23.5 位似图形 课件2025-2026学年数学华东师大版九年级上册教学课件
文档属性
| 名称 | 23.5 位似图形 课件2025-2026学年数学华东师大版九年级上册教学课件 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 15:42:40 | ||
图片预览
文档简介
(共28张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：23.5 位似图形
副标题：探索具有特殊位置关系的相似图形
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “实例感知→定义辨析→性质推导→实践应用” 为逻辑，突出位似与相似的联系与区别
幻灯片 2：课程导入
情境展示：
图片 1：用手机拍摄的同一栋楼，分别在 5 米、10 米、15 米处拍摄，得到三张不同大小但形状相同的照片，标注照片中楼的对应顶点连线的交点（位似中心）。
图片 2：放映机投射的画面，胶片上的图案与屏幕上的图案形状相同、大小不同，标注对应顶点连线交于放映机镜头（位似中心）。
图片 3：美术课上用透视法画的立方体，立方体的对应边平行，对应顶点连线交于一点（位似中心）。
引导提问：这些图形都与相似图形一样 “形状相同”，但它们还有一个特殊的共同点 —— 对应顶点的连线会交于同一点。这种特殊的相似图形就是 “位似图形”。那么位似图形有哪些定义和性质？如何画位似图形呢？今天我们就来学习。
幻灯片 3：位似图形的定义
定义精准阐述：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。
关键要素解析：
前提条件：必须是相似图形（满足对应角相等、对应边成比例）；
位置特征：对应顶点的连线交于同一点（位似中心，可在图形内、图形外或图形上）；
边的关系：对应边互相平行或在同一直线上。
图形标注与辨析：
图 1（位似）：展示△ABC 与△A'B'C'，标注对应顶点连线 AA'、BB'、CC' 交于点 O（位似中心），AB∥A'B'、BC∥B'C'、AC∥A'C'，且△ABC∽△A'B'C'，明确这是位似图形。
图 2（非位似）：展示两个相似的三角形，但对应顶点连线不相交于同一点，标注 “对应顶点连线无公共交点”，说明这只是相似图形，不是位似图形。
幻灯片 4：位似图形与相似图形的关系
关系总结（表格对比）：
对比维度
相似图形
位似图形
本质联系
位似图形一定是相似图形
相似图形不一定是位似图形
核心特征
仅需对应角相等、对应边成比例
除相似特征外，还需对应顶点连线交于位似中心、对应边平行
特殊性质
无特殊位置关系
有明确的位似中心和位似比，对应点到位似中心的距离比等于位似比
应用场景
侧重形状相同的数量关系
侧重形状相同且有位置关联的图形（如缩放、投影）
结论：位似图形是相似图形的 “特殊形式”，相似图形是位似图形的 “一般形式”，位似图形具有相似图形的所有性质，还额外具有位置相关的特殊性质。
幻灯片 5：位似图形的性质
性质推导与总结：
对应点到位似中心的距离比等于位似比：
如图，△ABC 与△A'B'C' 位似，位似中心为 O，位似比为 k。
∵ △ABC∽△A'B'C'，且 AB∥A'B'，∴ △OAB∽△OA'B'（AA 判定，∠O 为公共角，∠OAB=∠OA'B'）。
∴ \(\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)，同理\(\frac{OC}{OC'}=k\)，即对应点到位似中心的距离比等于位似比。
对应边互相平行或在同一直线上（定义中已明确，此处强化应用）：
若位似中心在图形外，对应边通常互相平行（如幻灯片 3 中图 1）；
若位似中心在图形的一条边上，这条边上的对应点在同一直线上，其他对应边互相平行。
位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方（继承相似图形的性质，因位似图形是特殊的相似图形）。
几何语言规范：
如图，△ABC 与△A'B'C' 是位似图形，位似中心为 O，位似比为 k，则：
\(\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}=k\)；
AB∥A'B'，BC∥B'C'，AC∥A'C'（或对应边在同一直线上）；
\(\frac{C_{ ABC}}{C_{ A'B'C'}}=k\)，\(\frac{S_{ ABC}}{S_{ A'B'C'}}=k^2\)。
幻灯片 6：位似图形的画法（以三角形为例）
已知原图、位似中心和位似比，画位似图形的步骤：
确定位似中心：在图纸上标出位似中心 O（如指定 O 在△ABC 外）；
连接对应顶点与位似中心：延长 OA、OB、OC（或反向延长，根据位似图形与原图的位置关系决定）；
按位似比确定对应点：若位似比为 2，在 OA 的延长线上取 A'，使 OA' = 2OA；同理在 OB 延长线上取 B'，使 OB' = 2OB；在 OC 延长线上取 C'，使 OC' = 2OC；
