4.1.2特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.1.2 特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦
副标题：掌握特殊角正弦值及计算器使用方法
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾
正弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)。
思考问题：对于 30°、45°、60° 这些特殊的锐角，它们的正弦值是否有固定的数值？如何快速计算任意锐角的正弦值？本节课将解决这些问题。
幻灯片 3：30° 角的正弦值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 30 °\)，设\(BC = a\)。根据直角三角形中 30° 角所对的直角边是斜边的一半，可得\(AB = 2a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，斜边为\(AB = 2a\)。
根据正弦定义，\(\sin 30 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\)。
结论：\(\sin 30 ° = \frac{1}{2}\)。
幻灯片 4：45° 角的正弦值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 45 °\)，则∠\(B = 45 °\)，设\(AC = BC = a\)。由勾股定理得\(AB = \sqrt{a + a } = \sqrt{2}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，斜边为\(AB = \sqrt{2}a\)。
根据正弦定义，\(\sin 45 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)（分母有理化后）。
结论：\(\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。
幻灯片 5：60° 角的正弦值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，则∠\(B = 30 °\)，设\(AC = a\)。根据直角三角形中 30° 角所对的直角边是斜边的一半，可得\(AB = 2a\)。由勾股定理得\(BC = \sqrt{AB - AC } = \sqrt{(2a) - a } = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = \sqrt{3}a\)，斜边为\(AB = 2a\)。
根据正弦定义，\(\sin 60 ° = \frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}a}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
结论：\(\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
幻灯片 6：特殊角的正弦值总结
锐角 α
30°
45°
60°
\(\sin ±\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
记忆技巧：分母均为 2，分子分别为\(\sqrt{1}\)、\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)（对应 30°、45°、60°）。
重要说明：特殊角的正弦值是数学中常用的基础数据，需要准确记忆并熟练应用。
幻灯片 7：例题讲解 1 - 特殊角正弦值的直接应用
题目：计算下列各式的值。
（1）\(\sin 30 ° + \sin 45 °\) （2）\(2\sin 60 ° - \sin 30 °\)
解答：
（1）\(\sin 30 ° + \sin 45 ° = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}\)。
（2）\(2\sin 60 ° - \sin 30 ° = 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} = \sqrt{3} - \frac{1}{2}\)。
答：（1）\(\frac{1 + \sqrt{2}}{2}\)；（2）\(\sqrt{3} - \frac{1}{2}\)。
幻灯片 8：例题讲解 2 - 利用特殊角正弦值求边长
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，斜边\(AB = 8\)，求∠\(A\)的对边\(BC\)的长度。
解答：
已知∠\(A = 60 °\)，根据正弦定义\(\sin 60 ° = \frac{BC}{AB}\)。
代入数据得\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{8}\)。
解得\(BC = 8 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)。
答：\(BC\)的长度为\(4\sqrt{3}\)。
幻灯片 9：用计算器求锐角的正弦值
操作步骤：
确认计算器处于 “度” 模式（按 “DRG” 键切换，屏幕显示 “D”）。
输入锐角的度数。
按下 “sin” 键，即可得到该锐角的正弦值（结果通常保留四位小数）。
示例：求\(\sin 35 °\)的值。
操作：输入 “35”→按下 “sin”→显示结果约为\(0.5736\)。
结论：\(\sin 35 ° 0.5736\)。
幻灯片 10：例题讲解 3 - 用计算器求正弦值
题目：用计算器求下列锐角的正弦值（结果保留四位小数）。
（1）\(25 °\) （2）\(72 °30'\)
解答：
（1）按计算器操作：输入 “25”→“sin”，得到\(\sin 25 ° 0.4226\)。
（2）先将\(72 °30'\)转换为度：\(30' = 0.5 °\)，即\(72 °30' = 72.5 °\)。输入 “72.5”→“sin”，得到\(\sin 72 °30' 0.9537\)。
答：（1）\(0.4226\)；（2）\(0.9537\)。
幻灯片 11：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
填空：\(\sin 30 ° = \)，\(\sin 45 ° = \)，\(\sin 60 ° = \)______。
用计算器求下列正弦值（保留四位小数）：\(\sin 18 ° \)，\(\sin 55 ° \)。
答案
\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
0.3090，0.8192（具体数值以计算器为准，允许微小误差）
幻灯片 12：课堂练习 2 - 能力提升
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(B = 30 °\)，\(AB = 10\)，求\(AC\)的长度，并计算\(\sin B\)的值。
解答提示：
∠\(B = 30 °\)，∠\(B\)的对边为\(AC\)，根据\(\sin 30 ° = \frac{AC}{AB}\)，得\(AC = AB \sin 30 ° = 10 \frac{1}{2} = 5\)。
\(\sin B = \sin 30 ° = \frac{1}{2}\)。
幻灯片 13：易错点提醒
记忆特殊角正弦值时混淆数值，如将\(\sin 60 °\)记为\(\frac{1}{2}\)，\(\sin 30 °\)记为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)。
使用计算器时未将模式切换为 “度”，导致结果错误。
计算含有度分秒的锐角正弦值时，忘记将分秒转换为度。
在应用特殊角正弦值解决问题时，找错对应边的关系。
幻灯片 14：课堂小结
特殊角的正弦值：30°、45°、60° 的正弦值分别为\(\frac{1}{2}\)、\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，需准确记忆。
计算器求正弦值：
确认计算器处于 “度” 模式。
输入角度（度分秒需转换为度）。
按下 “sin” 键获取结果，结果通常保留四位小数。
核心应用：利用特殊角正弦值快速计算边长，用计算器解决非特殊角的正弦值计算问题。
幻灯片 15：课后作业
基础题
计算：\(3\sin 30 ° + \sin 60 ° - 2\sin 45 °\)。
用计算器求下列正弦值（保留四位小数）：\(\sin 42 °\)，\(\sin 85 °15'\)。
提高题
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(BC = 6\sqrt{3}\)，求斜边\(AB\)的长度和∠\(B\)的度数。
一个直角三角形的一个锐角为 45°，斜边长度为\(6\sqrt{2}\)，求这个锐角所对直角边的长度，并计算该锐角的正弦值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1.2特殊角的正弦、用计算器求锐角的正弦
第4章 锐角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
猜谜语
一对双胞胎，一个高，一个胖，
3个头，尖尖角，我们学习少不了
思考：你能说说伴随你九个学年的这副三角尺所具有的特点和功能吗？
情境引入
45°
45°
90°
60°
30°
90°
思考：你能用所写的知识，算出图中表示角度的三角函数值吗？
问题1：如何求 sin 45° 的值？
如图所示，构造一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A = 45°.
