3.3 相似图形 课件（共39张PPT）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共39张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：3.3 相似图形
副标题：探索形状相同的图形世界
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
生活实例：观察下列各组图形 —— 大小不同的两张同底版照片、比例尺不同的两张中国地图、放大或缩小后的五角星图案、不同尺寸的正方形瓷砖。
思考：这些图形有什么共同特点？它们的形状相同，但大小不一定相同，这样的图形就是本节课要学习的相似图形。
幻灯片 3：相似图形的定义
定义：形状相同的图形叫做相似图形。
特征
相似图形的形状完全相同，与图形的大小、位置无关。
相似图形的对应角相等，对应边成比例（对于多边形而言）。
两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的。
反例：形状不同的图形不是相似图形，如正方形与长方形（边的比例不同）、圆与椭圆（曲率不同）。
幻灯片 4：相似图形的判断
判断方法：观察图形的形状是否完全相同，即对应部分的形状是否一致，不存在明显的角度偏差或形状扭曲。
示例
下列图形中是相似图形的有：①两个等边三角形；②两个等腰直角三角形；③两个正六边形；④半径不同的两个圆。
分析：①②③④中的图形形状均完全相同，属于相似图形。
幻灯片 5：相似多边形的定义
定义：两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。
相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。
表示方法：若多边形\(ABCDE\)与多边形\(A'B'C'D'E'\)相似，记作 “多边形\(ABCDE\)∽多边形\(A'B'C'D'E'\)”，读作 “多边形\(ABCDE\)相似于多边形\(A'B'C'D'E'\)”，其中对应顶点的字母要写在对应的位置上。
幻灯片 6：相似多边形的性质
性质 1：相似多边形的对应角相等。例如，若△\(ABC\)∽△\(A'B'C'\)，则∠\(A = A'\)，∠\(B = B'\)，∠\(C = C'\)。
性质 2：相似多边形的对应边成比例。例如，若四边形\(ABCD\)∽四边形\(A'B'C'D'\)，则\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{DA}{D'A'} = k\)（\(k\)为相似比）。
注意：相似多边形的性质是判断两个多边形是否相似的重要依据，也是解决相似多边形问题的关键。
幻灯片 7：例题讲解 1 - 判断相似多边形
题目：判断下列各组多边形是否相似，并说明理由。
（1）两个等边三角形
（2）两个矩形
（3）两个菱形
解答
（1）相似。理由：等边三角形的三个角都为\(60 °\)，对应角相等；三条边都相等，对应边的比相等（均为 1），所以两个等边三角形相似。
（2）不一定相似。理由：矩形的四个角都为\(90 °\)，对应角相等，但对应边的比不一定相等（如长为 4、宽为 2 的矩形与长为 3、宽为 1 的矩形，对应边比分别为\(\frac{4}{3}\)和\(\frac{2}{1}\)，不相等），所以两个矩形不一定相似。
（3）不一定相似。理由：菱形的四条边都相等，对应边的比相等，但对应角不一定相等（如一个菱形的内角为\(60 °\)和\(120 °\)，另一个菱形的内角为\(90 °\)，对应角不相等），所以两个菱形不一定相似。
幻灯片 8：例题讲解 2 - 利用相似多边形性质求边长和角度
题目：已知四边形\(ABCD\)∽四边形\(A'B'C'D'\)，相似比为\(2:3\)。
（1）若∠\(A = 60 °\)，则∠\(A' = \)______。
（2）若\(AB = 4cm\)，则\(A'B' = \)______。
（3）若\(BC = 5cm\)，\(C'D' = 9cm\)，则\(B'C' = \)，\(CD = \)。
解答
（1）∵四边形\(ABCD\)∽四边形\(A'B'C'D'\)，∴对应角相等，∠\(A' = A = 60 °\)。
（2）∵相似比为\(2:3\)，即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{2}{3}\)，\(AB = 4cm\)，∴\(\frac{4}{A'B'} = \frac{2}{3}\)，解得\(A'B' = 6cm\)。
