(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.4 中位线
副标题：探索三角形与梯形中位线的性质与应用
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：从概念引入到定理推导，再到实际应用，层层递进构建中位线知识体系
幻灯片 2：课程导入
情境展示：
图片 1：建筑工人在搭建三角形钢架时，为增强钢架稳定性，在三角形两边中点之间焊接了一根钢筋；
图片 2：梯形形状的窗户，工人在安装玻璃前，在梯形两腰中点之间拉了一条细线辅助定位。
引导提问：同学们，观察图片中的钢筋和细线，它们分别连接了三角形两边中点和梯形两腰中点，这样的线段在数学中有专门的名称 —— 中位线。那三角形和梯形的中位线具有怎样的性质？它们能帮助我们解决哪些问题呢？今天我们就来深入学习 “中位线”。
幻灯片 3：三角形中位线的定义
定义阐述：
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
图形标注与辨析：
展示△ABC，D 是 AB 中点，E 是 AC 中点，连接 DE，标注 “DE 是△ABC 的中位线”；
对比辨析：在△ABC 中，F 是 BC 中点，连接 AF，标注 “AF 是△ABC 的中线”，强调 “中位线连接两边中点，中线连接顶点与对边中点”，避免概念混淆。
小练习：
如图，△MNP 中，G、H 分别是 MN、MP 的中点，则______是△MNP 的中位线（答案：GH）。
幻灯片 4：三角形中位线定理（探究推导）
探究活动：
画图操作：让学生在练习本上画△ABC，分别取 AB、AC 的中点 D、E，连接 DE；
测量观察：
测量 DE 和 BC 的长度，记录数据（如 DE=2cm，BC=4cm）；
观察 DE 与 BC 的位置关系（发现 DE∥BC）；
猜想结论：学生根据测量结果猜想 “三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”。
定理证明：
已知：在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点。
求证：DE∥BC，DE = \(\frac{1}{2}\)BC。
证明过程：
延长 DE 到 F，使 EF = DE，连接 CF；
∵ E 是 AC 中点，∴ AE = CE；
在△ADE 和△CFE 中，\(\begin{cases}AE = CE \\ AED = CEF \\ DE = FE\end{cases}\)，∴ △ADE ≌ △CFE（SAS）；
∴ AD = CF，∠A = ∠ECF，∴ AD∥CF；
∵ D 是 AB 中点，∴ AD = BD，∴ BD = CF，且 BD∥CF；
∴ 四边形 BCFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）；
∴ DE∥BC，DF = BC，又∵ DE = \(\frac{1}{2}\)DF，∴ DE = \(\frac{1}{2}\)BC。
定理总结：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半（简称 “三角形中位线定理”）。
幻灯片 5：三角形中位线定理的几何语言与应用示例
几何语言：
如图，在△ABC 中，∵ D、E 分别是 AB、AC 的中点（或 DE 是△ABC 的中位线），
∴ DE∥BC，DE = \(\frac{1}{2}\)BC。
应用示例：
问题：在△ABC 中，DE 是中位线，若 BC = 8cm，求 DE 的长度；若 DE∥BC，且 DE = 3cm，求 BC 的长度。
解答：
∵ DE 是中位线，∴ DE = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)×8 = 4cm；
∵ DE 是中位线，∴ BC = 2DE = 2×3 = 6cm。
幻灯片 6：梯形中位线的定义与定理
定义阐述：
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
图形标注：
展示梯形 ABCD，AD∥BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点，连接 EF，标注 “EF 是梯形 ABCD 的中位线”。
梯形中位线定理：
内容：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
定理推导（结合三角形中位线）：
连接 AF 并延长，交 BC 的延长线于 G；
∵ AD∥BC，∴ ∠D = ∠FCG；
∵ F 是 CD 中点，∴ DF = CF；
在△ADF 和△GCF 中，\(\begin{cases} D = FCG \\ DF = CF \\ AFD = GFC\end{cases}\)，∴ △ADF ≌ △GCF（ASA）；
∴ AD = CG，AF = FG；
∵ E 是 AB 中点，F 是 AG 中点，∴ EF 是△ABG 的中位线；
∴ EF∥BG，EF = \(\frac{1}{2}\)BG；
又∵ BG = BC + CG = BC + AD，∴ EF∥AD∥BC，EF = \(\frac{1}{2}\)（AD + BC）。
幻灯片 7：梯形中位线定理的几何语言与应用示例
几何语言：
如图，在梯形 ABCD 中，∵ AD∥BC，E、F 分别是 AB、CD 的中点（或 EF 是梯形 ABCD 的中位线），
∴ EF∥AD∥BC，EF = \(\frac{1}{2}\)（AD + BC）。
应用示例：
