(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.2 相似图形
副标题：探索形状相同的图形世界
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
幻灯片 2：课程导入
展示图片与情境：
图片 1：同一品牌不同尺寸的两张海报（如电影海报，一张 A3 尺寸，一张 A4 尺寸），直观呈现 “形状相同、大小不同” 的特点。
图片 2：用手机拍摄的风景照与原风景的实景对比（忽略细节差异，突出整体形状一致），以及同一棵树的两张不同缩放比例的照片。
图片 3：几何图形对比，如两个大小不同的正三角形、两个半径不同的圆、两个对应角相等的平行四边形。
引导提问：同学们，观察这些图片中的图形，它们有什么共同特点？（学生可能回答 “看起来差不多”“形状一样”）。没错，这些图形虽然大小可能不同，但形状是相同的。在数学中，我们把这样的图形称为 “相似图形”。今天，我们就来深入学习相似图形的定义、特征和相关知识。
幻灯片 3：相似图形的定义
定义阐述：
我们把形状相同的图形叫做相似图形。
补充说明：相似图形只关注 “形状是否相同”，与图形的大小、位置无关。例如，一个正六边形无论放大、缩小多少倍，或者旋转、平移到不同位置，它与原正六边形都是相似图形；但一个正方形和一个长方形，即使大小相近，由于形状不同（正方形四条边相等，长方形对边相等、邻边不等），也不是相似图形。
反例对比：
展示 “相似图形” 与 “不相似图形” 的对比图：
相似：两个等腰直角三角形（形状相同，大小不同）。
不相似：一个正方形和一个菱形（正方形四个角都是直角，菱形角不一定是直角，形状不同）；一个圆形和一个椭圆形（曲线弯曲程度不同，形状不同）。
幻灯片 4：相似图形的特征（重点）
核心特征分析：
对应角相等：对于多边形类相似图形，它们的对应角大小完全相同。
示例：两个相似的平行四边形，∠A 与∠A' 对应，∠B 与∠B' 对应，那么∠A = ∠A'，∠B = ∠B'（因为平行四边形邻角互补，对应角相等可推出所有角都相等）。
特殊图形：所有的圆都是相似图形（圆没有角，但可理解为 “任意对应位置的弯曲程度相同”）；所有的正多边形（如正三角形、正五边形），只要边数相同，都是相似图形（正多边形各角相等、各边相等，放大缩小后对应角仍相等）。
对应边成比例：对于多边形类相似图形，它们的对应边长度的比值（称为 “相似比”）是一个固定的正数。
示例：如图，四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 相似，对应边 AB 与 A'B'、BC 与 B'C'、CD 与 C'D'、DA 与 D'A' 的比均为\(k\)（即\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{DA}{D'A'} = k\)），\(k\)就是这两个相似四边形的相似比。
注意：若相似比\(k = 1\)，则两个相似图形的对应边长度相等，此时它们不仅形状相同，大小也相同，这类图形就是 “全等图形”。由此可知，全等图形是相似图形的特殊情况（相似比为 1 的相似图形）。
幻灯片 5：相似图形的表示方法与几何语言
表示符号：
用符号 “∽” 表示 “相似”，读作 “相似于”。
示例：若△ABC 与△A'B'C' 相似，且点 A 对应点 A'、点 B 对应点 B'、点 C 对应点 C'，则记为 “△ABC ∽ △A'B'C'”，注意对应顶点的字母要写在对应位置上，不能随意颠倒（如不能写成 “△ABC ∽ △B'A'C'”，否则对应关系会混淆）。
几何语言规范：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'（如图）。
则可推出：
对应角相等：∠A = ∠A'，∠B = ∠B'，∠C = ∠C'；
对应边成比例：\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{AC}{A'C'} = k\)（\(k\)为相似比）。
反过来，若一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角相等，且三条边分别与另一个三角形的三条边成比例，则这两个三角形相似。
幻灯片 6：常见相似图形举例（生活与数学）
生活中的相似图形：
交通标志：不同尺寸的 “禁止通行” 标志（圆形）、“注意行人” 标志（三角形），形状相同，大小不同。
建筑模型：建筑物的缩小模型与实际建筑物（如故宫模型与故宫实景），对应部分形状相同，比例一致。
印刷字体：同一字体不同字号的文字（如 “你好” 的二号字与四号字），形状相同，大小不同。
数学中的相似图形：
三角形：两个等腰三角形，若顶角相等（或底角相等），则两三角形相似；两个直角三角形，若有一个锐角相等，则两三角形相似。
四边形：两个正方形（所有正方形都相似）、两个菱形（若对应角相等，则相似）。
曲线图形：两个椭圆（若长轴与短轴的比例相同，则相似）、两个抛物线（开口方向相同且形状系数相同，则相似）。