（3）设\(B'C' = x\)，\(CD = y\)。∵\(\frac{BC}{B'C'} = \frac{2}{3}\)，\(BC = 5cm\)，∴\(\frac{5}{x} = \frac{2}{3}\)，解得\(x = 7.5cm\)。∵\(\frac{CD}{C'D'} = \frac{2}{3}\)，\(C'D' = 9cm\)，∴\(\frac{y}{9} = \frac{2}{3}\)，解得\(y = 6cm\)。
幻灯片 9：例题讲解 3 - 相似图形的实际应用
题目：在比例尺为\(1:500\)的图纸上，测得一个三角形花坛的边长分别为\(3cm\)、\(4cm\)、\(5cm\)，求这个花坛的实际边长和实际周长。
解答：图纸上的图形与实际图形是相似图形，相似比为\(1:500\)。
实际边长分别为：\(3 500 = 1500cm = 15m\)，\(4 500 = 2000cm = 20m\)，\(5 500 = 2500cm = 25m\)。
实际周长为：\(15 + 20 + 25 = 60m\)。
答：这个花坛的实际边长分别为 15m、20m、25m，实际周长为 60m。
幻灯片 10：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
下列图形中，一定是相似图形的是（ ）
A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个正方形 D. 两个平行四边形
已知△\(ABC\)∽△\(DEF\)，相似比为\(1:2\)，若∠\(B = 50 °\)，则∠\(E = \)；若\(BC = 3cm\)，则\(EF = \)。
答案
C（正方形的对应角相等，对应边成比例）
\(50 °\)，\(6cm\)（相似多边形对应角相等，对应边成比例）
幻灯片 11：课堂练习 2 - 能力提升
题目：一个多边形的边长分别为\(3cm\)、\(4cm\)、\(5cm\)、\(6cm\)，另一个与它相似的多边形的最长边为\(18cm\)，求这个相似多边形的其他各边的长度。
解答提示：两个多边形相似，相似比为原多边形最长边与新多边形最长边的比，即\(\frac{6}{18} = \frac{1}{3}\)。设其他各边长度分别为\(x\)、\(y\)、\(z\)，则\(\frac{3}{x} = \frac{1}{3}\)，\(\frac{4}{y} = \frac{1}{3}\)，\(\frac{5}{z} = \frac{1}{3}\)，解得\(x = 9cm\)，\(y = 12cm\)，\(z = 15cm\)。
幻灯片 12：易错点提醒
误认为形状相似的图形就是相似图形，忽略 “对应角相等、对应边成比例” 的本质条件。
对相似多边形的表示方法不规范，对应顶点的字母未写在对应的位置上，导致对应边和对应角判断错误。
计算相似比时，混淆前后顺序，将相似比写成后项与前项的比。
在解决实际问题时，未统一单位，导致计算错误。
幻灯片 13：课堂小结
相似图形的定义：形状相同的图形叫做相似图形。
相似多边形的定义：对应角相等、对应边成比例的边数相同的多边形。
相似多边形的性质：对应角相等，对应边成比例。
相似比：相似多边形对应边的比，是解决相似问题的重要参数。
实际应用：主要用于比例尺问题，通过相似比计算实际长度或图纸长度。
幻灯片 14：课后作业
基础题
判断下列各组图形是否为相似图形：
（1）两个等腰直角三角形
（2）两个梯形
已知四边形\(ABCD\)∽四边形\(A'B'C'D'\)，相似比为\(3:4\)，若\(AB = 6cm\)，则\(A'B' = \)；若∠\(C = 100 °\)，则∠\(C' = \)。
提高题
一个矩形的长为\(8cm\)，宽为\(6cm\)，另一个与它相似的矩形的一条边为\(12cm\)，求这个矩形的另一条边的长度。
在比例尺为\(1:10000\)的地图上，一个正方形广场的边长为\(2cm\)，求这个广场的实际面积。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3 相似图形
第3章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 下面两张邮票有什么特点？有什么关系？
情境引入
问题2 哆啦 A 梦的 2 寸照片和 4 寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？
下面图形有什么相同和不同的地方？
相似图形
观察与思考
相同点：形状相同
不同点：大小不相同
直观上，把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似的.
