4.3 解直角三角形（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.2 正切
副标题：探究直角三角形中锐角对边与邻边的比值关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与引入
正弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)。
余弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\cos A = \frac{ A é è }{ è }\)。
特殊角的正弦、余弦值：30°、45°、60° 的正弦和余弦值（回顾表格）。
思考问题：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值是否也有固定规律？这就是本节课要学习的正切。
幻灯片 3：正切的定义
定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，我们把锐角∠\(A\)的对边与邻边的比叫做∠\(A\)的正切，记作\(\tan A\)，即：\(
\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}
\)
符号解读：“\(\tan\)” 是正切的符号，读作 “滩金特”，\(\tan A\)表示一个整体，不是\(\tan\)与\(A\)的乘积。
注意事项：
正切的定义仅适用于直角三角形。
比值与直角三角形的大小无关，只与锐角的度数有关。
比值没有单位，是一个正数（因为边长为正数）。
幻灯片 4：正切定义的应用
图形示例：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 3\)，\(AC = 4\)，则\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}\)。
角度与正切值的关系：锐角的正切值随角度的增大而增大（后续会深入学习）。
特殊说明：对于∠\(B\)，同样有\(\tan B = \frac{ B è }{ B é è } = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}\)。
幻灯片 5：30° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 30 °\)，设\(BC = a\)，则\(AB = 2a\)，由勾股定理得\(AC = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，邻边为\(AC = \sqrt{3}a\)。
根据正切定义，\(\tan 30 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{\sqrt{3}a} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)（分母有理化后）。
结论：\(\tan 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
幻灯片 6：45° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 45 °\)，设\(AC = BC = a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，邻边为\(AC = a\)。
根据正切定义，\(\tan 45 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a} = 1\)。
结论：\(\tan 45 ° = 1\)。
幻灯片 7：60° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，设\(AC = a\)，则\(BC = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = \sqrt{3}a\)，邻边为\(AC = a\)。
根据正切定义，\(\tan 60 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}a}{a} = \sqrt{3}\)。
结论：\(\tan 60 ° = \sqrt{3}\)。
幻灯片 8：特殊角的正切值总结
锐角 α
30°
45°
60°
\(\tan ±\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(1\)
\(\sqrt{3}\)
记忆技巧：30° 的正切值为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，60° 的正切值为\(\sqrt{3}\)，二者互为倒数；45° 的正切值为 1，容易记忆。
重要说明：特殊角的正切值是解决直角三角形问题的重要工具，需准确记忆。
幻灯片 9：例题讲解 1 - 直接计算正切值
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 5\)，\(BC = 12\)，求\(\tan A\)和\(\tan B\)的值。
解答：
∠\(A\)的对边为\(BC = 12\)，邻边为\(AC = 5\)，因此\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}\)。
∠\(B\)的对边为\(AC = 5\)，邻边为\(BC = 12\)，因此\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}\)。
答：\(\tan A = \frac{12}{5}\)，\(\tan B = \frac{5}{12}\)。
幻灯片 10：例题讲解 2 - 利用特殊角正切值求边长
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，\(AC = 4\)，求∠\(A\)的对边\(BC\)的长度。
解答：
根据正切的定义，\(\tan 60 ° = \frac{BC}{AC} = \sqrt{3}\)。
已知\(AC = 4\)，代入得\(\frac{BC}{4} = \sqrt{3}\)。
解得\(BC = 4\sqrt{3}\)。
答：∠\(A\)的对边\(BC\)的长度为\(4\sqrt{3}\)。
幻灯片 11：用计算器求锐角的正切值
操作步骤：
确认计算器处于 “度” 模式（屏幕显示 “D”）。
输入锐角的度数。
按下 “tan” 键，即可得到该锐角的正切值（结果通常保留四位小数）。
示例：求\(\tan 25 °\)的值。
操作：输入 “25”→按下 “tan”→显示结果约为\(0.4663\)。
结论：\(\tan 25 ° 0.4663\)。
幻灯片 12：例题讲解 3 - 用计算器求正切值
