23.3.3 相似三角形的性质 课件2025-2026学年数学华东师大版九年级上册教学课件
文档属性
| 名称 | 23.3.3 相似三角形的性质 课件2025-2026学年数学华东师大版九年级上册教学课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 15:42:40 | ||
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文档简介
(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.3.4 相似三角形的性质
副标题：从比例关系探索相似三角形的数量特征
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “定义推导→性质验证→实例应用” 为逻辑链，层层递进讲解性质
幻灯片 2：课程导入
复习回顾：
提问 1：我们已经学习了相似三角形的定义和判定方法，谁能说说相似三角形的核心定义是什么？（预设答案：对应角相等、对应边成比例）
提问 2：若△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，则对应边的比例关系是什么？（预设答案：\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)）
情境引导：
展示图片：两个相似的三角形，分别画出它们的高、中线、角平分线，标注对应线段。
提问：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线是否也与相似比存在某种关系？它们的周长和面积又有怎样的规律呢？今天我们就来探索相似三角形的性质。
幻灯片 3：性质 1—— 对应高的比等于相似比
推导过程：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，AD 是△ABC 的高，A'D' 是△A'B'C' 的高（如图）。
求证：\(\frac{AD}{A'D'}=k\)。
证明：
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，∴ ∠B=∠B'（对应角相等）。
∵ AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，∴ ∠ADB=∠A'D'B'=90°（垂直定义）。
∴ △ABD ∽ △A'B'D'（AA 判定，两角分别相等）。
∴ \(\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)（相似三角形对应边成比例）。
结论：相似三角形对应高的比等于相似比。
几何语言：∵ △ABC ∽ △A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应高，相似比为\(k\)，∴ \(\frac{AD}{A'D'}=k\)。
幻灯片 4：性质 2—— 对应中线、对应角平分线的比等于相似比
类比推导（对应中线）：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，AE 是△ABC 的中线（BE=EC），A'E' 是△A'B'C' 的中线（B'E'=E'C'）。
推导：
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，∴ ∠B=∠B'，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k\)。
∵ AE、A'E' 是中线，∴ \(\frac{BE}{B'E'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k\)。
∴ △ABE ∽ △A'B'E'（SAS 判定，两边成比例且夹角相等）。
∴ \(\frac{AE}{A'E'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)。
类比推导（对应角平分线）：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，AF 是△ABC 的角平分线（∠BAF=∠CAF），A'F' 是△A'B'C' 的角平分线（∠B'A'F'=∠C'A'F'）。
推导：
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，∴ ∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'。
∵ AF、A'F' 是角平分线，∴ ∠BAF=\(\frac{1}{2}\)∠BAC，∠B'A'F'=\(\frac{1}{2}\)∠B'A'C'，故∠BAF=∠B'A'F'。
∴ △ABF ∽ △A'B'F'（AA 判定）。
∴ \(\frac{AF}{A'F'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)。
统一结论：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
总结：相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比。
幻灯片 5：性质 3—— 周长的比等于相似比
推导过程：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)。
计算周长比：
△ABC 的周长\(C_{ABC}=AB+BC+AC\)。
△A'B'C' 的周长\(C_{A'B'C'}=A'B'+B'C'+A'C'\)。
由比例性质，\(AB=kA'B'\)，\(BC=kB'C'\)，\(AC=kA'C'\)。
∴ \(C_{ABC}=kA'B'+kB'C'+kA'C'=k(A'B'+B'C'+A'C')=kC_{A'B'C'}\)。
∴ \(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)。
结论：相似三角形周长的比等于相似比。
实例验证：若△ABC 与△A'B'C' 相似比为\(\frac{1}{2}\)，△ABC 周长为 12cm，则△A'B'C' 周长为\(12 ·\frac{1}{2}=24cm\)，符合周长比等于相似比。
幻灯片 6：性质 4—— 面积的比等于相似比的平方
推导过程：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，AD、A'D' 分别为对应高（如图）。
计算面积比：
△ABC 的面积\(S_{ABC}=\frac{1}{2} BC AD\)。
△A'B'C' 的面积\(S_{A'B'C'}=\frac{1}{2} B'C' A'D'\)。
