(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：6.3 反比例函数的应用
副标题：用反比例函数解决实际问题
教师姓名：[你的姓名]
授课班级：[具体班级]
幻灯片 2：学习目标
能根据实际问题中的数量关系建立反比例函数模型，列出反比例函数表达式。（重点）
会运用反比例函数的图象和性质解决实际问题，如行程问题、工程问题等。（重点）
提升将实际问题转化为数学问题的能力，增强应用意识和建模思想。（难点）
感受反比例函数在生活中的广泛应用，体会数学的实用性。
幻灯片 3：情景引入
展示图片与问题：
问题 1：小明家离学校 1000 米，他骑自行车上学，骑行速度\(v\)（米 / 分钟）与所用时间\(t\)（分钟）之间有什么关系？如果他想 10 分钟内到达学校，速度至少要达到多少？
问题 2：某工厂要生产一批零件，总产量为 2000 个，每天生产的零件数\(x\)（个）与生产天数\(y\)（天）之间有什么关系？如果要求 10 天内完成生产，每天至少要生产多少个零件？
提出问题：
这些实际问题中的变量关系可以用什么函数来描述？如何利用函数知识解决这些问题？
今天我们就来学习反比例函数的应用。
幻灯片 4：知识回顾
反比例函数的定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k≠0\)）的函数叫做反比例函数。
反比例函数的性质：
当\(k>0\)时，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小。
当\(k<0\)时，在每个象限内\(y\)随\(x\)的增大而增大。
反比例函数的图象：双曲线，\(k>0\)时在第一、三象限；\(k<0\)时在第二、四象限。
幻灯片 5：反比例函数应用的一般步骤
步骤 1：分析题意：找出问题中的两个变量，确定它们之间的反比例关系。
步骤 2：设出函数表达式：设反比例函数表达式为\(y=\frac{k}{x}\)（或其他形式）。
步骤 3：确定比例系数\(k\)：根据已知条件求出\(k\)的值，得到具体的函数表达式。
步骤 4：解决实际问题：利用函数表达式或其性质求出所需的未知量，回答实际问题。
注意事项：要结合实际意义确定自变量的取值范围，确保解的合理性。
幻灯片 6：类型一：行程问题中的反比例函数应用
问题特点：路程一定时，速度\(v\)与时间\(t\)成反比例关系，即\(v=\frac{s}{t}\)（\(s\)为路程，是常数）。
例题讲解 1：
题目：一辆汽车从甲地到乙地的路程为 300km，汽车行驶的速度\(v\)（km/h）与行驶时间\(t\)（h）之间的函数关系是什么？若汽车行驶速度不超过 100km/h，那么从甲地到乙地至少需要多少小时？
分析过程：路程\(s = 300km\)，速度与时间成反比例，表达式为\(v=\frac{300}{t}\) 。当\(v = 100km/h\)时，可求出对应的时间\(t\) 。
解答过程：
函数表达式为\(v=\frac{300}{t}\)（\(t>0\)）。
当\(v = 100\)时，\(100=\frac{300}{t}\)，解得\(t = 3\) 。
因为\(k = 300>0\)，在第一象限内\(v\)随\(t\)的增大而减小，所以当\(v≤100\)时，\(t≥3\) 。
答：从甲地到乙地至少需要 3 小时。
幻灯片 7：练习 1（行程问题）
题目：一艘轮船从港口出发到目的地，航程为 120 海里，轮船行驶的平均速度\(v\)（海里 / 小时）与行驶时间\(t\)（小时）之间的函数关系是什么？若轮船计划在 5 小时内到达目的地，行驶速度至少要达到多少海里 / 小时？
学生活动：学生独立分析，列出函数表达式，利用函数性质解决问题，教师点评。
幻灯片 8：类型二：工程问题中的反比例函数应用
问题特点：工作总量一定时，工作效率\(x\)与工作时间\(y\)成反比例关系，即\(x=\frac{w}{y}\)（\(w\)为工作总量，是常数）。
例题讲解 2：
题目：某工程队承接了一项工程，总工作量为 1800 立方米，工程队每天完成的工作量\(x\)（立方米）与完成工程所需时间\(y\)（天）之间的函数关系是什么？若工程队要求在 30 天内完成这项工程，每天至少要完成多少立方米的工作量？
分析过程：总工作量\(w = 1800\)立方米，工作效率与时间成反比例，表达式为\(x=\frac{1800}{y}\) 。当\(y = 30\)时，可求出对应的\(x\) 。
解答过程：
