第5章 用样本推断总体【章末复习】（教学课件）湘教版2025-2026学年九年级数学上册

(共41张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：第 5 章 用样本推断总体 章末复习
副标题：知识整合 方法提炼 能力升华
姓名：[教师姓名]
日期：[复习日期]
幻灯片 2：本章知识结构
核心主题：用样本的特征推断总体的特征，是统计的核心思想之一。
知识脉络：
总体、个体、样本、样本容量的基本概念
用样本平均数估计总体平均数
用样本方差估计总体方差
统计的简单应用（数据收集、整理、展示与分析）
抽样调查的合理性与样本代表性
学习目标：理解样本推断总体的思想，掌握估计方法，能解决实际统计问题。
幻灯片 3：知识梳理 1 - 基本概念
总体：所要考察对象的全体（如全校学生的身高、一批零件的尺寸）。
个体：总体中的每一个考察对象（如每个学生的身高、每个零件的尺寸）。
样本：从总体中抽取的一部分个体（如抽取 50 名学生的身高、30 个零件的尺寸）。
样本容量：样本中个体的数目（无单位，如 “样本容量为 50”）。
关键关系：样本是总体的一部分，通过样本特征推断总体特征是统计的基本方法。
幻灯片 4：知识梳理 2 - 用样本估计总体的核心方法
估计总体平均数：
计算样本平均数\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i\)，用\(\bar{x}\)作为总体平均数\(\mu\)的估计值，即\(\hat{\mu} = \bar{x}\)。
估计总体方差：
计算样本方差\(s^2 = \frac{1}{n - 1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)（或\(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)），用\(s^2\)作为总体方差\(\sigma^2\)的估计值，即\(\hat{\sigma}^2 = s^2\)。
估计总体比例：
计算样本中某类别的频率（\(\frac{é °}{ · é }\)），用频率作为总体中该类别比例的估计值。
幻灯片 5：知识梳理 3 - 数据的收集与整理
数据收集方法：
普查：全面调查，结果准确但成本高（适用于总体容量小或重要问题）。
抽样调查：非全面调查，高效经济但结果为估计值（需保证样本代表性）。
抽样原则：
随机性：总体中每个个体被选中的机会均等。
代表性：样本结构与总体结构相似，避免偏差。
数据整理工具：
频数分布表：按区间或类别分组，记录频数和频率。
统计图表：条形图、扇形图、折线图等，直观展示数据特征。
幻灯片 6：知识梳理 4 - 统计图表的选择与应用
图表类型
适用场景
优点
条形图
比较不同类别的数据大小
直观展示数量差异
扇形图
展示各部分占总体的比例
清晰呈现构成关系
折线图
展示数据随时间的变化趋势
反映变化规律
频数分布直方图
展示连续数据的分布特征
呈现数据集中与离散程度
注意事项：图表设计需规范（如坐标轴标注清晰、条形图纵轴起点为 0），避免误导。
幻灯片 7：典例精析 1 - 总体平均数与方差的估计
题目：为了解某品牌瓶装水的净含量稳定性，随机抽取 10 瓶检测，净含量（单位：\(mL\)）如下：\(502, 503, 501, 500, 499, 501, 500, 503, 502, 498\)。
计算样本平均数和样本方差。
估计该品牌瓶装水的总体平均数和总体方差。
解答步骤：
样本平均数：\(
\bar{x} = \frac{502 + 503 + \cdots + 498}{10} = 500.9(mL)
\)
样本方差：\(
s^2 = \frac{1}{9}[(502 - 500.9)^2 + \cdots + (498 - 500.9)^2] 2.77(mL^2)
\)
估计：总体平均数约为\(500.9mL\)，总体方差约为\(2.77mL^2\)。
结论：该品牌瓶装水净含量平均约为\(500.9mL\)，波动较小。
幻灯片 8：典例精析 2 - 用样本频率估计总体比例
题目：某社区为了解居民对 “垃圾分类” 政策的支持率，随机抽取 200 户居民调查，其中 168 户表示支持。
计算样本支持率。
估计该社区 5000 户居民中支持 “垃圾分类” 政策的户数。
若再抽取 300 户调查，样本支持率可能为多少？说明理由。
解答步骤：
样本支持率：\(\frac{168}{200} 100\% = 84\%\)。
估计支持户数：\(5000 84\% = 4200\)户。
可能结果：样本支持率接近 84%（如 82% - 86%），因为样本具有随机性，但大样本估计更稳定。