由性质 1，\(\frac{AD}{A'D'}=k\)；由相似定义，\(\frac{BC}{B'C'}=k\)。
∴ \(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2} BC AD}{\frac{1}{2} B'C' A'D'}=\frac{BC}{B'C'} \frac{AD}{A'D'}=k k=k^2\)。
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
易错点提醒：面积比是相似比的 “平方”，而非与相似比相等。例如，相似比为\(\frac{1}{2}\)，面积比为\((\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)，而非\(\frac{1}{2}\)。
幻灯片 7：性质总结表格（对比梳理）
性质类别
具体性质
数学表达式（△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)）
关键注意点
对应线段
对应高的比
\(\frac{AD}{A'D'}=k\)（AD、A'D' 为对应高）
所有 “对应” 线段均适用，非对应线段不满足
对应线段
对应中线的比
\(\frac{AE}{A'E'}=k\)（AE、A'E' 为对应中线）
需明确 “对应” 关系，避免混淆
对应线段
对应角平分线的比
\(\frac{AF}{A'F'}=k\)（AF、A'F' 为对应角平分线）
-
周长
周长的比
\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)
周长比与相似比相等，非平方关系
面积
面积的比
\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=k^2\)
面积比是相似比的平方，易与周长比混淆
幻灯片 8：课堂练习 1（对应线段与周长应用）
题目展示：
△ABC ∽ △DEF，相似比为\(\frac{2}{3}\)。
若△ABC 中 BC 边上的高为 4cm，求△DEF 中对应边上的高；
若△DEF 的周长为 27cm，求△ABC 的周长。
解答过程：
求对应高：
设△DEF 中对应高为\(h\)。
由对应高的比等于相似比，得\(\frac{4}{h}=\frac{2}{3}\)。
解得\(h=4 \frac{3}{2}=6cm\)。
求△ABC 的周长：
设△ABC 的周长为\(C\)。
由周长比等于相似比，得\(\frac{C}{27}=\frac{2}{3}\)。
解得\(C=27 \frac{2}{3}=18cm\)。
答案：1. 6cm；2. 18cm。
幻灯片 9：课堂练习 2（面积应用）
题目展示：
两个相似三角形的面积比为 9:16，其中较小三角形的周长为 18cm，求较大三角形的周长。
解答过程：
求相似比：
设相似比为\(k\)，由面积比等于相似比的平方，得\(k^2=\frac{9}{16}\)。
∵ 相似比为正数，∴ \(k=\frac{3}{4}\)（较小三角形与较大三角形的相似比）。
求较大三角形的周长：
设较大三角形的周长为\(C\)，由周长比等于相似比，得\(\frac{18}{C}=\frac{3}{4}\)。
解得\(C=18 \frac{4}{3}=24cm\)。
答案：24cm。
幻灯片 10：课堂练习 3（综合应用）
题目展示：
如图，△ABC ∽ △A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应中线，且 AD=6cm，A'D'=4cm，△ABC 的面积为 54cm ，求△A'B'C' 的面积。
解答过程：
求相似比：
由对应中线的比等于相似比，得\(k=\frac{AD}{A'D'}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)（△ABC 与△A'B'C' 的相似比）。
求△A'B'C' 的面积：
设△A'B'C' 的面积为\(S\)，由面积比等于相似比的平方，得\(\frac{54}{S}=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}\)。
解得\(S=54 \frac{4}{9}=24cm \)。
答案：24cm 。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理：
核心性质：
对应线段（高、中线、角平分线）的比 = 相似比；
周长的比 = 相似比；
面积的比 = 相似比的平方。
推导逻辑：
由相似三角形的定义（对应角相等、对应边成比例），结合全等判定（AA、SAS）推导对应线段的性质；
由对应边成比例推导周长性质；
由对应边和对应高的比推导面积性质（面积公式 + 相似比）。
易错点：
混淆 “对应线段” 与 “非对应线段”，需明确对应关系；
面积比是相似比的平方，而非与相似比相等，计算时需先确定相似比的 “方向”（谁比谁）。
解题思路：
已知相似比，求对应线段、周长：直接用 “比 = 相似比” 计算；
已知相似比，求面积：用 “面积比 = 相似比 ” 计算；
已知面积比，求相似比或周长：先开方求相似比，再用相似比求周长。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
课本练习题：完成对应线段、周长、面积计算的基础题目（3 道），写出完整步骤；
填空题：若△ABC ∽ △DEF，相似比为\(\frac{1}{3}\)，则对应角平分线的比为______，周长比为______，面积比为______。
提高层（选做）：
证明题：如图，△ABC ∽ △A'B'C'，BE、B'E' 分别为对应角平分线，求证：\(\frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}\)；
应用题：两个相似三角形的对应高分别为 5cm 和 10cm，若较小三角形的面积为 12cm ，求较大三角形的面积。
实践层（拓展）：
用硬纸板制作两个相似三角形（相似比为\(\frac{2}{3}\)），测量它们的对应高、周长，并计算面积，验证相似三角形的性质；
观察生活中利用相似三角形性质的场景（如地图缩放、模型制作），记录并分析其中的比例关系，下节课分享。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.3.3 相似三角形的性质
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 判定两个三角形相似的方法有哪些？
问题2 相似多边形的对应角、对应边的性质是什么？
回顾与思考
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
合作探究
相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' .
