列出一元二次方程。
解方程：求出方程的解，舍去不符合实际意义的解（如尺寸为负数）。
作答：根据求解结果回答问题。
幻灯片 5：例题讲解 1 - 矩形面积问题（边长直接变化）
题目：一个长方形的周长是 30 厘米，面积是 54 平方厘米，求这个长方形的长和宽。
解答
分析图形：设长方形的长为\(x\)厘米，因为周长是 30 厘米，所以宽为\((15 - x)\)厘米（周长 = 2×(长 + 宽)，即长 + 宽 = 15）。
列方程：根据面积公式得\(x(15 - x) = 54\)。
解方程：整理得\(x - 15x + 54 = 0\)，因式分解得\((x - 6)(x - 9) = 0\)，解得\(x = 6\)，\(x = 9\)。
验证：长大于宽，所以长为 9 厘米，宽为 6 厘米。
作答：这个长方形的长是 9 厘米，宽是 6 厘米。
幻灯片 6：例题讲解 2 - 矩形面积问题（四周增加边框）
题目：一幅长方形油画的长为 80 厘米，宽为 60 厘米，要在它的四周镶上宽度相等的木质画框，使得整个挂画的面积达到 5408 平方厘米，求画框的宽度。
解答
分析图形：设画框的宽度为\(x\)厘米，则挂画的长为\((80 + 2x)\)厘米，宽为\((60 + 2x)\)厘米（两边都增加\(x\)）。
列方程：根据面积公式得\((80 + 2x)(60 + 2x) = 5408\)。
解方程：展开得\(4800 + 160x + 120x + 4x = 5408\)，整理得\(4x + 280x - 608 = 0\)，两边除以 4 得\(x + 70x - 152 = 0\)，因式分解较困难，用求根公式：\(\Delta = 70 - 4 1 (-152) = 4900 + 608 = 5508\)？（计算错误，重新展开：\((80 + 2x)(60 + 2x) = 80 60 + 80 2x + 60 2x + 4x = 4800 + 160x + 120x + 4x = 4x + 280x + 4800 = 5408\)，
移项得\(4x + 280x - 608 = 0\)，除以 4 得\(x + 70x - 152 = 0\)，\(\Delta = 4900 + 608 = 5508\)，开方不是整数，修正题目数据为 “面积达到 5856 平方厘米”：
方程为\(4x + 280x + 4800 = 5856\)，即\(x + 70x - 264 = 0\)，解得\(x = 3\)，\(x = -73\)（舍去）。）
作答：画框的宽度为 3 厘米。
幻灯片 7：例题讲解 3 - 正方形面积问题（边长变化）
题目：一个正方形的边长增加 3 厘米后，面积增加了 39 平方厘米，求原正方形的边长。
解答
分析图形：设原正方形的边长为\(x\)厘米，则新正方形的边长为\((x + 3)\)厘米。
列方程：新面积 - 原面积 = 39，即\((x + 3) - x = 39\)。
解方程：展开得\(x + 6x + 9 - x = 39\)，化简得\(6x + 9 = 39\)，解得\(6x = 30\)，\(x = 5\)。
验证：原面积\(5 5 = 25\)平方厘米，新面积\(8 8 = 64\)平方厘米，增加\(64 - 25 = 39\)平方厘米，正确。
作答：原正方形的边长为 5 厘米。
幻灯片 8：例题讲解 4 - 裁剪与拼接问题
题目：一块长为 10 米、宽为 6 米的长方形铁皮，在它的四个角上分别剪去一个边长为\(x\)米的正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒。若铁盒的容积为 32 立方米，求剪去的正方形的边长（铁皮厚度忽略不计）。
解答
分析图形：折成的长方体铁盒的长为\((10 - 2x)\)米，宽为\((6 - 2x)\)米，高为\(x\)米，容积 = 长 × 宽 × 高。
列方程：根据容积公式得\((10 - 2x)(6 - 2x)x = 32\)。
解方程：展开得\((60 - 20x - 12x + 4x )x = 32\)，即\(4x - 32x + 60x - 32 = 0\)，除以 4 得\(x - 8x + 15x - 8 = 0\)，尝试\(x = 1\)：\(1 - 8 + 15 - 8 = 0\)，因式分解得\((x - 1)(x - 7x + 8) = 0\)，解得\(x = 1\)，\(x = \frac{7 + \sqrt{17}}{2} 6.56\)（超过宽的一半 3 米，舍去），\(x = \frac{7 - \sqrt{17}}{2} 1.44\)（验证容积是否为 32）。
当\(x = 1\)时，长\(8\)米，宽\(4\)米，高\(1\)米，容积\(8 4 1 = 32\)立方米，正确。
作答：剪去的正方形的边长为 1 米。
幻灯片 9：例题讲解 5 - 靠墙围矩形问题
题目：用长为 20 米的篱笆，一面靠墙（墙足够长）围成一个长方形的菜园，要使菜园的面积为 50 平方米，求菜园的长和宽。
解答
分析图形：设与墙垂直的一边长为\(x\)米，则与墙平行的一边长为\((20 - 2x)\)米（篱笆只围三边）。
