4.4.1仰角、俯角问题（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.2 正切
副标题：探究直角三角形中锐角对边与邻边的比值关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与引入
正弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)。
余弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\cos A = \frac{ A é è }{ è }\)。
特殊角的正弦、余弦值：30°、45°、60° 的正弦和余弦值（回顾表格）。
思考问题：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值是否也有固定规律？这就是本节课要学习的正切。
幻灯片 3：正切的定义
定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，我们把锐角∠\(A\)的对边与邻边的比叫做∠\(A\)的正切，记作\(\tan A\)，即：\(
\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}
\)
符号解读：“\(\tan\)” 是正切的符号，读作 “滩金特”，\(\tan A\)表示一个整体，不是\(\tan\)与\(A\)的乘积。
注意事项：
正切的定义仅适用于直角三角形。
比值与直角三角形的大小无关，只与锐角的度数有关。
比值没有单位，是一个正数（因为边长为正数）。
幻灯片 4：正切定义的应用
图形示例：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 3\)，\(AC = 4\)，则\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}\)。
角度与正切值的关系：锐角的正切值随角度的增大而增大（后续会深入学习）。
特殊说明：对于∠\(B\)，同样有\(\tan B = \frac{ B è }{ B é è } = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}\)。
幻灯片 5：30° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 30 °\)，设\(BC = a\)，则\(AB = 2a\)，由勾股定理得\(AC = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，邻边为\(AC = \sqrt{3}a\)。
根据正切定义，\(\tan 30 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{\sqrt{3}a} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)（分母有理化后）。
结论：\(\tan 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
幻灯片 6：45° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 45 °\)，设\(AC = BC = a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，邻边为\(AC = a\)。
根据正切定义，\(\tan 45 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a} = 1\)。
结论：\(\tan 45 ° = 1\)。
幻灯片 7：60° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，设\(AC = a\)，则\(BC = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = \sqrt{3}a\)，邻边为\(AC = a\)。
根据正切定义，\(\tan 60 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}a}{a} = \sqrt{3}\)。
结论：\(\tan 60 ° = \sqrt{3}\)。
幻灯片 8：特殊角的正切值总结
锐角 α
30°
45°
60°
\(\tan ±\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(1\)
\(\sqrt{3}\)
记忆技巧：30° 的正切值为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，60° 的正切值为\(\sqrt{3}\)，二者互为倒数；45° 的正切值为 1，容易记忆。
重要说明：特殊角的正切值是解决直角三角形问题的重要工具，需准确记忆。
幻灯片 9：例题讲解 1 - 直接计算正切值
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 5\)，\(BC = 12\)，求\(\tan A\)和\(\tan B\)的值。
解答：
∠\(A\)的对边为\(BC = 12\)，邻边为\(AC = 5\)，因此\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}\)。
∠\(B\)的对边为\(AC = 5\)，邻边为\(BC = 12\)，因此\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}\)。
答：\(\tan A = \frac{12}{5}\)，\(\tan B = \frac{5}{12}\)。
幻灯片 10：例题讲解 2 - 利用特殊角正切值求边长
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，\(AC = 4\)，求∠\(A\)的对边\(BC\)的长度。
解答：
根据正切的定义，\(\tan 60 ° = \frac{BC}{AC} = \sqrt{3}\)。
已知\(AC = 4\)，代入得\(\frac{BC}{4} = \sqrt{3}\)。
解得\(BC = 4\sqrt{3}\)。
答：∠\(A\)的对边\(BC\)的长度为\(4\sqrt{3}\)。
幻灯片 11：用计算器求锐角的正切值
操作步骤：
确认计算器处于 “度” 模式（屏幕显示 “D”）。
输入锐角的度数。
按下 “tan” 键，即可得到该锐角的正切值（结果通常保留四位小数）。
示例：求\(\tan 25 °\)的值。
操作：输入 “25”→按下 “tan”→显示结果约为\(0.4663\)。
结论：\(\tan 25 ° 0.4663\)。
幻灯片 12：例题讲解 3 - 用计算器求正切值
题目：用计算器求下列锐角的正切值（结果保留四位小数）。
（1）\(35 °\) （2）\(70 °18'\)
解答：
（1）按计算器操作：输入 “35”→“tan”，得到\(\tan 35 ° 0.7002\)。
（2）先将\(70 °18'\)转换为度：\(18' = 0.3 °\)，即\(70 °18' = 70.3 °\)。输入 “70.3”→“tan”，得到\(\tan 70 °18' 2.8006\)。
答：（1）\(0.7002\)；（2）\(2.8006\)。
幻灯片 13：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
