(共23张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：4.4.3 三边成比例的判定方法
副标题：完善相似三角形的判定体系
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握 “三边成比例的两个三角形相似” 这一判定方法。（重点）
能够运用该判定方法证明两个三角形相似，并解决相关几何问题。（难点）
通过探究和推理过程，进一步培养几何直观和逻辑推理能力，体会数学的严谨性。
幻灯片 3：情景引入
展示图片：
一个三角形框架，三边长分别为 3cm、4cm、5cm。另一个三角形框架的三边长分别为 6cm、8cm、10cm。
提出问题：
这两个三角形框架的形状是否相同？它们是否相似？
仅通过观察难以准确判断，我们需要新的判定方法来解决这类问题，今天我们就来学习三边成比例的判定方法。
幻灯片 4：知识回顾
相似三角形的定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。
已学判定方法：
两角分别相等的两个三角形相似。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
比例的基本性质：若 a:b = c:d，则 ad = bc（b≠0，d≠0）。
幻灯片 5：判定方法探究提出
提出问题：我们已经学习了从角和边角结合的角度判定三角形相似的方法，那从边的角度，若两个三角形的三条边都成比例，这两个三角形是否相似呢？
引导思考：结合上节课课后思考题，大家对这个问题有什么猜想？
幻灯片 6：动手操作探究
活动要求：
每人画一个△ABC，使 AB = 3cm，BC = 4cm，AC = 5cm 。
再画一个△A B C ，使 A B = 6cm，B C = 8cm，A C = 10cm 。
计算两个三角形对应边的比值，测量对应角的度数，观察它们之间的关系。
学生活动：学生动手画图、测量、计算，小组内交流讨论，分享发现。
初步结论：两个三角形的对应边成比例，对应角分别相等，即这两个三角形相似。
幻灯片 7：理论验证
已知：在△ABC 和△A B C 中，\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) = k 。
求证：△ABC∽△A B C 。
证明思路：
在 AB 上截取 AD = A B ，过点 D 作 DE∥BC，交 AC 于点 E 。
由平行线分线段成比例定理的推论可得\(\frac{AD}{AB}\) = \(\frac{AE}{AC}\) = \(\frac{DE}{BC}\) = \(\frac{1}{k}\)，则 AE = \(\frac{1}{k}\)AC，DE = \(\frac{1}{k}\)BC 。
因为\(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) = k，\(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = k，所以 A C = \(\frac{1}{k}\)AC = AE，B C = \(\frac{1}{k}\)BC = DE 。
可证得△ADE≌△A B C （SSS），进而得到∠A = ∠A，∠B = ∠B，∠C = ∠C，且对应边成比例。
综上，△ABC∽△A B C 。
幻灯片 8：判定定理总结
定理内容：三边成比例的两个三角形相似。
符号语言：在△ABC 和△A B C 中，若\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\)，则△ABC∽△A B C 。
温馨提示：
该定理只需三条边对应成比例即可判定两个三角形相似，无需再考虑角的关系。
在应用定理时，要注意对应边的顺序，确保比例关系正确。
幻灯片 9：例题讲解 1
例 1 题目：判断下列两个三角形是否相似，并说明理由。
△ABC 的三边长分别为 4、6、8 。
△DEF 的三边长分别为 2、3、4 。
分析过程：
计算对应边的比值，\(\frac{4}{2}\) = 2，\(\frac{6}{3}\) = 2，\(\frac{8}{4}\) = 2 。
可得三条边对应成比例，根据三边成比例的判定方法可判断两个三角形相似。
解答过程：
因为\(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2，\(\frac{BC}{EF}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2，\(\frac{AC}{DF}\) = \(\frac{8}{4}\) = 2 。
所以\(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{BC}{EF}\) = \(\frac{AC}{DF}\) 。
所以△ABC∽△DEF（三边成比例的两个三角形相似）。
总结方法：判断两个三角形是否相似时，先计算三条边的对应比值，若比值都相等，则这两个三角形相似。
幻灯片 10：练习 1
题目：
下列各组三角形中，一定相似的是（ ）
A. 两个等腰三角形
B. 两个等边三角形
C. 两个直角三角形
D. 两个锐角三角形
已知△ABC 的三边长分别为 5、12、13，△DEF 的三边长分别为 10、24、26，判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由。
学生活动：学生独立完成练习，教师巡视指导，之后请学生回答并讲解思路。
幻灯片 11：例题讲解 2
例 2 题目：如图，在△ABC 和△A B C 中，AB = 6，BC = 8，AC = 10，A B = 3，B C = 4，A C = 5 。求证：△ABC∽△A B C ，并求出相似比。
分析过程：
分别计算对应边的比值，\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2，\(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(\frac{8}{4}\) = 2，\(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) = \(\frac{10}{5}\) = 2 。
三条边对应成比例，根据判定定理可证明相似，相似比为 2 。
解答过程：
因为\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{6}{3}\) = 2，\(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(\frac{8}{4}\) = 2，\(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) = \(\frac{10}{5}\) = 2 。