结论：该社区居民对 “垃圾分类” 政策的支持率约为 84%，支持户数约 4200 户。
幻灯片 9：典例精析 3 - 统计图表的综合应用
题目：某商场对 A、B 两种品牌的洗衣机销量进行统计，近 6 个月的销量数据如下（单位：台）：
A 品牌：120, 135, 140, 150, 145, 160
B 品牌：110, 125, 130, 120, 135, 140
绘制折线图展示两种品牌销量变化趋势。
计算两种品牌的月平均销量。
估计哪种品牌的销量增长潜力更大，并说明理由。
解答步骤：
折线图：横轴为月份，纵轴为销量，分别绘制 A、B 品牌折线。
平均销量：
A 品牌：\(\frac{120 + 135 + \cdots + 160}{6} = 141.7\)台
B 品牌：\(\frac{110 + 125 + \cdots + 140}{6} = 126.7\)台
增长潜力：A 品牌销量持续上升（从 120 台增至 160 台），B 品牌波动增长，故 A 品牌潜力更大。
结论：A 品牌月平均销量更高，增长趋势更明显，潜力更大。
幻灯片 10：易错点警示
概念混淆：
混淆 “样本容量” 与 “样本”（样本容量是数量，无单位；样本是具体数据）。
误用 “方差” 与 “标准差”（方差是标准差的平方，单位不同）。
估计偏差：
抽样方法不当导致样本无代表性（如仅调查某一群体）。
样本容量过小，估计结果误差过大。
图表错误：
条形图纵轴起点非零，夸大差异（如纵轴从 80 开始展示 85 与 90 的差距）。
扇形图各部分比例之和不等于 100%。
逻辑误区：
将 “样本估计值” 当作 “总体真实值”（忽略估计的不确定性）。
混淆 “相关性” 与 “因果关系”（如销量增长不一定由质量提升导致）。
幻灯片 11：综合练习 1 - 基础巩固
题目：
为估计某鱼塘中鱼的平均重量，随机捕捞 15 条鱼，重量（单位：\(kg\)）如下：\(1.2, 1.5, 1.3, 1.4, 1.6, 1.5, 1.4, 1.3, 1.5, 1.4, 1.6, 1.5, 1.3, 1.4, 1.5\)。样本平均数为______\(kg\)，估计总体平均数为______\(kg\)。
某样本数据的方差为\(3.2\)，则总体方差的估计值为______，标准差的估计值为______（保留一位小数）。
扇形图中某部分的圆心角为\(144 °\)，则该部分占总体的比例为______%。
答案
\(1.44\)，\(1.44\)（计算样本平均数得\(1.44kg\)）
\(3.2\)，\(1.8\)（标准差为方差的算术平方根）
\(40\)（\(\frac{144}{360} 100\% = 40\%\)）
幻灯片 12：综合练习 2 - 能力提升
题目：某工厂生产两种型号的零件，随机抽取 A 型零件 20 个，测得其直径方差为\(0.04mm^2\)；抽取 B 型零件 25 个，测得其直径方差为\(0.06mm^2\)。
估计哪种型号零件的直径稳定性更好，并说明理由。
若 A 型零件的样本平均数为\(10.0mm\)，估计其总体平均数，并判断 “任意一个 A 型零件的直径一定是\(10.0mm\)” 这一说法是否正确。
解答提示：
A 型零件稳定性更好，因为样本方差更小（\(0.04 < 0.06\)），估计总体波动更小。
总体平均数估计为\(10.0mm\)；说法错误，样本平均数是平均水平，个体数据可能偏离。
幻灯片 13：本章总结与学习建议
核心思想：样本是总体的缩影，通过科学抽样和统计分析，用样本特征推断总体特征。
关键方法：
准确计算样本平均数、方差和频率。
合理选择统计图表展示数据。
结合实际问题解读估计结果，认识估计的随机性和局限性。
学习建议：
重视概念理解，区分总体与样本、平均数与方差的含义。
加强实践应用，通过实际调查（如班级同学的兴趣爱好）体验统计过程。
关注生活中的统计案例（如天气预报、市场调研），培养数据分析素养。
幻灯片 14：课后作业
基础题
某班 40 名学生的数学成绩样本平均数为 82 分，样本方差为 25 分 ，估计全班学生的数学平均成绩和成绩方差。
随机调查某小区 100 户居民的月用电量，得到样本平均数为 180 度，估计该小区 500 户居民的月总用电量。
提高题
比较两个城市的空气质量，A 城市随机抽取 30 天，优良天数 24 天；B 城市随机抽取 40 天，优良天数 30 天。估计哪个城市的空气质量更好，并说明理由。
设计一个调查方案，了解当地居民的日均运动时间，写出抽样方法、数据整理步骤和估计方法。
2025-2026学年湘教版数学九年级上册
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章末复习
第5章 用样本推断总体
