第4章 锐角三角形【章末复习】（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共62张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第 4 章 锐角三角函数 章末复习
副标题：系统梳理 典例精析 巩固提升
姓名：[教师姓名]
日期：[复习日期]
幻灯片 2：本章知识结构
核心内容：
锐角三角函数的定义（正弦、余弦、正切）
特殊角的三角函数值（30°、45°、60°）
用计算器求锐角的三角函数值
解直角三角形
实际应用（仰角、俯角问题；坡度问题）
知识联系：直角三角形的边角关系是核心，三角函数是工具，实际应用是落脚点，通过解直角三角形将知识串联整合。
幻灯片 3：知识梳理 1 - 锐角三角函数的定义
正弦：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{ A è }{ è } = \frac{a}{c}\)。
余弦：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\cos A = \frac{ A é è }{ è } = \frac{b}{c}\)。
正切：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\tan A = \frac{ A è }{ A é è } = \frac{a}{b}\)。
注意事项：
三角函数值只与锐角的度数有关，与三角形的大小无关。
正弦和余弦值的范围是\(0 < \sin\alpha < 1\)，\(0 < \cos\alpha < 1\)；正切值随角度增大而增大，范围是\(\tan\alpha > 0\)。
幻灯片 4：知识梳理 2 - 特殊角的三角函数值
锐角 α
30°
45°
60°
\(\sin\alpha\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos\alpha\)
\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{2}\)
\(\tan\alpha\)
\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(1\)
\(\sqrt{3}\)
记忆技巧：
30° 和 60° 的正弦、余弦值交叉对应，正切值互为倒数。
45° 的正弦、余弦值相等，正切值为 1。
可结合直角三角形的边长关系（如 30° 对边为斜边一半）辅助记忆。
幻灯片 5：知识梳理 3 - 用计算器求三角函数值
操作步骤：
确认计算器处于 “度” 模式（屏幕显示 “D”）。
输入锐角的度数（度分秒需转换为度，如\(30 °30' = 30.5 °\)）。
按下对应三角函数键（\(\sin\)、\(\cos\)、\(\tan\)），结果保留指定小数位数。
示例：求\(\cos 25 °30'\)的值，转换为\(25.5 °\)，计算得约\(0.9026\)。
幻灯片 6：知识梳理 4 - 解直角三角形
定义：由直角三角形的已知元素求出未知元素的过程。
依据：
三角函数关系：\(\sin A = \frac{a}{c}\)，\(\cos A = \frac{b}{c}\)，\(\tan A = \frac{a}{b}\)。
勾股定理：\(a + b = c \)。
角角关系：∠\(A + B = 90 °\)。
基本类型：
已知一边和一锐角。
已知两边（两条直角边或一条直角边和斜边）。
幻灯片 7：知识梳理 5 - 实际应用相关概念
仰角与俯角：视线与水平线所成的锐角，仰角用于低处测高处，俯角用于高处测低处。
坡度与坡角：坡度\(i = \frac{ é h}{ ° l} = \tan\alpha\)（\(\alpha\)为坡角），表示为\(1:m\)的形式。
解题步骤：审题→建模（构造直角三角形）→标注已知量→选择关系式求解→检验结果。
幻灯片 8：典例精析 1 - 三角函数的基本计算
题目：计算下列各式的值。
（1）\(\sin 30 ° + \cos 60 ° - \tan 45 °\)
（2）\(\frac{\sin 60 ° \cdot \cos 30 °}{\tan 60 °}\)
解答：
（1）原式\( = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1 = 0\)。
（2）原式\( = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\frac{3}{4}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}\)。
方法总结：直接代入特殊角的三角函数值，注意运算顺序和分母有理化。
幻灯片 9：典例精析 2 - 解直角三角形
题目：在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AC = 6\)，∠\(A = 60 °\)，解这个直角三角形。
解答步骤：
求∠\(B\)：∠\(B = 90 ° - 60 ° = 30 °\)。
求斜边\(AB\)：\(\cos A = \frac{AC}{AB}\)，即\(\cos 60 ° = \frac{6}{AB}\)，解得\(AB = 12\)。