幻灯片 7：课堂练习 1（判断相似图形）
题目展示：判断下列各组图形是否为相似图形，并说明理由。
两个等腰三角形；
两个等边三角形；
两个矩形；
两个正方形；
一个圆形和一个半径不同的圆形。
解答过程：
不一定相似。理由：等腰三角形只要求 “两腰相等、两底角相等”，但不同等腰三角形的顶角或底角可能不同（如一个等腰三角形顶角为 60°，另一个顶角为 90°），对应角不相等，因此不一定相似。
相似。理由：等边三角形的三个角都是 60°（对应角相等），三条边都相等（放大缩小后对应边成比例），因此所有等边三角形都相似。
不一定相似。理由：矩形的四个角都是直角（对应角相等），但对应边不一定成比例（如一个矩形长为 4、宽为 2，另一个矩形长为 3、宽为 2，\(\frac{4}{3} \frac{2}{2}\)），因此不一定相似。
相似。理由：正方形的四个角都是直角（对应角相等），四条边都相等（放大缩小后对应边的比为固定值），因此所有正方形都相似。
相似。理由：圆的形状由半径决定，不同半径的圆只是大小不同，弯曲程度完全相同，因此所有圆都相似。
幻灯片 8：课堂练习 2（利用相似图形求线段长度）
题目展示：
如图，四边形 ABCD ∽ 四边形 A'B'C'D'，相似比为\(\frac{3}{2}\)。已知 AB = 6cm，BC = 8cm，CD = 10cm，DA = 12cm，求四边形 A'B'C'D' 各边的长度。
解答过程：
明确相似比与对应边关系：∵ 四边形 ABCD ∽ 四边形 A'B'C'D'，相似比\(k = \frac{ABCD è é }{A'B'C'D' è é } = \frac{3}{2}\)，
∴ 对应边成比例：\(\frac{AB}{A'B'} = \frac{BC}{B'C'} = \frac{CD}{C'D'} = \frac{DA}{D'A'} = \frac{3}{2}\)。
分别计算各边长度：
求 A'B'：\(\frac{6}{A'B'} = \frac{3}{2}\)，交叉相乘得\(3A'B' = 6 2 = 12\)，∴ \(A'B' = 4cm\)；
求 B'C'：\(\frac{8}{B'C'} = \frac{3}{2}\)，交叉相乘得\(3B'C' = 8 2 = 16\)，∴ \(B'C' = \frac{16}{3} 5.33cm\)；
求 C'D'：\(\frac{10}{C'D'} = \frac{3}{2}\)，交叉相乘得\(3C'D' = 10 2 = 20\)，∴ \(C'D' = \frac{20}{3} 6.67cm\)；
求 D'A'：\(\frac{12}{D'A'} = \frac{3}{2}\)，交叉相乘得\(3D'A' = 12 2 = 24\)，∴ \(D'A' = 8cm\)。
答案：四边形 A'B'C'D' 的各边长度分别为\(A'B' = 4cm\)，\(B'C' = \frac{16}{3}cm\)，\(C'D' = \frac{20}{3}cm\)，\(D'A' = 8cm\)。
幻灯片 9：课堂总结
知识梳理：
相似图形的定义：形状相同的图形，与大小、位置无关；全等图形是相似图形的特殊情况（相似比为 1）。
相似图形的核心特征：
对应角相等（适用于多边形，圆可理解为 “形状无角差异”）；
对应边成比例（对应边长度的比为固定的相似比\(k\)）。
相似图形的表示方法：用 “∽” 表示，对应顶点字母需写在对应位置，如△ABC ∽ △A'B'C'。
常见相似图形：所有圆、所有边数相同的正多边形、对应角相等且对应边成比例的多边形。
解题关键：
判断图形是否相似：紧扣 “对应角相等、对应边成比例” 两个条件（对多边形而言）；
利用相似求线段长度：先明确相似比和对应边，再根据比例关系列方程求解。
幻灯片 10：课后作业布置
书面作业：
课本课后练习题，完成相似图形的判断、相似比的计算及利用相似求线段长度的题目，要求写出完整的判断理由或解题过程。
拓展题：如图，△ABC ∽ △DEF，相似比为\(\frac{2}{1}\)，已知△ABC 的周长为 30cm，求△DEF 的周长（提示：相似图形的周长比等于相似比）。
实践作业：
寻找生活中的 3 组相似图形（如不同尺寸的餐具、书籍封面、广告牌等），用文字描述图形特征，并说明它们相似的理由；
尝试用直尺和圆规绘制一个与给定正方形相似的正方形（相似比为\(\frac{1}{2}\)），并测量验证对应边是否成比例、对应角是否相等，下节课展示你的作品和验证过程。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.2 相似图形
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
请观察下面几组图片，是我们前面学过的相似图形吗？
观察与思考
下图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们的对应边之间有什么关系呢？对应角之间又有什么关系？