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
用样本推断总体
知识方法要点 关键总结 注意事项
用样本平均数估
计总体平均数
从总体中选取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况.运用样本
平均数估计总体平均数
选取的样本应
具有代表性
用样本方差估计
总体方差
由于简单随机样本客观地
反映了实际情况，能够代
表总体，可以用简单随机
样本的方差去估计总体的
方差，从而比较两个样本
的稳定性
先求样本的平
均数，再求方
差
知识方法要点 关键总结 注意事项
用样本的“率”
去估计总体的
“率”
在实践中，常常通过简
单的随机抽样，用样本
的“率”去估计总体相
应的“率”
注意“率”和
“抽样”的含义
通过资料预测
发展趋势
在研究总体情况时，
需要先确定样本容量，
进行抽样调查，在选取简
单随机样本后整理数据、
分析数据确定样本的情况，
推断总体发展趋势
注意区分“样本”
和“总体”
统计的简单应用
例1 甲、乙、丙、丁思维选手各射击 10 次，每人的平均成绩都是 9.3 环，方差如下表：
则这四个人中成绩发挥最稳定的是(　　　)
　A.甲　　 B.乙 C.丙　　　 D.丁
B
考点一 根据方差判定稳定性
选手 甲 乙 丙 丁
方差 0.035 0.016 0.022 0.025
【解析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据约稳定.
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，及波动越小，数据越稳定.
方法归纳
针对训练
1.人们常用来反映数据 x1，x2，…，xn 的变化特征的量是(　　　)
　A.中位数 　　B.众数 　　C.方差 　　D.平均值
C
考点二 用样本估计总体
例2 如图是九年级某班学生适应性考试文综成绩(依 A，B，C，D 等级划分，且 A 等为成绩最好)的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息回答下列问题:
(1)补全条形统计图.
(2)求 C 等所对应的扇形统计图的圆心角的度数.
(3)求该班学生共有多少人
(4)如果文综成绩是 B 等及 B 等以上的学生才能报考示范性高中，请你用该班学生的情况估计该校九年级 400名学生中，有多少名学生有资格报考示范性高中.
解析：综合条形统计图和扇形图提供的数据，先计算出总人数，而后再逐一计算出各个等级成绩的学员人数.
解：(1)调查的总人数是：15÷25% = 60 (人)，
则 B 类的人数是：60×40% = 24 (人).
补全条形统计图如右：
(2) C 等所对应的扇形统计图的圆心角的度数是：
360°×(1 - 25% - 40% - 5%) = 108°.
(3) 该班学生共有 60 人.
(4) 400×(25% + 40%) = 260(人).
方法归纳
用样本的数字特征对总体的数字特征进行估计,基本做法是从数据中提取信息，并根据实际问题的需要，从样本数据的数字特征出发，对总体的数字特征进行估计.
针对训练
3.为了了解某市初三年级学生体育成绩(成绩均为整数)，随机抽取了部分学生的体育成绩并分段
(A：20.5～22.5；B：22.5～24.5；C：24.5～26.5；D：26.5～28.5；E：28.5～30.5) 统计如下：体育成绩统计表
分数段 频数(人) 频率
A 12 0.05
B 36 a
C 84 0.35
D b 0.25
E 48 0.20
根据上面提供的信息，回答下列问题：
(1)在统计表中，a =　　　　，b =　　　　，并将统计图补充完整.
(2)小明说：“这组数据的众数一定在 C 中.”你认为小明的说法正确吗 　　　　(填“正确”或“错误”).
(3)若成绩在 27 分以上(含 27 分)定为优秀，则该市今年 48 000 名初三年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少
解：(1)∵ a = 1 - 0.05 - 0.35 - 0.25 - 0.20 = 0.15，
48÷0.2 = 240，
∴ b = 240×0.25 = 60.
补全统计图如右.
(2) 错误.
(3) 48 000×(0.25 + 0.20) = 21 600（人）
考点三 借助调查做决策
例3 我市建设森林城市需要大量的树苗，某生态示范园负责对甲、乙、丙、丁四个品种的树苗共 500 株进行树苗成活率试验，从中选择成活率高的品种进行推广.通过实验得知：丙种树苗的成活率为 89.6%，把实验数据绘制成下面两幅统计图(部分信息未给出).
