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22.4.2 平面直角坐标系中图形的位似变换教学幻灯片分页内容
第 1 页：标题页
标题：22.4.2 平面直角坐标系中图形的位似变换
副标题：初二数学上册
授课教师：[教师姓名]
日期：[授课日期]
第 2 页：复习回顾
问题 1：什么是位似图形？（两个相似图形，对应顶点连线相交于一点，对应边平行或共线，这样的图形叫做位似图形，交点为位似中心，相似比为位似比。）
问题 2：位似图形有哪些性质？（位似图形是相似图形，位似比等于相似比；对应点连线过位似中心；对应边平行或共线；对应点到位似中心距离比等于位似比。）
问题 3：在平面直角坐标系中，点\(A(3,4)\)关于原点对称的点的坐标是______。（\((-3,-4)\)）
第 3 页：学习目标
知识目标：掌握平面直角坐标系中图形位似变换的规律，能根据位似中心、位似比确定图形位似变换后对应点的坐标，会在坐标系中作出位似变换后的图形。
能力目标：通过观察、计算、作图等过程，培养坐标运算能力、动手作图能力和逻辑推理能力，体会数形结合思想。
情感目标：感受位似变换在坐标系中的直观性和规律性，激发对图形变换的探究兴趣，提高运用数学知识解决问题的能力。
第 4 页：情境引入
展示图形：在平面直角坐标系中，有一个三角形\(ABC\)，顶点坐标分别为\(A(1,2)\)、\(B(3,1)\)、\(C(2,3)\)，以及它以原点为位似中心，位似比为\(2\)的位似图形\(A'B'C'\)。
提出问题：观察图形中对应点的坐标，你能发现它们之间的关系吗？如果位似中心不是原点，对应点的坐标又会有怎样的变化？通过坐标系中的位似图形实例，引出对坐标变换规律的探究。
第 5 页：位似中心为原点时的坐标变换规律
规律内容：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为\(k\)，那么原图形上的点\((x,y)\)的对应点的坐标为\((kx,ky)\)或\((-kx,-ky)\)。
规律解析：
当\(k>0\)时，若对应点坐标为\((kx,ky)\)，则位似图形与原图形在原点同侧；若对应点坐标为\((-kx,-ky)\)，则位似图形与原图形在原点异侧。
位似比\(k\)的绝对值决定图形的缩放比例，\(|k|>1\)时图形放大，\(0<|k|<1\)时图形缩小。
图形示例：以原点为位似中心，位似比为\(2\)，展示点\(A(2,3)\)的对应点\(A'(4,6)\)（同侧）和\(A''(-4,-6)\)（异侧）的位置关系。
第 6 页：规律推导与验证
推导过程：
设原点为位似中心\(O\)，原图形上一点\(P(x,y)\)，位似比为\(k\)，对应点为\(P'\)。
因为\(OP'\)与\(OP\)在同一直线上，且\(\frac{OP'}{OP}=|k|\)，根据相似三角形的性质和坐标的定义，可得\(P'\)的坐标为\((kx,ky)\)或\((-kx,-ky)\)。
验证实例：点\(P(2,5)\)以原点为位似中心，位似比为\(3\)，对应点坐标为\((2×3,5×3)=(6,15)\)或\((2×(-3),5×(-3))=(-6,-15)\)，通过距离计算验证\(\frac{OP'}{OP}=3\)。
第 7 页：例题讲解 1—— 已知原坐标求对应点坐标
例 1：在平面直角坐标系中，已知点\(A(4,-2)\)，以原点为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)，求点\(A\)的对应点\(A'\)的坐标。
步骤解析：
根据位似中心为原点的坐标变换规律，对应点的坐标为\((4×\frac{1}{2},-2×\frac{1}{2})\)或\((4×(-\frac{1}{2}),-2×(-\frac{1}{2}))\)。
计算可得对应点坐标为\((2,-1)\)或\((-2,1)\)。
第 8 页：例题讲解 2—— 已知图形求位似图形坐标
例 2：如图，在平面直角坐标系中，\(\triangle ABC\)的顶点坐标分别为\(A(1,2)\)、\(B(3,4)\)、\(C(2,5)\)，以原点为位似中心，位似比为\(2\)，求位似图形\(\triangle A'B'C'\)的顶点坐标。
步骤解析：
位似比为\(2\)，根据规律，各对应点坐标为原坐标乘以\(2\)或\(-2\)。
点\(A\)的对应点\(A'\)：\((1×2,2×2)=(2,4)\)或\((1×(-2),2×(-2))=(-2,-4)\)。
点\(B\)的对应点\(B'\)：\((3×2,4×2)=(6,8)\)或\((3×(-2),4×(-2))=(-6,-8)\)。
点\(C\)的对应点\(C'\)：\((2×2,5×2)=(4,10)\)或\((2×(-2),5×(-2))=(-4,-10)\)。
所以\(\triangle A'B'C'\)的顶点坐标为\((2,4)\)、\((6,8)\)、\((4,10)\)或\((-2,-4)\)、\((-6,-8)\)、\((-4,-10)\)。
第 9 页：位似中心为任意点时的坐标变换思路
变换思路：
当位似中心为点\(P(a,b)\)时，可先将坐标系平移，使位似中心\(P\)成为新坐标系的原点。