题目：用计算器求下列锐角的正切值（结果保留四位小数）。
（1）\(35 °\) （2）\(70 °18'\)
解答：
（1）按计算器操作：输入 “35”→“tan”，得到\(\tan 35 ° 0.7002\)。
（2）先将\(70 °18'\)转换为度：\(18' = 0.3 °\)，即\(70 °18' = 70.3 °\)。输入 “70.3”→“tan”，得到\(\tan 70 °18' 2.8006\)。
答：（1）\(0.7002\)；（2）\(2.8006\)。
幻灯片 13：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
填空：\(\tan 30 ° = \)，\(\tan 45 ° = \)，\(\tan 60 ° = \)______。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 6\)，\(AC = 8\)，则\(\tan A = \)，\(\tan B = \)。
用计算器求：\(\tan 42 ° \)，\(\tan 80 ° \)。
答案
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(1\)，\(\sqrt{3}\)
\(\frac{3}{4}\)，\(\frac{4}{3}\)（\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)，\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)）
0.9004，5.6713（具体数值以计算器为准）
幻灯片 14：课堂练习 2 - 能力提升
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(AC = 6\sqrt{3}\)，求\(BC\)的长度和∠\(B\)的正切值。
解答提示：
由\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)可知∠\(A = 30 °\)。
\(BC = AC \tan A = 6\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\)。
∠\(B = 60 °\)，\(\tan B = \sqrt{3}\)（或\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\)）。
幻灯片 15：易错点提醒
混淆 “对边” 和 “邻边” 的概念，将∠\(A\)的邻边当作对边代入正切公式。
记忆特殊角正切值时出现错误，如将\(\tan 30 °\)记为\(\sqrt{3}\)，\(\tan 60 °\)记为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
使用计算器求正切值时未切换到 “度” 模式，导致结果错误。
计算含有度分秒的锐角正切值时，未将分秒转换为度。
幻灯片 16：课堂小结
正切的定义：在 Rt△中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比，即\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è }\)。
特殊角的正切值：30°、45°、60° 的正切值分别为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)、\(1\)、\(\sqrt{3}\)，需准确记忆。
计算器求正切值：确认 “度” 模式，输入角度（度分秒转换为度），按下 “tan” 键，结果保留四位小数。
核心应用：计算锐角的正切值，已知正切值和一条直角边求另一条直角边的长度。
幻灯片 17：课后作业
基础题
计算：\(\tan 30 ° + \tan 45 ° - \tan 60 °\)。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 5\)，\(AC = 5\)，求\(\tan A\)和\(\tan B\)的值。
用计算器求：\(\tan 22 °\)，\(\tan 55 °40'\)（保留四位小数）。
提高题
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan B = \sqrt{3}\)，\(BC = 2\)，求\(AC\)的长度和∠\(A\)的正切值。
已知在 Rt△中，一个锐角为\( ±\)，\(\sin ± = \frac{3}{5}\)，求\(\tan ±\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.3 解直角三角形
第4章 锐角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
A
C
B
c
b
a
(1) 三边之间的关系：a2 + b2 =_____；
(2) 锐角之间的关系：
∠A +∠B =_____；
(3) 边角之间的关系：sin A =_____，cos A =_____，
tan A =_____.
如图，在 Rt△ABC 中，共有六个元素（三条边，三个角）， 其中∠C = 90°.
c2
90°
复习引入
已知两边解直角三角形
在图中的 Rt△ABC 中，
(1) 根据∠A = 75°，斜边 AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
合作探究
A
B
C
6
75°
(2) 根据 AC = 2.4，AB = 6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
A
B
C
6
2.4
在直角三角形中，除直角外有 5 个元素（即 3 条边、2 个锐角），只要知道其中的 2 个元素（至少有 1 个是边），就可以求出其余的 3 个未知元素.
像这样，我们把在直角三角形中利用已知元素求其余未知元素的过程叫作解直角三角形.
A
B
C
解：
典例精析
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = ，
，解这个直角三角形.
已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，a = 30，b = 20，解此直角三角形.
解：根据勾股定理得
A
B
C
b = 20
a = 30
c
练一练
已知一边及一锐角解直角三角形
例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 35°，
b = 20，解这个直角三角形 (结果保留小数点后一位).
A
B
C
b = 20
c
a
35°
解：
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 72°，c = 14.
根据条件解直角三角形.
