22.3.2 实践与探索– 用一元二次方程解营销及其他问题 课件2025-2026学年数学华东师大版九年级上册教学课件
文档属性
| 名称 | 22.3.2 实践与探索– 用一元二次方程解营销及其他问题 课件2025-2026学年数学华东师大版九年级上册教学课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 15:38:33 | ||
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文档简介
(共18张PPT)
以下是华东师大版九年级数学 22.3.2“实践与探索 —— 用一元二次方程解营销及其他问题” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：22.3.2 实践与探索 —— 用一元二次方程解营销及其他问题
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时，聚焦营销问题与多元实际问题）、授课人姓名
2. 知识回顾与情境引入（衔接旧知，聚焦新场景）
回顾 1：一元二次方程应用的核心思路
解决实际问题的通用流程：设未知数→分析数量关系→列方程→解方程→检验实际意义→作答；此前已掌握用一元二次方程解决图形面积、变化率问题，本节课将拓展到更贴近生活的营销场景及其他典型问题。
回顾 2：营销问题中的关键数量关系
核心公式：
① 利润 = 单件利润 × 销售量；
② 单件利润 = 售价 - 成本；
③ 销售量变化：通常售价每提高 / 降低\(x\)元，销售量对应减少 / 增加\(kx\)件（\(k\)为单位价格变化对应的销量变化系数）。
情境引入：生活中更多实际问题需用一元二次方程解决，例如：
① 某商品定价 20 元时，日销量 30 件，若售价每提高 1 元，日销量减少 2 件，如何定价能使日利润达到 200 元？
② 两个连续偶数的积为 168，求这两个偶数；
这些问题分别属于 “营销利润问题” 和 “数字问题”，本节课将重点学习此类问题的求解方法。
3. 类型一：用一元二次方程解营销利润问题（核心：建立利润关系，列方程求解）
解题步骤（通用流程）：
设未知数：设售价调整量（如 “每提高\(x\)元” 或 “每降低\(x\)元”）为\(x\)，明确未知数的实际意义（\(x > 0\)，且需保证销售量非负）；
表示关键量：用含\(x\)的代数式表示调整后的单件利润和销售量：
调整后单件利润 = 原单件利润 ± \(x\)（提高售价取 “+”，降低售价取 “-”）；
调整后销售量 = 原销售量 \(kx\)（提高售价使销量减少，取 “-”；降低售价使销量增加，取 “+”）；
列方程：根据 “总利润 = 调整后单件利润 × 调整后销售量”，结合题目给出的利润目标，建立一元二次方程；
解方程：选择因式分解法、公式法等合适方法求解；
检验与作答：检验解是否满足 “销售量非负”“售价合理” 等实际条件，舍去不合理的解，根据要求回答问题（如求定价需用 “原售价 ±\(x\)”）。
例题 1：售价提高型利润问题
问题：某商店销售一种文具，每件成本 10 元，原售价 15 元时，每天可销售 50 件。若售价每提高 1 元，每天销售量就减少 4 件，问售价提高多少元时，每天的销售利润可达到 300 元？
解答过程：
设未知数：设售价提高\(x\)元（\(x > 0\)，且需满足销售量\(50 - 4x \geq 0\)，即\(x \leq 12.5\)）；
表示关键量：
调整后单件利润 = 原单件利润 + \(x\) = \((15 - 10) + x = (5 + x)\)元；
调整后销售量 = 原销售量 - \(4x\) = \((50 - 4x)\)件；
列方程：根据 “总利润 = 300 元”，得\((5 + x)(50 - 4x) = 300\)；
解方程：
展开方程：\(250 - 20x + 50x - 4x^2 = 300\)；
整理为一般形式：\(-4x^2 + 30x - 50 = 0\)，两边除以\(-2\)得\(2x^2 - 15x + 25 = 0\)；
因式分解：\((2x - 5)(x - 5) = 0\)，解得\(x_1 = 2.5\)，\(x_2 = 5\)；
检验与作答：
两个解均满足\(0 < x \leq 12.5\)，且销售量非负；
结论：售价提高 2.5 元或 5 元时，每天的销售利润可达到 300 元（若求定价，对应为 17.5 元或 20 元）。
例题 2：售价降低型利润问题
问题：某品牌 T 恤衫，每件成本 40 元，原售价 80 元时，每月可销售 200 件。为扩大销量，决定降价销售，经调查发现：售价每降低 1 元，每月销售量增加 10 件。若每月目标利润为 8400 元，求每件 T 恤衫应降价多少元？
解答过程：