连接对应点：顺次连接 A'、B'、C'，得到△A'B'C'，即△ABC 的位似图形。
不同位似中心的画法示例：
示例 1：位似中心在图形外（如上步骤，得到与原图同向的位似图形）；
示例 2：位似中心在图形内（连接 OA、OB、OC，在 AO、BO、CO 的反向延长线上取对应点，得到与原图反向的位似图形）；
示例 3：位似中心在图形的一个顶点上（如位似中心为 A，连接 AB、AC，延长 AB 到 B' 使 AB' = kAB，延长 AC 到 C' 使 AC' = kAC，连接 B'C'，得到以 A 为位似中心的位似图形）。
幻灯片 7：课堂练习 1（判断位似图形）
题目展示：判断下列各组图形是否为位似图形，并说明理由。
如图 1，两个正方形，对应顶点连线交于同一点，对应边互相平行；
如图 2，两个相似的三角形，对应顶点连线不相交于同一点；
如图 3，两个正五边形，对应边互相平行，但对应顶点连线无公共交点。
解答过程：
是位似图形。理由：两个正方形是相似图形（对应角相等、对应边成比例），且对应顶点连线交于同一点（满足位似中心条件），对应边互相平行，符合位似图形的定义。
不是位似图形。理由：虽然两个三角形是相似图形，但对应顶点连线不相交于同一点，不满足位似图形的位置特征，因此不是位似图形。
不是位似图形。理由：两个正五边形是相似图形且对应边平行，但对应顶点连线没有公共交点（无位似中心），不符合位似图形的定义，因此不是位似图形。
幻灯片 8：课堂练习 2（利用位似性质计算）
题目展示：
如图，△ABC 与△A'B'C' 是位似图形，位似中心为 O，位似比为 1:2。已知 OA = 3cm，AB = 4cm，△ABC 的面积为 6cm ，求：
OA' 的长度；
A'B' 的长度；
△A'B'C' 的面积。
解答过程：
求 OA'：∵ 位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比，位似比为 1:2，∴ \(\frac{OA}{OA'}=\frac{1}{2}\)。已知 OA = 3cm，∴ OA' = 3×2 = 6cm。
求 A'B'：∵ 位似比等于相似比，∴ \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}\)。已知 AB = 4cm，∴ A'B' = 4×2 = 8cm。
求△A'B'C' 的面积：∵ 位似图形面积比等于位似比的平方，∴ \(\frac{S_{ ABC}}{S_{ A'B'C'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)。已知 S_{△ABC}=6cm ，∴ S_{△A'B'C'}=6×4 = 24cm 。
答案：1. 6cm；2. 8cm；3. 24cm 。
幻灯片 9：课堂练习 3（画位似图形）
题目展示：
已知△ABC，位似中心 O（在△ABC 外），位似比为 1:3，画出△ABC 的位似图形△A'B'C'。
解答步骤：
连接 OA、OB、OC，延长 OA 到 A'，使 OA' = 3OA（因位似比为 1:3，原图与新图形的比为 1:3，故新图形对应点到位似中心的距离是原图的 3 倍）；
同理，延长 OB 到 B'，使 OB' = 3OB；延长 OC 到 C'，使 OC' = 3OC；
顺次连接 A'、B'、C'，则△A'B'C' 即为所求的位似图形。
画图提示：
若要画与原图反向的位似图形，可反向延长 OA、OB、OC，在延长线上取对应点；
画图时需用直尺规范连接线段，标注位似中心 O 和位似比 1:3。
幻灯片 10：位似图形的应用场景
生活与数学中的应用：
图形缩放：
示例：用绘图软件放大或缩小图片，放大 / 缩小后的图片与原图是位似图形，位似中心为软件的缩放中心点，位似比为放大 / 缩小比例。
投影成像：
示例：电影放映机将胶片上的图像投射到屏幕上，胶片图像与屏幕图像是位似图形，位似中心为放映机镜头，位似比为屏幕到镜头的距离与胶片到镜头的距离比。
地图绘制：
示例：绘制某地区的地图，地图上的区域与实际区域是位似图形（忽略地球曲率），位似中心为地图的投影中心点，位似比为地图比例尺（如 1:10000 表示地图上 1cm 对应实际 10000cm）。
建筑设计：
示例：建筑设计师绘制的建筑模型图纸，图纸上的建筑与实际建筑是位似图形，位似中心为图纸的原点，位似比为模型比例尺。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理（框架图）：
解题与应用关键：
判断位似图形：紧扣 “相似 + 对应顶点连线共点 + 对应边平行” 三个条件；
计算问题：利用 “对应点距离比 = 位似比”“面积比 = 位似比 ” 列比例式求解；
画图问题：明确位似中心、位似比和图形方向，规范连接对应线段。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
课本练习题：完成位似图形的判断（2 道）、性质计算（2 道）题目，写出完整理由和解题步骤；