在新坐标系中，原图形各点坐标变为\((x - a,y - b)\)，根据原点位似变换规律求出对应点在新坐标系中的坐标\((k(x - a),k(y - b))\)或\((-k(x - a),-k(y - b))\)。
将新坐标系中的坐标还原到原坐标系，即对应点坐标为\((a + k(x - a),b + k(y - b))\)或\((a - k(x - a),b - k(y - b))\)。
简化理解：先将位似中心平移到原点，进行变换后再平移回去，核心是 “平移 — 变换 — 还原”。
第 10 页：例题讲解 3—— 位似中心为非原点时的坐标变换
例 3：在平面直角坐标系中，点\(A(5,3)\)，位似中心为点\(P(2,1)\)，位似比为\(2\)，求点\(A\)的对应点\(A'\)的坐标。
步骤解析：
计算点\(A\)在以\(P\)为原点的新坐标系中的坐标：\((5 - 2,3 - 1)=(3,2)\)。
新坐标系中对应点坐标为\((3×2,2×2)=(6,4)\)或\((3×(-2),2×(-2))=(-6,-4)\)。
还原到原坐标系：\((2 + 6,1 + 4)=(8,5)\)或\((2 + (-6),1 + (-4))=(-4,-3)\)。
所以点\(A'\)的坐标为\((8,5)\)或\((-4,-3)\)。
第 11 页：坐标系中位似图形的作图步骤
作图步骤（以原点为位似中心）：
确定原图形各顶点的坐标。
根据位似比\(k\)，计算出各顶点的对应点坐标（乘以\(k\)或\(-k\)）。
在坐标系中描出各对应点。
顺次连接各对应点，得到位似变换后的图形。
作图示例：以例 2 中的\(\triangle ABC\)为例，展示作出位似比为\(2\)的位似图形的完整过程，包括坐标计算、描点、连线。
第 12 页：例题讲解 4—— 根据位似图形求位似比
例 4：在平面直角坐标系中，\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)是以原点为位似中心的位似图形，点\(A(2,4)\)的对应点为\(A'(1,2)\)，求位似比，并求出点\(B(6,2)\)的对应点\(B'\)的坐标。
步骤解析：
设位似比为\(k\)，则由对应点坐标关系可得\(2k = 1\)，\(4k = 2\)，解得\(k=\frac{1}{2}\)。
点\(B(6,2)\)的对应点\(B'\)的坐标为\((6×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(3,1)\)或\((6×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(-3,-1)\)。
第 13 页：课堂练习 1
练习 1：在平面直角坐标系中，点\(M(-3,6)\)以原点为位似中心，位似比为\(\frac{1}{3}\)，则对应点\(M'\)的坐标为______。
练习 2：\(\triangle DEF\)的顶点坐标为\(D(2,0)\)、\(E(4,2)\)、\(F(1,3)\)，以原点为位似中心，位似比为\(3\)，则位似图形\(\triangle D'E'F'\)的顶点坐标为______。
第 14 页：课堂练习 2
练习 3：在平面直角坐标系中，位似中心为点\(Q(1,2)\)，点\(N(4,6)\)的对应点\(N'\)的坐标为\((2,4)\)，则位似比为______。
练习 4：如图，在平面直角坐标系中，已知\(\triangle ABC\)与\(\triangle A'B'C'\)是以原点为位似中心的位似图形，且位似比为\(1:2\)，若点\(A\)的坐标为\((a,b)\)，则点\(A'\)的坐标为______。
第 15 页：易错点提醒
忽略位似图形在原点两侧的情况，只计算同侧的对应点坐标，导致漏解。
对位似比的理解错误，将位似比\(k\)与坐标变换中的倍数关系弄混，如位似比为\(2\)时错误地将坐标除以\(2\)。
在位似中心为非原点时，不会进行坐标的平移变换，直接套用原点位似的规律计算。
作图时描错对应点的坐标，或连接顺序错误，导致图形错误。
第 16 页：课堂小结
本节课学面直角坐标系中图形的位似变换规律：以原点为位似中心，位似比为\(k\)时，原图形上点\((x,y)\)的对应点坐标为\((kx,ky)\)或\((-kx,-ky)\)。
掌握了位似中心为非原点时的坐标变换思路：通过平移坐标系将位似中心转化为原点，变换后再还原。
学会了根据位似中心和位似比求对应点坐标、作出位似图形，以及根据对应点坐标求位似比的方法。
第 17 页：作业布置
基础作业：教材第 [X] 页习题 22.4 第 3、4 题。
提高作业：在平面直角坐标系中，已知四边形\(ABCD\)的顶点坐标为\(A(1,1)\)、\(B(3,2)\)、\(C(4,4)\)、\(D(2,3)\)，以原点为位似中心，位似比为\(\frac{1}{2}\)，作出它的位似图形，并写出对应顶点的坐标。
拓展作业：探究位似中心为点\((a,b)\)，位似比为\(k\)时，原图形上点\((x,y)\)的对应点坐标公式的推导过程，并举例验证。
2025-2026学年沪科版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.4.2平面直角坐标系中图形的位似变换
第22章 相似形
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 掌握图形的位似变化与对应点坐标变化的规律.