求直角边\(BC\)：\(\tan A = \frac{BC}{AC}\)，即\(\tan 60 ° = \frac{BC}{6}\)，解得\(BC = 6\sqrt{3}\)。
结论：∠\(B = 30 °\)，\(AB = 12\)，\(BC = 6\sqrt{3}\)。
幻灯片 10：典例精析 3 - 仰角俯角问题
题目：如图，从地面\(C\)点测得塔顶\(A\)的仰角为\(45 °\)，向塔前进\(20m\)到达\(D\)点，测得塔顶\(A\)的仰角为\(60 °\)，求塔高\(AB\)（结果保留根号）。
解答步骤：
设\(AB = x m\)，则\(BC = x m\)（∠\(ACB = 45 °\)），\(BD = x - 20 m\)。
在 Rt△\(ABD\)中，\(\tan 60 ° = \frac{AB}{BD}\)，即\(\sqrt{3} = \frac{x}{x - 20}\)。
解得\(x = \sqrt{3}(x - 20)\)，\(x = 30 + 10\sqrt{3}\)。
结论：塔高\(AB\)为\((30 + 10\sqrt{3})m\)。
幻灯片 11：典例精析 4 - 坡度问题
题目：某山坡的坡度为\(i = 1:2\)，某人沿斜坡向上行走\(100m\)，求他上升的垂直高度和水平前进的距离（结果保留根号）。
解答步骤：
设垂直高度为\(h\)，水平距离为\(l\)，由坡度\(i = 1:2\)得\(h:l = 1:2\)，设\(h = x m\)，则\(l = 2x m\)。
由勾股定理得\(x + (2x) = 100 \)，\(5x = 10000\)，\(x = 2000\)，\(x = 20\sqrt{5}\)。
结果：\(h = 20\sqrt{5}m\)，\(l = 40\sqrt{5}m\)。
结论：上升的垂直高度为\(20\sqrt{5}m\)，水平前进距离为\(40\sqrt{5}m\)。
幻灯片 12：易错点警示
概念混淆：
误用坡度表示坡角（如将坡度\(1:2\)当作坡角为\(2 °\)）。
混淆仰角和俯角的方向（视线与铅垂线的夹角）。
计算错误：
特殊角三角函数值记忆错误（如\(\tan 60 ° = \frac{\sqrt{3}}{3}\)）。
解直角三角形时选错边角关系（如该用正弦时用余弦）。
建模问题：
实际问题中未正确构造直角三角形（忽略测角仪高度、坡顶宽度等）。
复杂图形中未分解为基本图形，难以找到已知量与未知量的关系。
幻灯片 13：综合练习 1 - 基础巩固
题目：
若\(\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}\)，则锐角\(\alpha = \)______°；若\(\tan\alpha = 1\)，则锐角\(\alpha = \)______°。
在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(AB = 10\)，\(\cos A = \frac{3}{5}\)，则\(AC = \)，\(BC = \)。
用计算器求\(\sin 52 °30' \)______（保留四位小数）。
答案
\(60\)，\(45\)
\(6\)，\(8\)（\(AC = AB \cos A = 6\)，由勾股定理得\(BC = 8\)）
\(0.7939\)（\(52 °30' = 52.5 °\)，计算得约\(0.7939\)）
幻灯片 14：综合练习 2 - 能力提升
题目：
如图，一渔船在海中某点\(A\)测得灯塔\(B\)在北偏东\(60 °\)方向，渔船向正东方向航行\(12nmile\)到达\(C\)点，测得灯塔\(B\)在北偏东\(30 °\)方向，求渔船与灯塔的距离\(BC\)。
某大坝的横断面为梯形，坝顶宽\(6m\)，坝高\(10m\)，斜坡\(AB\)的坡度为\(1:2\)，斜坡\(CD\)的坡度为\(1:1.5\)，求坝底宽\(BC\)。
解答提示：
构造 Rt△\(ABD\)和 Rt△\(CBD\)，设\(BC = x\)，则\(CD = \frac{x}{2}\)，\(AD = 12 + \frac{x}{2}\)，由\(\tan 60 ° = \frac{BD}{AD} = \frac{BD}{CD}\)得\(x = 12nmile\)。
分解梯形为直角三角形和矩形，计算得\(BC = 6 + 20 + 15 = 41m\)。
幻灯片 15：本章总结与反思
知识回顾：重点掌握三角函数的定义、特殊角的值、解直角三角形的方法及实际应用模型。
能力要求：
能准确理解并运用三角函数概念解决计算问题。
能根据已知条件选择合适的方法解直角三角形。
能将实际问题转化为数学模型，运用所学知识解决实际测量问题。
学习建议：
加强特殊角三角函数值的记忆，多做基础计算练习。
注重画图能力的培养，通过示意图分析问题中的边角关系。
针对易错点进行专项训练，避免概念混淆和计算错误。
幻灯片 16：课后作业
基础题：完成教材章末习题中关于三角函数计算和解直角三角形的题目。
提高题：
已知在 Rt△\(ABC\)中，∠\(C = 90 °\)，\(\sin A = \frac{3}{5}\)，周长为\(36\)，求三边的长度。
如图，从高楼顶部\(A\)测得地面上一点\(B\)的俯角为\(30 °\)，测得地面上另一点\(C\)的俯角为\(60 °\)，若\(BC = 20m\)，求高楼的高度\(AD\)。