画图题：已知△DEF，位似中心 O（在△DEF 的边 DE 上），位似比 2:1，画出△DEF 的位似图形。
提高层（选做）：
应用题：如图，两个位似图形的位似比为 2:3，较小图形的周长为 18cm，面积为 24cm ，求较大图形的周长和面积；
证明题：已知四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 是位似图形，位似中心为 O，求证：\(\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}=\frac{OD}{OD'}\)。
实践层（拓展）：
生活观察：寻找生活中的 1-2 个位似图形实例（如照片缩放、投影画面），用文字描述位似中心和位似比，下节课分享；
动手操作：用坐标纸画一个简单图形（如矩形），以坐标原点为位似中心，位似比 1:2，画出它的位似图形，测量验证对应边比例和对应点距离比是否等于位似比。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.5 位似图形
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 我们学过的图形变换有哪些？
问题2 什么叫相似？相似图形有哪些性质？
观察与思考
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形.例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的形象缩小在底片上．
这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，
因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．这种相似有什么共同的特征吗？
图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
O
O
O
位似图形的概念及性质
问题引导
以上每幅图中的两个多边形不仅相似，且对应点的连线都交于一点.
概念形成：
O
B
A
B′
A′
C′
C
如图，两个图形的对应点 A 与 A′、B 与 B′、C 与 C′ ...... 的连线都交于一点 O，并且 ，这两个图形叫做位似图形，点 O 叫做位似中心．
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
探究归纳
性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
1.把四边形 ABCD 缩小到原来的 .
位似图形的画法
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小
(1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得 ；
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
思考：对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得
呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
2. 如图已知△ABC，根据要求作△A'B'C'，使△A'B'C' 与△ABC 位似，且相似比为 1 : 4.
(1) 位似中心在 △ABC 的一条边 AB 上；
A
C
B
O
●
A′
B′
C′
●
●
假设位似中心点 O 为 AB 中点，点 O 位置如图所示.
根据相似比可确定 A′，B′，C′ 的位置.
●
(2) 以点 C 为位似中心.
C
A
B
A′
B′
( C′ )
●
●
●
画位似图形的一般步骤：
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关
键点；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的
关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
归纳
利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外.
1.如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，AB 与 CD 平行吗？为什么？
O
A
B
C
D
解：AB∥CD，理由如下：
∵△OAB 与△OCD 是位似图形，
∴△OAB ∽△OCD.
∴∠OAB =∠C，
∴AB∥CD.
2. 如图，以 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍．
O
A
B
C
解：
①作射线 OA 、OB 、 OC ，
②分别在 OA、OB 、OC 上取点 A' 、B' 、C' 使得
③顺次连结 A' 、B' 、C' 就是所要求图形.
