4.4.2坡度问题（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.2 正切
副标题：探究直角三角形中锐角对边与邻边的比值关系
姓名：[教师姓名]
日期：[授课日期]
幻灯片 2：复习回顾与引入
正弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{ A è }{ è }\)。
余弦的定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\cos A = \frac{ A é è }{ è }\)。
特殊角的正弦、余弦值：30°、45°、60° 的正弦和余弦值（回顾表格）。
思考问题：在直角三角形中，锐角的对边与邻边的比值是否也有固定规律？这就是本节课要学习的正切。
幻灯片 3：正切的定义
定义：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，我们把锐角∠\(A\)的对边与邻边的比叫做∠\(A\)的正切，记作\(\tan A\)，即：\(
\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}
\)
符号解读：“\(\tan\)” 是正切的符号，读作 “滩金特”，\(\tan A\)表示一个整体，不是\(\tan\)与\(A\)的乘积。
注意事项：
正切的定义仅适用于直角三角形。
比值与直角三角形的大小无关，只与锐角的度数有关。
比值没有单位，是一个正数（因为边长为正数）。
幻灯片 4：正切定义的应用
图形示例：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 3\)，\(AC = 4\)，则\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{3}{4}\)。
角度与正切值的关系：锐角的正切值随角度的增大而增大（后续会深入学习）。
特殊说明：对于∠\(B\)，同样有\(\tan B = \frac{ B è }{ B é è } = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a}\)。
幻灯片 5：30° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 30 °\)，设\(BC = a\)，则\(AB = 2a\)，由勾股定理得\(AC = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，邻边为\(AC = \sqrt{3}a\)。
根据正切定义，\(\tan 30 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{\sqrt{3}a} = \frac{\sqrt{3}}{3}\)（分母有理化后）。
结论：\(\tan 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}\)。
幻灯片 6：45° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 45 °\)，设\(AC = BC = a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = a\)，邻边为\(AC = a\)。
根据正切定义，\(\tan 45 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{a} = 1\)。
结论：\(\tan 45 ° = 1\)。
幻灯片 7：60° 角的正切值
推导过程：如图，在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，设\(AC = a\)，则\(BC = \sqrt{3}a\)。
∠\(A\)的对边为\(BC = \sqrt{3}a\)，邻边为\(AC = a\)。
根据正切定义，\(\tan 60 ° = \frac{BC}{AC} = \frac{\sqrt{3}a}{a} = \sqrt{3}\)。
结论：\(\tan 60 ° = \sqrt{3}\)。
幻灯片 8：特殊角的正切值总结
锐角 α
30°
45°
60°
\(\tan ±\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(1\)
\(\sqrt{3}\)
记忆技巧：30° 的正切值为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，60° 的正切值为\(\sqrt{3}\)，二者互为倒数；45° 的正切值为 1，容易记忆。
重要说明：特殊角的正切值是解决直角三角形问题的重要工具，需准确记忆。
幻灯片 9：例题讲解 1 - 直接计算正切值
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 5\)，\(BC = 12\)，求\(\tan A\)和\(\tan B\)的值。
解答：
∠\(A\)的对边为\(BC = 12\)，邻边为\(AC = 5\)，因此\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{12}{5}\)。
∠\(B\)的对边为\(AC = 5\)，邻边为\(BC = 12\)，因此\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}\)。
答：\(\tan A = \frac{12}{5}\)，\(\tan B = \frac{5}{12}\)。
幻灯片 10：例题讲解 2 - 利用特殊角正切值求边长
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，∠\(A = 60 °\)，\(AC = 4\)，求∠\(A\)的对边\(BC\)的长度。
解答：
根据正切的定义，\(\tan 60 ° = \frac{BC}{AC} = \sqrt{3}\)。
已知\(AC = 4\)，代入得\(\frac{BC}{4} = \sqrt{3}\)。
解得\(BC = 4\sqrt{3}\)。
答：∠\(A\)的对边\(BC\)的长度为\(4\sqrt{3}\)。
幻灯片 11：用计算器求锐角的正切值
操作步骤：
确认计算器处于 “度” 模式（屏幕显示 “D”）。
输入锐角的度数。
按下 “tan” 键，即可得到该锐角的正切值（结果通常保留四位小数）。
示例：求\(\tan 25 °\)的值。
操作：输入 “25”→按下 “tan”→显示结果约为\(0.4663\)。
结论：\(\tan 25 ° 0.4663\)。
幻灯片 12：例题讲解 3 - 用计算器求正切值
题目：用计算器求下列锐角的正切值（结果保留四位小数）。
（1）\(35 °\) （2）\(70 °18'\)
解答：
（1）按计算器操作：输入 “35”→“tan”，得到\(\tan 35 ° 0.7002\)。