填空：\(\tan 30 ° = \)，\(\tan 45 ° = \)，\(\tan 60 ° = \)______。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 6\)，\(AC = 8\)，则\(\tan A = \)，\(\tan B = \)。
用计算器求：\(\tan 42 ° \)，\(\tan 80 ° \)。
答案
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(1\)，\(\sqrt{3}\)
\(\frac{3}{4}\)，\(\frac{4}{3}\)（\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)，\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)）
0.9004，5.6713（具体数值以计算器为准）
幻灯片 14：课堂练习 2 - 能力提升
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(AC = 6\sqrt{3}\)，求\(BC\)的长度和∠\(B\)的正切值。
解答提示：
由\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)可知∠\(A = 30 °\)。
\(BC = AC \tan A = 6\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\)。
∠\(B = 60 °\)，\(\tan B = \sqrt{3}\)（或\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\)）。
幻灯片 15：易错点提醒
混淆 “对边” 和 “邻边” 的概念，将∠\(A\)的邻边当作对边代入正切公式。
记忆特殊角正切值时出现错误，如将\(\tan 30 °\)记为\(\sqrt{3}\)，\(\tan 60 °\)记为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
使用计算器求正切值时未切换到 “度” 模式，导致结果错误。
计算含有度分秒的锐角正切值时，未将分秒转换为度。
幻灯片 16：课堂小结
正切的定义：在 Rt△中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比，即\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è }\)。
特殊角的正切值：30°、45°、60° 的正切值分别为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)、\(1\)、\(\sqrt{3}\)，需准确记忆。
计算器求正切值：确认 “度” 模式，输入角度（度分秒转换为度），按下 “tan” 键，结果保留四位小数。
核心应用：计算锐角的正切值，已知正切值和一条直角边求另一条直角边的长度。
幻灯片 17：课后作业
基础题
计算：\(\tan 30 ° + \tan 45 ° - \tan 60 °\)。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 5\)，\(AC = 5\)，求\(\tan A\)和\(\tan B\)的值。
用计算器求：\(\tan 22 °\)，\(\tan 55 °40'\)（保留四位小数）。
提高题
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan B = \sqrt{3}\)，\(BC = 2\)，求\(AC\)的长度和∠\(A\)的正切值。
已知在 Rt△中，一个锐角为\( ±\)，\(\sin ± = \frac{3}{5}\)，求\(\tan ±\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.1仰角、俯角问题
第4章 锐角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
某探险者某天到达如
图所示的点 A 处时，准备
估算出离他的目的地——
海拔 3 500 m 的山峰顶点
B 处的水平距离. 他能想
出一个可行的办法吗？
通过这节课的学习，相信你也行.
．
A
B
．
．
问题引入
解与仰俯角有关的问题
如图，在进行测量时，从下往上看，视线与水平线上方的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线下方的夹角叫做俯角.
例 1 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯 角为 60°，热气球与高楼的水平距离为 120 m，这栋高楼
有多高（结果精确到 0.1 m）.
A
B
C
D
α
β
仰角
水平线
俯角
分析：我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，α = 30°，β = 60°.
典例精析
在 Rt△ABD 中，α = 30°，AD = 120，所以利用解直角三角形的知识可求出 BD 的长；同理可求出 CD 的长，进而求得 BC 的长，即这栋楼的高度.
解：如图，α = 30°，β = 60°， AD = 120．
答：这栋楼高约为 277.1 m.
A
B
C
D
α
β
建筑物 BC 上有一旗杆 AB，由距 BC 40 m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 54°，观察底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（精确到 0.1 m）.
A
B
C
D
40 m
54°
45°
A
B
C
D
40 m
54°
45°
解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD = 90°，
BC = DC = 40 m.
在 Rt△ACD 中，
∴AB = AC－BC ≈ 55.1－40 = 15.1 (m).
练一练
从而，BC = 1000×tan 25° ≈ 466.3(m)
BD = 466.3 + 1.7 = 468 ( m ).
答：上海东方明珠塔的高度 BD
为 468 m.
解：如图，在Rt△ABC 中，∠BAC = 25°，AC = 1000 m，
因此
例2 如图，在离上海东方明珠塔底部 1000 m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为 25°，仪器距地面高 AE 为1.7 m.求上海东方明珠塔的高度 BD (结果精确到 1 m).
B
C
A
D
25°
E
C
例3 如图，小明想测量塔 AB 的高度.他在 D 处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 至 C 处.测得仰角为 60°，小明的身高 1.5 m. 那么该塔有多高 (结果精确到 1 m)，你能帮小明算出该塔有多高吗
D′
A
B′
B
D
C′
C
分析：由图可知，塔高 AB 可以分为上下两部分，上部分 AB′ 可以在 Rt△AD′B′ 和 Rt△AC′B′ 中利用仰角的正切值求出，B′B 与 D′D 相等.
解：如图，设 AB′ = x m.
由题意知∠AD′B′ = 30°，∠AC′B′ = 60°， D′C′ = 50 m.