所以\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) 。
所以△ABC∽△A B C （三边成比例的两个三角形相似），相似比为 2 。
总结方法：证明两个三角形相似时，若已知三边长度，计算对应边的比值，若比值相等，即可用该判定方法证明。
幻灯片 12：练习 2
题目：
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，求证：△DEF∽△ABC 。
已知△ABC 与△DEF 相似，△ABC 的三边长分别为 2、3、4，△DEF 的一边长为 5，求△DEF 的另外两边长。
学生活动：学生独立完成练习，教师对有困难的学生进行辅导，之后集体订正答案。
幻灯片 13：判定方法的综合应用
提出问题：我们已经学习了三种判定三角形相似的方法，在实际解题中如何选择合适的方法呢？
方法总结：
若已知两个角对应相等，选用 “两角分别相等” 的判定方法。
若已知两边对应成比例且夹角相等，选用 “两边成比例且夹角相等” 的判定方法。
若已知三边对应成比例，选用 “三边成比例” 的判定方法。
示例分析：结合具体例题，分析不同条件下应选择的判定方法。
幻灯片 14：课堂小结
知识梳理：
三边成比例的两个三角形相似，这是判定两个三角形相似的重要方法。
该判定方法的符号语言表示及应用条件。
方法总结：
证明两个三角形相似时，根据已知条件选择合适的判定方法。
运用三边成比例的判定方法时，需准确计算对应边的比值，确保比例相等。
三种判定方法相互补充，共同构成相似三角形的判定体系。
幻灯片 15：课堂检测
下列条件中，不能判定△ABC∽△DEF 的是（ ）
A. \(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{BC}{EF}\) = \(\frac{AC}{DF}\)
B. ∠A = ∠D，∠B = ∠E
C. \(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{AC}{DF}\)，∠A = ∠D
D. \(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{BC}{EF}\)，∠C = ∠F
已知△ABC 的三边长分别为 3、4、5，△DEF 的三边长分别为 6、8、10，则△ABC 与△DEF 的相似比为 。
如图，在△ABC 中，AB = 2，BC = 3，AC = 4，在△A B C 中，A B = 1，B C = 1.5，A C = 2 。求证：△ABC∽△A B C 。
幻灯片 16：课堂检测答案
答案：D
解析：A 选项满足三边成比例，可判定相似；B 选项满足两角分别相等，可判定相似；C 选项满足两边成比例且夹角相等，可判定相似；D 选项中∠C 与∠F 不是成比例两边的夹角，无法判定相似。
答案：1:2
解析：对应边的比值为\(\frac{3}{6}\) = \(\frac{4}{8}\) = \(\frac{5}{10}\) = \(\frac{1}{2}\)，所以相似比为 1:2 。
答案：因为\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{2}{1}\) = 2，\(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(\frac{3}{1.5}\) = 2，\(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) = \(\frac{4}{2}\) = 2 。
解析：所以\(\frac{AB}{A_{1}B_{1}}\) = \(\frac{BC}{B_{1}C_{1}}\) = \(\frac{AC}{A_{1}C_{1}}\) ，所以△ABC∽△A B C （三边成比例的两个三角形相似）。
幻灯片 17：拓展提升
题目：如图，在正方形网格中，△ABC 和△DEF 的顶点都在格点上，判断△ABC 与△DEF 是否相似，并说明理由。
分析提示：
先根据网格特点计算出两个三角形各边的长度。
再计算对应边的比值，判断是否成比例。
解答过程：
设每个小正方形的边长为 1 。
在△ABC 中，AB = \(\sqrt{2^{2} + 2^{2}}\) = \(\sqrt{8}\) = 2\(\sqrt{2}\)，BC = \(\sqrt{1^{2} + 3^{2}}\) = \(\sqrt{10}\)，AC = \(\sqrt{3^{2} + 1^{2}}\) = \(\sqrt{10}\) 。
在△DEF 中，DE = \(\sqrt{1^{2} + 1^{2}}\) = \(\sqrt{2}\)，EF = \(\sqrt{1^{2} + 2^{2}}\) = \(\sqrt{5}\)，DF = \(\sqrt{1^{2} + 2^{2}}\) = \(\sqrt{5}\) 。
计算比值：\(\frac{AB}{DE}\) = \(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) = 2，\(\frac{BC}{EF}\) = \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}\) = \(\sqrt{2}\)，\(\frac{AC}{DF}\) = \(\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}\) = \(\sqrt{2}\) 。
因为\(\frac{AB}{DE}\) ≠ \(\frac{BC}{EF}\) = \(\frac{AC}{DF}\)，所以△ABC 与△DEF 不相似 。
幻灯片 18：课后作业
教材课后相关练习题。
实践作业：测量校园内两个三角形花坛的边长，判断它们是否相似，并写出判断过程。
幻灯片 19：结束页
感谢语：感谢同学们的积极参与！今天我们学习了三边成比例判定三角形相似的方法，完善了相似三角形的判定知识体系。
鼓励语：希望大家能灵活运用所学的判定方法解决更多几何问题，在数学的探索中不断进步！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.3 三边成比例的判定方法
第四章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
我们接着来考虑增加的条件是“另两边成比例”的问题.