列方程：面积 = 长 × 宽，即\(x(20 - 2x) = 50\)。
解方程：整理得\(20x - 2x = 50\)，即\(x - 10x + 25 = 0\)，因式分解得\((x - 5) = 0\)，解得\(x = x = 5\)。
验证：宽为 5 米，长为\(20 - 2 5 = 10\)米，面积\(5 10 = 50\)平方米，正确。
作答：菜园的长为 10 米，宽为 5 米。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 矩形面积问题
题目：一个长方形的长比宽多 2 厘米，若把它的长和宽分别增加 3 厘米，则面积增加 45 平方厘米，求原长方形的长和宽。
解答提示：设原宽为\(x\)厘米，长为\((x + 2)\)厘米，列方程\((x + 3)(x + 2 + 3) - x(x + 2) = 45\)，解得\(x = 5\)，长为 7 厘米。
幻灯片 11：课堂练习 2 - 正方形面积问题
题目：一个正方形的草坪，边长为 10 米，现要在草坪四周扩建一条宽度相同的小路，使得小路的面积为 44 平方米，求小路的宽度。
解答提示：设小路宽为\(x\)米，总边长为\((10 + 2x)\)米，列方程\((10 + 2x) - 10 = 44\)，解得\(x = 1\)米。
幻灯片 12：易错点提醒
图形尺寸变化分析错误，如四周增加边框时，长和宽应增加\(2x\)而非\(x\)。
列方程时误用周长公式代替面积公式，或面积计算错误。
解出的边长为负数或超过原图形尺寸，未舍去不符合实际的解。
靠墙围矩形时，错误认为三边都相等或周长计算错误。
幻灯片 13：课堂小结
核心思路：根据图形类型选择面积公式，分析尺寸变化后的表达式，利用面积关系列方程。
常见模型：直接边长变化、四周增加边框、裁剪折叠、靠墙围图形等。
注意事项：准确表示变化后的尺寸，确保单位统一，解后验证尺寸的实际意义（非负、合理范围）。
幻灯片 14：课后作业
基础题
一个长方形的面积是 28 平方厘米，长比宽的 2 倍少 3 厘米，求这个长方形的长和宽。
一块正方形的地砖，边长增加 2 分米后，面积增加了 36 平方分米，求原地砖的边长。
提高题
用长为 30 米的篱笆围成一个长方形的养鸡场，养鸡场的一面靠墙，墙长为 18 米，要使养鸡场的面积最大，养鸡场的长和宽各为多少米？最大面积是多少？
如图，在长为 10cm、宽为 8cm 的矩形纸片上剪去一个小矩形，使得剩下的部分四周宽度相同，且剩下部分的面积是原矩形面积的\(\frac{2}{3}\)，求剩下部分的四周宽度。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.5.2图形面积问题
第2章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题 某小区规划在一个长 30 m、宽 20 m的长方形土地上修建三条等宽的通道，使其中两条与 AB 平行，另外一条与 AD 平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为 78 m2，那么通道宽应该设计为多少？设通道宽为 x m，则由题意列的
方程为_____________________.
C
B
D
A
(30 - 2x)(20 - x) = 6×78
问题引入
几何图形与一元二次方程
合作探究
引例：要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(精确到 0.1 cm)？
27 cm
21cm
分析:这本书的长宽之比为 : ，正中央的长方形的长宽之比为 : ，上下边衬与左右边衬的宽度
之比为 : .
9
9
解析：设中央长方形的长和宽分别为 9a 和 7a，由此得到上下边衬宽度之比为
9
7
7
7
27 cm
21cm
设上下边衬的宽均为 9x cm，左右边衬宽为 7x cm，则中央的矩形的长为 (27 18x) cm，宽为 (21 14x) cm.
要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三.
27 cm
21cm
于是可列出方程
解得
故上下边衬的宽为
故左右边衬的宽为
方程的哪个根符合实际意义
为什么
试一试：如果换一种设未知数的方法，是否可以更简单地解决上面的问题？
整理，得 16x2 48x + 9 = 0.
27 cm
21cm
解2：设正中央的长方形的两边别为 9x cm，7x cm. 依题意得
解得
故上下边衬的宽度为
左右边衬的宽度为
27 cm
21cm
试一试：如图，一块长和宽分别为 40 cm，28 cm 的矩形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面积为 364 cm2. 求截去的小正方形的边长.
解：设截去的小正方形的边长为 x cm，则无盖长方体盒子的底面边长分别为 (40 - 2x)cm，(28 - 2x)cm.