函数表达式为\(x=\frac{1800}{y}\)（\(y>0\)）。
当\(y = 30\)时，\(x=\frac{1800}{30}=60\) 。
因为\(k = 1800>0\)，在第一象限内\(x\)随\(y\)的增大而减小，所以当\(y≤30\)时，\(x≥60\) 。
答：每天至少要完成 60 立方米的工作量。
幻灯片 9：练习 2（工程问题）
题目：某印刷厂要印刷一批书籍，总印刷量为 2400 册，每天印刷的册数\(x\)与印刷天数\(y\)之间的函数关系是什么？若印刷厂希望在 12 天内完成印刷，每天至少要印刷多少册？
学生活动：学生分组讨论，按照反比例函数应用步骤解决问题，教师巡视指导。
幻灯片 10：类型三：几何问题中的反比例函数应用
问题特点：面积或体积一定时，相关的边长、底面积、高等变量成反比例关系。
例题讲解 3：
题目：一个矩形的面积为 24cm ，它的长\(y\)（cm）与宽\(x\)（cm）之间的函数关系是什么？若矩形的宽不超过 4cm，那么长至少要多少厘米？
分析过程：矩形面积\(S = 24cm \)，长与宽成反比例，表达式为\(y=\frac{24}{x}\) 。当\(x = 4\)时，可求出对应的\(y\) 。
解答过程：
函数表达式为\(y=\frac{24}{x}\)（\(x>0\)）。
当\(x = 4\)时，\(y=\frac{24}{4}=6\) 。
因为\(k = 24>0\)，在第一象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以当\(x≤4\)时，\(y≥6\) 。
答：长至少要 6 厘米。
幻灯片 11：练习 3（几何问题）
题目：一个圆柱体的体积为 100π cm ，它的高\(h\)（cm）与底面积\(S\)（cm ）之间的函数关系是什么？若圆柱体的底面积不超过 25π cm ，那么高至少要多少厘米？
学生活动：学生独立完成，利用圆柱体体积公式建立反比例函数关系，解决问题。
幻灯片 12：类型四：经济问题中的反比例函数应用
问题特点：总费用一定时，单价与数量成反比例关系；总产量一定时，单位面积产量与种植面积成反比例关系等。
例题讲解 4：
题目：小明带了 50 元钱去买笔记本，笔记本的单价\(y\)（元）与购买的数量\(x\)（本）之间的函数关系是什么？若笔记本的单价不超过 10 元，小明最多可以买多少本笔记本？
分析过程：总钱数\(50\)元，单价与数量成反比例，表达式为\(y=\frac{50}{x}\) 。当\(y = 10\)时，可求出对应的\(x\) 。
解答过程：
函数表达式为\(y=\frac{50}{x}\)（\(x\)为正整数）。
当\(y = 10\)时，\(10=\frac{50}{x}\)，解得\(x = 5\) 。
因为\(k = 50>0\)，在第一象限内\(y\)随\(x\)的增大而减小，所以当\(y≤10\)时，\(x≥5\) 。
答：小明最多可以买 5 本笔记本。
幻灯片 13：练习 4（经济问题）
题目：学校计划用 300 元购买文具奖励优秀学生，文具的单价\(y\)（元）与购买的数量\(x\)（件）之间的函数关系是什么？若每件文具的单价不超过 15 元，学校最多可以购买多少件文具？
学生活动：学生独立分析，建立函数模型，求出问题的解，教师点评强调实际意义对自变量取值的限制。
幻灯片 14：综合应用：反比例函数与图象结合的问题
例题讲解 5：
题目：如图，是反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象，它经过点\(A(2, 3)\)，过点\(A\)作\(AB⊥x\)轴于点\(B\)。
（1）求反比例函数的表达式。
（2）若点\(C\)在该反比例函数的图象上，且\(\triangle BOC\)的面积为 6，求点\(C\)的坐标。
分析过程：
（1）将点\(A\)的坐标代入函数表达式可求出\(k\)的值。
（2）设点\(C\)的坐标为\((x, y)\)，根据三角形面积公式和反比例函数表达式求出坐标。
解答过程：
（1）将\(A(2, 3)\)代入\(y=\frac{k}{x}\)得\(3=\frac{k}{2}\)，解得\(k = 6\)，所以表达式为\(y=\frac{6}{x}\) 。
（2）\(B\)点坐标为\((2, 0)\)，\(OB = 2\) 。设\(C(x, \frac{6}{x})\)，则\(\triangle BOC\)的面积为\(\frac{1}{2}×OB×|y|=\frac{1}{2}×2×|\frac{6}{x}|=|\frac{6}{x}| = 6\) 。
