2.1.1 认识一元二次方程（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册北师大版

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2.1.1 认识一元二次方程
在数学的代数领域中，方程是解决各类问题的重要工具。随着学习的深入，我们从简单的一元一次方程逐步接触到更为复杂的方程类型。一元二次方程作为代数方程的重要组成部分，具有独特的形式和丰富的内涵，在实际生活与数学理论研究中都有着广泛的应用。本节将带领大家深入认识一元二次方程，理解其定义、一般形式以及如何从实际问题中抽象出一元二次方程模型。
一、一元二次方程的定义
（一）实际问题引出方程
在解决实际问题时，我们常常会列出各种方程。例如，学校要建一个面积为\(150\)平方米的长方形自行车棚，已知车棚的长比宽多\(5\)米，设车棚的宽为\(x\)米，那么长为\((x + 5)\)米。根据长方形面积公式 “面积 = 长 × 宽”，可得到方程\(x(x + 5) = 150\)。
再如，一个直角三角形的两条直角边的和为\(14\)厘米，面积为\(24\)平方厘米。设一条直角边的长度为\(x\)厘米，则另一条直角边的长度为\((14 - x)\)厘米。由直角三角形面积公式 “面积 = \(\frac{1}{2}\)× 一条直角边 × 另一条直角边”，可列出方程\(\frac{1}{2}x(14 - x) = 24\)。
（二）定义剖析
观察方程\(x(x + 5) = 150\)，将其展开得到\(x^{2}+5x = 150\)，进一步变形为\(x^{2}+5x - 150 = 0\)；方程\(\frac{1}{2}x(14 - x) = 24\)，展开并整理可得\(-\frac{1}{2}x^{2}+7x - 24 = 0\)，两边同时乘以\(-2\)化为\(x^{2}-14x + 48 = 0\)。
像这样，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是\(2\)（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。
（三）定义要点强调
“一元”：方程中只存在一个未知数，如上述方程中都只有\(x\)这一个未知数。
“二次”：未知数的最高次数是\(2\)，像\(x^{2}\)这样的项体现了二次的特征。需要注意的是，必须是未知数的最高次数为\(2\)，若方程中最高次项次数不是\(2\)，则不是一元二次方程，例如\(3x + 5 = 0\)是一元一次方程，因为未知数\(x\)的最高次数是\(1\)。
“整式方程”：方程的两边都是整式。整式是单项式和多项式的统称，单项式如\(3x\)、\( - 5\)等，多项式如\(x^{2}+5x\)、\(x^{2}-14x + 48\)等。若方程中含有分式，如\(\frac{1}{x}+x^{2}=3\)，就不是整式方程，也就不是一元二次方程。
二、一元二次方程的一般形式
（一）一般形式呈现
任何一个关于\(x\)的一元二次方程，经过整理都能化成如下形式\(ax^{2}+bx + c = 0\)（\(a\neq0\)），这种形式称为一元二次方程的一般形式。其中\(ax^{2}\)是二次项，\(a\)是二次项系数；\(bx\)是一次项，\(b\)是一次项系数；\(c\)是常数项。
例如在方程\(x^{2}+5x - 150 = 0\)中，二次项是\(x^{2}\)，二次项系数\(a = 1\)；一次项是\(5x\)，一次项系数\(b = 5\)；常数项\(c = - 150\)。在方程\(x^{2}-14x + 48 = 0\)中，\(a = 1\)，\(b = - 14\)，\(c = 48\)。
（二）\(a\neq0\)的原因
在一元二次方程的一般形式\(ax^{2}+bx + c = 0\)中，明确规定\(a\neq0\)。这是因为若\(a = 0\)，那么方程就变为\(bx + c = 0\)，此时未知数\(x\)的最高次数为\(1\)，方程就不再是一元二次方程，而是一元一次方程了。例如，当\(a = 0\)，\(b = 3\)，\(c = 5\)时，方程\(ax^{2}+bx + c = 0\)就变成了\(3x + 5 = 0\)，这显然不符合一元二次方程的定义。
（三）方程化为一般形式的步骤
去分母：若方程中含有分母，通过在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，去掉分母。例如方程\(\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{3}x = 1\)，分母\(2\)和\(3\)的最小公倍数是\(6\)，方程两边同时乘以\(6\)，得到\(3x^{2}-2x = 6\)。
去括号：如果方程中有括号，根据乘法分配律将括号去掉。如方程\(2(x^{2}+3x - 1)=5x\)，去括号后变为\(2x^{2}+6x - 2 = 5x\)。
移项：把含有未知数的项移到方程左边，常数项移到方程右边，注意移项要变号。对于\(2x^{2}+6x - 2 = 5x\)，移项后得到\(2x^{2}+6x - 5x - 2 = 0\)。