A'
B'
C'
3.画出以 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 缩小到原来的 0.5 倍的五边形 A'B'C'D'E'.
●
B'
●
D'
●
C'
●
E'
●
A'
D
B
E
C
O
●
A
返回
1.“肉眼成像”的示意图如图所示，下列未涉及的初中数学知识是( )
A．平行线的性质
B．相似三角形的判定
C．位似图形
D．旋转
D
返回
2.如图，在8×8的网格中，△ABC和△A′B′C′位似，则位似中心为( )
A．点O
B．点P
C．点Q
D．点R
B
3.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为( )
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶7
D．2∶3
【点拨】∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA∶OA′＝2∶3，∴DA∶D′A′＝OA∶OA′＝2∶3.∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为4∶9，故选A.
【答案】A
[变式]如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为( )
A．8
B．9
C．10
D．15
返回
【答案】B
返回
4.[2022·阜新]如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2∶3，则△ABC和△DEF的面积比是________.
4∶9
返回
5.如图是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的有( )
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
D
1. 位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，且任意一对对应点到位似中心的距离之比都相等，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．位似图形的性质：
（1）位似图形一定相似，对应边的比等于相似比；
（2）位似图形对应点和位似中心在同一条直线上；
（3）任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（4）对应线段平行或者在一条直线上．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
幻灯片 1：封面
标题：23.5 位似图形
副标题：探索具有特殊位置关系的相似图形
适用教材：华东师大版数学九年级上册
授课教师：[具体姓名]
授课班级：[具体班级]
授课时间：[具体时间]
设计思路：以 “实例感知→定义辨析→性质推导→实践应用” 为逻辑，突出位似与相似的联系与区别
幻灯片 2：课程导入
情境展示：
图片 1：用手机拍摄的同一栋楼，分别在 5 米、10 米、15 米处拍摄，得到三张不同大小但形状相同的照片，标注照片中楼的对应顶点连线的交点（位似中心）。
图片 2：放映机投射的画面，胶片上的图案与屏幕上的图案形状相同、大小不同，标注对应顶点连线交于放映机镜头（位似中心）。
图片 3：美术课上用透视法画的立方体，立方体的对应边平行，对应顶点连线交于一点（位似中心）。
引导提问：这些图形都与相似图形一样 “形状相同”，但它们还有一个特殊的共同点 —— 对应顶点的连线会交于同一点。这种特殊的相似图形就是 “位似图形”。那么位似图形有哪些定义和性质？如何画位似图形呢？今天我们就来学习。
幻灯片 3：位似图形的定义
定义精准阐述：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。
关键要素解析：
前提条件：必须是相似图形（满足对应角相等、对应边成比例）；
位置特征：对应顶点的连线交于同一点（位似中心，可在图形内、图形外或图形上）；
边的关系：对应边互相平行或在同一直线上。
图形标注与辨析：
图 1（位似）：展示△ABC 与△A'B'C'，标注对应顶点连线 AA'、BB'、CC' 交于点 O（位似中心），AB∥A'B'、BC∥B'C'、AC∥A'C'，且△ABC∽△A'B'C'，明确这是位似图形。
图 2（非位似）：展示两个相似的三角形，但对应顶点连线不相交于同一点，标注 “对应顶点连线无公共交点”，说明这只是相似图形，不是位似图形。
幻灯片 4：位似图形与相似图形的关系
关系总结（表格对比）：
对比维度
相似图形
位似图形
本质联系
位似图形一定是相似图形
相似图形不一定是位似图形
核心特征
仅需对应角相等、对应边成比例