（2）先将\(70 °18'\)转换为度：\(18' = 0.3 °\)，即\(70 °18' = 70.3 °\)。输入 “70.3”→“tan”，得到\(\tan 70 °18' 2.8006\)。
答：（1）\(0.7002\)；（2）\(2.8006\)。
幻灯片 13：课堂练习 1 - 基础应用
题目：
填空：\(\tan 30 ° = \)，\(\tan 45 ° = \)，\(\tan 60 ° = \)______。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 6\)，\(AC = 8\)，则\(\tan A = \)，\(\tan B = \)。
用计算器求：\(\tan 42 ° \)，\(\tan 80 ° \)。
答案
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(1\)，\(\sqrt{3}\)
\(\frac{3}{4}\)，\(\frac{4}{3}\)（\(\tan A = \frac{BC}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}\)，\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}\)）
0.9004，5.6713（具体数值以计算器为准）
幻灯片 14：课堂练习 2 - 能力提升
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)，\(AC = 6\sqrt{3}\)，求\(BC\)的长度和∠\(B\)的正切值。
解答提示：
由\(\tan A = \frac{\sqrt{3}}{3}\)可知∠\(A = 30 °\)。
\(BC = AC \tan A = 6\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3} = 6\)。
∠\(B = 60 °\)，\(\tan B = \sqrt{3}\)（或\(\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}\)）。
幻灯片 15：易错点提醒
混淆 “对边” 和 “邻边” 的概念，将∠\(A\)的邻边当作对边代入正切公式。
记忆特殊角正切值时出现错误，如将\(\tan 30 °\)记为\(\sqrt{3}\)，\(\tan 60 °\)记为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
使用计算器求正切值时未切换到 “度” 模式，导致结果错误。
计算含有度分秒的锐角正切值时，未将分秒转换为度。
幻灯片 16：课堂小结
正切的定义：在 Rt△中，锐角的正切等于它的对边与邻边的比，即\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è }\)。
特殊角的正切值：30°、45°、60° 的正切值分别为\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)、\(1\)、\(\sqrt{3}\)，需准确记忆。
计算器求正切值：确认 “度” 模式，输入角度（度分秒转换为度），按下 “tan” 键，结果保留四位小数。
核心应用：计算锐角的正切值，已知正切值和一条直角边求另一条直角边的长度。
幻灯片 17：课后作业
基础题
计算：\(\tan 30 ° + \tan 45 ° - \tan 60 °\)。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(BC = 5\)，\(AC = 5\)，求\(\tan A\)和\(\tan B\)的值。
用计算器求：\(\tan 22 °\)，\(\tan 55 °40'\)（保留四位小数）。
提高题
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan B = \sqrt{3}\)，\(BC = 2\)，求\(AC\)的长度和∠\(A\)的正切值。
已知在 Rt△中，一个锐角为\( ±\)，\(\sin ± = \frac{3}{5}\)，求\(\tan ±\)的值。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.2坡度问题
第4章 锐角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，从山脚到山顶有两条路 AB 与 BC，哪条路比较陡？
如何用数量来刻画哪条路更陡呢？
A
B
C
观察与思考
坡度问题
　　如上图所示，从山坡脚下点 A 上坡走到点 B 时，升高的高度 h（即线段 BC 的长度）与水平前进的距离 l（即线段 AC 的长度）的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
（坡度通常写成 1 : m 的形式）．
坡度越大，山坡越陡．
　　在下图中，∠BAC 叫作坡角（即山坡与地平面的
夹角），记作 α，显然，坡度等于坡角的正切，即
1. 斜坡的坡度是 ，则坡角 α =___度.
2. 斜坡的坡角是 45°，则坡比是 _____.
3. 斜坡长是 12 米，坡高 6 米，则坡比是_______.
α
l
h
30
1 : 1
练一练
例 1 如图，一山坡的坡度为 i = 1∶2. 小刚从山脚 A
出发，沿山坡向上走了 240 m 到达点C. 这座山坡的
坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到
0.01°，长度精确到 0.1 m）？
i = 1:2
典例精析
在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，∠A = 26.57°，
AC = 240 m，
解：
用 α 表示坡角的大小，由题意可得
因此 α ≈ 26.57°.
答：这座山坡的坡角约为 26.57°，小刚上
升了约 107.3 m．
从而 BC = 240×sin26.57° ≈ 107.3（m）．
因此
解： 斜坡 CD 的坡度
i = tanα = 1∶2.5 = 0.4，
由计算器可求得
α ≈ 22°.
故斜坡 CD 的坡角 α 约为 22°.
例2 如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6 m，坝高 23 m，斜坡 AB 的坡度 i = 1∶3，斜坡 CD 的坡度 i = 1∶2.5，求：
(1) 斜坡 CD 的坡角 α (精确到 1°)；
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1 : 3
解：分别过点 B，C 作 BE⊥AD 于 E，CF⊥AD 于 F .
由题意可知
BE = CF = 23 m，
EF = BC = 6 m.
在 Rt△ABE 中，
(2) 坝底 AD 与斜坡 AB 的长度 (精确到 0.1 m).