∴∠D′AB′ = 60°，∠C′AB′ = 30°，D′C′ = 50 m ，
D′
A
B′
B
D
C′
C
如图，直升飞机在长 400 米的跨江大桥 AB 的上方 P 点处，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为 37° 和 45°，求飞机的高度.（结果
取整数. 参考数据：
sin 37° ≈ 0.8，cos37° ≈ 0.6，
tan 37° ≈ 0.75）
A
B
37°
45°
400 米
P
练一练
A
B
O
37°
45°
400 米
P
在 Rt△POB 中，∠PBO = 45°，
在 Rt△POA 中，∠PAB = 37°，
∴ OB = PO = x 米.
解得 x = 1200.
解：作 PO⊥AB 交 AB 的延长线于点 O，设 PO = x 米.
即
故飞机的高度为 1200 米.
1. 如图①，在高出海平面 100 米的悬崖顶
A 处，观测海平面上一艘小船 B，并测
得它的俯角为 45°，则船与观测者之间
的水平距离 BC =_____米.
2. 如图②，两建筑物 AB 和 CD 的水平距
离为 30 米，从 A 点测得 D 点的俯角为
30°，测得 C 点的俯角为 60°，则建筑
物 CD 的高为_____米.
100
图①
B
C
A
图②
B
C
A
D
30°
60°
3. 如图，为测量松树 AB 的高度，一个人站在距松树
15 米的 E 处，测得仰角∠ACD = 52°，已知人的高
度是 1.72 米，则树高 (精确到 0.1 米）.
A
D
B
E
C
20.9 米
4. 如图，在电线杆上离地面高度 5 m 的 C 点处引两根
拉线固定电线杆，一根拉线 AC 和地面成 60° 角，
另一根拉线 BC 和地面成 45° 角．则两根拉线的总
长度为 m (结果
用带根号的数的形式表示).
5. 目前世界上最高的电视塔是广州新电视塔．如图所示，新电视塔高 AB 为 610 米，远处有一栋大楼，某人在楼底 C 处测得塔顶B的仰角为 45°，在楼顶 D 处测得塔顶 B 的仰角为 39°．（tan39°≈0.81）
(1) 求大楼与电视塔之间的距离AC；
解：由题意，AC＝AB＝610（米）.
(2) 求大楼的高度 CD（精确到 1 米）.
解：DE＝AC＝610（米），
在 Rt△BDE 中，tan∠BDE＝ .
故 BE＝DE · tan39°．
∴ CD＝AE＝AB－BE＝AB - DE · tan39°
＝610－610×tan39° ≈ 116（米）.
45°
30°
O
B
A
200 米
6. 如图，直升飞机悬停在高为 200 米的大楼 AB 上方 P
点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰角为 30° 和
45°，求飞机的高度 PO.
P
解：如图，过点 P 作 PC⊥BA 交 BA 的延长线于点 C.
C
则∠PBO =∠CPB = 45°，∠CPA = 30°．
∴ PC = BC = 200 + AC，tan30° =
∴ AC = 米．
∴ PO = BC = 米.
知识点1 与仰角、俯角有关的应用问题
1.如图，从点观测点 的俯角与下面哪个角相等？( )
D
（第1题）
A. B. C. D.
返回
2.已知，两点，若从点观测点的仰角为 ，则从点观测点 的俯
角为( )
A
A. B. C. D.
返回
3.如图，已知一台观测车对空中目标进行观测，观测车从点 沿直线行
驶到点的过程中（，， 三点在同一平面内），仰角将( )
C
（第3题）
A.增大 B.减小
C.先增大，后减小 D.先减小，后增大
返回
（第4题）
4.［2025长沙校级月考］如图，一架飞机在空中
处检测到正下方地面上一目标 ，此时飞机的飞行
高度为，从飞机上看地面上的指挥台 的
俯角 ，此时， 的距离为( )
B
A. B.
C. D.
返回
5.如图，小刚、小丽分别从甲、乙两栋大楼的楼顶， 处观测地面上
的点，测得俯角分别为 ， ，则 _____.
（第5题）
返回
（第6题）
6.［2024南通中考］社团活动课上，九年级学习小组测量
学校旗杆的高度.如图，他们在处测得旗杆顶部 的仰角
为 ，，则旗杆的高度为_____ .
返回
（第7题）
7.［教材P125“做一做”变式］ 如图，测角仪 竖直放
在距建筑物底部的位置，在 处测得建筑物顶端
的仰角为 .若测角仪的高度是，则建筑物
的高度约为____ .（结果保留小数点后一位，参考数
据：,, ）
9.3
返回
利用仰俯角解直角三角形
仰角、俯角的概念
运用解直角三角形解决仰角、俯角问题
模型一
模型二
模型三
模型四
仰角、俯角问题的常见基本模型：
A
D
B
E
C
C
D
A
B
A
C
B
D
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！