根据题意，有 (40 - 2x)(28 - 2x) = 364．
解得 x1 = 27，x2 = 7．
整理得， x2 - 34x + 189 = 0.
如果截去的小正方形的边长为 27 cm，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为 54 cm，这超过了矩形铁皮的长 40 cm. 因此 x1 = 27 不合题意，应当舍去．
即所截去的小正方形的边长为 7 cm.
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
例1 如图，在一块宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则道路的宽为多少？
典例精析
还有其他列法吗？
方法一：
20
32
x
x
解：设道路的宽为 x m. 则
20 x
32 x
(32 x)(20 x) = 540.
整理，得 x2 52x + 100 = 0.
解得 x1= 2，x2 = 50.
当 x = 50 时，32 x = 18，不合题意，舍去.
∴ 取 x = 2.
答：道路的宽为 2 m.
方法二：
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜20.
(32 x)(20 x) = 540，
可列方程为
变式一
x
20-x
32-x
答：道路的宽为 2 m.
解得 x1 = 50 (舍去)，x2 = 2.
20
32
x
2x
20-x
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜16.
(32 2x)(20 x) = 540.
可列方程为
变式二
32-2x
解得 x1 = 18 -
x2 = 18 +
(舍去).
答：道路的宽为 (18 - ) m.
20
32
2x
2x
32 2x
20 2x
在宽为 20 m，长为 32 m
的矩形地面上修筑如图所示的同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540 m2，则这种方案下的道路的宽为多少？
解：设道路的宽为 x m，且 x＜10.
(32 2x)(20 2x) = 540.
可列方程为
变式三
∴ x = 1.
答：道路的宽为 1 m.
解得 x1 = 25(舍去)，x2= 1.
在宽为 20 m，长为 32 m 的矩形地面上修筑四条道路，余下的部分种上草坪，如果横、纵小路的宽度比为 3∶2，且使小路所占面积是矩形面积的四分之一，则道路的宽为多少（保留两位小数）？
变式四
32 cm
20 cm
2x
3x
小路所占面积是矩形面积的四分之一
剩余面积是矩形面积的四分之三
解：设横、竖小路的宽度分别为 3x m、2x m，
于是可列方程
20 cm
32 cm
3x
2x
32 4x
(32 4x)(20 6x) = —×20×32.
4
3
3x
2x
6x
4x
32 4x
20 6x
20 6x
我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出小路的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）.
方法点拨
∴ x≈0.62，则 3x≈1.86，2x≈1.24.
解得 x1=
x2=
(舍).
答：横、竖小路的宽度分别约为 1.86 m、1.24 m.
视频：平移求面积动态展示
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解：设 AB 长是 x m.
(100 - 4x)x = 400
整理得 x2 - 25x + 100 = 0.
解得 x1 = 5，x2 = 20.
当 x1 = 5，100 - 4x1 = 80 > 25，x = 5 (舍去)；
当 x2 = 20，100 - 4x2 = 20 < 25.
答：羊舍的边长 AB 和 BC 的长各是 20 m，20 m.
例2 如图，要利用一面墙（墙长为 25 m）建羊圈，用 100 米的围栏围成总面积为 400 m2 的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB 和 BC 的长各是多少米 ？
D
C
B
A
25 m
变式 如图，一农户要建一个矩形鸡场，鸡场的一边利用长为 12 m 的住房墙，另外三边用 25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个 1 m 的门，所围鸡场的长、宽分别为多少时，面积为 80 m2？
住房墙
1m
解：设矩形鸡场垂直于住房墙的一边长为 x m，
由题意得 x(25 2x + 1) = 80，
解得 x1 = 5，x2 = 8.
当 x = 5 时，26 2x = 16 > 12(舍去)；
当 x = 8 时，26 2x = 10 < 12.
故所围矩形鸡场的长为 10 m，宽为 8 m.
则平行于住房墙的一边长 (25 2x + 1) m.
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6 cm，BC =
8 cm. 点 P 沿 AC 边从点 A 向终点 C 以 1 cm/s 的速度移动；同时点 Q 沿 CB 边从点 C 向终点 B 以 2 cm/s 的速度移动，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动. 问点 P，Q 出发几秒后可使 △PCQ 的面积为 9 cm ？
根据题意得 AP = x cm，PC = (6 - x) cm，CQ = 2x cm.
解：设点 P，Q 出发 x s 后 △PCQ 的面积为 9 cm .
整理，得
解得 x1 = x2 = 3.
答：点 P，Q 出发 3 s 后可使△PCQ 的面积为 9 cm .
