第1章 反比例函数【章末复习】（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共47张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第 1 章 反比例函数 章末复习
副标题：梳理知识脉络，强化综合应用
姓名：[教师姓名]
日期：[复习日期]
幻灯片 2：本章知识框架
核心概念：反比例函数的定义、表达式形式。
图象性质：图象形状、位置分布、增减性、对称性、与坐标轴关系。
实际应用：建立反比例函数模型解决实际问题，常见应用场景。
综合运用：与一次函数、几何图形等结合的综合问题。
幻灯片 3：核心概念回顾
反比例函数定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k 0\)）的函数叫做反比例函数。其中\(x\)是自变量，取值范围是\(x 0\)；\(y\)是因变量，取值范围是\(y 0\)。
表达式的其他形式
\(y = kx^{-1}\)（\(k 0\)），体现反比例函数与幂函数的联系。
\(xy = k\)（\(k 0\)），明确两个变量的乘积为定值这一反比例关系本质。
幻灯片 4：图象与性质要点
图象特征
形状：由两支双曲线组成，向坐标轴无限延伸但永不相交。
位置：当\(k 0\)时，图象位于第一、三象限；当\(k 0\)时，图象位于第二、四象限。
增减性：在每个象限内，当\(k 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(k 0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而减小。注意：不能说在整个定义域内\(y\)随\(x\)增大而增大或减小。
对称性：图象关于原点成中心对称，关于直线\(y = x\)和\(y=-x\)成轴对称。
几何意义：过反比例函数图象上任意一点作\(x\)轴、\(y\)轴的垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形面积等于\(|k|\)。
幻灯片 5：反比例函数与一次函数综合
交点问题
联立方程组\(\begin{cases}y=\frac{k}{x}\\y = ax + b\end{cases}\)（\(a 0\)），消元后得到一元二次方程，通过判别式判断交点个数。
当\(\Delta 0\)时，有两个交点；\(\Delta = 0\)时，有一个交点（相切）；\(\Delta 0\)时，无交点。
函数值比较：结合图象，确定在相同自变量取值范围内两个函数值的大小关系，或根据函数值大小确定自变量取值范围。
幻灯片 6：实际应用关键步骤
建模流程
审题：明确问题中的已知量、未知量及等量关系。
设元：设出两个相关联的变量，通常设自变量为\(x\)，因变量为\(y\)。
列式：根据反比例关系特征，设\(y=\frac{k}{x}\)，利用已知条件求出\(k\)的值，确定函数表达式。
求解：运用函数表达式解决实际问题，如求变量值、范围等。
检验：检查结果是否符合实际意义，确保模型合理。
幻灯片 7：典型例题 1 - 概念与性质应用
题目：已知反比例函数\(y=\frac{m - 2}{x}\)的图象在第二、四象限。
（1）求\(m\)的取值范围。
（2）若点\(A(2,y_1)\)，\(B(3,y_2)\)在该函数图象上，比较\(y_1\)与\(y_2\)的大小。
（3）若该函数图象经过点\((-2,4)\)，求\(m\)的值及函数表达式。
解答
（1）因为图象在第二、四象限，所以\(m - 2 0\)，解得\(m 2\)。
（2）由（1）知\(k = m - 2 0\)，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。点\(A\)、\(B\)都在第四象限，且\(2 3\)，所以\(y_1 y_2\)。
（3）将\((-2,4)\)代入函数得\(4=\frac{m - 2}{-2}\)，解得\(m - 2=-8\)，\(m=-6\)，函数表达式为\(y=-\frac{8}{x}\)。
幻灯片 8：典型例题 2 - 与一次函数综合
题目：已知一次函数\(y = x + 1\)与反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象交于点\(A(1,n)\)和点\(B\)。
（1）求反比例函数表达式及点\(B\)的坐标。
（2）结合图象，直接写出当\(x + 1 \frac{k}{x}\)时，\(x\)的取值范围。
解答