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A'B'C' 的高 AD 和 A'D'．
则∠ADB =∠A'D'B' = 90°.
∴△ABD ∽△A'B'D'.
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由此得到得出结论：
相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
归纳总结
类似地，可以证明相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线的比也等于相似比.
因而，相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比.
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
A
B
C
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此，AB＝k·A'B'，BC＝k·B'C'，CA＝k·C'A'
A'
B'
C'
相似三角形周长的比
从而
相似三角形周长之比等于相似比.
相似多边形周长之比等于相似比.
归纳
同理得：
如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高 AD和A' D' ．
∵∠ADB =∠A' D' B' ，∠B＝∠B'，
∴△ADB∽△A' D' B' .
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
归纳
如图，四边形 ABCD 相似于四边形 A′B′C′D′，相似比为 k，它们面积的比是多少？
相似多边形面积比等于相似比的平方.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
延伸探究
1.如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC 的周长是 24，面积是 48，求△DEF 的周长和面积．
A
B
C
D
E
F
解：在△ABC 和△DEF 中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF，
又∵∠D＝∠A，
∴△DEF∽△ABC，相似比为
∴△DEF 的周长 = △ABC 的周长，
△DEF 的周长 = 12.
2.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的 5 倍；
解：（1）一个三角形各边扩大为原来 5 倍，相似比为 1 : 5，
扩大 5 倍周长＝ 5×原周长
（2）一个四角形各边扩大为原来 9 倍，相似比为 1 : 9，
边长扩大 9 倍四边形 ＝ 81 倍原四边形的的面积
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9 倍．
3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是 15 cm，一种半径是 30 cm，如果半径是 15 cm 的蛋糕够 2 个人吃，半径是 30 cm 的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）
解：两种蛋糕是相似的，
相似比是1：2，面积的比为
设半径是 30 cm 的蛋糕够 x 人吃，
依题列方程 1 : 4＝2 : x，
解得 x = 8.
答：半径是 30 cm 的蛋糕够 8 个人吃．
4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的 2 cm 变成了 6 cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
解：
放大比例为 .
返回
A
【点拨】相似三角形对应中线的比等于相似比．
返回
2.若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
A
【点拨】相似三角形对应高的比等于相似比．
3.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3.若BD＝4 cm，则B′D′的长是( )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
C
返回
4.[2023·广东]边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________.
15
返回
5.[2023·湘潭]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高.
(1)求证：△ABD∽△CBA；
【证明】∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC.
又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA.
