4.1.3余弦（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.1.3 余弦
副标题：探究直角三角形中锐角邻边与斜边的比值关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与引入
正弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)。
特殊角的正弦值：\(\sin 30 ° = \frac{1}{2}\)，\(\sin 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sin 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
思考问题：在直角三角形中，除了锐角的对边与斜边的比值，锐角的邻边与斜边的比值是否也有固定规律？这就是本节课要学习的余弦。
幻灯片 3：余弦的定义
定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，我们把锐角∠\(A\)的邻边与斜边的比叫做∠\(A\)的余弦，记作\(\cos A\)，即：\(
\cos A = \frac{ A é è }{ è } = \frac{AC}{AB} = \frac{b}{c}
\)
符号解读：“\(\cos\)” 是余弦的符号，读作 “扣赛因”，\(\cos A\)表示一个整体，不是\(\cos\)与\(A\)的乘积。
注意事项：
余弦的定义仅适用于直角三角形。
比值与直角三角形的大小无关，只与锐角的度数有关。
比值没有单位，是一个正数（因为边长为正数）。
幻灯片 4：余弦定义的应用
图形示例：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 4\)，\(AB = 5\)，则\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{5}\)。
角度与余弦值的关系：锐角的余弦值随角度的增大而减小（后续会深入学习）。
特殊说明：对于∠\(B\)，同样有\(\cos B = \frac{ B é è }{ è } = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c}\)。
幻灯片 5：30° 角的余弦值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 30 °\)，设\(BC = a\)，则\(AB = 2a\)，由勾股定理得\(AC = \sqrt{AB - BC } = \sqrt{(2a) - a } = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的邻边为\(AC = \sqrt{3}a\)，斜边为\(AB = 2a\)。
根据余弦定义，\(\cos 30 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}a}{2a} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
结论：\(\cos 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
幻灯片 6：45° 角的余弦值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 45 °\)，设\(AC = BC = a\)，则\(AB = \sqrt{2}a\)。
∠\(A\)的邻边为\(AC = a\)，斜边为\(AB = \sqrt{2}a\)。
根据余弦定义，\(\cos 45 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{\sqrt{2}a} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。
结论：\(\cos 45 ° = \frac{\sqrt{2}}{2}\)。
幻灯片 7：60° 角的余弦值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，设\(AC = a\)，则\(AB = 2a\)。
∠\(A\)的邻边为\(AC = a\)，斜边为\(AB = 2a\)。
根据余弦定义，\(\cos 60 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}\)。
结论：\(\cos 60 ° = \frac{1}{2}\)。
幻灯片 8：特殊角的余弦值总结
锐角 α
30°
45°
60°
\(\cos ±\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
记忆技巧：与正弦值对比记忆，30° 和 60° 的余弦值恰好是正弦值交换，45° 的余弦值与正弦值相同。
重要说明：特殊角的余弦值也是常用基础数据，需准确记忆并熟练应用。
幻灯片 9：例题讲解 1 - 直接计算余弦值
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 5\)，\(BC = 12\)，求\(\cos A\)和\(\cos B\)的值。
解答：
由勾股定理得，\(AB = \sqrt{AC + BC } = \sqrt{5 + 12 } = 13\)。
∠\(A\)的邻边为\(AC = 5\)，斜边为\(AB = 13\)，因此\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}\)。
∠\(B\)的邻边为\(BC = 12\)，斜边为\(AB = 13\)，因此\(\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}\)。
答：\(\cos A = \frac{5}{13}\)，\(\cos B = \frac{12}{13}\)。
幻灯片 10：例题讲解 2 - 利用特殊角余弦值求边长
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 30 °\)，斜边\(AB = 10\)，求∠\(A\)的邻边\(AC\)的长度。
解答：
根据余弦的定义，\(\cos 30 ° = \frac{AC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
已知\(AB = 10\)，代入得\(\frac{AC}{10} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)。
解得\(AC = 10 \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}\)。
答：∠\(A\)的邻边\(AC\)的长度为\(5\sqrt{3}\)。
幻灯片 11：用计算器求锐角的余弦值
操作步骤：