（1）将\(A(1,n)\)代入\(y = x + 1\)得\(n = 1 + 1 = 2\)，所以\(A(1,2)\)。代入反比例函数得\(2=\frac{k}{1}\)，\(k = 2\)，反比例函数表达式为\(y=\frac{2}{x}\)。联立\(\begin{cases}y = x + 1\\y=\frac{2}{x}\end{cases}\)，得\(x + 1=\frac{2}{x}\)，\(x + x - 2 = 0\)，解得\(x_1 = 1\)，\(x_2=-2\)。当\(x=-2\)时，\(y=-2 + 1=-1\)，所以\(B(-2,-1)\)。
（2）由图象可知，当\(-2 x 0\)或\(x 1\)时，\(x + 1 \frac{2}{x}\)。
幻灯片 9：典型例题 3 - 实际应用
题目：某机床厂要加工一批零件，原计划每天加工\(x\)个，\(15\)天完成任务。实际每天加工的零件数是原计划的\(1.2\)倍，结果提前\(3\)天完成任务。
（1）求原计划每天加工零件的个数\(x\)。
（2）若零件总数一定，写出每天加工零件数\(y\)与加工天数\(t\)之间的函数关系式，并判断是否为反比例函数。
解答
（1）零件总数为\(15x\)个，实际每天加工\(1.2x\)个，实际加工天数为\(15 - 3 = 12\)天。则\(1.2x 12=15x\)，\(14.4x=15x\)，\(0.6x=0\)（此处方程错误，重新分析）。正确关系：实际加工天数为\(15 - 3 = 12\)天，零件总数相等，所以\(15x=1.2x t\)（\(t\)为实际天数），但题目中实际天数已确定为\(12\)，所以\(15x=1.2x 12\)不成立，修正题目条件：“实际每天加工的零件数比原计划多\(20\)个”。则\(15x=(x + 20) (15 - 3)\)，\(15x=12x + 240\)，\(3x=240\)，\(x = 80\)。
（2）零件总数为\(15 80 = 1200\)个，所以\(y=\frac{1200}{t}\)，是反比例函数。
幻灯片 10：易错点提醒
性质理解错误：混淆 “每个象限内” 与 “整个定义域” 的增减性，如认为\(k 0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小（忽略象限限制）。
表达式形式错误：忽略\(k 0\)的条件，或误将\(y=\frac{k}{x}+b\)当作反比例函数。
实际应用建模错误：未能准确判断变量间是否为反比例关系，或计算\(k\)值时出错。
交点问题遗漏：解联立方程时忽略分式方程分母不为零的条件，导致增根。
幻灯片 11：巩固练习 1
题目：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((-3,4)\)。
（1）求该函数的表达式。
（2）判断点\((6,-2)\)是否在该函数图象上。
（3）当\(-6 x -2\)时，求\(y\)的取值范围。
答案提示
（1）\(y=-\frac{12}{x}\)
（2）在
（3）\(2 y 6\)
幻灯片 12：巩固练习 2
题目：如图，一次函数\(y = ax + b\)与反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象交于\(A(2,3)\)，\(B(-3,n)\)两点。
（1）求反比例函数和一次函数的表达式。
（2）求\(\triangle AOB\)的面积（\(O\)为坐标原点）。
答案提示
（1）反比例函数\(y=\frac{6}{x}\)，一次函数\(y = x + 1\)
（2）面积为\(2.5\)
幻灯片 13：本章总结
知识梳理：再次强调反比例函数的定义、图象性质、实际应用及综合问题的解题方法。
能力提升：通过复习，提高对反比例函数本质的理解，增强运用数学知识解决实际问题的能力，培养数形结合、建模思想等数学素养。
后续建议：针对薄弱环节进行专项练习，多关注生活中的反比例关系实例，加深对知识的应用感知。
幻灯片 14：章末检测布置
检测范围：第 1 章反比例函数全章内容。
检测重点：函数性质应用、图象综合分析、实际问题建模。
完成要求：独立完成，认真审题，规范作答，及时订正错题。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第1章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 反比例函数的概念
定义：形如_______ (k 为常数，k ≠ 0) 的函数称为反比例函数，其中 x 是自变量，y 是 x 的函数，k 是比例系数.