除相似特征外，还需对应顶点连线交于位似中心、对应边平行
特殊性质
无特殊位置关系
有明确的位似中心和位似比，对应点到位似中心的距离比等于位似比
应用场景
侧重形状相同的数量关系
侧重形状相同且有位置关联的图形（如缩放、投影）
结论：位似图形是相似图形的 “特殊形式”，相似图形是位似图形的 “一般形式”，位似图形具有相似图形的所有性质，还额外具有位置相关的特殊性质。
幻灯片 5：位似图形的性质
性质推导与总结：
对应点到位似中心的距离比等于位似比：
如图，△ABC 与△A'B'C' 位似，位似中心为 O，位似比为 k。
∵ △ABC∽△A'B'C'，且 AB∥A'B'，∴ △OAB∽△OA'B'（AA 判定，∠O 为公共角，∠OAB=∠OA'B'）。
∴ \(\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{AB}{A'B'}=k\)，同理\(\frac{OC}{OC'}=k\)，即对应点到位似中心的距离比等于位似比。
对应边互相平行或在同一直线上（定义中已明确，此处强化应用）：
若位似中心在图形外，对应边通常互相平行（如幻灯片 3 中图 1）；
若位似中心在图形的一条边上，这条边上的对应点在同一直线上，其他对应边互相平行。
位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方（继承相似图形的性质，因位似图形是特殊的相似图形）。
几何语言规范：
如图，△ABC 与△A'B'C' 是位似图形，位似中心为 O，位似比为 k，则：
\(\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}=k\)；
AB∥A'B'，BC∥B'C'，AC∥A'C'（或对应边在同一直线上）；
\(\frac{C_{ ABC}}{C_{ A'B'C'}}=k\)，\(\frac{S_{ ABC}}{S_{ A'B'C'}}=k^2\)。
幻灯片 6：位似图形的画法（以三角形为例）
已知原图、位似中心和位似比，画位似图形的步骤：
确定位似中心：在图纸上标出位似中心 O（如指定 O 在△ABC 外）；
连接对应顶点与位似中心：延长 OA、OB、OC（或反向延长，根据位似图形与原图的位置关系决定）；
按位似比确定对应点：若位似比为 2，在 OA 的延长线上取 A'，使 OA' = 2OA；同理在 OB 延长线上取 B'，使 OB' = 2OB；在 OC 延长线上取 C'，使 OC' = 2OC；
连接对应点：顺次连接 A'、B'、C'，得到△A'B'C'，即△ABC 的位似图形。
不同位似中心的画法示例：
示例 1：位似中心在图形外（如上步骤，得到与原图同向的位似图形）；
示例 2：位似中心在图形内（连接 OA、OB、OC，在 AO、BO、CO 的反向延长线上取对应点，得到与原图反向的位似图形）；
示例 3：位似中心在图形的一个顶点上（如位似中心为 A，连接 AB、AC，延长 AB 到 B' 使 AB' = kAB，延长 AC 到 C' 使 AC' = kAC，连接 B'C'，得到以 A 为位似中心的位似图形）。
幻灯片 7：课堂练习 1（判断位似图形）
题目展示：判断下列各组图形是否为位似图形，并说明理由。
如图 1，两个正方形，对应顶点连线交于同一点，对应边互相平行；
如图 2，两个相似的三角形，对应顶点连线不相交于同一点；
如图 3，两个正五边形，对应边互相平行，但对应顶点连线无公共交点。
解答过程：
是位似图形。理由：两个正方形是相似图形（对应角相等、对应边成比例），且对应顶点连线交于同一点（满足位似中心条件），对应边互相平行，符合位似图形的定义。
不是位似图形。理由：虽然两个三角形是相似图形，但对应顶点连线不相交于同一点，不满足位似图形的位置特征，因此不是位似图形。
不是位似图形。理由：两个正五边形是相似图形且对应边平行，但对应顶点连线没有公共交点（无位似中心），不符合位似图形的定义，因此不是位似图形。
幻灯片 8：课堂练习 2（利用位似性质计算）
题目展示：
如图，△ABC 与△A'B'C' 是位似图形，位似中心为 O，位似比为 1:2。已知 OA = 3cm，AB = 4cm，△ABC 的面积为 6cm ，求：
OA' 的长度；
A'B' 的长度；
△A'B'C' 的面积。
解答过程：
求 OA'：∵ 位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比，位似比为 1:2，∴ \(\frac{OA}{OA'}=\frac{1}{2}\)。已知 OA = 3cm，∴ OA' = 3×2 = 6cm。
求 A'B'：∵ 位似比等于相似比，∴ \(\frac{AB}{A'B'}=\frac{1}{2}\)。已知 AB = 4cm，∴ A'B' = 4×2 = 8cm。