拓展题：收集生活中应用锐角三角函数的实例，尝试用所学知识解决。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
章末复习
第4章 锐角三角形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
(2)∠A的余弦：cosA =　　　　　 = 　 ；
(3)∠A的正切：tanA = 　　　　　 = 　 .
1. 锐角三角函数
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，
a，b，c 分别是∠A，∠B，∠C 的对边．
(1) ∠A的正弦：
∠A 的对边
斜边
sin A =
∠A 的邻边
斜边
∠A 的邻边
∠A 的对边
sin30°＝　　，sin45°＝　　，sin60°＝　　；
cos30°＝　　，cos45°＝　　，cos60°＝　　；
tan30°＝　　，tan45°＝　　，tan60°＝　　.
2. 特殊角的三角函数
1
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，a，b，c 分别是∠A，
∠B，∠C 的对边．
三边关系：___________；
两锐角关系：________________；
边角关系：sinA＝cosB＝___，cosA＝sinB＝___，
tanA＝_______，tanB＝_______.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B　
3. 解直角三角形
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少
有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素．
解法：①知一边一锐角，先由两锐角互余关系求
出另一锐角；若知斜边则用正弦(或余弦)求另两
边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或
勾股定理求斜边；②知两边：先用勾股定理求另
一边，再用三角函数求锐角；③解斜三角形的问
题可通过添加辅助线转化为解直角三角形问题．
(3) 互余两角的三角函数间的关系
sinα = ，
cosα = _____________，
sin2α + cos2α = .
tanα · tan(90°－α) =___.
cos(90°－α)
sin(90°－α)
1
1
对于 sin α 与 tan α，角度越大，函数值越 ；
对于 cos α，角度越大，函数值越___ _.
大
小
(4) 锐角三角函数的增减性
(1) 利用计算器求三角函数值
第二步：输入角度值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果.
(不同计算器操作可能不同)
第一步：按计算器上的 键；
sin
tan
cos
4. 借助计算器求锐角三角函数值及锐角
(2) 利用计算器求锐角的度数
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
第二步：输入函数值；
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
方法①：
°＇″
2nd F
第一步：按计算器 键；
2nd F
sin
cos
tan
方法②：
第二步：输入锐角函数值
第三步：按 “ = ” 号键，得到结果 (按实际需要进行精确).
第一步：按计算器 键，
°＇″
2nd F
(1) 仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
5. 三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角，叫做方向角. 如图：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
(2) 方向角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α，
则有 i = tan α.
坡度通常写成 1∶m 的形式，如
i =1∶6.显然，坡度越大，坡角 α
就越大，坡面就越陡.
如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比
叫做坡面坡度.记作 i，即 i = .
(3) 坡度、坡角
(4) 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过
程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，
转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等
去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
A
C
M
N
①在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α；
E
②量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l；
③量出测倾器的高度 AC = a，可求出
MN = ME + EN = l · tanα + a.