(1)实验所用的乙种树苗的数量是　　　株.
(2)求出丙种树苗的成活数，并把图 2 补充完整.
(3)你认为应选哪种树苗进行推广 请通过计算说明理由.
解析：(1)根据扇形统计图可得乙种树苗所占的百分比，再用总数×乙种树苗所占的百分比，即可计算其株数.
(2)根据扇形统计图求得丙种树苗的株数，再根据其成活率是89.6%，计算其成活数，再进一步补全条形统计图.
(3)通过计算每一种的成活率，进行比较其大小.
0
0
解：(1) 500×(1-25%-25%-30%) = 100(株).
(2) 500×25%×89.6% = 112(株)，补全统计图如图.
∵ 93.6%＞90%＞89.6%＞85%，∴ 应选择丁种品种进行推广，它的成活率最高，为 93.6%.
(3)甲种树苗成活率为:
乙种树苗成活率为:
丁种树苗成活率为:
方法归纳
根据具体问题的需要，借助调查获取数据并对数据进行整理、分析，分析数据时可应用平均数、方差、中位数、众数等概念，然后确定最佳方案，并做出正确的决策.
针对训练
月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 七月
A型销售量 10 14 17 16 13 14 14
B型销售量 6 10 14 15 16 17 20
4.为了解某品牌 A，B 两种型号冰箱的销售状况，小明对其专卖店开业以来连续七个月的销售情况进行了统计，并将得到的数据制成如下的统计表：
单位：台
（1）完成下表（结果精确到 0.1）.
平均数 中位数 方差
A型销售量 14
B型销售量 14 18.6
14
4.3
15
（2）请你根据七个月的销售情况在图中绘制成折线统计图，并依据折线图的变化趋势，对专卖店今后的进货情况提出建议．
销量：台
月份
解：从折线图来看，B 型冰箱的月销售量呈上升趋势，若考虑增长势头，进货时可多进 B 型冰箱.
整合1 两种估计
估计1 用样本平均数估计总体平均数
1.某工厂对一个生产小组生产的零件进行了抽样调查，在任意抽取的10
天中，这个生产小组每天生产出的次品数量为（单位：个） ,2，0，
2，3，0，2，3，1，2.则估计该生产小组全年（按360天计算）生产的
次品数量为( )
B
A.720个 B.540个 C.360个 D.180个
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2.在某学校八年级（2）班随机抽取20名学生参加学校举行的“学党史，
看红书”知识竞赛，成绩统计如图所示.估计八年级（2）班所有学生的
平均成绩为_______.
95.5分
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3.某养鱼个体经营户在鱼塘放养了5 500条鱼苗，鱼苗的成活率为 .
养殖一段时间后，想估计鱼塘中鱼的质量，随机网了三次，第一次网出
了30条鱼，平均每条鱼的质量是 ；第二次网出了45条鱼，平均每条
鱼的质量是；第三次网出了35条鱼，平均每条鱼的质量是 .
根据这三次网鱼情况估计鱼塘中鱼的总质量是_________ .
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估计2 用样本方差估计总体方差
4.现有价格、配置皆相同的甲、乙、丙三种品牌电脑，各随机抽取10台
在相同条件下同时开机进行质量、能耗、稳定性等测试，测试结果量化
分值如下：，，，， ，
，若学校微机室要从甲、乙、丙三种品牌电脑中选购一批，你
认为应该选购的品牌是( )
C
A.甲品牌 B.乙品牌 C.丙品牌 D.无法确定
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5.某果园试验基地种植了相同数量
的甲、乙两个品种的西瓜，为了分
析哪个品种更适宜推广，随机从甲、
乙两个品种中各采摘5个西瓜，测得
西瓜的质量（均取整数），绘制成
如下折线统计图.
（1）已知所选甲品种西瓜的平均质量为 ，请你求出乙品种所选西
瓜的平均质量；
解： .
即乙品种所选西瓜的平均质量为 .
（2）已知 ，求甲品种西瓜质量的方差，并根据已有的统计量，
结合折线统计图分析哪个品种更适宜推广，并简述理由.
解： .
乙品种西瓜更适宜推广.理由：因为，， ，
所以乙品种西瓜产量更稳定，更适宜推广.