设未知数：设每件 T 恤衫降价\(x\)元（\(x > 0\)，且需满足售价\(80 - x > 40\)，即\(x < 40\)，保证单件利润为正）；
表示关键量：
调整后单件利润 = \((80 - 40) - x = (40 - x)\)元；
调整后销售量 = \(200 + 10x\)件；
列方程：根据 “总利润 = 8400 元”，得\((40 - x)(200 + 10x) = 8400\)；
解方程：
展开方程：\(8000 + 400x - 200x - 10x^2 = 8400\)；
整理为一般形式：\(-10x^2 + 200x - 400 = 0\)，两边除以\(-10\)得\(x^2 - 20x + 40 = 0\)；
用公式法：\(\Delta = (-20)^2 - 4 1 40 = 400 - 160 = 240\)，\(x = \frac{20 \pm \sqrt{240}}{2} = 10 \pm 2\sqrt{15}\)；
近似值：\(x_1 \approx 10 + 7.75 = 17.75\)，\(x_2 \approx 10 - 7.75 = 2.25\)；
检验与作答：
两个解均满足\(0 < x < 40\)，符合实际意义；
结论：每件 T 恤衫可降价约 2.25 元或 17.75 元（若题目要求整数，可调整为 2 元或 18 元，利润接近 8400 元）。
营销利润问题注意事项：
明确 “售价调整方向”：是提高还是降低，避免单件利润和销售量的符号错误（提高售价时，单件利润增加、销售量减少；降低售价时相反）；
限制条件：需保证 “销售量非负”“单件利润非负”（即售价不低于成本），检验时务必排除超出范围的解；
若问题求 “最大利润”，可结合二次函数性质（后续学习），但本节课聚焦 “利润达到目标值” 的求解。
4. 类型二：用一元二次方程解其他实际问题（核心：根据问题类型，建立专属等量关系）
子类型 1：数字问题（连续数、倍数关系等）
解题关键：
设未知数技巧：
① 连续整数：设中间数为\(x\)，则三个连续整数为\(x - 1\)、\(x\)、\(x + 1\)；
② 连续偶数 / 奇数：设中间数为\(x\)，则三个连续偶数 / 奇数为\(x - 2\)、\(x\)、\(x + 2\)（间隔为 2）；
等量关系：根据 “和、差、积、倍” 等条件列方程。
例题 3：连续偶数问题
问题：两个连续偶数的积为 168，求这两个偶数（注意：偶数可为正或负）。
解答过程：
设未知数：设较小的偶数为\(x\)，则较大的偶数为\(x + 2\)；
列方程：根据 “积为 168”，得\(x(x + 2) = 168\)；
解方程：
整理为一般形式：\(x^2 + 2x - 168 = 0\)；
因式分解：\((x + 14)(x - 12) = 0\)，解得\(x_1 = -14\)，\(x_2 = 12\)；
检验与作答：
当\(x = -14\)时，另一个偶数为\(-12\)，积为\((-14) (-12) = 168\)；
当\(x = 12\)时，另一个偶数为 14，积为\(12 14 = 168\)；
结论：这两个偶数为 12 和 14，或 - 14 和 - 12。
子类型 2：行程问题（相遇、追及、往返等）
解题关键：
核心公式：路程 = 速度 × 时间（\(s = vt\)）；
等量关系：根据 “路程相等”“时间关系”“速度关系” 列方程（需注意单位统一，如速度用 “km/h”，时间用 “h”）。
例题 4：往返行程问题
问题：一辆汽车从 A 地到 B 地，原计划以 60km/h 的速度行驶，可按时到达。实际行驶时，速度提高到 80km/h，结果提前 1 小时到达，求 A、B 两地的距离。
解答过程：
设未知数：设 A、B 两地的距离为\(x\)km；
表示时间：
原计划时间 = \(\frac{x}{60}\)h；
实际时间 = \(\frac{x}{80}\)h；
列方程：根据 “实际时间比原计划提前 1 小时”，得\(\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1\)；
解方程：
两边同乘 240（最小公倍数）消分母：\(4x - 3x = 240\)；
解得\(x = 240\)；
检验与作答：
原计划时间 = \(\frac{240}{60} = 4\)h，实际时间 = \(\frac{240}{80} = 3\)h，提前 1 小时，符合题意；
结论：A、B 两地的距离为 240km。
子类型 3：工程问题（工作量、效率、时间关系）
解题关键：
核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间（通常设总工作量为 1）；
等量关系：根据 “各部分工作量之和 = 总工作量”“时间关系” 列方程。
例题 5：工程合作问题
问题：一项工程，单独由甲队完成需\(x\)天，乙队单独完成需\((x + 5)\)天。若两队合作 4 天，剩余工程由乙队单独完成还需 3 天，求甲队单独完成工程所需的时间。