确认计算器处于 “度” 模式（屏幕显示 “D”）。
输入锐角的度数。
按下 “cos” 键，即可得到该锐角的余弦值（结果通常保留四位小数）。
示例：求\(\cos 40 °\)的值。
操作：输入 “40”→按下 “cos”→显示结果约为\(0.7660\)。
结论：\(\cos 40 ° 0.7660\)。
幻灯片 12：例题讲解 3 - 用计算器求余弦值
题目：用计算器求下列锐角的余弦值（结果保留四位小数）。
（1）\(20 °\) （2）\(58 °45'\)
解答：
（1）按计算器操作：输入 “20”→“cos”，得到\(\cos 20 ° 0.9397\)。
（2）先将\(58 °45'\)转换为度：\(45' = 0.75 °\)，即\(58 °45' = 58.75 °\)。输入 “58.75”→“cos”，得到\(\cos 58 °45' 0.5188\)。
答：（1）\(0.9397\)；（2）\(0.5188\)。
幻灯片 13：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
填空：\(\cos 30 ° = \)，\(\cos 45 ° = \)，\(\cos 60 ° = \)______。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AB = 20\)，\(AC = 10\sqrt{3}\)，则\(\cos A = \)______。
用计算器求：\(\cos 35 ° \)，\(\cos 75 ° \)。
答案
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)（\(\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{10\sqrt{3}}{20} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)）
0.8192，0.2588（具体数值以计算器为准）
幻灯片 14：课堂练习 2 - 能力提升
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(AB = 8\)，求\(AC\)和\(BC\)的长度。
解答提示：
由\(\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)可知∠\(A = 30 °\)。
\(AC = AB \cos A = 8 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\)。
∠\(B = 60 °\)，\(BC = AB \sin A = 8 \frac{1}{2} = 4\)（或用勾股定理计算）。
幻灯片 15：易错点提醒
混淆 “邻边” 和 “对边” 的概念，将∠\(A\)的对边当作邻边代入余弦公式。
记忆特殊角余弦值时与正弦值混淆，如将\(\cos 30 °\)记为\(\frac{1}{2}\)。
使用计算器求余弦值时未切换到 “度” 模式，导致结果错误。
计算含有度分秒的锐角余弦值时，未将分秒转换为度。
幻灯片 16：课堂小结
余弦的定义：在 Rt△中，锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比，即\(\cos A = \frac{ A é è }{ è }\)。
特殊角的余弦值：30°、45°、60° 的余弦值分别为\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)、\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\frac{1}{2}\)，需准确记忆。
计算器求余弦值：确认 “度” 模式，输入角度（度分秒转换为度），按下 “cos” 键，结果保留四位小数。
核心应用：计算锐角的余弦值，已知余弦值和斜边求邻边长度。
幻灯片 17：课后作业
基础题
计算：\(\cos 30 ° + 2\cos 60 ° - \cos 45 °\)。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 3\)，\(AB = 6\)，求\(\cos A\)和\(\cos B\)的值。
用计算器求：\(\cos 15 °\)，\(\cos 62 °30'\)（保留四位小数）。
提高题
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\cos B = \frac{1}{2}\)，\(AC = 6\)，求斜边\(AB\)的长度和∠\(A\)的余弦值。
已知在 Rt△中，一个锐角为\( ±\)，\(\sin ± = \frac{3}{5}\)，求\(\cos ±\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.1.3余弦
第4章 锐角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题引入
A
B
C
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定.
此时，其他边之间的比是否也确定了呢？
余弦
合作探究
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 成立吗？
为什么？
A
B
C
D
E
F
我们来试着证明前面的问题：
∵∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，
∴
∠B =∠E．
从而 sin B = sin E，
因此
A
B
C
D
E
F
在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
如右图所示，在直角三角形中，我们把锐角 α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦，记作 cos α，即
归纳：
A
B
C
斜边
邻边
角 α 的邻边
斜边
cos α =
α
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有
cos α = sin (90°－α)．
从而有
sin α = cos (90°－α)．
2. 求 cos 30°，cos 45°，cos 60° 的值．
解：cos 30° = sin (90°－30°) = sin 60° = ；
cos 60° = sin (90°－60°) = sin 30° =
cos 45° = sin (90°－45°) = sin 45°=
例1 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，如图，已知 AC = 3，AB = 6，求 sin A 和 cos B.
┌
B
C
A
3
6
想一想:我们发现sinA=cosB，其中有没有什么内有的关系
解：在 Rt△ABC 中，∵AB = 6，AC = 3，
求：AB，sin B.