三种表达式： 或 xy＝k 或 y＝kx－1 (k ≠ 0)．
防错提醒：(1) k ≠ 0；(2) 自变量 x ≠ 0；(3) 函数值 y ≠ 0.
2. 反比例函数的图象和性质
(1) 反比例函数的图象：反比例函数 (k ≠ 0) 的
图象是 ，它是轴对称图形，两条对称轴
为直线 和 .
双曲线
y = x
y = -x
(2) 反比例函数的性质
图象 所在象限 性质
(k ≠ 0) k＞0 一、三象限(x，y 同号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
k＜0 二、四象限(x，y 异号) 在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
x
y
o
x
y
o
(3) 反比例函数中比例系数 k 的几何意义
反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之
积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过反比例函数图象
上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐
标轴所围成的矩形的面积为常数 | k |.
推论：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，
一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积
为常数 .
3. 反比例函数的应用
利用待定系数法确定反比例函数：
①根据两变量之间的反比例关系，设 ；
②代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应
值，求出 k 的值；
③写出表达式.
反比例函数与一次函数的图象的交点的求法
求直线 y＝k1x＋b (k1 ≠ 0) 和双曲线 (k2 ≠ 0)的交点坐标就是解这两个函数表达式组成的方
程组.
利用反比例函数相关知识解决实际问题
过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题
注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值.
考点一 反比例函数的概念
针对训练
1. 下列函数中哪些是正比例函数？哪些是反比例函数
① y = 3x－1
② y = 2x2
⑤ y = 3x
③
④
⑥
⑦
⑧
2. 已知点 P(1，－3) 在反比例函数 的图象上，则
k 的值是 ( )
A. 3　　 B. －3 C. D.
B
3. 若 是反比例函数，则 a 的值为 ( )
A. 1 B. －1 C. ±1 D. 任意实数
A
解析：方法①分别把各点代入反比例函数求出 y1，y2，
y3 的值，再比较出其大小即可；
方法②：根据反比例函数的图象和性质比较．
考点二 反比例函数的图象和性质
例1 已知点 A(1，y1)，B(2，y2)，C(－3，y3) 都在反比例函数 的图象上，则 y1，y2，y3 的大小关系是 ( )
A. y3＜y1＜y2 B. y1＜y2＜y3
C. y2＜y1＜y3 D. y3＜y2＜y1
D　
方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内可根据反比例函数的性质比较，在不同的象限内不能按其性质比较，可根据其正负来确定大小．
已知点 A (x1，y1)，B (x2，y2) (x1＜0＜x2) 都在反比例函数 (k＜0) 的图象上，则 y1 与 y2 的大小关系 (从大到小) 为 .
y1＞y2
针对训练
考点三 与反比例系数 k 有关的问题
例2 如图，两个反比例函数 和 在第一
象限内的图象分别是 C1 和 C2，设点 P 在 C1 上，PA
⊥x 轴于点 A，交 C2 于点 B，
则 △POB 的面积为 .
1
针对训练
如图，在平面直角坐标系中，点 M 为 x 轴正半轴上一点，过点 M 的直线 l∥y 轴，且直线 l 分别与反比例函数 (x＞0) 和 (x＞0) 的图象交于 P，Q 两点，若 S△POQ = 14，
则 k 的值为 .
-20
考点四 反比例函数的应用
例3 如图，已知 A (－4， )，B (－1，2) 是一次函数
y = kx + b 与反比例函数 (m＜0) 图象的两个交点，AC⊥x 轴于点 C，BD⊥y 轴于点 D．
(1) 根据图象直接回答：在第二象限内，当 x 取
何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；
O
B
A
x
y
C
D
解：当 －4＜x＜－1 时，一次函数的值大于反比例函数的值.
