2.1.2 一元二次方程的解及其估算（教学课件）2025-2026学年九年级数学上册北师大版

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2.1.2 一元二次方程的解及其估算
在认识了一元二次方程的定义和一般形式后，我们接下来要探讨一元二次方程的解。与一元一次方程不同，一元二次方程的解可能有两个，也可能无实数解，而对于无法直接求解的方程，我们可以通过估算的方法得到其近似解。本节将详细介绍一元二次方程解的概念、判断方法以及近似解的估算技巧。
一、一元二次方程的解的概念
（一）解的定义
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。例如，对于方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，当\(x = 2\)时，左边\(=2^2-5\times2 + 6=4 - 10 + 6 = 0\)，右边\(=0\)，左边等于右边，所以\(x = 2\)是该方程的解；同理，当\(x = 3\)时，左边\(=3^2-5\times3 + 6=9 - 15 + 6 = 0\)，右边\(=0\)，所以\(x = 3\)也是该方程的解。
（二）判断一个数是否为方程的解
判断一个数是否为一元二次方程的解，只需将这个数代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数是方程的解；若两边的值不相等，则这个数不是方程的解。
例 1：
判断\(x = 1\)，\(x = 2\)是否为方程\(x^2 - 3x + 2 = 0\)的解。
解：当\(x = 1\)时，
左边\(=1^2-3\times1 + 2=1 - 3 + 2 = 0\)，
右边\(=0\)，
左边 = 右边，所以\(x = 1\)是方程的解。
当\(x = 2\)时，
左边\(=2^2-3\times2 + 2=4 - 6 + 2 = 0\)，
右边\(=0\)，
左边 = 右边，所以\(x = 2\)是方程的解。
例 2：
已知\(x = 4\)是方程\(x^2 - mx + 8 = 0\)的一个解，求\(m\)的值。
解：因为\(x = 4\)是方程的解，
所以将\(x = 4\)代入方程得：\(4^2-4m + 8 = 0\)，
即\(16-4m + 8 = 0\)，\(24-4m = 0\)，\(4m = 24\)，
解得\(m = 6\)。
二、一元二次方程解的估算
在实际问题中，有些一元二次方程的解无法直接通过整数或简单分数表示，此时我们可以通过估算的方法得到方程的近似解。估算的基本思路是通过代入一些数值，找到使方程左右两边的值接近的未知数的值，进而确定解的大致范围。
（一）估算的步骤
确定解的大致范围：通过代入一些整数，观察方程左右两边的符号变化。当方程左边的值由负变为正或由正变为负时，说明在这两个整数之间存在方程的一个解。
逐步缩小范围：在确定的大致范围内，代入更精确的数值（如小数），进一步缩小解的范围，直到得到满足精度要求的近似解。
（二）实例解析
例 3：
估算方程\(x^2 - 2x - 1 = 0\)的一个正根的近似值（精确到\(0.1\)）。
解：首先确定正根的大致范围。
当\(x = 2\)时，左边\(=2^2-2\times2 - 1=4 - 4 - 1=-1\lt0\)；
当\(x = 3\)时，左边\(=3^2-2\times3 - 1=9 - 6 - 1=2\gt0\)。
所以方程的正根在\(2\)和\(3\)之间。
接下来缩小范围：
当\(x = 2.5\)时，左边\(=2.5^2-2\times2.5 - 1=6.25 - 5 - 1=0.25\gt0\)；
此时正根在\(2\)和\(2.5\)之间。
当\(x = 2.2\)时，左边\(=2.2^2-2\times2.2 - 1=4.84 - 4.4 - 1=-0.56\lt0\)；
正根在\(2.2\)和\(2.5\)之间。
当\(x = 2.4\)时，左边\(=2.4^2-2\times2.4 - 1=5.76 - 4.8 - 1=-0.04\lt0\)；
正根在\(2.4\)和\(2.5\)之间。
当\(x = 2.45\)时，左边\(=2.45^2-2\times2.45 - 1=6.0025 - 4.9 - 1=0.1025\gt0\)；
正根在\(2.4\)和\(2.45\)之间。
因为要求精确到\(0.1\)，而\(2.4\)和\(2.45\)之间的数精确到\(0.1\)都是\(2.4\)或\(2.5\)。再检验\(x = 2.4\)时左边接近\(0\)，且\(x = 2.4\)更接近解，所以方程正根的近似值为\(2.4\)。
例 4：
某矩形的面积为\(20\)平方米，长比宽多\(3\)米，估算该矩形的宽（精确到\(0.1\)米）。
解：设矩形的宽为\(x\)米，则长为\((x + 3)\)米，
根据题意得\(x(x + 3)=20\)，
整理得\(x^2 + 3x - 20 = 0\)。
估算该方程的正根：
当\(x = 3\)时，左边\(=3^2 + 3\times3 - 20=9 + 9 - 20=-2\lt0\)；
当\(x = 4\)时，左边\(=4^2 + 3\times4 - 20=16 + 12 - 20=8\gt0\)，
所以正根在\(3\)和\(4\)之间。
当\(x = 3.2\)时，左边\(=3.2^2 + 3\times3.2 - 20=10.24 + 9.6 - 20=-0.16\lt0\)；
当\(x = 3.3\)时，左边\(=3.3^2 + 3\times3.3 - 20=10.89 + 9.9 - 20=0.79\gt0\)，
正根在\(3.2\)和\(3.3\)之间。
因为精确到\(0.1\)，\(3.2\)更接近解，所以矩形宽的近似值为\(3.2\)米。
（三）估算的注意事项
合理选择代入值：在估算时，应根据方程的特点选择合适的代入值，尽量快速确定解的大致范围。
耐心逐步缩小范围：估算需要逐步缩小解的范围，不能急于求成，每一步代入后都要根据结果调整下一步的代入值。
明确精度要求：根据问题的需要明确估算的精度，当达到精度要求时即可停止估算。
三、一元二次方程解的情况分析
一元二次方程的解可能有以下几种情况：
有两个不相等的实数解：如方程\(x^2 - 5x + 6 = 0\)，有两个解\(x = 2\)和\(x = 3\)。
有两个相等的实数解：如方程\(x^2 - 4x + 4 = 0\)，解为\(x = 2\)（两个相等的解）。
无实数解：如方程\(x^2 + 1 = 0\)，无论\(x\)取何实数，\(x^2\)都是非负数，\(x^2 + 1\)始终大于\(0\)，所以该方程无实数解。
通过后续学习，我们将掌握更系统的方法（如判别式）来判断一元二次方程解的情况。
四、课堂总结
一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，也称为方程的根，判断一个数是否为解只需代入验证。