求△A'B'C' 的面积：∵ 位似图形面积比等于位似比的平方，∴ \(\frac{S_{ ABC}}{S_{ A'B'C'}}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}\)。已知 S_{△ABC}=6cm ，∴ S_{△A'B'C'}=6×4 = 24cm 。
答案：1. 6cm；2. 8cm；3. 24cm 。
幻灯片 9：课堂练习 3（画位似图形）
题目展示：
已知△ABC，位似中心 O（在△ABC 外），位似比为 1:3，画出△ABC 的位似图形△A'B'C'。
解答步骤：
连接 OA、OB、OC，延长 OA 到 A'，使 OA' = 3OA（因位似比为 1:3，原图与新图形的比为 1:3，故新图形对应点到位似中心的距离是原图的 3 倍）；
同理，延长 OB 到 B'，使 OB' = 3OB；延长 OC 到 C'，使 OC' = 3OC；
顺次连接 A'、B'、C'，则△A'B'C' 即为所求的位似图形。
画图提示：
若要画与原图反向的位似图形，可反向延长 OA、OB、OC，在延长线上取对应点；
画图时需用直尺规范连接线段，标注位似中心 O 和位似比 1:3。
幻灯片 10：位似图形的应用场景
生活与数学中的应用：
图形缩放：
示例：用绘图软件放大或缩小图片，放大 / 缩小后的图片与原图是位似图形，位似中心为软件的缩放中心点，位似比为放大 / 缩小比例。
投影成像：
示例：电影放映机将胶片上的图像投射到屏幕上，胶片图像与屏幕图像是位似图形，位似中心为放映机镜头，位似比为屏幕到镜头的距离与胶片到镜头的距离比。
地图绘制：
示例：绘制某地区的地图，地图上的区域与实际区域是位似图形（忽略地球曲率），位似中心为地图的投影中心点，位似比为地图比例尺（如 1:10000 表示地图上 1cm 对应实际 10000cm）。
建筑设计：
示例：建筑设计师绘制的建筑模型图纸，图纸上的建筑与实际建筑是位似图形，位似中心为图纸的原点，位似比为模型比例尺。
幻灯片 11：课堂总结
知识梳理（框架图）：
解题与应用关键：
判断位似图形：紧扣 “相似 + 对应顶点连线共点 + 对应边平行” 三个条件；
计算问题：利用 “对应点距离比 = 位似比”“面积比 = 位似比 ” 列比例式求解；
画图问题：明确位似中心、位似比和图形方向，规范连接对应线段。
幻灯片 12：课后作业布置（分层设计）
基础层（必做）：
课本练习题：完成位似图形的判断（2 道）、性质计算（2 道）题目，写出完整理由和解题步骤；
画图题：已知△DEF，位似中心 O（在△DEF 的边 DE 上），位似比 2:1，画出△DEF 的位似图形。
提高层（选做）：
应用题：如图，两个位似图形的位似比为 2:3，较小图形的周长为 18cm，面积为 24cm ，求较大图形的周长和面积；
证明题：已知四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 是位似图形，位似中心为 O，求证：\(\frac{OA}{OA'}=\frac{OB}{OB'}=\frac{OC}{OC'}=\frac{OD}{OD'}\)。
实践层（拓展）：
生活观察：寻找生活中的 1-2 个位似图形实例（如照片缩放、投影画面），用文字描述位似中心和位似比，下节课分享；
动手操作：用坐标纸画一个简单图形（如矩形），以坐标原点为位似中心，位似比 1:2，画出它的位似图形，测量验证对应边比例和对应点距离比是否等于位似比。
2025-2026学年华东师大版数学九年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
23.5 位似图形
第23章 图形的相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 我们学过的图形变换有哪些？
问题2 什么叫相似？相似图形有哪些性质？
观察与思考
在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形.例如，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上（如图显示了它工作的原理）．在照相馆中，摄影师通过照相机，把人物的形象缩小在底片上．
这样的放大缩小，没有改变图形形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，
因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．这种相似有什么共同的特征吗？
图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似有什么特征？
O
O
O
位似图形的概念及性质
问题引导
以上每幅图中的两个多边形不仅相似，且对应点的连线都交于一点.