解得\(|\frac{6}{x}| = 6\)，即\(|x| = 1\)，所以\(x = 1\)或\(x = -1\) 。
当\(x = 1\)时，\(y = 6\)；当\(x = -1\)时，\(y = -6\) 。
所以点\(C\)的坐标为\((1, 6)\)或\((-1, -6)\) 。
幻灯片 15：练习 5（综合应用）
题目：反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((-3, 4)\)，点\(D\)在该图象上，过点\(D\)作\(DE⊥y\)轴于点\(E\)，若\(\triangle ODE\)的面积为 9，求点\(D\)的坐标。
学生活动：学生分组合作，结合\(k\)的几何意义和函数表达式解决问题，教师进行指导。
幻灯片 16：课堂小结
知识梳理：
反比例函数应用的常见类型：行程问题、工程问题、几何问题、经济问题等。
解题步骤：分析题意→设函数表达式→求\(k\)值→解决实际问题。
关键思路：找出实际问题中的反比例关系，建立函数模型，利用函数性质求解。
方法总结：
解决实际问题时，要明确哪个量是定值（即\(k\)的值），确定两个变量之间的反比例关系。
结合函数的增减性可以判断变量的变化趋势，求出最值或取值范围。
与图象结合的问题，要利用图象上点的坐标满足函数表达式和几何图形的面积公式求解。
幻灯片 17：课堂检测
某农场要灌溉一片农田，灌溉总量为 1200 立方米，每天的灌溉量\(x\)（立方米）与灌溉天数\(y\)（天）之间的函数关系是（ ）
A. \(y = 1200x\)
B. \(y=\frac{1200}{x}\)
C. \(y = x + 1200\)
D. \(y = 1200 - x\)
已知甲、乙两地相距 200km，汽车从甲地到乙地的行驶速度\(v\)（km/h）与行驶时间\(t\)（h）之间的函数关系图象大致是（ ）
A. 一条直线
B. 第一象限的双曲线
C. 第二象限的双曲线
D. 一条射线
一个矩形的面积为 18cm ，它的长为\(y\)cm，宽为\(x\)cm。
（1）求\(y\)与\(x\)之间的函数表达式。
（2）若矩形的宽为 3cm，求长的值；若长不超过 6cm，求宽的取值范围。
幻灯片 18：课堂检测答案
答案：B
解析：灌溉总量一定，每天灌溉量与灌溉天数成反比例，表达式为\(y=\frac{1200}{x}\)，选 B。
答案：B
解析：路程一定，速度与时间成反比例，图象是第一象限的双曲线，选 B。
答案：
（1）\(y=\frac{18}{x}\)（\(x>0\)）。
（2）当\(x = 3\)时，\(y=\frac{18}{3}=6\)cm 。当\(y≤6\)时，\(\frac{18}{x}≤6\)，解得\(x≥3\)cm ，所以宽的取值范围是\(x≥3\)cm 。
幻灯片 19：课后作业
教材课后相关练习题。
实践作业：调查生活中的一个反比例函数应用实例，记录相关数据，建立反比例函数模型，并解决一个实际问题（如购物时总价一定，单价与数量的关系等）。
幻灯片 20：结束页
感谢语：感谢同学们的积极应用！今天我们学习了如何运用反比例函数解决生活中的实际问题，体会到了数学与生活的紧密联系。
鼓励语：希望大家在生活中多观察、多思考，用数学知识解决更多实际问题，感受数学的价值和魅力！
2025-2026学年北师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
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6.3 反比例函数的应用
第六章 反比例函
某科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过了一片烂泥湿地，你能解释他们这样做的道理吗？
当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S（m2）的变化，人和木板对地面的压强 p（Pa）将如何变化？
如果人和木板对湿地地面的压力合计600N，那么
（1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？
满足 且k≠0的条件，所以p是S的反比例函数
（2）当木板面积为0.2m2时，压强是多少？
（3）如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大？
所以木板面积至少要0.1m2.