归纳：
图形的放大
在两个大小不相等的相似图形中，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
图形的缩小
两个图形相似
图形的缩小
归纳：
你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？
思考：
放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
练一练
放大镜下的角与原图
形中角是什么关系
问题：下图中，右边的△ABC 是由左边的△ABC 放大得到的.这两个三角形相似吗？分别度量它们的三个角和三条边，它们的对应角相等吗？对应边成比例吗？
我发现这两个三角形相似，且它们的对应角相等，对应边成比例．
相似三角形
反过来，我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形．
由此得到相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
知识要点
A
B
C
C'
B'
A'
如果△ABC 与△ A'B'C' 相似，
记作：△ABC∽△ A'B'C'
读作：△ABC 相似于△ A'B'C'
注意：在写两个三角形相似时应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上
相似三角形对应边的比叫作相似比.
注意：三角形的前后次序不同，所得相似比不同.
一般地，若△ABC∽△ A'B'C'的相似比为 k，
则△ A'B'C' 与△ABC 的相似比为 .
若 k = 1 呢？
三角形全等是三角形相似的特例
例1 已知△ABC∽△ A'B'C'，且∠A = 48°，AB = 8，A'B' = 4，AC = 6. 求∠A' 的大小和 A'C' 的长.
A
B
C
A'
B'
C'
解： 因为 △ABC∽△A'B'C'
又∠A = 48°，AB = 8，
A'B' = 4，AC = 6
∴ ∠A' = 48°
∴ A'C' = 3
典例精析
相似多边形与相似比
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到银幕上的.
观察与思考
问题1 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
问题2 在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否对应成比例？
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫作相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的特征：
相似多边形的定义：
归纳：
相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于”
任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？
a1
a2
a3
an
…
分析：已知等边三角形的每个角都为 60°，三边都相等. 所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.
议一议
同理，任意两个正方形都相似.
归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.
…
a1
a2
a3
an
思考：
任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
例2 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x.
典例精析
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
在四边形 ABCD 中，
∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.
∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，
∴ 它们的对应角相等．由此可得
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴它们的对应边成比例，由此可得
解得 x＝28 cm.
，即 .
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度．
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
练一练
解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得
解得 a = 3，b = 4.5，c = 4，d = 6.
所以未知边 a，b，c，d 的长度分别为 3，4.5，4，6.
， ， ， ，
1. 下列图形中能够确定相似的是( )
A.两个半径不相等的圆 B.所有的等边三角形
C.所有的等腰三角形 D.所有的正方形
E.所有的等腰梯形 F.所有的正六边形
ABDF
2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得
甲、乙两地的距离是 5 cm，则甲、乙两地的实际
距离是( )
A. 3000 m B. 3500 m
C. 5000 m D. 7500 m
D
3. 如图所示的两个四边形是否相似？
答案：不相似.
4. 观察下面的图形 (a)~(g)，其中哪些是与图形 (1)、
(2) 或 (3) 相似的？
知识点1 相似图形
1.下列各组图形中，不相似的是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.下列图形不是相似图形的是( )
C
A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B.用放大镜将一个细小物体图案放大过程中原有图案和放大后的图案
C.某人的侧身照片和正面照片
D.大小不同的两张中国地图
返回
知识点2 相似三角形
3.如图，已知，点是的中点，， ，
则 ___.
（第3题）
返回
4.如图，在正方形网格中有两个相似三角形和，则
的度数为______.
（第4题）
返回
5.［2025岳阳校级调研］如图，已知 ，
，,, ，
.
（1）求和 的大小；
解： , ,
, ,
, .
（2）求 的长.
解：,,即，解得 .
返回
知识点3 相似多边形
6.下列多边形一定相似的是 ( )
D
A.两个菱形 B.两个平行四边形
C.两个矩形 D.两个正方形
返回
7.［教材P76“习题3.3”第2题变式］ 如图，四边形 四边形
，则___，____ .
83
返回
8.已知的三边长分别是5，6，7，与它相似的 的最短边长
为10，则 的周长是____.
36
返回
相似图形
相似三角形
概念
性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例
相似多边形
概念
性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例
相似比：相似图形对应边的比叫做相似比
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！