α
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
6. 利用三角函数测高
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点 A 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MCE = α；
A
C
B
D
M
N
E
α
②在测点 A 与物体之间的 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β；
β
③量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距
离 AB = b. 根据测量数据，可求出物体 MN 的高度.
考点一 求三角函数的值
例 1 在△ABC 中，∠C＝90°，sinA＝ ，则 tan B 的
值为 ( )
A.　　 B.　 　 C.　 　D.
解析：根据 sin A＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为 3k，所以 tan B＝
B
方法总结：求三角函数值方法较多，解法灵活，在具体的解题中要根据已知条件采取灵活的计算方法，常用的方法主要有：
(1)根据特殊角的三角函数值求值；
(2)直接运用三角函数的定义求值；
(3)借助边的数量关系求值；
(4)借助等角求值；
(5)根据三角函数关系求值；
(6)构造直角三角形求值．
1. 在△ABC 中，且 sinA = ，cosB = ，则∠C =___°.
90
2. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，
B，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是____.
针对训练
例 2 如图，矩形 ABCD 中，AB = 10，BC = 8，E 为 AD 边上一点，沿 CE 将△CDE 对折，使点 D 正好落在 AB 边上，求 tan∠AFE 的值．
分析：根据题意，易得∠AFE =∠BCF，而在 Rt△BFC 中，易得 BC = 8，CF = 10，由勾股定理可求得 BF 的长，从而求得 tan∠BCF，即得 tan∠AFE 的值.
10
8
10
8
解：由折叠可得 CF = CD = 10，∠EFC = ∠EDC = 90°.
∵∠AFE +∠EFC +∠BFC = 180°，
∴∠AFE +∠BFC = 90°.
∵∠BCF +∠BFC = 90°，∴∠AFE =∠BCF.
在 Rt△BFC 中，BC = 8，CF = 10，
由勾股定理得 BF = 6.
∴ tan∠BCF = .
∴ tan∠AFE = tan∠BCF = .
10
解：在 Rt△ABD 中，∵ tan∠BAD =
∴ BD = AD·tan∠BAD = 12× = 9.
∴ CD = BC－BD = 14－9 = 5.
∴
∴ sinC =
如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足是 D．若 BC＝
14，AD＝12，tan∠BAD＝ ，求 sinC 的值．
针对训练
考点二 特殊角的三角函数值
例3 计算：
解：原式＝
(1) tan 30°＋cos 45°＋tan 60°；
(2) tan 30°· tan 60°＋ cos2 30°.
计算：
解：原式
解：原式
针对训练
考点三 解直角三角形
例 4 如图，在△ABC 中，∠C = 90°，点 D 在 BC 上，BD = 4，AD = BC，cos∠ADC = ．
(1) 求 CD 的长；
分析：图中给出了两个直角三角形，CD 可在 Rt△ACD 中求得，由 AD = BC，CD = BC－BD，以及 cos∠ADC 的值，可列方程求出CD．
A
B
C
D
又 BC－CD = BD，
解得 x = 6，∴CD = 6.
解：设 CD = x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC = ，
A
B
C
D
(2) 求 sin B 的值．
解：BC = BD + CD = 4 + 6 = 10 = AD.
在 Rt△ACD 中，
在 Rt△ABC 中，
A
B
C
D
方法总结：本考点主要考查已知三角形中的边与角求其他的边与角.解决这类问题一般是结合方程思想与勾股定理，利用锐角三角函数进行求解.
如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = .
点 D 为 BC 边上一点，且 BD = 2AD，∠ADC = 60°.
求△ABC 的周长 (结果保留根号).
针对训练
解：在Rt△ADC中，
∴BD = 2AD = 4.
∴ BC = BD + DC = 5.
在 Rt△ABC 中，
∴△ABC 的周长为 AB + BC + AC
考点四 三角函数的应用
例5 如图，防洪大堤的横截面是梯形 ABCD，其中 AD∥
BC，α = 60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角 β = 45°．若原坡长 AB = 20 m，求改造后的坡长 AE．(结果保留根号)
解：过点 A 作 AF⊥BC 于点 F，
在 Rt△ABF 中，∠ABF =∠α = 60°，
则 AF = AB·sin60° = (m)，
在 Rt△AEF 中，∠E =∠β = 45°，
则 (m).