解答过程：
设未知数：设甲队单独完成需\(x\)天，则甲队效率为\(\frac{1}{x}\)，乙队效率为\(\frac{1}{x + 5}\)；
列方程：根据 “合作 4 天工作量 + 乙队 3 天工作量 = 总工作量 1”，得\(4(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}) + 3 \frac{1}{x + 5} = 1\)；
解方程：
化简方程：\(\frac{4}{x} + \frac{4 + 3}{x + 5} = 1\)，即\(\frac{4}{x} + \frac{7}{x + 5} = 1\)；
两边同乘\(x(x + 5)\)消分母：\(4(x + 5) + 7x = x(x + 5)\)；
展开整理：\(4x + 20 + 7x = x^2 + 5x\)，即\(x^2 - 6x - 20 = 0\)；
公式法求解：\(\Delta = 36 + 80 = 116\)，\(x = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2} = 3 \pm \sqrt{29}\)；
因时间为正，舍去负根：\(x = 3 + \sqrt{29} \approx 3 + 5.39 = 8.39\)（若题目要求整数，取 8 天或 9 天，需验证）；
检验与作答：
近似值\(x \approx 8.39\)天，甲队效率≈0.119，乙队效率≈0.106，合作 4 天 + 乙队 3 天工作量≈1，符合题意；
结论：甲队单独完成工程约需 8.4 天（或根据题目要求取整数）。
5. 课堂练习（分层设计，覆盖多类问题）
基础题（营销问题）
某商品每件成本 20 元，售价 30 元时，每天销售 40 件。售价每提高 2 元，销量减少 4 件，求售价提高多少元时，日利润为 480 元（答案：4 元或 8 元）；
某玩具定价 50 元，月销量 100 件，若每降价 5 元，月销量增加 20 件，求降价多少元时，月利润为 5250 元（答案：5 元或 12.5 元）。
基础题（其他问题）
两个连续奇数的平方和为 130，求这两个奇数（答案：7 和 9，或 - 9 和 - 7）；
一辆自行车以 15km/h 的速度从甲地到乙地，返回时速度为 10km/h，往返总时间为 2 小时，求甲、乙两地距离（答案：12km）。
提升题（综合应用）
某书店销售教辅资料，每本进价 12 元，原售价 20 元，每天销售 150 本。经调查：售价每降低 1 元，日销量增加 30 本。若要使日利润达到 1920 元，且尽可能扩大销量（即降价越多越好），求每本应降价多少元（提示：设降价\(x\)元，列方程\((8 - x)(150 + 30x) = 1920\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)，选\(x=3\)）；
一项工程，甲、乙合作需 6 天完成，若甲单独做比乙单独做少用 5 天，求甲、乙单独完成工程的时间（答案：甲 10 天，乙 15 天）。
6. 课堂小结（梳理核心，分类构建模型
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.3.2 实践与探索–
用一元二次方程解营销及其他问题
第22章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1：某种商品每件的成本为 2 元，售价为 5 元时，可卖 100 件.在一聪明的销售员发现以下规律：若每涨价1元，销量将减少10件，若每降价1元，销量将增加4件。思考下列问题：
单件利润 销量 总利润
原来 变化 原来 变化
单件利润 销量 总利润
原来 变化 原来 变化
知识要点1
降价促销问题数量关系：
(原有利润 -变化利润)(原有销量 +变化销量)=总利润；
典例讲解
例1山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 kg.后来经市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售量可增加 20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利 2240 元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【解析】 (1)设每千克核桃降价 x 元，利用销售量×每件利润＝2240 元列出方程求解即可；
(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．
解：(1) 设每千克核桃应降价 x 元，根据题意，得
化简，得 x2 - 10x + 24 = 0，
解得 x1 = 4，x2 = 6.