概念形成：
O
B
A
B′
A′
C′
C
如图，两个图形的对应点 A 与 A′、B 与 B′、C 与 C′ ...... 的连线都交于一点 O，并且 ，这两个图形叫做位似图形，点 O 叫做位似中心．
从左图中我们可以看到，△OAB∽△OA′B′，
则 ，AB∥A′B′. 右图呢？你得到了什么？
A
B
E
C
D
O
A′
B′
C′
D′
E′
A
B
C
O
A′
B′
C′
探究归纳
性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.
1.把四边形 ABCD 缩小到原来的 .
位似图形的画法
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
利用位似，可以将一个图形放大或缩小
(1) 在四边形外任选一点 O (如图)；
(2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得 ；
(3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形．
思考：对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得
呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形．
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
O
D
A
B
C
A'
B'
C'
D'
2. 如图已知△ABC，根据要求作△A'B'C'，使△A'B'C' 与△ABC 位似，且相似比为 1 : 4.
(1) 位似中心在 △ABC 的一条边 AB 上；
A
C
B
O
●
A′
B′
C′
●
●
假设位似中心点 O 为 AB 中点，点 O 位置如图所示.
根据相似比可确定 A′，B′，C′ 的位置.
●
(2) 以点 C 为位似中心.
C
A
B
A′
B′
( C′ )
●
●
●
画位似图形的一般步骤：
① 确定位似中心；
② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关
键点；
③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的
关键点；
④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形.
归纳
利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点．
位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外.
1.如图，△OAB 和△OCD 是位似图形，AB 与 CD 平行吗？为什么？
O
A
B
C
D
解：AB∥CD，理由如下：
∵△OAB 与△OCD 是位似图形，
∴△OAB ∽△OCD.
∴∠OAB =∠C，
∴AB∥CD.
2. 如图，以 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍．
O
A
B
C
解：
①作射线 OA 、OB 、 OC ，
②分别在 OA、OB 、OC 上取点 A' 、B' 、C' 使得
③顺次连结 A' 、B' 、C' 就是所要求图形.
A'
B'
C'
3.画出以 O 为位似中心，将五边形 ABCDE 缩小到原来的 0.5 倍的五边形 A'B'C'D'E'.
●
B'
●
D'
●
C'
●
E'
●
A'
D
B
E
C
O
●
A
返回
1.“肉眼成像”的示意图如图所示，下列未涉及的初中数学知识是( )
A．平行线的性质
B．相似三角形的判定
C．位似图形
D．旋转
D
返回
2.如图，在8×8的网格中，△ABC和△A′B′C′位似，则位似中心为( )
A．点O
B．点P
C．点Q
D．点R
B
3.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为( )
A．4∶9
B．2∶5
C．2∶7
D．2∶3
【点拨】∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，OA∶OA′＝2∶3，∴DA∶D′A′＝OA∶OA′＝2∶3.∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为4∶9，故选A.
【答案】A
[变式]如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，位似比为2∶3，点A，B的对应点分别为点A′，B′.若AB＝6，则A′B′的长为( )
A．8
B．9
C．10
D．15
返回
【答案】B
返回
4.[2022·阜新]如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2∶3，则△ABC和△DEF的面积比是________.
4∶9
返回
5.如图是△ABC的位似图形的几种画法，其中正确的有( )
A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
D
1. 位似图形：如果两个多边形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行或在一条直线上，且任意一对对应点到位似中心的距离之比都相等，像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．位似图形的性质：
（1）位似图形一定相似，对应边的比等于相似比；
（2）位似图形对应点和位似中心在同一条直线上；
（3）任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；
（4）对应线段平行或者在一条直线上．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！