问题：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 是中位线，若 AD = 5cm，BC = 9cm，求 EF 的长度；若 EF = 7cm，AD = 4cm，求 BC 的长度。
解答：
∵ EF 是中位线，∴ EF = \(\frac{1}{2}\)（AD + BC） = \(\frac{1}{2}\)×（5 + 9） = 7cm；
∵ EF 是中位线，∴ 7 = \(\frac{1}{2}\)（4 + BC），解得 BC = 10cm。
幻灯片 8：课堂练习 1（三角形中位线应用）
题目展示：
如图，在△ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，AC = 10cm，BC = 14cm，求四边形 ADEF 的周长。
解答过程：
∵ D、E 分别是 AB、BC 的中点，∴ DE 是△ABC 的中位线，∴ DE∥AC，DE = \(\frac{1}{2}\)AC = \(\frac{1}{2}\)×10 = 5cm；
∵ D、F 分别是 AB、AC 的中点，∴ DF 是△ABC 的中位线，∴ DF∥BC，DF = \(\frac{1}{2}\)BC = \(\frac{1}{2}\)×14 = 7cm；
四边形 ADEF 的周长 = AD + DE + EF + FA，又∵ E、F 是 BC、AC 中点，EF 是△ABC 中位线，EF = \(\frac{1}{2}\)AB，AD = \(\frac{1}{2}\)AB，FA = \(\frac{1}{2}\)AC = 5cm；
综上，周长 = \(\frac{1}{2}\)AB + 5 + \(\frac{1}{2}\)AB + 5 = AB + 10？（修正：重新分析，四边形 ADEF 中，AD 是 AB 一半，DE=5，EF 是 AB 一半，FA=5，实际更简单：∵ DE=AF=5，DF=AE=7，∴ 周长 = 5+7+5+7=24cm）
正确步骤：∵ D、E、F 是中点，∴ DE=AF=5cm，DF=AE=7cm，∴ 四边形 ADEF 是平行四边形，周长 = 2×(5+7)=24cm。
答案：24cm。
幻灯片 9：课堂练习 2（梯形中位线应用）
题目展示：
一个等腰梯形的中位线长为 12cm，腰长为 5cm，求这个等腰梯形的周长。
解答过程：
∵ 梯形中位线长 = \(\frac{1}{2}\)（上底 + 下底），已知中位线长 12cm，∴ 上底 + 下底 = 2×12 = 24cm；
等腰梯形的周长 = 上底 + 下底 + 2× 腰长 = 24 + 2×5 = 34cm。
答案：34cm。
幻灯片 10：课堂练习 3（综合应用）
题目展示：
如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，求证：四边形 EFGH 是平行四边形。
解答过程：
连接 AC；
∵ E、F 分别是 AB、BC 的中点，∴ EF 是△ABC 的中位线，∴ EF∥AC，EF = \(\frac{1}{2}\)AC；
∵ G、H 分别是 CD、DA 的中点，∴ GH 是△ADC 的中位线，∴ GH∥AC，GH = \(\frac{1}{2}\)AC；
∴ EF∥GH，且 EF = GH；
∴ 四边形 EFGH 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
结论：四边形 EFGH 是平行四边形（此四边形也称为 “中点四边形”）。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理：
类别
定义
定理
几何语言要点
三角形中位线
连接三角形两边中点的线段
平行于第三边，且等于第三边的一半
找两边中点，得平行且半长关系
梯形中位线
连接梯形两腰中点的线段
平行于两底，且等于两底和的一半
找两腰中点，得平行且（两底和）半长关系
核心思路：
三角形中位线：将三角形问题转化为线段平行和长度计算，可用于证明平行、求线段长度；
梯形中位线：将梯形问题转化为两底关系，可用于求梯形周长、面积（结合高时）；
中点四边形：任意四边形的中点四边形是平行四边形，可通过三角形中位线证明。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
课本练习题：完成三角形和梯形中位线的定义辨析、长度计算题目（3 道），写出完整步骤；
填空题：在△ABC 中，中位线 DE∥BC，若 DE = 4cm，则 BC = ______cm；在梯形中，上底 3cm，下底 7cm，中位线长______cm。
提高层（选做）：
证明题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，D、E 分别是 AC、BC 的中点，DE = 2cm，求 AB 的长度；
应用题：一个梯形的中位线长 10cm，高 5cm，求这个梯形的面积（提示：梯形面积 = 中位线 × 高）。
实践层（拓展）：
动手操作：用硬纸板制作一个三角形和一个梯形，分别画出它们的中位线，测量验证中位线定理；
观察生活：寻找生活中应用中位线原理的实例（如建筑结构、家具设计），记录并分析，下节课分享。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.4 中位线
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 怎样由平行线判定两个三角形相似？
问题2 相似三角形有哪些方面的应用？你会解决 下面的问题吗？
观察与思考
A
B
C
测出 MN 的长，就可知 A、B 两点的距离.
M
N
在 AB 外选一点 C，使 C 能直接到达 A 和 B.
连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M、N.