相似多边形的性质
再看看下图中两个相似的五边形，是否与你观察前面的图所得到的结果一样？
由此可以得到两个相似多边形的性质：
实际上这也是我们判定两个多边形是否相似的方法，即如果_________________________，那么这两个多边形相似．
对应边成比例，对应角相等．
对应边成比例，对应角相等
在图所示的相似四边形中，求未知边 x 的长度和角度 α 的大小．
思考：
两个三角形一定是相似形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？
练一练
α = 83°
x = 9
A
B
C
A1
B1
C1
缩小
下面两个等边三角形对应角有什么关系？对应边有什么关系？两个等边三角形又有什么关系？
60°
60°
根据定义判定相似多边形
∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1
AB : A1B1 =BC : B1C1 =AC : A1C1
AB = BC = AC ，A1B1 = B1C1 = A1C1
对应角相等
对应边成比例
两三角形相似
A
B
C
A1
B1
C1
缩小
60°
60°
放大
120°
120°
∠A =∠A1，∠B =∠B1，∠C =∠C1，∠D =∠D1，∠E =∠E1，∠F =∠F1
对应角相等
A
B
C
A1
B1
C1
F
E
D
F1
E1
D1
正六边形
AB : A1B1 = BC : B1C1 = CD : C1D1 = DE : D1E1 = EF : E1F1 = FA : F1A1
正六边形
放大
A
B
C
A1
B1
C1
F
E
D
F1
E1
D1
AB = BC = CD = DE = EF = FA
A1B1 = B1C1 = C1D1 = D1E1 = E1F1 = F1A1
对应边成比例
相似多边形的定义：
两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似.
归纳
1．根据下图所示，这两个多边形相似吗？说说你的理由．
不相似，因为这两个多边形对应角相等，但对应边不成比例.
2．如图，正方形的边长 a ＝10，菱形的边长 b＝5，它们相似吗？请说明理由．
不相似，因为这两个四边形对应边成比例，但对应角不相等.
3．如图所示的两个矩形是否相似？
不相似，因为这两个多边形对应角相等，但对应边对应不成比例.
返回
1.[2024·济南历下区期中]在如图所示的三个矩形中，相似的是________.
甲和乙
2.在研究相似问题时，甲、乙两名同学的观点如下：甲：将边长为4的菱形按图①的方式向外扩张，得到新菱形，它们的对应边间距为1，则新菱形与原菱形相似．
返回
乙：将边长为4的菱形按图②的方式向外
扩张，得到新菱形，每条对角线向其延
长线两个方向各延伸1个单位长度，则新
菱形与原菱形相似.
对于两人的观点，下列说法正确的是( )
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
C
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3.正五边形FGHMN∽正五边形ABCDE，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是( )
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
B
【答案】C
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5.如图，多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，其中A，B，C，D，E，F的对应点分别为A1，B1，C1，D1，E1，F1，∠A＝∠D1＝135°，∠B＝∠E1＝120°， ∠C1＝95°.
(1)∠F的度数为________；
115°
【点拨】∵多边形ABCDEF与多边形A1B1C1D1E1F1相似，且∠C和∠C1，∠D和∠D1，∠E和∠E1是对应角，∴ ∠C＝95°，∠D＝135°，∠E＝120°.由多边形的内角和＝180°(n－2)，可得六边形的内角和为720°，∴∠F＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°.
返回
(2)若多边形ABCDEF和多边形A1B1C1D1E1F1的相似比是1∶1.5，且CD＝15 cm，则C1D1的长为________.
22.5 cm
1. 相似多边形的性质：
对应角相等 ，对应边成比例（对应边的比相等）.
2. 相似多边形的定义：
两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等 ，就称这两个多边形相似.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