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整合2 一个应用——统计的简单应用
6.［2025邵阳月考］邵东市是全国重要的打火机生产基地.质检部门对市
内某企业生产的A型打火机的质量进行抽样检测，随机抽查5盒
（每盒30个打火机），5盒中合格打火机的个数（单位：个）分别为26，
29，29，30，27，则估计该企业生产的A型打火机的合格率为( )
B
A. B. C. D.
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7.［2025岳阳月考］质量检测部门对甲、乙两公司生产的某型号 节
能灯的使用寿命进行跟踪调查，分别从中抽取了10个产品进行统计，结
果如下：
产品序号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
甲公司 节能灯使用寿命/年 6 6 8 8 8 9 10 12 14 15
乙公司 节能灯使用寿命/年 4 4 4 6 7 9 13 15 16 16
（1）请估计乙公司生产的 节能灯的平均使用寿命；
解： （年）.
答：估计乙公司生产的 节能灯的平均使用寿命为9.4年.
（2）甲、乙两公司在该产品的销售广告中都声称，其生产的 节能
灯的使用寿命是8年，请说明这两家公司分别选用了哪一种统计量作为
该 节能灯的使用寿命；
解：因为甲公司该产品的使用寿命的平均数为
（年），众数为8年，中位数为
（年），乙公司该产品的使用寿命的平均数为9.4年，众数为4年，中位
数为 （年），所以甲公司选用的是该产品使用寿命的众数，乙
公司选用的是该产品使用寿命的中位数.
（3）某销售公司的采购员准备采购一批该型号的 节能灯，如果你
是公司采购员，根据统计结果，你会选择采购哪个公司的产品？
解：会采购甲公司的产品.
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整合3 两种思想
思想1 用样本估计总体的思想
8.去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄藤中各采摘了10株，
每株产量的平均数及方差 如下表所示，今年准备从四个品种中
选出一种产量既高又稳定的葡萄藤进行种植，应选的品种是( )
甲 乙 丙 丁
24 24 23 20
1.9 2.1 2 1.9
A
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
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9.为强健学生体魄，某校随机调查了50名九年级同学每周校外锻炼情况
进行分析，通过计算得知这50名同学每周校外锻炼的平均时长为 ，
下列说法正确的是( )
C
A.九年级全体学生每周校外锻炼的平均时长一定是
B.九年级全体学生每周校外锻炼的平均时长一定不是
C.可以估计九年级全体学生每周校外锻炼的平均时长是
D.不能估计九年级全体学生每周校外锻炼的平均时长是
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思想2 数形结合思想
10.为增强学生安全意识，某校举行了
一次全校3 000名学生参加的安全知识
竞赛，从中随机抽取 名学生的竞赛
成绩进行了分析，把成绩（满分为100
分，所有竞赛成绩均不低于60分）分
成四个等级：；C：；B： ；
A： ，并根据分析结果绘制了如下不完整的频数分布直
方图和扇形统计图.
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：_____， ____；
150
36
（2）请补全频数分布直方图；
解：D等级学生有 （名）.
补全频数分布直方图如图所示.
安全知识竞赛成绩频数分布直方图
（3）扇形统计图中B等级所在扇形的圆心角度数为_____ ；
144
（4）若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的3 000名学
生中达到“优秀”等级的学生人数.
解： （人）.
答：估计该校参加竞赛的3 000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有
480人.
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整合4 两个易错点
易错点1 对统计数据理解不够做出错误决策
11.某机械厂准备引进一批精密机床，参加投标的4家机床厂家甲、乙、
丙、丁都提供了机床生产的零件参数，如下表所示.
厂家 甲 乙 丙 丁
零件长度的平均数/ 10 10 10 10
次品率
方差 1.5 1.8 1.5 1.8
若你是该机械厂的采购员，你会选择厂家____提供的机床.
丙
[解析] 点拨：注意方差越小代表机床性能越稳定，次品率越低代表机床
质量越好，所以选择厂家丙.
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易错点2 做预测忽略未来一段时间的限制
12.某月1日 日，甲、乙两人运动的步数
统计图如图所示，则下列结论错误的是
( )
D
A.1日 日，甲的步数逐天增加
B.1日 日，乙的步数逐天减少
C.第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D.第10日以后，甲的步数一定比乙的步数多
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总体
简单
随机
样本
样本平均值
样本方差
随机抽样
样本的某种“率”
样本的频数、频率分布
总体平均值
总体方差
总体的某种“率”
总体的频数、频率分布
总体在未来一段时间的发展水平
总体在未来一段时间的发展趋势
估计
控制
预测
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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