合并同类项：将方程左边的同类项进行合并，化为\(ax^{2}+bx + c = 0\)的形式。上式进一步合并同类项后为\(2x^{2}+x - 2 = 0\)，此时就化为了一元二次方程的一般形式。
三、从实际问题构建一元二次方程模型
（一）构建步骤与实例
分析题意：仔细阅读题目，理解问题所描述的实际情境，明确已知量和未知量。例如，某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出\(20\)件，每件盈利\(40\)元。为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价\(1\)元，商场平均每天可多售出\(2\)件。设每件衬衫降价\(x\)元，那么现在每件衬衫的盈利为\((40 - x)\)元，每天可以销售的衬衫数量为\((20 + 2x)\)件。
找出等量关系：根据题目中的关键信息，找出能够表示问题中各种数量关系的等式。在上述例子中，“每天的盈利 = 每件的盈利 × 每天销售的件数” 就是本题的等量关系。
列出方程：将已知量和用未知数表示的未知量代入等量关系中，得到一元二次方程。由上述等量关系可得方程\((40 - x)(20 + 2x)=1200\)。展开并整理这个方程：\(
\begin{align*}
&(40 - x)(20 + 2x)=1200\\
&800 + 80x - 20x - 2x^{2}=1200\\
& - 2x^{2}+60x + 800 - 1200 = 0\\
& - 2x^{2}+60x - 400 = 0\\
&x^{2}-30x + 200 = 0
\end{align*}
\)
（二）注意事项
准确理解题意：对实际问题中的条件和要求要理解透彻，避免错误解读导致等量关系找错。例如，在行程问题中，若速度、时间和路程的关系理解错误，就无法正确列出方程。
合理设未知数：选择合适的未知量设为\(x\)，设未知数的方式要便于后续列方程和求解。一般设与其他量关系较为密切、能够方便表示其他量的未知量为\(x\)。
检验方程合理性：列出方程后，要检查方程是否符合实际问题的逻辑。例如，在涉及物品数量、长度、面积等实际量的问题中，方程的解应该是符合实际意义的正数，若解出的结果为负数或不符合实际情况，需要检查方程的列法是否有误。
通过从实际问题中抽象出一元二次方程，我们可以利用数学知识来解决各种现实生活中的问题，这体现了数学与生活的紧密联系，也展示了一元二次方程在实际应用中的重要性。在后续的学习中，我们将深入探讨一元二次方程的解法，以便更好地运用它解决更多复杂的问题。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
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2.1.1 认识一元二次方程
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 我们学过的方程有哪些？
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
2. 判断下列方程是我们学过的哪类方程？
（1）5x+3 = 8
（2）x + y = 8
（3）
一元一次方程
二元一次方程
分式方程
地毯问题
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
8 m
5 m
已知量：
未知量：
矩形地面的长、宽
地毯的面积
地毯的长、宽
条形区域的宽
8 m
5 m
已知量：
未知量：
矩形地面的长、宽
地毯的面积
地毯的长、宽
条形区域的宽
你能找出地毯问题中的相等关系吗？
地毯问题
地毯的长×宽 = 18m2
地毯的长+2倍条形区域的宽 = 8m
地毯的宽+2倍条形区域的宽 = 5m
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
8 m
5 m
你能求出这个宽度吗？
地毯问题
如果设所求的宽为 x m ，
那么地毯的长为 m，
宽为　 m，
根据题意，可得方程：
（ 8－2x ）
（ 5－2x ）
(8－2x )(5－2x ) = 18
(8－2x )(5－2x ) = 18
40 - 16x -10x + 4x2 = 18
2x2 -13x +11 = 0
（去括号）
（移项、合并同类项）
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
你能求出这个宽度吗？
地毯问题
连续整数问题
观察下面等式：
102＋112＋122 ＝132＋142
　　你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？
如果设五个连续整数中的第一个数为 x，那么后面四个数依次可表示为：_______，_______，_______，
_______。
根据题意，可得方程：
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
x＋1
x＋2
x＋3
x＋4
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
去括号、移项、合并同类项
x2 - 8x -20 = 0
梯子滑动问题
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