故改造后的坡长 AE 为
m.
F
如图，某防洪指挥部发现长江边一处防洪大堤 (横断面为梯形 ABCD) 急需加固，背水坡的坡角为 45°，高 10 米．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：沿背水坡面用土石进行加固，并使上底加
宽 2 米，加固后背水坡 EF 的坡比
i =1:　 ．求加固后坝底增加
的宽度 AF. (结果保留根号)
A
B
C
D
E
F
45°
i =1:
针对训练
A
B
C
D
E
F
45°
i=1:
G
H
解：作 DG⊥AB 于点 G，EH⊥AB 于点 H.
则 GH = DE = 2 米，EH = DG = 10 米.
(米)，
(米).
又∵AG = DG = 10 米，
∴ (米).
故加固后坝底增加的宽度 AF 为 米.
例 6 如图，某数学活动小组选定测量小河对岸大树 BC 的高度，他们在斜坡上 D 处测得大树顶端 B 的仰角是 30°，朝大树方向下坡走 6 米到达坡底 A 处，在A处测得大树顶端B的仰角是 48°，若坡角∠FAE = 30°，求大树的高度（结果保留
整数，参考数据：sin48°
≈ 0.74，cos48° ≈ 0.67，
tan48° ≈ 1.11， ≈ 1.73）.
解：如图，作 DG⊥BC 于点 G，DH⊥CE 于点 H．
则四边形 DHCG 为矩形．
故 DG = CH，CG = DH，
在 Rt△AHD 中，∵∠DAH = 30°，AD = 6，
∴ DH = 3，AH = . ∴ CG = 3.
设 BC 为 x.
在 Rt△ABC 中，
G
H
在 Rt△BDG 中，∵ BG = DG · tan30°，
解得 x ≈ 13．
∴ 大树的高度为 13 米.
∴
∴
G
H
如图，为了测出某塔 CD 的高度，在塔前的平地上选择一点 A，用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 30°，在 A，
C 之间选择一点 B（A，B，C 三点在同一直
线上）．用测角仪测得塔顶 D 的仰角为 75°，
且 AB 间的距离为 40 m．
(1) 求点 B 到 AD 的距离；
答案：点 B 到 AD 的距离为 20 m.
E
针对训练
(2) 求塔高 CD（结果用根号表示）．
解：在 Rt△ABE 中，∠A = 30°，
∴ AE = ，∠ABE = 60°.
∵∠DBC = 75°，∴∠EBD = 180°－60°－75° = 45°.
∴ DE = EB = 20 m.
则 AD = AE + EB = (m).
在 Rt△ADC 中，∠A = 30°，
答：塔高 CD 为 m.
∴ (m).
E
例7 如图，轮船甲位于码头 O 的正西方向 A 处，轮船乙位于码头 O 的正北方向 C 处，测得∠CAO = 45°，轮船甲自西向东匀速行驶，同时轮船乙沿正北方向匀速行驶，它们的速度分别为 45 km/h
和 36 km/h，经过 0.1 h，轮船甲行驶
至 B 处，轮船乙行驶至 D 处，测得
∠DBO = 58°，此时 B 处距离码头 O
多远？（参考数据：sin58° ≈ 0.85，
cos58° ≈ 0.53，tan58° ≈ 1.60）
解：设 BO = x km.
在 Rt△CAO 中，∠CAO = 45°，
∴CO = AO · tan∠CAO = (45×0.1 + x) tan45° = 4.5 + x.
在 Rt△DBO 中，∠DBO = 58°，
∴ DO = BO · tan∠DBO = x · tan58°.
∵ DC = DO－CO，
∴ 36×0.1 = x · tan58°－(4.5 + x).
故 B 处距离码头 O 大约 13.5 km.
