4.1.1正弦（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.1.1 正弦
副标题：探索直角三角形中锐角与边的关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：情境引入
实际问题：如图，为测量山坡上一棵大树的高度，我们无法直接攀登测量，但若已知山坡的倾斜角和树底部到观测点的水平距离，能否计算树的高度？
数学思考：在直角三角形中，锐角的大小与两条边的比值是否存在固定关系？这就是本节课要学习的三角函数 —— 正弦。
幻灯片 3：直角三角形中的边与角
基本概念：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A\)、∠\(B\)为锐角。
斜边：直角所对的边\(AB\)，记为\(c\)。
直角边：∠\(A\)的对边为\(BC\)，记为\(a\)；∠\(A\)的邻边为\(AC\)，记为\(b\)。
观察发现：对于固定的锐角∠\(A\)，无论直角三角形的大小如何变化，∠\(A\)的对边与斜边的比值始终保持不变。
幻灯片 4：正弦的定义
定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，我们把锐角∠\(A\)的对边与斜边的比叫做∠\(A\)的正弦，记作\(\sin A\)，即：\(
\sin A = \frac{ A è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}
\)
符号解读：“\(\sin\)” 是正弦的符号，读作 “赛因”，\(\sin A\)表示一个整体，不是\(\sin\)与\(A\)的乘积。
注意事项：
正弦的定义仅适用于直角三角形。
比值与直角三角形的大小无关，只与锐角的度数有关。
比值没有单位，是一个正数（因为边长为正数）。
幻灯片 5：正弦定义的应用
图形示例：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 3\)，\(AB = 5\)，则\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\)。
角度与正弦值的关系：锐角的正弦值随角度的增大而增大（后续会深入学习）。
特殊说明：对于∠\(B\)，同样有\(\sin B = \frac{ B è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}\)。
幻灯片 6：例题讲解 1 - 直接计算正弦值
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 4\)，\(BC = 3\)，求\(\sin A\)和\(\sin B\)的值。
解答：
由勾股定理得，\(AB = \sqrt{AC + BC } = \sqrt{4 + 3 } = 5\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = 3\)，斜边为\(AB = 5\)，因此\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{5}\)。
∠\(B\)的对边为\(AC = 4\)，斜边为\(AB = 5\)，因此\(\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}\)。
答：\(\sin A = \frac{3}{5}\)，\(\sin B = \frac{4}{5}\)。
幻灯片 7：例题讲解 2 - 已知正弦值求边长
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{2}{3}\)，斜边\(AB = 6\)，求∠\(A\)的对边\(BC\)的长度。
解答：
根据正弦的定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{3}\)。
已知\(AB = 6\)，代入得\(\frac{BC}{6} = \frac{2}{3}\)。
解得\(BC = 6 \frac{2}{3} = 4\)。
答：∠\(A\)的对边\(BC\)的长度为 4。
幻灯片 8：例题讲解 3 - 结合实际问题求正弦值
题目：如图，一个斜坡的倾斜角为∠\(A\)，斜坡上一点\(B\)到坡底\(C\)的垂直高度\(BC = 5m\)，斜坡长度\(AB = 10m\)，求∠\(A\)的正弦值。
解答：
由题意可知，Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A\)的对边\(BC = 5m\)，斜边\(AB = 10m\)。
根据正弦定义，\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}\)。
答：∠\(A\)的正弦值为\(\frac{1}{2}\)。
幻灯片 9：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AB = 13\)，\(BC = 5\)，则\(\sin A = \)，\(\sin B = \)。
若在 Rt△\(DEF\)中，∠\(F = 90 °\)，\(\sin D = \frac{3}{5}\)，\(DE = 10\)，则\(EF = \)______。
答案
\(\frac{5}{13}\)，\(\frac{12}{13}\)（由勾股定理得\(AC = 12\)，再根据定义计算）
6（\(\sin D = \frac{EF}{DE} = \frac{3}{5}\)，则\(EF = 10 \frac{3}{5} = 6\)）
幻灯片 10：课堂练习 2 - 能力提升
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = BC\)，求\(\sin A\)的值。
解答提示：
设\(AC = BC = a\)，由勾股定理得\(AB = \sqrt{a + a } = \sqrt{2}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，因此\(\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。
幻灯片 11：易错点提醒
混淆 “对边” 和 “邻边” 的概念，将∠\(A\)的邻边当作对边代入正弦公式。
忘记先求斜边长度，直接用两条直角边的比计算正弦值。
对正弦符号的理解错误，将\(\sin A\)拆分为\(\sin\)与\(A\)的乘积。
在非直角三角形中错误应用正弦的定义（正弦定义仅适用于直角三角形）。
幻灯片 12：课堂小结
正弦的定义：在 Rt△中，锐角的正弦等于它的对边与斜边的比，即\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)。
核心要点：
正弦值只与锐角的度数有关，与三角形的大小无关。
计算时需明确锐角的对边和斜边，必要时用勾股定理求边长。
正弦值是一个比值，没有单位，取值范围在\(0\)到\(1\)之间（因为对边小于斜边）。
应用方向：根据正弦定义计算锐角的正弦值，或已知正弦值和斜边求对边长度。
幻灯片 13：课后作业
基础题
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 6\)，\(AB = 10\)，求\(\sin A\)和\(\sin B\)的值。
已知在 Rt△\(XYZ\)中，∠\(Z = 90 °\)，\(\sin X = \frac{5}{13}\)，\(XZ = 12\)，求\(XY\)和\(YZ\)的长度。
提高题
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{1}{2}\)，\(BC = 2\)，求△\(ABC\)的周长和面积。
如图，在△\(ABC\)中，\(CD AB\)于点\(D\)，\(CD = 3\)，\(AB = 5\)，\(AC = 6\)，求\(\sin A\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1.1正弦
第4章 锐角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡角 (∠A )为 30°，为使
出水口的高度达到
35 m，需要准备多
长的水管？
情境引入
30°
正弦的概念
从上述情境中，你可以发现一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？
A
B
C
30°
35 m

合作探究
A
B
C
30°
35 m
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 35 m，求 AB.
