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以下是华东师大版九年级数学 21.3 “二次根式的加减” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：21.3 二次根式的加减
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时）、授课人姓名
2. 知识回顾（衔接旧知，奠定基础）
回顾二次根式的核心性质与运算：
乘法法则：\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)（\(a\geq0\)，\(b\geq0\)）
除法法则：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a\geq0\)，\(b>0\)）
分母有理化：将分母中的根号化去，如\(\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
化简练习（关键铺垫，为同类二次根式判断做准备）：
\(\sqrt{12}\)（答案：\(2\sqrt{3}\)） 2. \(\sqrt{18}\)（答案：\(3\sqrt{2}\)）
\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)（答案：\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)） 4. \(\sqrt{27}\)（答案：\(3\sqrt{3}\)）
3. 同类二次根式 - 概念引入（类比整式加减，降低理解难度）
通过 “同类项” 概念类比，引导学生理解 “同类二次根式”：
回顾整式加减：只有同类项（所含字母相同，且相同字母的指数也相同）才能合并，如\(3x + 2x = 5x\)，\(2y - y = y\)。
思考：二次根式能否像整式一样 “合并”？观察下列化简后的二次根式：
第一组：\(2\sqrt{3}\)、\(3\sqrt{3}\)、\(-\sqrt{3}\)（根号下的数均为 3）
第二组：\(3\sqrt{2}\)、\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)、\(5\sqrt{2}\)（根号下的数均为 2）
第三组：\(\sqrt{5}\)、\(2\sqrt{6}\)（根号下的数分别为 5 和 6）
发现规律：第一组和第二组中，化简后被开方数相同的二次根式，可类比 “同类项” 进行合并；第三组被开方数不同，无法直接合并。
4. 同类二次根式 - 核心定义
定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式。
注意事项：
判断同类二次根式的前提：必须先将二次根式化为最简二次根式（被开方数不含能开得尽方的因数或因式，且不含分母）。
与根号外系数无关：同类二次根式只看 “被开方数” 是否相同，与根号外的系数无关，如\(2\sqrt{3}\)和\(5\sqrt{3}\)是同类二次根式。
判断练习：下列各组是否为同类二次根式？
\(\sqrt{2}\)与\(\sqrt{8}\)（答案：是，\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)，被开方数均为 2）
\(\sqrt{3}\)与\(\sqrt{12}\)（答案：是，\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，被开方数均为 3）
\(\sqrt{5}\)与\(\sqrt{10}\)（答案：否，被开方数分别为 5 和 10）
5. 二次根式的加减法则 - 核心结论
类比整式加减中 “合并同类项” 的方法，推导二次根式加减法则：
法则内容：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并，合并方法与合并同类项类似（根号外的系数相加减，根号及被开方数不变）。
步骤拆解：
化：将所有二次根式化为最简二次根式；
找：找出其中的同类二次根式；
合：合并同类二次根式（系数相加，根号部分不变）。
示例引导：计算\(\sqrt{12} + \sqrt{18} - \sqrt{27}\)
步骤 1：化 - \(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)；
步骤 2：找 - 同类二次根式为\(2\sqrt{3}\)和\(3\sqrt{3}\)，\(3\sqrt{2}\)无同类项；
步骤 3：合 - \(2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 3\sqrt{2} = -\sqrt{3} + 3\sqrt{2}\)。
6. 二次根式的加减 - 例题讲解（分类型突破）
题型 1：直接合并同类二次根式（已化为最简）
例题 1：计算下列各式
\(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}\)
解：同类二次根式直接合并，系数相加：\((2 + 3)\sqrt{5} = 5\sqrt{5}\)
\(4\sqrt{7} - \sqrt{7} - 2\sqrt{7}\)
解：系数相减：\((4 - 1 - 2)\sqrt{7} = \sqrt{7}\)
\(\sqrt{2} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}\)
解：先找同类二次根式，再合并：\((1 - 2)\sqrt{2} + 3\sqrt{3} = -\sqrt{2} + 3\sqrt{3}\)
题型 2：需先化简再合并（核心高频题型）
例题 2：计算下列各式
\(\sqrt{18} + \sqrt{8}\)
解：步骤 1：化简 - \(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{8}=2\sqrt{2}\)；
步骤 2：合并 - \(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{27} - \sqrt{12} + \sqrt{48}\)
解：步骤 1：化简 - \(\sqrt{27}=3\sqrt{3}\)，\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{48}=4\sqrt{3}\)；
步骤 2：合并 - \(3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} + 4\sqrt{3} = 5\sqrt{3}\)
\(\sqrt{\frac{1}{2}} + \sqrt{12} - \sqrt{18}\)
解：步骤 1：化简 - \(\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{18}=3\sqrt{2}\)；