探究新知
如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？
①任意画△ABC；
②再画△A′B′C′，使 ；
③量出∠A及∠A′的度数，∠A＝∠A′吗？
④由上面的画图，你能发现△ABC与△A′B′C′有何关系？说说你的理由.
⑤改变k值的大小，再试一试.
A
B
C
A′
B′
C′
做一做
△ABC∽△A′B′C′
（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）
A
B
C
A′
B′
C′
相似三角形的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：
∴△ABC∽△A′B′C′
∵
例 如图，在△ABC和△ADE中， ，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.
A
D
C
E
B
∴△ABC∽△ADE
（三边成比例的两个三角形相似）
解：∵
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC.
即∠BAD＝∠CAE.
∵∠BAD＝20°，
∴∠CAE＝20°.
如图，△ABC与△A′B′C′相似吗？你有哪些判断方法？
议一议
A
B
C
A′
B′
C′
4
8
假设每一小格的边长为1，
（三边成比例的两个三角形相似）
随堂练习
1. 如图，每组中的两个三角形是否相似？为什么？
A
B
C
D
E
F
A
B
C
E
D
F
7
10
5
5
6
2.5
6
4
7
3
2
3.5
（1）
（2）
2. 一个三角形三边的长分别为6 cm， 9 cm，7.5 cm，另一个三角形三边的长分别为8 cm，l0 cm，l2 cm，这两个三角形相似吗？为什么？
① 将三角形的边按大小顺序排列：
6 cm， 7.5 cm，9 cm
8 cm， 10 cm，12 cm
② 分别计算它们对应边的比：
③ 由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例：
这两个三角形相似
3. 如图，△ABC与△EFG相似吗？为什么？
A
B
C
E
F
G
假设每一小格的边长为1，
5
2
△ABC与△EFG相似
4. 如图所示的6个三角形中，哪些三角形相似？为什么？
①
②
⑤
③
④
⑥
①与⑤相似
课堂小结
A
B
C
A′
B′
C′
相似三角形的判定定理：
三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：
∴△ABC∽△A′B′C′
∵
返回
1.
返回
2.
D
若△ABC的三边长分别是3，5，6，则与△ABC相似的△DEF的边可能是( )
A．DE＝6，DF＝8，EF＝10
B．DE＝9，EF＝18，DF＝25
C．DE＝1，EF＝2，DF＝2.5
D．DE＝6，DF＝10，EF＝12
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3.
B
[2025上海月考]下列四个三角形中，与如图中的三角形相似的是( )
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4.
D
[2025宝鸡月考] 在△ABC中，AB＝6，AC＝8，在△A′B′C′中，A′B′＝4，A′C′＝3.若BC：B′C′＝________，则△ABC∽△A′C′B′.横线上应填( )
A．3：4
B．4：3
C．1：2
D．2：1
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5.
如图，D，E，F分别是△ABC的三边BC，CA，AB的中点．求证：△DEF∽△ABC．
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6.
B
在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在( )
A．①处 B．②处
C．③处 D．④处
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7.
不一定
现有一个直角三角形的两条边长分别为3和6，另一个直角三角形的两条边长分别为2和4，则这两个直角三角形________相似．(填“一定”“不一定”或“一定不”)
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8.
6
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，点P1，P2，P3，P4，P5，A，C是△ABC边上的7个格点，请在这7个格点中任意选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似，符合题意的三角形共有________个．
9.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