答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，
此时，售价为 60 - 6 = 54 (元)，54÷60 = 90％.
答：该店应按原售价的九折出售.
解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得
(40 x)(20 + 2x) = 1200，
整理得 x2 30x + 200 = 0.
解方程得 x1 = 10，x2 = 20.
答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元.
例2 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？
【变式】增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得
(40 x)(20 + 2x) = 1200，
整理得，x2 30x + 200 = 0.
解方程得，x1 = 10，x2 = 20.
因为要尽快减少库存，所以应取 x = 20.
答：每件衬衫应降价 20 元.
例3 某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天能售出20件，每件盈利40元。为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施.经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件。商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析: 数量关系
… … … …
单件利润 销售总量 总利润
40
20
40×20
降价1元
降价2元
降价X元
40﹣1
40﹣2
40﹣X
20﹢2×1
20﹢2×2
20﹢2X
( 40-1)(20+2)
( 40-2)(20+4)
(40-x)(20+2x)
解： 设每件衬衫降价x元.根据题意，得：
(20+2x)(40-x)=1200
整理得：x2-30x+200=0
解这个方程，得：x1=10,x2=20
因为要尽快减少库存，降价越多，销售越快，所以每件应降价20元。
答：每件衬衫应降价20元。
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1.[2023·广西]据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( )
A．3.2(1－x)2＝3.7 B．3.2(1＋x)2＝3.7
C．3.7 (1－x)2＝3.2 D．3.7(1＋x)2＝3.2
B
2.[2023·郴州]随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率．
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【解】设5月份后10天日均接待游客人数是a万人．
由题意得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
返回
降价促销问题数量关系：
(原有利润 -变化利润)(原有销量 +变化销量)=总利润；
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
以下是华东师大版九年级数学 22.3.2“实践与探索 —— 用一元二次方程解营销及其他问题” 教学课件的幻灯片分页内容：
1. 封面
标题：22.3.2 实践与探索 —— 用一元二次方程解营销及其他问题
标注信息：学科（数学）、版本（华东师大版）、年级（九年级）、课时（1 课时，聚焦营销问题与多元实际问题）、授课人姓名
2. 知识回顾与情境引入（衔接旧知，聚焦新场景）
回顾 1：一元二次方程应用的核心思路
解决实际问题的通用流程：设未知数→分析数量关系→列方程→解方程→检验实际意义→作答；此前已掌握用一元二次方程解决图形面积、变化率问题，本节课将拓展到更贴近生活的营销场景及其他典型问题。
回顾 2：营销问题中的关键数量关系
核心公式：
① 利润 = 单件利润 × 销售量；
② 单件利润 = 售价 - 成本；
③ 销售量变化：通常售价每提高 / 降低\(x\)元，销售量对应减少 / 增加\(kx\)件（\(k\)为单位价格变化对应的销量变化系数）。
情境引入：生活中更多实际问题需用一元二次方程解决，例如：
① 某商品定价 20 元时，日销量 30 件，若售价每提高 1 元，日销量减少 2 件，如何定价能使日利润达到 200 元？
② 两个连续偶数的积为 168，求这两个偶数；
这些问题分别属于 “营销利润问题” 和 “数字问题”，本节课将重点学习此类问题的求解方法。
3. 类型一：用一元二次方程解营销利润问题（核心：建立利润关系，列方程求解）
解题步骤（通用流程）：
设未知数：设售价调整量（如 “每提高\(x\)元” 或 “每降低\(x\)元”）为\(x\)，明确未知数的实际意义（\(x > 0\)，且需保证销售量非负）；
表示关键量：用含\(x\)的代数式表示调整后的单件利润和销售量：
调整后单件利润 = 原单件利润 ± \(x\)（提高售价取 “+”，降低售价取 “-”）；