∴
∵ tan∠CAO = ，
整合1 两个概念
概念1 锐角三角函数
1.如图，在平面直角坐标系中，直线过点，与轴的夹角为 ，
则下列结论错误的是( )
D
（第1题）
A. B. C. D.
返回
概念2 解三角形
2.［教材P135“复习题4”第1题变式］ 如图，在 中，
， ，，则 的长为_________.
（第2题）
返回
整合2 两种关系
关系1 互余两角的三角函数关系
3.在中，， ，则下列式子成立的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
关系2 同角的三角函数关系
4.在中， ，，则 的值等于___.
返回
整合3 一个运算——特殊角的三角函数值与实数的运算
5.［2025常德校级月考］计算：
_____.
返回
整合4 解直角三角形的三个应用
应用1 仰角与俯角的应用
6.如图，一枚运载火箭从地面处发射，雷达站 与发射
点相距,当火箭到达点 时，雷达站测得仰角为
，则这枚火箭此时的高度 为( )
D
A. B.
C. D.
返回
7. 为了保护学生视力，
要求学生写字时应保持眼睛与书本的
最佳距离约为.如图， 为桌面，
嘉琪同学眼睛看作业本 的俯角为
（1）请通过计算，判断嘉琪的眼睛与作业本的距离是否符合最佳要求；
解：由题意得 ， ，
在中，，即，解得 .
， 嘉琪的眼睛与作业本的距离不符合最佳要求.
，身体离书桌的距离，眼睛到桌面的距离 .
（2）为确保眼睛与作业本的距离符合最佳要求，在身体离书桌的距离
和眼睛到桌面的距离保持不变的情况下，需将作业本沿 方向移
动到点处，求作业本移动的距离.（结果精确到 ,参考数据：
，， ）
解：连接，由题意得 ，
在中，， ，
，， ，
，
.
答：作业本移动的距离约为 .
返回
应用2 坡度与坡角的应用
8.为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝.如图，拦水坝的横断面为梯
形，斜面的坡度（即坡面的铅垂高度与水平宽度
的比）.已知斜坡的长度为， ，求斜坡 的长.
（结果精确到，参考数据：， ，
）
解：过点作，垂足为 ，
由题意得， ，
， 可设，则 .
在 中，
.
在中， ， ，
，
，，解得 ，
， 斜坡的长约为 .
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应用3 方向角的应用
9.如图，一渔船在海上处测得灯塔在它的北偏东 方向上，渔船向
正东方向航行到达点处，测得灯塔在它的北偏东 方向
上，若渔船继续向正东方向航行，则渔船与灯塔 的最短距离是
___________ .
（第9题）
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整合5 两种技巧
技巧1 构造直角三角形
（第10题）
10.正方形网格中（每个小正方形的边长均为1），
如图所示放置（点在上，且点，， 均在网格的
格点上），则 的值为___.
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技巧2 化斜三角形为直角三角形
11.如图，在中，，， ,则 的长为
____， 的长为_________.
10
（第11题）
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整合6 两种数学思想
思想1 方程思想
（第12题）
12.［教材P136“复习题4”第11题变式］ 在一次综
合实践活动中，某校数学兴趣小组对一电视发射
塔的高度进行了测量.如图，在塔前 处，测得该
塔顶端的仰角为 ，后退
到处有一平台，在高 的平台上
55
的处，测得的仰角为 ，则该电视发射塔的高度约为____ .
（结果精确到，参考数据：， ）
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思想2 分类讨论思想
13.在中，，， ，则 _________
__________.
或
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整合7 三个易错点
易错点1 忽略锐角三角函数的取值范围
14.已知是锐角，化简： ___.
1
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易错点2 缺少直角三角形的条件而直接求锐角三角函数值
15.等腰三角形的腰长与底边长之比是 ，则底角的正弦值为_ _.
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易错点3 图形不唯一而漏解
16.在中，是边上的高，是边上的中线， ,
.若，则 的值为______.
或3
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锐角三角函数
特殊角的三角函数
解直角三角形
简的单实际问题
正弦
锐
角
三
角
函
数
余弦
正切
三边关系
三角关系
边角关系
仰、俯角问题
方向角问题
坡度、坡角问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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