E
F
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 (m).
在Rt△ABE中，由勾股定理可得
在 Rt△DCF 中，
故坝底 AD 的长度为
132.5 m，斜坡 AB 的
长度为 72.7 m.
E
F
A
D
B
C
i = 1:2.5
23
6
α
i = 1:3
如图，小明周末上山踏青，他从山脚处的 B 点出发时，测得坡面 AB 的坡度为 1 : 2，走 　　米到达山顶 A 处．这时，他发现山的另一坡面 AC 的最低点 C 的俯角是 30°．请求出点 B 和点 C 的水平距离．
练一练
A
C
B
D
30°
答案：点 B 和点 C 的水平距离为 米.
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方位角. 如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
北偏东30°
南偏西45°
解与方位角有关的问题
典例精析
例 3 如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东 65° 方向，距离灯塔 80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向上的 B 处，这时，海轮所在的 B 处距离灯塔 P 有多远（精确到 0.01 n mile）？
65°
34°
P
B
C
A
解：如图 ，在 Rt△APC 中，
PC = PA·cos(90°－65°)
= 80×cos25°
≈ 72.505.
在 Rt△BPC 中，∠B = 34°，
因此，当海轮到达位于灯塔 P 的南偏东 34° 方向时，它距离灯塔 P 大约 129.66 n mile．
65°
34°
P
B
C
A
例4 如图，海岛 A 的周围 8 海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点 B 处测得海岛 A 位于北偏东 60°，航行 12 海里到达点 C 处，又测得海岛 A 位于北偏东 30°，如果渔船不改变航向继续向东
航行，有没有触礁的危险？
解：过 A 作 AF⊥BC 于点 F，
则 AF 的长是 A 到 BC 上所有
点中的最短距离.
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
∵BD∥CE∥AF，
∴∠DBA =∠BAF = 60°，∠ACE =∠CAF = 30°．
∴∠BAC =∠BAF－∠CAF = 60°－30° = 30°.
又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60° = 30° =∠BAC，
∴ BC = AC = 12 海里．
∴ AF = AC · cos30° = 6
≈ 10.392 ＞ 8，
故渔船继续向正东方向行驶，
没有触礁的危险．
北
东
A
C
B
60°
30°
D
E
F
如图，A，B 两城市相距 200 km. 现计划在这两座城市间修筑一条高速公路 (即线段 AB)，经测量，森林保护中心 P 在 A 城市的北偏东 30° 和 B 城市的北偏西 45° 的方向上．已知森林保护区的范围在以 P 点为
圆心，100 km 为半径的圆形区
域内，请问：计划修筑的这条
高速公路会不会穿越保护区(参
考数据： ≈1.732， ≈1.414)？
练一练
200 km
200km
解：过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，
则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，
AC＝PC · tan30°，BC＝PC · tan45°．
∵ AC＋BC＝AB，
∴ PC·tan30°＋PC·tan45°＝200，
即 PC＋PC＝200，
解得 PC ≈ 126.8 km＞100 km.
答：计划修筑的这条高速公路不
会穿越保护区．
C
1. 如图，河坝横断面迎水坡 AB 的坡比是1 : ，坝高
BC = 3 m，则坡面 AB 的长度是 ( )
A. 9 m B. 6 m C. m D. m
A
C
B
B
2. 如图，C 岛在 A 岛的北偏东 50° 方向，C 岛在 B 岛
的北偏西 40° 方向，则从 C 岛看 A，B 两岛的视角
∠ACB 等于 °．
90
3. 如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，
在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60° 方向上．航行半
小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30°
方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的
位置所需的时间是 .
15 分钟
知识点 坡度与坡角的应用
（第1题）
1.［教材P125“做一做”变式］ 如图，拦水坝坡角
，则斜坡 的坡度是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.如图，某水库大坝的横断面是梯形，坝内一斜坡的坡度 ，则
这个斜坡的坡角为( )
（第2题）
A
A. B. C. D.
返回
3.小明上坡沿直线走了，他升高了 ，则此坡的坡角为_____.
返回
4.如图，已知传送带与水平面所成斜坡的坡度 ,如果传送带把物
体送到离地面高的地方，那么物体所经过的路程为_____ .
（第4题）
返回
5.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为
,如果在坡度为的山坡上种树，且要求株距为 ,那么相邻两树
间的坡面距离为___ .
5
（第5题）
返回
6.［教材P128“例2”变式］ 已知斜坡的坡度为，斜面 的长为
,坡顶有线塔，线塔顶端点与点用一根长为的缆绳
固定（如图），则线塔 的高度为______.
（第6题）
返回
7.［2025岳阳月考］如图是水库大坝的截面图，迎水坡的坡度为 ，
背水坡的坡度为，大坝高,坝顶宽 ,则下底
的长为______.
（第7题）
返回
解直角三角形的应用
坡度问题
方位角问题
坡角
坡度(或坡比)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！