若 MN = 36 m，
则 AB =
2MN = 72 m
如果 M、N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
A
B
C
E
F
.
.
D
.
中位线
中线
什么是三角形的中线？
（连接顶点与对边中点的线段）
设疑：如果连接两边中点的线段呢？
三角形的中位线及其性质
A
B
C
D
E
DE 是△ABC 的
中位线.
什么叫三角形的中位线呢？
连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
画出△ABC 中所有的中位线.
画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别.
F
A
B
C
D
E
理解三角形的中位线定义的两层含义：
② 如果 DE 为△ABC 的中位线，那么 D、E 分别为 AB、AC 的 .
① 如果 D、E 分别为 AB、AC 的中点，那么 DE 为△ABC 的 ；
C
B
A
E
D
中位线
中点
在△ABC 中，中位线 DE 和边 BC 什么关系？
DE 和边 BC 的关系
数量关系：
位置关系：
DE∥BC
A
B
C
D
E
结论：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
如图：在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是AB 的中点.
则有：
DE∥BC，
能说出理由吗？
A
B
C
D
E
D
A
B
C
E
F
用不同的方法证明
如图在△ABC 中，D 是 AC 的中点，E 是 AB 的中点.求证：
DE∥BC，
E
A
B
C
D
F
证明：如图，延长 DE 至 F，使 EF = DE，连接 CF.
∵ AE = CE， ∠AED = ∠CEF，
∴ △ADE≌△CFE.
∴ AD = CF，∠A = ∠ECF.
∴ CF∥AB.
∵ AD = BD，
∴ 四边形 DBCF 是平行四边形.
∴ BD = CF.
∴ DF∥BC，
∴ DE∥BC，DE = BC.
DF = BC = 2DE.
三角形中位线性质：
三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
E
A
B
C
D
∵ DE 是△ABC 的中位线，
归纳总结
∴ DE∥BC，
如图1，DE 是△ABC 中位线
（1）若∠ADE = 60°，则∠B = 度，
为什么？
（2）若 BC = 8 cm，则 DE = cm，为什么？
图1
60
4
A
B
C
D
E
练一练
图2
B
A
C
D
E
F
如图2，在△ABC 中，D、E、F分别是各边中点 AB = 6 cm，AC = 8 cm，BC = 10 cm，则△DEF 的周长 = cm
12
如图，△ABC 中，D、E 分别是边 BC、AB 的中点，AD、CE 相交于 G．求证：
证明：连接 ED，
∵D、E 分别是边 BC、AB 的中点，
∴△ACG∽△DEG.
三角形的重心
∴DE∥AC，
∴
∴
三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的 .
如果取 AC 的中点 F，假设 BF 与 AD 交于 G′，如下图，那么我们同理有 .所以有 ，即两图中的点 G 与 G′ 是重合的.
于是我们有以下结论：
A
B
C
D
F
A
G′
归纳
1.如图，EF 是△ABC 的中位线，BC = 20，则 EF =____；
10
A
B
C
E
F
2.在△ABC 中，中线 CE、BF 相交点 O，M、N 分别是 OB、OC 的中点，则 EF 和 MN 的关系是_______________.
平行且相等
A
B
C
E
F
M
N
O
3.求证：顺次连接四边形四条边的中点所得的四边形是平行四边形.
已知，在四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点.
求证：四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
E
F
G
D
H
证明：连接 AC.
∵AH = HD，CG = GD，
∴HG∥AC，HG = AC.
同理 EF∥AC，EF = AC.
∴HG∥EF，HG = EF.
∴四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
E
F
G
D
H
返回
1.[2023·云南]如图，A，B两点被池塘隔开，A，B，C三点不共线．设AC，BC的中点分别为M，N.若MN＝3米，则AB＝( )
A．4米 B．6米
C．8米 D．10米
B
返回
【答案】C
3.[2023·湖州]如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，连结DE.已知BC＝10，AD＝12.求BD，DE的长．
返回
4.[2023·嘉兴]如图，点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，PE∥AC交BC于E，DF∥BC交EP于点F.若四边形CDFE的面积为6，则△ABC的面积为( )
A．12
B．14
C．18
D．24
【点拨】如图，连结BD.
∵点P是△ABC的重心，点D是边AC的中点，
∴点B，P，D在一条直线上，且BP∶PD＝
2∶1，S△ABC＝2S△BDC，
∴BP∶BD＝2∶3.
【答案】C
返回
5.图①是4×4的正方形网格(其中每个小正方形的边长均为1)，点A，B，C均在格点上，连结AB，AC，BC，我们称三个顶点都在格点上的三角形为格点三角形.
(1)∠BCA＝________°，△ABC的面积为________；
90
5
1. 三角形的中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
2. 三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
3. 三角形的中位线性质不仅给出了中位线与第三边的位置关系，而且给出了它们的数量关系，在三角形中给出一边的中点时，可转化为中位线.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