于是∠B = 45°.
从而 AC = BC．
根据勾股定理，得
AB2 = AC2 + BC2 = BC2 + BC2 = 2BC2.
于是 AB= BC.
因此
特殊角的正弦值
问题2：如何求 sin 60° 的值？
如图所示，构造一个 Rt△ABC，使∠B = 60°，则
∠A = 30°，从而 .
根据勾股定理得
AC2 = AB2 - BC2 = AB2 -
于是
因此
30°、45°、60° 角的正弦值如下表：
锐角a 三角 函数 30° 45° 60°
sin a
归纳：
例1 计算：sin230°－ sin45°＋sin260°
解： 原式
典例精析
通常我们把 (sin30°)2 简记为sin230°
利用计算器求正弦值
例如：求 50° 角的正弦值，可以在计算器上依次按键
，显示结果为0.766 0…
至此，我们已经知道了三个特殊角（30°，45°，60°）的正弦值，而对于一般锐角 α 的正弦值，我们可以利用计算器来求.
求 sin18°．
第一步：按计算器 键，
sin
第二步：输入角度值18，
屏幕显示结果sin18°=0.309 016 994
（也有的计算器是先输入角度再按函数名称键）.
操作演示
例2：用计算器求下列各式的值(精确到 0.0001)：
(1)sin 47°；　　　(2)sin 12°30′；
解：根据题意用计算器求出：
(1)sin 47° ≈ 0.7314.
(2)sin 12°30′ ≈ 0.2164.
典例精析
如果已知锐角三角函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．
已知 sin A = 0.501 8，用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
还以以利用 键，进一步得到
∠A＝30°07'08.97 "
第一步：按计算器 键，
2nd F
sin
第二步：然后输入函数值 0. 501 8
屏幕显示答案： 30.119 158 67°
° ＇″
2nd F
操作演示
例3 已知下列锐角三角函数值，用计算器求锐角∠A，∠B 的度数(结果精确到 0.1°)：
sin A ＝ 0.7，sin B ＝ 0.01；
解：由 sin A ＝ 0.7，得∠A ≈ 44.4°；
由 sin B ＝ 0.01，得∠B ≈ 0.6°.
（3）若 sin α = 0.5225，则 α≈ （精确到 0.1°）；
（4）若 sin α = 0.8090，则 α≈ （精确到 0.1°）.
（1） ≈
0.6428
0.2672
31.5
1.利用计算器计算：
（2） ≈
（精确到 0.0001 ）；
（精确到 0.0001 ）；
54.0
2.计算：
sin30° + sin245° + sin60°
解：原式
知识点1 角45°与60°角的正弦值
1. 的值等于( )
A
A.1 B. C. D.2
返回
2.在中， ，，则 的值是( )
C
A. B. C. D.1
返回
3.计算： ___.
1
返回
知识点2 用计算器计算锐角或锐角的正弦值
4.用科学计算器计算： ______.（保留三位小数）
0.156
返回
5.已知 为锐角，，用科学计算器计算可得 _____
__ .（保留两位小数）
14.34
返回
6.（1）用计算器求下列正弦值（结果精确到）：
_________， _________， _________；
（2）用“ ”把 , , 连接起来：_______________
_____________.
补充设问 锐角 越大，它的正弦值______.
越大
返回
7. 甲、乙、丙三人在同一水平地面上放风筝，三人放出
的风筝线分别长,和，线与地面所成的锐角分别为 ,
和 ，假设风筝线近似看成是拉直的，则所放风筝最高的是
( )
B
A.甲 B.乙 C.丙 D.无法确定
返回
8.［2025娄底月考］在中， ，且
，为锐角，则 的形状为( )
B
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形
返回
正弦
特殊角的正弦值
使用计算器解决锐角的正弦问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！