A
B
C
b
a
c = 14
解：
练一练
2. 如图，已知 AC = 4，求 AB 和 BC 的长．
提示：作 CD⊥AB 于点 D，根据三角函数的定义，在 Rt△ACD 和 Rt△CDB 中，即可求出 CD，AD，BD 的长，从而得解．
在 Rt△CDB 中，∠DCB =∠ACB－∠ACD = 45°，
解：如图，作 CD⊥AB 于点 D.
在 Rt△ACD 中，∵∠A = 30°，∴∠ACD = 90° - ∠A = 60°，
∴ BD = CD = 2.
D
在解直角三角形中，已知一边与一锐角三角函数值，一般可结合方程思想求解.
已知一锐角三角函数值解直角三角形
例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = ，
BC = 5， 试求 AB 的长.
A
C
B
解：
设
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sin A = ，BC = 6，则
AB 的长为 ( )
A．4 B．6 C．8 D．10
D
2. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC = 4，
sin B = ，则菱形的周长是 ( )
A．10 B．20
C．40 D．28
C
练一练
提示：题目中没有给出图形，注意分类讨论.
例 4 在△ABC 中，AB = ，AC = 13，cosB = ，求 BC 的长.
解：∵cosB = ，∴∠B = 45°.
当△ABC 为钝角三角形时，如图①.
∵AC = 13，∴由勾股定理得 CD = 5.
∴BC = BD - CD = 12 - 5 = 7.
图①
当△ABC 为锐角三角形时，如图②，
此时 BC = BD + CD = 12 + 5 = 17.
综上可知，BC 的长为 7 或 17.
图②
2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，
AB = 8，则 BC 的长是 ( )
D
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，a，b，c 分别是∠A，
∠B，∠C 的对边，则下列各式正确的是 ( )
A. b = a · tan A B. b = c · sin A
C. b = c · cos A D. a = c · cos A
A
C
B

C
3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 37°，BC = 32，
则 AC = ( 参考数据：sin37° ≈ 0.60，cos37° ≈
0.80，tan37° ≈ 0.75 ).
4. 如图，已知 Rt△ABC 中，斜边 BC 上的高 AD = 3，
cosB = ，则 AC 的长为 .
24
3.75
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，角平分
线 ，解这个直角三角形.
解：
∵ AD 平分∠BAC，
D
A
B
C
6
解：过点 A 作 AD⊥BC 于点 D.
在△ACD 中，∠C = 45°，AC = 2，
∴ CD = AD = sin C · AC = 2sin 45° = .
在△ABD 中，∠B = 30°，
∴ BD =
∴ BC = CD + BD =
6. 如图，在△ABC 中，∠B = 30°，∠C = 45°，AC = 2，
求 BC 的长.
D
A
B
C
知识点1 已知两边解直角三角形
1.在中， ，，，则 的度数为
( )
A
A. B. C. D.以上都不正确
返回
2.在中， ，，，的对边分别为，， ，且
， ，则下列结论正确的是( )
C
A. ， ，
B. ， ，
C. ， ，
D. ， ，
返回
3.［教材P122“例2”变式］ 解直角三角形：
（1）在中， ,, ；
解：在中, ,, ，
，
，
， .
（2）在中， ,, .
解：在中, ,, ，
，
， ， ．
返回
4.［2025株洲模拟］如图，是的高，若 ，
，求边 的长.
解：, ,
，
由勾股定理得 .
返回
知识点2 已知一边与一锐角解直角三角形
5.［教材P121“说一说”变式］ 在中， ，若已知
的长及 的度数，则斜边长为( )
B
A. B. C. D.
返回
6.在中， ， ，，则 等于
( )
B
A. B.2 C. D.6
返回
7.在中， ，， ，为 的中点,
连接 ，则下列结论不正确的是( )
C
A. B. C. D.
返回
8.在中， ，，，则 的长是___.
9
返回
9.［教材P123“习题4.3”第1题变式］ 解下列直角三角形：
（1）在中， , ， ；
解：在中， ， ， ，
， ，
.
（2）在中， ,， .
解：在中, ，, ，
， ,
.
返回
解直角三角形
依据
解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边长），就可以求出余下的三个未知元素
勾股定理
两锐角互余
锐角的三角函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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