调整后销售量 = 原销售量 \(kx\)（提高售价使销量减少，取 “-”；降低售价使销量增加，取 “+”）；
列方程：根据 “总利润 = 调整后单件利润 × 调整后销售量”，结合题目给出的利润目标，建立一元二次方程；
解方程：选择因式分解法、公式法等合适方法求解；
检验与作答：检验解是否满足 “销售量非负”“售价合理” 等实际条件，舍去不合理的解，根据要求回答问题（如求定价需用 “原售价 ±\(x\)”）。
例题 1：售价提高型利润问题
问题：某商店销售一种文具，每件成本 10 元，原售价 15 元时，每天可销售 50 件。若售价每提高 1 元，每天销售量就减少 4 件，问售价提高多少元时，每天的销售利润可达到 300 元？
解答过程：
设未知数：设售价提高\(x\)元（\(x > 0\)，且需满足销售量\(50 - 4x \geq 0\)，即\(x \leq 12.5\)）；
表示关键量：
调整后单件利润 = 原单件利润 + \(x\) = \((15 - 10) + x = (5 + x)\)元；
调整后销售量 = 原销售量 - \(4x\) = \((50 - 4x)\)件；
列方程：根据 “总利润 = 300 元”，得\((5 + x)(50 - 4x) = 300\)；
解方程：
展开方程：\(250 - 20x + 50x - 4x^2 = 300\)；
整理为一般形式：\(-4x^2 + 30x - 50 = 0\)，两边除以\(-2\)得\(2x^2 - 15x + 25 = 0\)；
因式分解：\((2x - 5)(x - 5) = 0\)，解得\(x_1 = 2.5\)，\(x_2 = 5\)；
检验与作答：
两个解均满足\(0 < x \leq 12.5\)，且销售量非负；
结论：售价提高 2.5 元或 5 元时，每天的销售利润可达到 300 元（若求定价，对应为 17.5 元或 20 元）。
例题 2：售价降低型利润问题
问题：某品牌 T 恤衫，每件成本 40 元，原售价 80 元时，每月可销售 200 件。为扩大销量，决定降价销售，经调查发现：售价每降低 1 元，每月销售量增加 10 件。若每月目标利润为 8400 元，求每件 T 恤衫应降价多少元？
解答过程：
设未知数：设每件 T 恤衫降价\(x\)元（\(x > 0\)，且需满足售价\(80 - x > 40\)，即\(x < 40\)，保证单件利润为正）；
表示关键量：
调整后单件利润 = \((80 - 40) - x = (40 - x)\)元；
调整后销售量 = \(200 + 10x\)件；
列方程：根据 “总利润 = 8400 元”，得\((40 - x)(200 + 10x) = 8400\)；
解方程：
展开方程：\(8000 + 400x - 200x - 10x^2 = 8400\)；
整理为一般形式：\(-10x^2 + 200x - 400 = 0\)，两边除以\(-10\)得\(x^2 - 20x + 40 = 0\)；
用公式法：\(\Delta = (-20)^2 - 4 1 40 = 400 - 160 = 240\)，\(x = \frac{20 \pm \sqrt{240}}{2} = 10 \pm 2\sqrt{15}\)；
近似值：\(x_1 \approx 10 + 7.75 = 17.75\)，\(x_2 \approx 10 - 7.75 = 2.25\)；
检验与作答：
两个解均满足\(0 < x < 40\)，符合实际意义；
结论：每件 T 恤衫可降价约 2.25 元或 17.75 元（若题目要求整数，可调整为 2 元或 18 元，利润接近 8400 元）。
营销利润问题注意事项：
明确 “售价调整方向”：是提高还是降低，避免单件利润和销售量的符号错误（提高售价时，单件利润增加、销售量减少；降低售价时相反）；
限制条件：需保证 “销售量非负”“单件利润非负”（即售价不低于成本），检验时务必排除超出范围的解；
若问题求 “最大利润”，可结合二次函数性质（后续学习），但本节课聚焦 “利润达到目标值” 的求解。
4. 类型二：用一元二次方程解其他实际问题（核心：根据问题类型，建立专属等量关系）
子类型 1：数字问题（连续数、倍数关系等）
解题关键：
设未知数技巧：
① 连续整数：设中间数为\(x\)，则三个连续整数为\(x - 1\)、\(x\)、\(x + 1\)；
② 连续偶数 / 奇数：设中间数为\(x\)，则三个连续偶数 / 奇数为\(x - 2\)、\(x\)、\(x + 2\)（间隔为 2）；
等量关系：根据 “和、差、积、倍” 等条件列方程。
例题 3：连续偶数问题
问题：两个连续偶数的积为 168，求这两个偶数（注意：偶数可为正或负）。
解答过程：
设未知数：设较小的偶数为\(x\)，则较大的偶数为\(x + 2\)；
列方程：根据 “积为 168”，得\(x(x + 2) = 168\)；
解方程：
整理为一般形式：\(x^2 + 2x - 168 = 0\)；
因式分解：\((x + 14)(x - 12) = 0\)，解得\(x_1 = -14\)，\(x_2 = 12\)；
检验与作答：
当\(x = -14\)时，另一个偶数为\(-12\)，积为\((-14) (-12) = 168\)；
当\(x = 12\)时，另一个偶数为 14，积为\(12 14 = 168\)；
结论：这两个偶数为 12 和 14，或 - 14 和 - 12。