步骤 2：合并 - \(\frac{\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} = -\frac{5\sqrt{2}}{2} + 2\sqrt{3}\)
题型 3：含括号的二次根式加减（类比整式去括号法则）
例题 3：计算\((\sqrt{20} + \sqrt{5}) - (\sqrt{45} - \sqrt{10})\)
解：步骤 1：去括号（括号前是 “-”，括号内各项变号）：\(\sqrt{20} + \sqrt{5} - \sqrt{45} + \sqrt{10}\)；
步骤 2：化简 - \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)，\(\sqrt{45}=3\sqrt{5}\)；
步骤 3：合并 - \(2\sqrt{5} + \sqrt{5} - 3\sqrt{5} + \sqrt{10} = \sqrt{10}\)
7. 课堂练习（分层设计，强化步骤）
基础题（巩固化简与合并）
计算：\(3\sqrt{6} + 2\sqrt{6} - \sqrt{6}\)（答案：\(4\sqrt{6}\)）
计算：\(\sqrt{20} - \sqrt{5} + \sqrt{125}\)（答案：\(6\sqrt{5}\)）
计算：\(\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27} - \sqrt{12}\)（答案：\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)）
提升题（结合实际与综合运算）
一个三角形的两边长分别为\(\sqrt{48}\)cm 和\(\sqrt{12}\)cm，周长为\((\sqrt{27} + \sqrt{75})\)cm，求第三边长（答案：\(2\sqrt{3}\)cm）
计算：\((\sqrt{18} - \sqrt{\frac{1}{2}}) - (\sqrt{98} - \sqrt{50})\)（答案：\(3\sqrt{2}\)）
8. 课堂小结（梳理核心，对比强化）
核心知识体系：
同类二次根式：最简二次根式中，被开方数相同的二次根式；
加减法则：一化（化最简）、二找（找同类）、三合（合并同类）；
关键提醒：非同类二次根式不能合并，如\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)无法进一步计算。
与整式加减的对比：
运算类型
核心步骤
合并依据
示例
整式加减
找同类项 → 合并同类项
同类项（字母及指数相同）
\(2x + 3x = 5x\)
根式加减
化最简 → 找同类根式 → 合并
同类根式（被开方数相同）
\(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)
9. 布置作业（分层巩固，衔接综合运算）
基础作业：教材对应习题（化简合并类 6 道，含括号类 3 道）；
提升作业：已知\(x = \sqrt{2} + 1\)，\(y = \sqrt{2} - 1\)，求\(x + y\)的值（答案：\(2\sqrt{2}\)）；
预习作业：思考 “二次根式的混合运算” 应遵循怎样的运算顺序？（类比整式混合运算）
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
21.3 二次根式的加减
第21章 二次根式
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
分式
最简二次根式
被开方数不能再开方
根号无分母
分母无根号
平方数(式)开方
分母不含根号
(分母有理化)
分解因数(式)
乘以适当数(式)
类比
条件
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
18
8
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
每组的二次根式的被开方数相同
（1） ···
（2） ···
（3） ···
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
归纳知识
1.同类二次根式
经过化简后，各根式被开方数相同，像这样的几个二次根式被称为同类二次根式
1.下列各式中哪些是同类二次根式
例2 化简下列各式
解：
(1) 3x＋2x
=5x
活动3 类比整式的加减，探究二次根式的加减的规律.
(2) 3x2 -2x2＋y
=(3+2)x
=x2+y
=(3-2)x2+y
活动3 类比整式的加减，探究二次根式的加减的规律.
(化成最简二次根式)
(乘法分配律逆用)
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
例1 计算:
解：
例2 计算:
解：
2 计算:
解：
归纳知识
1.二次根式的混合运算
整式运算中的运算律、运算顺序、乘法法则、乘法公式等在二次根式中仍然适用.
例1 计算
解：
1.计算:
解：
归纳知识
2.乘法公式及变形
(1) 平方差公式：(a + b)(a - b) = a2- b2；
(2) 完全平方公式：(a + b)2 = a2 + 2ab + b2；
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
a2 + b2
=(a + b)2 - 2ab
=(a - b)2 + 2ab.
例2 已知:
，求 x3y + xy3.
∴ x3y + xy3 = xy(x2 + y2) = xy[(x + y)2 － 2xy]
解
2. 已知 ，求 的值；
解：x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
C
返回
C
返回
2
返回
【点拨】由题意得10－2m＝m＋4，解此方程得m＝2.
返回
B
返回
返回
【答案】D
D
返回
返回
1
返回
(1)以上解答过程中，从________开始出现错误；
③
返回
(2)请写出本题的正确解答过程．
【点易错】原式化简后，被开方数不同的二次根式不能合并，这一点要牢记．
返回
二次根式加减
同类二次根式
化简后，各根式被开方数相同
法则
步骤
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
一化、二找、三合并
二次根式混合运算
运算顺序
先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号内的
乘法公式
化简求值
平方差(a + b)(a - b) = a2- b2
完全平方(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2.
a2 + b2=(a + b)2 - 2ab2
=(a - b)2 +2ab.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