返回
(2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
1.相似三角形的对应高，中线，角平分线的比等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比；
相似多边形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：23.3.4 相似三角形的性质
副标题：从比例关系探索相似三角形的数量特征
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “定义推导→性质验证→实例应用” 为逻辑链，层层递进讲解性质
幻灯片 2：课程导入
复习回顾：
提问 1：我们已经学习了相似三角形的定义和判定方法，谁能说说相似三角形的核心定义是什么？（预设答案：对应角相等、对应边成比例）
提问 2：若△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，则对应边的比例关系是什么？（预设答案：\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)）
情境引导：
展示图片：两个相似的三角形，分别画出它们的高、中线、角平分线，标注对应线段。
提问：相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线是否也与相似比存在某种关系？它们的周长和面积又有怎样的规律呢？今天我们就来探索相似三角形的性质。
幻灯片 3：性质 1—— 对应高的比等于相似比
推导过程：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，AD 是△ABC 的高，A'D' 是△A'B'C' 的高（如图）。
求证：\(\frac{AD}{A'D'}=k\)。
证明：
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，∴ ∠B=∠B'（对应角相等）。
∵ AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，∴ ∠ADB=∠A'D'B'=90°（垂直定义）。
∴ △ABD ∽ △A'B'D'（AA 判定，两角分别相等）。
∴ \(\frac{AD}{A'D'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)（相似三角形对应边成比例）。
结论：相似三角形对应高的比等于相似比。
几何语言：∵ △ABC ∽ △A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应高，相似比为\(k\)，∴ \(\frac{AD}{A'D'}=k\)。
幻灯片 4：性质 2—— 对应中线、对应角平分线的比等于相似比
类比推导（对应中线）：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，AE 是△ABC 的中线（BE=EC），A'E' 是△A'B'C' 的中线（B'E'=E'C'）。
推导：
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，∴ ∠B=∠B'，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=k\)。
∵ AE、A'E' 是中线，∴ \(\frac{BE}{B'E'}=\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{1}{2}B'C'}=\frac{BC}{B'C'}=k\)。
∴ △ABE ∽ △A'B'E'（SAS 判定，两边成比例且夹角相等）。
∴ \(\frac{AE}{A'E'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)。
类比推导（对应角平分线）：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，AF 是△ABC 的角平分线（∠BAF=∠CAF），A'F' 是△A'B'C' 的角平分线（∠B'A'F'=∠C'A'F'）。
推导：
∵ △ABC ∽ △A'B'C'，∴ ∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'。
∵ AF、A'F' 是角平分线，∴ ∠BAF=\(\frac{1}{2}\)∠BAC，∠B'A'F'=\(\frac{1}{2}\)∠B'A'C'，故∠BAF=∠B'A'F'。
∴ △ABF ∽ △A'B'F'（AA 判定）。
∴ \(\frac{AF}{A'F'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)。
统一结论：相似三角形对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。
总结：相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比。
幻灯片 5：性质 3—— 周长的比等于相似比
推导过程：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)。
计算周长比：
△ABC 的周长\(C_{ABC}=AB+BC+AC\)。
△A'B'C' 的周长\(C_{A'B'C'}=A'B'+B'C'+A'C'\)。
由比例性质，\(AB=kA'B'\)，\(BC=kB'C'\)，\(AC=kA'C'\)。
∴ \(C_{ABC}=kA'B'+kB'C'+kA'C'=k(A'B'+B'C'+A'C')=kC_{A'B'C'}\)。
∴ \(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)。
结论：相似三角形周长的比等于相似比。
实例验证：若△ABC 与△A'B'C' 相似比为\(\frac{1}{2}\)，△ABC 周长为 12cm，则△A'B'C' 周长为\(12 ·\frac{1}{2}=24cm\)，符合周长比等于相似比。
幻灯片 6：性质 4—— 面积的比等于相似比的平方
推导过程：
已知：△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)，AD、A'D' 分别为对应高（如图）。
计算面积比：
△ABC 的面积\(S_{ABC}=\frac{1}{2} BC AD\)。
△A'B'C' 的面积\(S_{A'B'C'}=\frac{1}{2} B'C' A'D'\)。
由性质 1，\(\frac{AD}{A'D'}=k\)；由相似定义，\(\frac{BC}{B'C'}=k\)。