子类型 2：行程问题（相遇、追及、往返等）
解题关键：
核心公式：路程 = 速度 × 时间（\(s = vt\)）；
等量关系：根据 “路程相等”“时间关系”“速度关系” 列方程（需注意单位统一，如速度用 “km/h”，时间用 “h”）。
例题 4：往返行程问题
问题：一辆汽车从 A 地到 B 地，原计划以 60km/h 的速度行驶，可按时到达。实际行驶时，速度提高到 80km/h，结果提前 1 小时到达，求 A、B 两地的距离。
解答过程：
设未知数：设 A、B 两地的距离为\(x\)km；
表示时间：
原计划时间 = \(\frac{x}{60}\)h；
实际时间 = \(\frac{x}{80}\)h；
列方程：根据 “实际时间比原计划提前 1 小时”，得\(\frac{x}{60} - \frac{x}{80} = 1\)；
解方程：
两边同乘 240（最小公倍数）消分母：\(4x - 3x = 240\)；
解得\(x = 240\)；
检验与作答：
原计划时间 = \(\frac{240}{60} = 4\)h，实际时间 = \(\frac{240}{80} = 3\)h，提前 1 小时，符合题意；
结论：A、B 两地的距离为 240km。
子类型 3：工程问题（工作量、效率、时间关系）
解题关键：
核心公式：工作量 = 工作效率 × 工作时间（通常设总工作量为 1）；
等量关系：根据 “各部分工作量之和 = 总工作量”“时间关系” 列方程。
例题 5：工程合作问题
问题：一项工程，单独由甲队完成需\(x\)天，乙队单独完成需\((x + 5)\)天。若两队合作 4 天，剩余工程由乙队单独完成还需 3 天，求甲队单独完成工程所需的时间。
解答过程：
设未知数：设甲队单独完成需\(x\)天，则甲队效率为\(\frac{1}{x}\)，乙队效率为\(\frac{1}{x + 5}\)；
列方程：根据 “合作 4 天工作量 + 乙队 3 天工作量 = 总工作量 1”，得\(4(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5}) + 3 \frac{1}{x + 5} = 1\)；
解方程：
化简方程：\(\frac{4}{x} + \frac{4 + 3}{x + 5} = 1\)，即\(\frac{4}{x} + \frac{7}{x + 5} = 1\)；
两边同乘\(x(x + 5)\)消分母：\(4(x + 5) + 7x = x(x + 5)\)；
展开整理：\(4x + 20 + 7x = x^2 + 5x\)，即\(x^2 - 6x - 20 = 0\)；
公式法求解：\(\Delta = 36 + 80 = 116\)，\(x = \frac{6 \pm \sqrt{116}}{2} = 3 \pm \sqrt{29}\)；
因时间为正，舍去负根：\(x = 3 + \sqrt{29} \approx 3 + 5.39 = 8.39\)（若题目要求整数，取 8 天或 9 天，需验证）；
检验与作答：
近似值\(x \approx 8.39\)天，甲队效率≈0.119，乙队效率≈0.106，合作 4 天 + 乙队 3 天工作量≈1，符合题意；
结论：甲队单独完成工程约需 8.4 天（或根据题目要求取整数）。
5. 课堂练习（分层设计，覆盖多类问题）
基础题（营销问题）
某商品每件成本 20 元，售价 30 元时，每天销售 40 件。售价每提高 2 元，销量减少 4 件，求售价提高多少元时，日利润为 480 元（答案：4 元或 8 元）；
某玩具定价 50 元，月销量 100 件，若每降价 5 元，月销量增加 20 件，求降价多少元时，月利润为 5250 元（答案：5 元或 12.5 元）。
基础题（其他问题）
两个连续奇数的平方和为 130，求这两个奇数（答案：7 和 9，或 - 9 和 - 7）；
一辆自行车以 15km/h 的速度从甲地到乙地，返回时速度为 10km/h，往返总时间为 2 小时，求甲、乙两地距离（答案：12km）。
提升题（综合应用）
某书店销售教辅资料，每本进价 12 元，原售价 20 元，每天销售 150 本。经调查：售价每降低 1 元，日销量增加 30 本。若要使日利润达到 1920 元，且尽可能扩大销量（即降价越多越好），求每本应降价多少元（提示：设降价\(x\)元，列方程\((8 - x)(150 + 30x) = 1920\)，解得\(x=2\)或\(x=3\)，选\(x=3\)）；
一项工程，甲、乙合作需 6 天完成，若甲单独做比乙单独做少用 5 天，求甲、乙单独完成工程的时间（答案：甲 10 天，乙 15 天）。
6. 课堂小结（梳理核心，分类构建模型
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
22.3.2 实践与探索–
用一元二次方程解营销及其他问题
第22章 一元二次方程
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1：某种商品每件的成本为 2 元，售价为 5 元时，可卖 100 件.在一聪明的销售员发现以下规律：若每涨价1元，销量将减少10件，若每降价1元，销量将增加4件。思考下列问题：
单件利润 销量 总利润
原来 变化 原来 变化
单件利润 销量 总利润
原来 变化 原来 变化
知识要点1
降价促销问题数量关系：