10 m
8 m
几何画板.GSP
梯子滑动问题
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
7 m
1 m
10 m
6 m
解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　　m.
6
如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙_______m.
（x＋6）
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2 ＝ 102
72＋(x＋6)2 ＝ 102
去括号、移项、合并同类项
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
(8－2x )(5－2x ) = 18
2x2 -13x +11 = 0
x2 + (x＋1)2 + (x＋ 2)2 = (x＋3)2 + (x＋4)2
x2 - 8x -20 = 0
72＋(x＋6)2 ＝ 102
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
议一议
上述三个方程有什么共同特点？
上面的方程都是只含有一个未知数 x 的整式方程，
并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
一元二次方程
我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式.
ax2
bx
c
二次项
一次项
常数项
a
b
二次项系数
一次项系数
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D
1.
下列方程中，一定是一元二次方程的是(　　)
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2.
D
若关于x的方程(m－1)x2－2x－1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是(　　)
A．m≥1
B．m<－1
C．m≠－1
D．m≠1
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3.
[教材P32习题T2变式] 填表：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
x2＝3x－10
3＝10x2
2x－5x2＝0
x(x＋7)＝8
x2－3x＋10＝0 1 －3 10
10x2－3＝0 10 0 －3
5x2－2x＝0 5 －2 0
x2＋7x－8＝0 1 7 －8
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4.
[2025咸阳模拟] 某小区有一块正方形的空地，从这块空地上划出部分区域进行绿化(图中阴影部分)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为20 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(　　)
A．(x＋1)(x＋2)＝20　
B．x2－3x＋18＝0
C．(x－1)(x－2)＝20＋2
D．(x－1)(x－2)＝20
D
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5.
x(x＋2)＝195
两个相邻奇数的积是195，求这两个奇数．设较小的奇数为x，则可列方程为_____________.
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6.
C
若关于x的一元二次方程2x2－(m＋1)x＝x(x＋1)化为一般形式后二次项系数为1，一次项系数为－1，则m的值为(　　)
A．1
B．3
C．－1
D．0
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7.
x2＋(x＋6.8)2＝102
[2025大连月考] 《九章算术》中记载：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是：有一形状是矩形的门，它的高比宽多6尺8寸，它的对角线长1丈，问它的高与宽各是多少？设矩形门的宽为x尺，则依题意所列方程为_____________________(1丈＝10尺，1尺＝10寸).
通过这节课的学习活动，你有什么收获？
课堂小结
只含有一个未知数 x 的整式方程，
并且都可以化为 ax2＋bx＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)的形式，
这样的方程叫做一元二次方程．
我们把 ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0） 称为一元二次方程的一般形式.
课堂小结
ax2
bx
c
二次项
一次项
常数项
a
b
二次项系数
一次项系数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！