∴ \(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2} BC AD}{\frac{1}{2} B'C' A'D'}=\frac{BC}{B'C'} \frac{AD}{A'D'}=k k=k^2\)。
结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方。
易错点提醒：面积比是相似比的 “平方”，而非与相似比相等。例如，相似比为\(\frac{1}{2}\)，面积比为\((\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)，而非\(\frac{1}{2}\)。
幻灯片 7：性质总结表格（对比梳理）
性质类别
具体性质
数学表达式（△ABC ∽ △A'B'C'，相似比为\(k\)）
关键注意点
对应线段
对应高的比
\(\frac{AD}{A'D'}=k\)（AD、A'D' 为对应高）
所有 “对应” 线段均适用，非对应线段不满足
对应线段
对应中线的比
\(\frac{AE}{A'E'}=k\)（AE、A'E' 为对应中线）
需明确 “对应” 关系，避免混淆
对应线段
对应角平分线的比
\(\frac{AF}{A'F'}=k\)（AF、A'F' 为对应角平分线）
-
周长
周长的比
\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)
周长比与相似比相等，非平方关系
面积
面积的比
\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=k^2\)
面积比是相似比的平方，易与周长比混淆
幻灯片 8：课堂练习 1（对应线段与周长应用）
题目展示：
△ABC ∽ △DEF，相似比为\(\frac{2}{3}\)。
若△ABC 中 BC 边上的高为 4cm，求△DEF 中对应边上的高；
若△DEF 的周长为 27cm，求△ABC 的周长。
解答过程：
求对应高：
设△DEF 中对应高为\(h\)。
由对应高的比等于相似比，得\(\frac{4}{h}=\frac{2}{3}\)。
解得\(h=4 \frac{3}{2}=6cm\)。
求△ABC 的周长：
设△ABC 的周长为\(C\)。
由周长比等于相似比，得\(\frac{C}{27}=\frac{2}{3}\)。
解得\(C=27 \frac{2}{3}=18cm\)。
答案：1. 6cm；2. 18cm。
幻灯片 9：课堂练习 2（面积应用）
题目展示：
两个相似三角形的面积比为 9:16，其中较小三角形的周长为 18cm，求较大三角形的周长。
解答过程：
求相似比：
设相似比为\(k\)，由面积比等于相似比的平方，得\(k^2=\frac{9}{16}\)。
∵ 相似比为正数，∴ \(k=\frac{3}{4}\)（较小三角形与较大三角形的相似比）。
求较大三角形的周长：
设较大三角形的周长为\(C\)，由周长比等于相似比，得\(\frac{18}{C}=\frac{3}{4}\)。
解得\(C=18 \frac{4}{3}=24cm\)。
答案：24cm。
幻灯片 10：课堂练习 3（综合应用）
题目展示：
如图，△ABC ∽ △A'B'C'，AD、A'D' 分别为对应中线，且 AD=6cm，A'D'=4cm，△ABC 的面积为 54cm ，求△A'B'C' 的面积。
解答过程：
求相似比：
由对应中线的比等于相似比，得\(k=\frac{AD}{A'D'}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)（△ABC 与△A'B'C' 的相似比）。
求△A'B'C' 的面积：
设△A'B'C' 的面积为\(S\)，由面积比等于相似比的平方，得\(\frac{54}{S}=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}\)。
解得\(S=54 \frac{4}{9}=24cm \)。
答案：24cm 。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理：
核心性质：
对应线段（高、中线、角平分线）的比 = 相似比；
周长的比 = 相似比；
面积的比 = 相似比的平方。
推导逻辑：
由相似三角形的定义（对应角相等、对应边成比例），结合全等判定（AA、SAS）推导对应线段的性质；
由对应边成比例推导周长性质；
由对应边和对应高的比推导面积性质（面积公式 + 相似比）。
易错点：
混淆 “对应线段” 与 “非对应线段”，需明确对应关系；
面积比是相似比的平方，而非与相似比相等，计算时需先确定相似比的 “方向”（谁比谁）。
解题思路：
已知相似比，求对应线段、周长：直接用 “比 = 相似比” 计算；
已知相似比，求面积：用 “面积比 = 相似比 ” 计算；
已知面积比，求相似比或周长：先开方求相似比，再用相似比求周长。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
课本练习题：完成对应线段、周长、面积计算的基础题目（3 道），写出完整步骤；
填空题：若△ABC ∽ △DEF，相似比为\(\frac{1}{3}\)，则对应角平分线的比为______，周长比为______，面积比为______。
提高层（选做）：
证明题：如图，△ABC ∽ △A'B'C'，BE、B'E' 分别为对应角平分线，求证：\(\frac{BE}{B'E'}=\frac{AB}{A'B'}\)；
应用题：两个相似三角形的对应高分别为 5cm 和 10cm，若较小三角形的面积为 12cm ，求较大三角形的面积。
实践层（拓展）：
用硬纸板制作两个相似三角形（相似比为\(\frac{2}{3}\)），测量它们的对应高、周长，并计算面积，验证相似三角形的性质；
观察生活中利用相似三角形性质的场景（如地图缩放、模型制作），记录并分析其中的比例关系，下节课分享。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.3.3 相似三角形的性质
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 判定两个三角形相似的方法有哪些？
问题2 相似多边形的对应角、对应边的性质是什么？
回顾与思考
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高的比各是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
合作探究
相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' .