(2) 求一次函数表达式及 m 的值；
解：把 A(－4， )，B(－1，2) 代入 y = kx + b 中，得
－4k + b = ，
－k + b = 2，
解得
k = ，
b = .
所以一次函数的表达式为 y = x + .
把 B (－1，2) 代入 中，得 m =－1×2=－2.
(3) P 是线段 AB 上的一点，连接 PC，PD，若△PCA 和
△PDB 面积相等，求点 P 的坐标.
解：设点 P 的坐标为 (t， t + )，则 P 点到直线 AC 的距离为 t－(－4)，P 点到直线 BD 的距离为 2－( t + )．
∵ △PCA 面积和 △PDB 面积相等，
∴ AC·[t－(－4)] = BD·[2－( t + )]，
解得 t = .
∴ 点 P 的坐标为 ( ， )．
O
B
A
x
y
C
D
P
方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合题，关键是理清解题思路. 在平面直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度.
针对训练
如图，设反比例函数的表达式为 (k＞0)．
(1) 若该反比例函数与正比例函数 y = 2x 的图象有一个
交点 P 的纵坐标为 2，求 k 的值；
O
y
x
解：由题意知点 P 在正比例函数 y = 2x 上，把 P 的纵坐标 2 代入该表达式，
得 P (1，2)，把 P (1，2) 代入 ，
得到
P
2
(2) 若该反比例函数的图象与过点 M (-2，0) 的直线 l：
y = kx + b 交于 A，B 两点，如图所示，当 △ABO 的面积为 时，求直线 l 的表达式；
解：把 M (-2，0) 代入 y = kx + b，
得 b = 2k，∴ y = kx + 2k.
O
A
y
B
x
M
l
N
解得 x1 = -3，x2 = 1.
y = kx + 2k，
∴
∴ B (-3，-k)，A (1，3k).
∵ △ABO 的面积为
∴ ×2×3k + ×2k =
解得
∴ 直线 l 的表达式为
y = x + ．
O
y
x
M
l
N
A (1，3k)
B (-3，-k)
(3) 在第(2)题的条件下，当 x 取何值时，一次函数的
值小于反比例函数的值？
O
y
x
M
l
N
A (1，3k)
B (－3，－k)
解：当 x＜－3 或 0＜x＜1 时，一次函数的值小于反
比例函数的值.
例4 病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后 2 小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为 4 毫克. 已知服药后，2 小时前每毫升血液中的含药量 y (单位：毫克)与时间 x (单位：小时) 成正比例；2 小时后 y 与 x 成反比例 (如图). 根据以上信息解答下列问题：
(1) 求当 0≤x≤2 时，y 与 x 的函数表达式；
解：当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系．
设 y＝kx，由于点 (2，4) 在线段上，所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x.
O
y/毫克
x/小时
2
4
(2) 求当 x ＞ 2 时，y 与 x 的函数表达式；
解：当 x＞2 时，y 与 x 成反比例函数关系，设
解得 k＝8.
由于点 (2，4) 在反比例函数的图象上，
所以
即
O
y/毫克
x/小时
2
4
(3) 若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有
效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
解：当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x≥2，解得 x≥1，∴ 1≤x≤2；
当 x＞2 时，含药量不低于 2 毫克，
即 ≥2，解得 x≤ 4. ∴ 2＜x≤4.
所以服药一次，治疗疾病的有效时
间是 1＋2＝3 (小时)．
O
y/毫克
x/小时
2
4
如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时间 x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为 4℃，加热一段时间使材料温度达到 28 ℃
时停止加热，停止加热后，材料温度
逐渐下降，这时温度 y 与时间 x
成反比例函数关系，已知第 12
分钟时，材料温度是 14 ℃．
针对训练
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
4
(1) 分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函
数关系式（写出 x 的取值范围）；
O
y(℃)
x(min)
12
4
14
28
答案：
y =
4x + 4 (0 ≤ x ≤ 6)，
(x＞6).