10
┐
A
B
C
变式：如图：在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 10，
思考：我们再次发现 sin A = cos B，其中的内在联系你可否掌握
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有
cos α = sin (90°－α)
从而有
sin α = cos (90°－α)
如图：在 Rt △ABC 中，∠C＝90°，
归纳总结
sin A = cos B
例2 计算：cos 30°－ cos 60° + cos245°
解: 原式
典例精析
解析：图中无直角三角形，需构造直角三角形，然后结合勾股定理，利用锐角三角函数的定义求解．
过点 P 作 PH⊥x 轴，垂足为点 H，如图.在 Rt△OPH 中，∵ PH＝b，OH＝a，
例3 如图，已知点 P 的坐标是 (a，b)，则 cos α 等于( 　)
C
也可以过点 P 作 PM⊥y 轴于点 M，注意点 P (a，b)到 x 轴的距离是 | b |，到 y 轴的距离是 | a |，若点 P 不在第一象限，则要注意字母的符号．
方法总结
如图：在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，
知识拓展
1.sin A、cos A是在直角三角形中定义的，∠A 是锐角(注意数形结合，构造直角三角形).
2.sin A、 cos A 是一个比值（数值）.
3.sin A、 cos A 的大小只与∠A 的大小有关，而与直角三角形的边长无关.
用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角
对于一般锐角 α（30°，45°，60° 除外）的余弦值，我们可用计算器来求.
例如求 50° 角的余弦值，可在计算器上依次
按键 ，显示结果为 0.6427…
如果已知余弦值，我们也可以利用计算器
求出它的对应锐角.
例如，已知 cos α = 0.8661，依次按键
，显示结果为
29.9914…，表示角 α 约等于30°.
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，
∠A = 35°，则直角边 BC 的长是 ( )
A.
B.
C.
D.
A
A
B
C
2. 随着锐角 α 的增大，cos α 的值 ( )
A. 增大 B. 减小 C. 不变 D. 不确定
B
当 0°＜α＜90° 时，cos α 的值随着角度的增大 (或减小) 而减小 (或增大)
3.如图，在 Rt△ABC 中，锐角 A 的对边和邻边同时扩大100 倍，sin A 的值（ ）
A. 扩大 100 倍 B. 缩小 100 倍
C. 不变 D. 不能确定
4.已知∠A，∠B 为锐角
(1)若∠A = ∠B，则 sin A sin B；
(2)若 sin A = sin B，则∠A ∠B.
A
B
C
┌
C
=
=
5. 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝
(1)求点 B 的坐标；
(2)求 cos∠BAO 的值．
A
B
H
解：(1)如图所示，作 BH⊥OA， 垂足为 H．在 Rt△OHB 中，
∵BO＝5，sin∠BOA＝ ，
∴BH＝3，OH＝4，
∴点 B 的坐标为(4，3)．
5.如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点 A 的坐标为(10，0)，点 B 在第一象限内，BO = 5，sin∠BOA＝
(2)求 cos∠BAO 的值．
(2)∵ OA＝10，OH＝4，
∴ AH＝6．
∵在 Rt△AHB 中，BH＝3，
A
B
H
知识点1 余弦的定义
1.如图，在中， ，，，则 的余弦
值为__.
（第1题）
返回
2.如图，在中， ， ，,则 的长为
_____（用含 和 的代数式表示）.
（第2题）
返回
3.如图，在直角坐标系内，的顶点 的
坐标为 ，则下列结论正确的是( )
C
A. B.
C. D.
返回
知识点2 互余两角的正弦、余弦之间的关系
4.在中， ，，则 等于( )
A
A. B. C. D.
返回
5.若 ，则锐角 的度数是( )
C
A. B. C. D.
返回
6.比较大小： ___ .
返回
知识点3 特殊角的余弦值
7.（1）如图①，在中， ，
，则____ __；
30
（2）如图②，在中， ， ，
则____ ___.
45
返回
8.计算 的值为____.
返回
9.［2024天津中考］ 的值等于( )
A
A.0 B.1 C. D.
返回
10.［2025湘潭月考］计算:
（1） ;
解：原式 .
（2） .
解：原式
返回
余弦
余弦的概念：在直角三角形中，锐角α 的邻边与斜边的比叫作角 α 的余弦
余弦的性质：α 确定的情况下，cos α为定值，与三角形的大小无关
用计算器求锐角余弦值或根据余弦值求锐角
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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