(原有利润 -变化利润)(原有销量 +变化销量)=总利润；
典例讲解
例1山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克 40 元，按每千克 60 元出售，平均每天可售出 100 kg.后来经市场调查发现，单价每降低 2 元，则平均每天的销售量可增加 20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利 2240 元，请回答：
(1)每千克核桃应降价多少元？
(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
【解析】 (1)设每千克核桃降价 x 元，利用销售量×每件利润＝2240 元列出方程求解即可；
(2)为了让利于顾客因此应降价最多，求出此时的销售单价即可确定按原售价的几折出售．
解：(1) 设每千克核桃应降价 x 元，根据题意，得
化简，得 x2 - 10x + 24 = 0，
解得 x1 = 4，x2 = 6.
答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，
此时，售价为 60 - 6 = 54 (元)，54÷60 = 90％.
答：该店应按原售价的九折出售.
解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得
(40 x)(20 + 2x) = 1200，
整理得 x2 30x + 200 = 0.
解方程得 x1 = 10，x2 = 20.
答：每件衬衫应降价 10 元或 20 元.
例2 某商场销售一批衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元．经调查发现，如果每件衬衫降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件．若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？
【变式】增加条件：为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？
解：设每件衬衫降价 x 元，根据题意得
(40 x)(20 + 2x) = 1200，
整理得，x2 30x + 200 = 0.
解方程得，x1 = 10，x2 = 20.
因为要尽快减少库存，所以应取 x = 20.
答：每件衬衫应降价 20 元.
例3 某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天能售出20件，每件盈利40元。为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施.经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件。商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？
分析: 数量关系
… … … …
单件利润 销售总量 总利润
40
20
40×20
降价1元
降价2元
降价X元
40﹣1
40﹣2
40﹣X
20﹢2×1
20﹢2×2
20﹢2X
( 40-1)(20+2)
( 40-2)(20+4)
(40-x)(20+2x)
解： 设每件衬衫降价x元.根据题意，得：
(20+2x)(40-x)=1200
整理得：x2-30x+200=0
解这个方程，得：x1=10,x2=20
因为要尽快减少库存，降价越多，销售越快，所以每件应降价20元。
答：每件衬衫应降价20元。
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1.[2023·广西]据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元．设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为( )
A．3.2(1－x)2＝3.7 B．3.2(1＋x)2＝3.7
C．3.7 (1－x)2＝3.2 D．3.7(1＋x)2＝3.2
B
2.[2023·郴州]随着旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人.
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率．
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【解】设5月份后10天日均接待游客人数是a万人．
由题意得2.125＋10a≤2.5(1＋25%)，解得a≤0.1.
答：5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
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降价促销问题数量关系：
(原有利润 -变化利润)(原有销量 +变化销量)=总利润；
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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