解的估算方法：通过代入数值确定解的大致范围，逐步缩小范围得到近似解，估算时需注意合理选择代入值和明确精度要求。
解的情况：一元二次方程可能有两个不相等的实数解、两个相等的实数解或无实数解。
掌握一元二次方程解的概念和估算方法，能帮助我们在无法直接求解方程时，通过近似值解决实际问题，为后续学习一元二次方程的解法奠定基础。在实际应用中，估算能力也是重要的数学素养之一。
五、课后作业
判断\(x = - 1\)，\(x = 3\)是否为方程\(x^2 - 2x - 3 = 0\)的解。
已知\(x = 2\)是方程\(x^2 + ax - 6 = 0\)的一个解，求\(a\)的值。
估算方程\(x^2 - 3x - 2 = 0\)的一个正根的近似值（精确到\(0.1\)）。
一个直角三角形的两条直角边的和为\(10\)厘米，面积为\(12\)平方厘米，估算其中一条直角边的长度（精确到\(0.1\)厘米）。
分析方程\(2x^2 - x + 1 = 0\)是否有实数解，并说明理由。
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
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2.1.2 一元二次方程的解及其估算
第二章　一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的______.
一元二次方程 (x+1)2 - x = 3(x2-2) 化成一般形式是
__________________.
3. 近似数 2.36 ≈ _______（精确到十分位）.
解
2x2 – x - 7 = 0
2.4
4. 一元二次方程有哪些特点？
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次项系数是 2；
（3）整式方程.
5. 一元二次方程的一般形式是什么？
ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）
幼儿园活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2 的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.
8 m
5 m
(8－2x )(5－2x ) = 18
你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度 x(m) 吗？
8 m
5 m
(8－2x )(5－2x ) = 18
（1）x 有可能小于 0 吗？说说你的理由
x 不可能小于 0 ，因为宽度不能为负.
x 可能大于 4 吗？
x 不可能大于 4 ，
(8-2x)表示地毯的长，
所以有 8-2x > 0.
8 m
5 m
(8－2x )(5－2x ) = 18
x 可能大于 2.5 吗？
x 不可能大于 2.5 ，
(5-2x) 表示地毯的宽，
所以有 5-2x > 0.
（2）你能确定 x 的大致范围吗？
0 < x < 2.5
(8－2x )(5－2x ) = 18
（3）填写下表：
x 0.5 1 1.5 2
(8-2x)(5-2x)
28
18
10
4
（4）你知道地毯花边的宽 x(m) 是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流.
所求宽度为 x = 1 m.
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
72＋(x＋6)2 ＝ 102
化为一般形式 x2 ＋12 x －15 ＝ 0
（1）小明认为底端也滑动了 1 m，他的说法正确吗？为什么？
10 m
8 m
不正确，因为 x = 1时，方程左边不等于 0
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
（2）底端滑动的距离可能是 2 m 吗？可能是 3 m 吗？为什么？
不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0.
不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0.
（3）你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
（4）x 的整数部分是几？十分位是几？
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
填写下表你能发现 x 的大致范围吗？
x 0 0.5 1 1.5 2
x2 + 12x - 15
-15
-8.75
-2
5.25
13
通过观察发现，若想使代数式的值为 0，那么 x 的取值应在 1 和 1.5 之间。
所以 1 < x < 1.5
x2 ＋12 x －15 ＝ 0
进一步计算：
x 1.1 1.2 1.3 1.4
x2 + 12x - 15
-0.59
0.84
2.29
3.76
所以 1.1＜x＜1.2
因此 x 的整数部分是 1，十分位是 1。
返回
C
1.
下列是方程x2－x－2＝0的根的是(　　)
A．1
B．－2
C．－1
D．0
返回
2.
2
[2024深圳中考] 已知一元二次方程x2－3x＋m＝0的
一个根为1，则m＝________．
返回
3.
C
根据下表判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个解x的范围是(　　)

A．x>4.6 B．4.5C．4.4x 4.6 4.5 4.4 4.3
ax2＋bx＋c －0.7 －0.2 0.3 1
4.
如图，将一张长为8 cm，宽为6 cm的矩形纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，剩余部分(阴影部分)可制成一个底面积是12 cm2的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长．小华在做这道题时，设剪去的正方形的边长为x cm，列出关于x的方程为(8－2x)(6－2x)＝12，整理得x2－7x＋9＝0.
他想知道剪去的正方形的边长到底是多少，下面是他的探索过程.
第一步：
因此________x －1 0 1 2
x2－7x+9 17 9
3 －1
1 2
第二步：

因此________(1)请你帮助小华补全探索过程；
(2)通过以上探索，估计剪去的正方形的边长的整数部分是________，十分位是________.
x 1.5 1.6 1.7 1.8
x2－7x+9 0.75 0.36
－0.01 －0.36
1.6 1.7
1
6
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