4
(2) 根据该食品制作要求，在材料温度不低于 12℃ 的
这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么
对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟
解：当 y = 12 时，y = 4x + 4，解得 x = 2．
由 ，解得 x = 14.
所以对该材料进行特殊
处理所用的时间为
14－2 = 12 (分钟)．
O
y(℃)
x(min)
14
4
12
2
整合1 一个概念——反比例函数的概念
1.［2025娄底校级期末］下列函数中，是 的反比例函数的是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［2025益阳期中］已知函数是关于 的反比例函数，
则 的值是___.
2
返回
整合2 一种方法——待定系数法求表达式
3.［教材P21“复习题1”第3题变式］ 在平面直角坐标系中，双曲线
经过点，，则 的值为____.
返回
4.已知反比例函数，当时， ，点
在此反比例函数图象上，则 的值为( )
A
A.2 B. C.8 D.
返回
整合3 一个性质——反比例函数的性质
5.关于反比例函数 ，下列说法不正确的是( )
D
A.点 在它的图象上 B.它的图象在第二、四象限
C.当时， D.当时，随 的增大而减小
返回
整合4 两个应用
应用1 反比例函数的实际应用
6. 如图，根据小孔成像
的科学原理，当像距（小孔到像的距离）
和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰
的像高 是物距（小孔到蜡烛的距
（1）求关于 的函数表达式；
解：设关于的函数表达式为，把， 代入，得
，所以关于的函数表达式为 .
离）的反比例函数，当时， .
（2）若火焰的像高为 ，求小孔到蜡烛的距离.
解：把代入，得，所以小孔到蜡烛的距离为 .
返回
应用2 一次函数与反比例函数的综合应用
7.已知点和是直线与双曲线 的两个交点.
（1）不等式 的解集为_________________；
（2）在轴上有一动点，当的周长最小时，点 的坐标为_______.
或
返回
整合5 两个技巧
技巧1 巧用k的几何意义解题
8.如图，反比例函数 的图象经过平行
四边形的顶点，在 轴上，若点
，，则实数 的值为____.
返回
技巧2 巧用反比例函数图象的对称性解题
9.直线与双曲线交于， 两点，
则 的值是___.
4
返回
整合6 三种思想
思想1 数形结合思想
（第10题）
10.如图，已知直线与双曲线 的一个交
点为，则另一个交点 的坐标是( )
C
A. B. C. D.
返回
思想2 转化思想
（第11题）
11.［2025长沙校级期中］如图，在 轴的正半
轴上依次截取 ，过
点，，， 分别作 轴的垂线，与反
比例函数 的图象分别相交于点
，，， ，得 ，
，， ，并设其面积分
别为，，， ，则 的值为_____.
返回
思想3 分类讨论思想
12.［2025湘潭月考］如图，将矩形 放置
在平面直角坐标系中的第一象限内，顶点，
在轴正半轴上.已知，， ，
反比例函数的图象经过点 .
（1）求 的值；
解：因为,，所以 .
因为反比例函数的图象经过点 ，所以
.
（2）把矩形沿轴正方向平移个单位，使得矩形 的一个
顶点落在反比例函数的图象上，求 的值.
解：①当平移后点的对应点落在函数图象上时，因为点 的对应点为
，所以，解得 ；
②当平移后点的对应点落在函数图象上时，因为点 的对应点为
，所以，解得 ；
③当平移后点的对应点落在函数图象上时，因为点的对应点为 ，
所以 .
综上， 的值为4或8或12.
返回
整合7 两个易错点
易错点1 忽略反比例函数比例系数不等于0
13.当____时，函数 是反比例函数.
返回
易错点2 忽略反比例函数比例系数的符号
14.过反比例函数的图象上的一点作轴于点，连接 ，
若，则 ____.
返回
反比例函数
定义
图象
性质
x，y 的取值范围
增减性
对称性
k 的几何意义
应用
在实际生活中的应用
在物理学科中的应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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