2. 通过坐标的变化表示图形关于原点的位似变换.
回顾
画位似图形的一般步骤什么？
(1)确定位似中心；
(2)分别连接并延长位似中心和图形的关键点或顶点；
(3)根据相似比，确定所作图形的关键点或顶点；
(4)顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
思考
请你试着把三角形ABC放大为原来的3倍.
如果把位似图形放到平面直角坐标系中，又如何去探究位似变换与坐标之间的关系呢？
O
A
B
C
A′
B′
C′
合作探究
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，1).以原点O为位似中心，相似比为3，作△ABC的位似图形.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
A
B
C
A′
B′
C′
①连接OA，OB，OC，分别延长OA，OB，OC至A′，B′，C′，使
②连接顺次连接A'B'、B'C'、C'A'，那么△A'B'C'就是所求△ABC的位似图形.
A'(3，3)
B'(9，6)
C'(12，3)
归纳总结
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似
中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么
同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0).
利用这个性质作同向位似图形就相当简单，只要把图形
上各点的坐标都乘以一个固定的数k(k>0)，就可以得到相似
比为k(k>0)的同向位似图形.
如果这里的k＜0呢？
合作探究
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(4，1).以原点O为位似中心，相似比为–3，作△ABC的位似图形.观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？
A
B
C
A′
B′
C′
A'(–3，–3)
B'(–9，–6)
C'(–12，–3)
x
y
1 2 3 4
–4 –3 –2 –1
2
1
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0).
O
归纳总结
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位
似中心，相似比为k(k＜0)，这样得到的图形叫做反向位似
图形.
原图形上点的坐标为(x，y)，那么反向位似图形对应点
的坐标为(kx，ky)(k＜0).
正向位似变换和反向位似变换的结果有什么不同？
典型例题
分析：根据前面的结论可知，一共有2个位似图形.
如：点 A 的对应点 A′ 的坐标为：
，即( 3，6)，类似地，
可以确定其他顶点的坐标.
例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A ( 2，4)，B ( 2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，求与 △ABO 的相似比为 3 : 2的对应顶点的坐标.
2
4
6
2
2
4
x
y
A
B
O
典型例题
解：根据位似图形的性质可知，共有2个三角形.
利用位似中对应点坐标的变化规律，可得
A1 ： =( 3，6) ，
B1： =( 3，0) ，
O： =(0，0).
顺次连接点A′，B′，O，即为所求的三角形；
同理可得，另一个三角形的三个顶点坐标是： A2(3， 6)， B2(3，0)，O (0，0).
例 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A ( 2，4)，B ( 2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，求与 △ABO 的相似比为 3 : 2的对应顶点的坐标.
2
4
6
2
2
4
x
y
A
B
O
知识点1 平面直角坐标系中图形的位似变换
(第1题)
1.［2024·浙江中考］如图，在平面直角
坐标系中，与 是位似图
形，位似中心为点.若点 的对
应点为，则点 的对应
点 的坐标为( )
A
A. B.
C. D.
(第2题)
2.［2025年1月滁州期末］如图，已
知和 是位似图形，点
是位似中心，.若点 的
坐标为，则点 的坐标为
( )
D
A. B. C. D.
3.的顶点坐标分别为，， .按如下
方式对 进行变换，变换后所得图形与原图形位似且在
同一象限的是( )
C
A. B.
C. D.
(第4题)
4.如图，在平面直角坐标系中，将 以
原点为位似中心放大后得到 ，若
，，则与 的面
积的比是_____.
(第5题)
5.分类讨论思想如图，在平面直角坐标
系中，已知点， ，
以原点为位似中心，相似比为 ，把
缩小，则点的对应点 的坐标
是________________.
或
知识点2 在平面直角坐标系中画位似图形
6.［2025·江门月考］如图， 的三
个顶点坐标分别为， ，
.以原点为位似中心，将
放大为原来的2倍得到 .
(1)请在图中第一象限内画出符合要求的 ，并分别写
出点，， 的坐标；
解：如图，
即为所求.
， ，
.
(2)求 的面积.
.
8.［2025年1月六安期末］如图，在平面直角坐标系中，
与的相似比为，点 是位似中心，已知点
，点， ，则点 的坐标为
_______________.(结果用含， 的式子表示)
平面直角坐标系中图形的位似变换
同向位似图形：
反向位似图形：
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k>0)，原图形上点的坐标为(x，y)，那么同向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k>0).
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k(k＜0)，这样得到的图形叫做反向位似图形.
原图形上点的坐标为(x，y)，那么反向位似图形对应点的坐标为(kx，ky)(k＜0).
利用这个性质作同向位似图形就相当简单，只要把图形上各点的坐标都乘以一个固定的数k(k>0)，就可以得到相似比为k(k>0)的同向位似图形.
注：在平面直角坐标系中，在作(x，y)→(ax，by)变换时，当a=b≠0时为相似变换.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