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A'B'C' 的高 AD 和 A'D'．
则∠ADB =∠A'D'B' = 90°.
∴△ABD ∽△A'B'D'.
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
由此得到得出结论：
相似三角形对应边上的高的比等于相似比．
类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比．
归纳总结
类似地，可以证明相似三角形对应边上的中线，对应角的平分线的比也等于相似比.
因而，相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比.
如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？两个相似多边形呢？
A
B
C
如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此，AB＝k·A'B'，BC＝k·B'C'，CA＝k·C'A'
A'
B'
C'
相似三角形周长的比
从而
相似三角形周长之比等于相似比.
相似多边形周长之比等于相似比.
归纳
同理得：
如图，△ABC∽△A' B' C' ，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
解：如图，分别作出△ABC 和△A' B' C' 的高 AD和A' D' ．
∵∠ADB =∠A' D' B' ，∠B＝∠B'，
∴△ADB∽△A' D' B' .
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
归纳
如图，四边形 ABCD 相似于四边形 A′B′C′D′，相似比为 k，它们面积的比是多少？
相似多边形面积比等于相似比的平方.
A
B
C
A′
B′
C′
D
D′
延伸探究
1.如图，在△ABC 和△DEF 中，AB＝2DE，AC＝2DF，∠A＝∠D，△ABC 的周长是 24，面积是 48，求△DEF 的周长和面积．
A
B
C
D
E
F
解：在△ABC 和△DEF 中，
∵ AB＝2DE，AC＝2DF，
又∵∠D＝∠A，
∴△DEF∽△ABC，相似比为
∴△DEF 的周长 = △ABC 的周长，
△DEF 的周长 = 12.
2.判断
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个三角形的周长也扩大为原来的 5 倍；
解：（1）一个三角形各边扩大为原来 5 倍，相似比为 1 : 5，
扩大 5 倍周长＝ 5×原周长
（2）一个四角形各边扩大为原来 9 倍，相似比为 1 : 9，
边长扩大 9 倍四边形 ＝ 81 倍原四边形的的面积
（2）一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个四边形的面积也扩大为原来的 9 倍．
3. 蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是 15 cm，一种半径是 30 cm，如果半径是 15 cm 的蛋糕够 2 个人吃，半径是 30 cm 的蛋糕够多少人吃？（假设两种蛋糕高度相同）
解：两种蛋糕是相似的，
相似比是1：2，面积的比为
设半径是 30 cm 的蛋糕够 x 人吃，
依题列方程 1 : 4＝2 : x，
解得 x = 8.
答：半径是 30 cm 的蛋糕够 8 个人吃．
4. 在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中的 2 cm 变成了 6 cm，这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？
解：
放大比例为 .
返回
A
【点拨】相似三角形对应中线的比等于相似比．
返回
2.若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为( )
A．3∶2 B．3∶5 C．9∶4 D．4∶9
A
【点拨】相似三角形对应高的比等于相似比．
3.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C′＝2∶3.若BD＝4 cm，则B′D′的长是( )
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
C
返回
4.[2023·广东]边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为________.
15
返回
5.[2023·湘潭]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高.
(1)求证：△ABD∽△CBA；
【证明】∵AD是斜边BC上的高，∴∠BDA＝90°.
∵∠BAC＝90°，∴∠BDA＝∠BAC.
又∵∠B为公共角，∴△ABD∽△CBA.
返回
(2)若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
1.相似三角形的对应高，中线，角平分线的比等于相似比.
2.相似三角形周长的比等于相似比；
相似多边形周长的比等于相似比.
3.相似三角形面积的比等于相似比的平方;
相似多边形面积的比等于相似比的平方.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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