根据“直角三角形中30°角所对的
边等于斜边的一半”，可知
∴ AB = 2BC = 2×35 = 70 (m).
故需要准备 70 m 长的水管.
如果出水口的高度为 50 m，那么需要准备多长的水管？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对
边与斜边的比都等于 .
归纳：
任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？
A
B
C
A'
B'
C'
因为∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC ∽Rt△A'B'C'. 所以
这说明，在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
归纳：
如图，在 直角三角形中，我们把锐角 α 的对边与斜边的比叫作∠ α 的正弦，记作 sin α ，即
例如，当∠α ＝30° 时，我们有
α
c
a
b
对边
斜边
归纳：
角 α 的对边
斜边
sin α =
(2)∠B 的对边是 AC，根据勾股定理，得 AC2 = AB2 - BC2 = 52 - 32 = 16.
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
BC = 3，AC = 5. （1）求 sin A 的值；
（2）求 sin B 的值.
A
B
C
5
3
典例精析
解：(1)∠A 的对边 BC = 3，斜边 AB = 5，于是
因此
于是 AC = 4.
sin A = ( )
sin A = ( )
1. 如图，判断对错：
A
10 m
6 m
B
C
√
×
练一练
sin B = ( )
×
sin A = 0.6 ( )
sin B = 0.8 ( )
√
√
2. 在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100
倍，sin A 的值 ( )
A. 扩大 100 倍 B. 缩小
C. 不变 D. 不能确定
C
例 2 如图，在平面直角坐标系内有一点 P (3，4)，连接 OP，求 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正弦值.
解：如图，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，则点 A (3，0)，AP = 4．
A (3，0)
在 Rt△APO 中，由勾股定理得
因此
α
方法总结：结合平面直角坐标系求某角的正弦函数值，一般过已知点向 x 轴或 y 轴作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解.
如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 sin α 等于 ( )
O
x
y
P (a，b)
α
A. B.
C. D.
练一练
D
正弦的简单应用
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， ，BC = 3，求 sin B 及 Rt△ABC 的面积.
A
B
C
提示：已知 sin A 及∠A 的对边 BC 的长度，可以求出斜边 AB 的长，然后再利用勾股定理，求出 AC 的长度，进而求出
sin B 及 Rt△ABC 的面积.
解：∵∠C = 90°， ∴
∴ AB = 3BC = 3×3 = 9.
∴
∴
∴
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，AB = c，则
BC = ck，
AC = ch.
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = k，sin B = h，BC = a，则
AB =
AC =
归纳：
1. 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则
AB 的长为 ( )
D
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
2. 在△ABC 中，∠C = 90°，如果 sin A = ，AB = 6，
那么 BC =_____.
2
练一练
例 4 在 △ABC 中，∠C = 90°，AC = 24 cm，sinA = ，求这个三角形的周长．
解：由 sin A = ，设 BC = 7x cm，则 AB = 25x cm.
即 24x = 24，解得 x = 1.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
∴ △ABC 的周长为 BC + AC + AB = 7 + 24 + 25 = 56 (cm).
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
方法总结：
已知一边及其邻角的正弦值时，一般需结合方程思想和勾股定理解决问题.
1. 在直角三角形 ABC 中，若三边长都扩大为原来的 2 倍，则锐角 A 的正弦值将 ( )
A. 扩大为原来的 2 倍 B.不变
C. 缩小为原来的 D. 无法确定
B
2. 如图，在△ABC 中，∠B = 90°，sin A 的值为( )
7
A
C
B
3
A. B. C. D.
A
3. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC
的值为 .
解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，∴ AB2＝BC2＋AC2．
∴ ∠ACB＝90°．
∴ sin∠ABC＝
知识点1 正弦的定义
（第1题）
1.［2025娄底月考］如图，在 中，
，，，则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
2.在中，各边都扩大为原来的5倍，则锐角 的正弦值( )
A
A.不变 B.扩大为原来的5倍
C.缩小为原来的 D.不能确定
返回
3.［教材P111“练习”第2题变式］ 如图，是锐角 的边上一点，
则 ___.
（第3题）
返回
知识点2 30°角的正弦值
4.［教材P111“练习”第1题变式］ 在等边三角形中,是边 上的
高, 则 __.
返回
5.如图，在中， ，，则____ .
60
返回
6.在中， ，，，则 的值为__.
返回
（第7题）
7.［2025长沙期中］如图，在 中，
，，则 的长是( )
B
A.3 B.6 C.8 D.9
返回
（第8题）
8.如图，将 放在每个小正方形边长均为1的网格中，
点，，均在格点上，则 的值是( )
B
A. B. C. D.
返回
正弦函数
正弦函数的概念
正弦函数的应用
已知边长求正弦值
已知正弦值求边长
∠A的对边
斜边
sin A =
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！