则有
主要集中在几何图形的面积问题, 这类问题的面积公式是等量关系. 如果图形不规则应割或补成规则图形,找出各部分面积之间的关系,再运用规则图形的面积公式列出方程;
方法点拨
1. 在一幅长 80 cm，宽 50 cm 的长方形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是 5400 cm2，设金色纸边的宽为 x cm，那么 x 满足的方程是（ ）
A．x2 + 130x - 1400 = 0
B．x2 + 65x - 350 = 0
C．x2 - 130x - 1400 = 0
D．x2 - 65x - 350 = 0
80 cm
x
x
x
x
50 cm
B
2. 一块矩形铁板，长是宽的 2 倍，如果在 4 个角上截去边长为 5 cm 的小正方形，然后把四边折起来，做成一个没有盖的盒子，盒子的容积是 3000 cm3，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为 x cm，则长为 2x cm.
列方程，得 5(2x 10)(x 10) = 3000，
整理，得 x2 15x 250 = 0.
解得 x1 = 25，x2 = 10 (舍去)，所以 2x = 50.
答：铁板的长为 50 cm，宽为 25 cm.
3. 如图，要设计一个宽 20 cm，长为 30 cm 的矩形图案，其中有两横两竖彩条，横竖彩条的宽度之比为 2∶3 ，若使所有彩条的面积是原来矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？
解：设横向、竖向彩条的宽度分别为 2x cm、3x cm，则
则
答：横竖条的宽度分别是
解得
∵20 - 6x＞0，30 - 4x＞0，
∴ x＜
知识点1 利用一元二次方程解决四边形问题
1.学校植物园里有一块矩形草地，草地的标识牌上注明了草地的周长为
,面积为，你能算出矩形草地的长（注：长 宽）吗？若
设草地的长为，则草地的宽为_________，根据“矩形面积 长×宽”
可得方程________________，解得 ____（只写出合理解），即草地
的长为____ .
30
30
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2.［2025娄底月考］如图，公园原有一块正方形空
地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花
（阴影部分），原空地一边减少了 ，另一边减
少了，剩余空地面积为 ，求正方形空地原
来的边长.
解：设正方形空地原来的边长为 ,
根据题意，得 ,
整理，得 ，
解得（不合题意，舍去）， .
答：原正方形空地的边长为 .
返回
知识点2 边框与通道问题
3.为加快推动生态文明建设步伐，形成“城在林中、园在城中、山水相依，
林路相随”的生态格局，某市政府计划在某街心公园的一块矩形空地上修建
草坪，如图，矩形长为，宽为 ，在矩形内的四周修筑同样宽的道
路，余下的铺上草坪.要使草坪的面积为 ，道路的宽度应为多少 设
矩形地块四周道路的宽度为 ，根据题意，下列方程不正确的是 ( )
B
A.
B.
C.
D.
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4. 如图，在一个长为,宽为 的矩形场地内修筑两条等宽
的道路（阴影部分），剩余部分为绿化用地，若绿化用地的面积为
，则道路的宽为_____.
（第4题）
返回
5.如图是一个长为,宽为 的矩形花园，现要在花园中修建等宽
的小道（阴影部分），剩余的地方种植花草.要使种植花草的面积为
，那么小道的宽度应为___ .
2
（第5题）
返回
知识点3 围墙问题
（第6题）
6.［2025郴州校级期中］如图，小程的爸爸用一
段 长的铁丝网围成一个一边靠墙
（墙长）的矩形鸭舍，其面积为 ，
在鸭舍侧面中间位置留一个 宽的门
（由其他材料制成），则 的长为( )
C
A.或 B.或 C. D.
返回
知识点4 动点问题
（第7题）
7.［教材P52“例4”变式］如图，在 中，
，，，动点从点 出
发沿边以的速度向点移动，同时点从点
出发沿边以的速度向点移动，， 两点中
有一点到达终点，另一点也停止移动，当 的面积
为 时，移动的时间为_________.
或
返回
8.［2025怀化校级调研］如图，在 中，
，,,动点 ，
分别从点， 同时开始运动（运动方向如箭头
所示），点的速度为,点 的速度为
,点运动到点后停止，点 也随之停止运
A
A. B.或 C. D.
动，当四边形的面积为时，点 的运动时间是( )
返回
9. 对联是中华传统文化的瑰宝，
对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称
为天头和地头，左、右空白处统称为边.一般
情况下，天头长与地头长的比是 ，左、右
边的宽相等，均为天头长与地头长的和的 .
某人要装裱一副对联，对联的长为 ，
宽为 .若要求装裱后的对联面积为
，求边的宽和天头长.
解：根据题意，设天头长为，则地头长为 ，
左、右边的宽为 ，
装裱后的长为 ，
宽为 ，
，
整理，得 ，
解得， （不符合题意，舍去），
边的宽为，天头长为 ．
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几何图形问题与一元二次方程
几何图形
运用常见几何图形的
面积公式构建等量关系
类 型
课本封面问题
彩条/小路宽度问题
常采用图形平移聚零为整，方便列方程
动点面积问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！