（m2）
当p≤600时，
（Pa）
当S=0.2时，
（4）在平面直角坐标系中，作出相应的函数图象.
p/Pa
S/m2
（2，300）
p/Pa
S/m2
（2，300）
（5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴交流.
问题（2）是已知图象上的某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标.
p/Pa
S/m2
（2，300）
（5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴交流.
问题（3）是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围.
实际上这些点都在直线pp=6000下方的图象上.
做一做
1. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A)与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示.
A（9，4）
A（9，4）
（1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？
解：因为IR=U（U为定值）
把图象上的点A的坐标（9，4）代入，得U=36.
则这一函数的表达式为:
A（9，4）
（2）如果以此蓄电池为电源的用电器电流不得超过10A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
解：当I≤10A时，
解得R≥3.6（Ω）.
所以可变电阻应不小于3.6Ω.
做一做
2. 如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（ ， ）.
（1）分别写出这两个函数的表达式；
解：（1）把A点坐标（ ， ）分别代入y=k1x，和 解得k1=2，k2=6
做一做
2. 如图，正比例函数y＝k1x的图象与反比例函数 的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（ ， ）.
（1）分别写出这两个函数的表达式；
所以所求的函数表达式为：y=2x 和
y=2x
做一做
（2）你能求出点B的坐标吗？
y=2x
（2）B点的坐标是两个函数组成的方程组的另一个解.
解得x=
随堂练习
某蓄水池的排水管每时排水8m3/h，6h可将满池水全部排空.
（1）蓄水池的容积是多少？
解：（1）蓄水池容积为：8×6=48（m3）
随堂练习
（2）如果增加排水管，使每时的排水量达到Q（m3），那么将满池水排空所需的时间t（h）将如何变化
（2）由（1）可知Q·t=48 ，
Q与t成反比例关系，
所以Q增大时，t将减少.
（3）写出t与Q之间的函数关系式；
（3）
随堂练习
（4）如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？
（4）∵
∴当t≤5时，解得Q≥9.6
即每小时的排水量至少为9.6m3.
随堂练习
（5）已知排水管的最大排水量为每时12m3/h，那么最少多长时间可将满池水全部排空？
（5）当Q=12时，由 可得t=4，
即最少用4h可将蓄水池全部排空.
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C
1.
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2.
D
某电子产品的售价为8 000元，购买该产品时可分期付款，前期付款3 000元，后期每个月分别付相同的数额(无利息)，则后期每个月付款额y(元)与付款月数x(x为正整数)之间的函数关系式是( )
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3.
R≥3.6 Ω
[2024南通中考] 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流I不能超过10 A，那么用电器可变电阻R应控制的范围是________．
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4.
200
[2025西安期中]验光师通过检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了________度．
5.
40
80
(2)若行驶速度不得超过50 km/h，则汽车通过该段公路至少需要多少时间？
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6.
A
通过本节课的学习，你有哪些收获？
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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